排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。


- J% [8 m* x. p% k' b
5 J/ X! z3 i/ A1 V/ I& @2 T& y
3 K% D) Q; G* K9 _& L
+ _3 o# Q( ^- L4 s# [7 ^2 损失制排队模型计算实例
7 y" O! u) O* Q0 ~  c' M: x2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。


5 n+ W) U7 k9 q% v
1 Q4 e* l& a4 h/ [- t3 kmodel:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
- l. ~6 I, a8 b; I  t% OQ=1-Plost;
# r( u2 }  ]6 H: J+ e4 `lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
: r: V5 E, p" J, M+ j5 \L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
% b# {& x, Y+ c2 i  w4 Zend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
) H6 c- Q! I  h  }! f5 \& b+ g6 E例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
" S, V! D& F) t6 V+ W8 h
# Q1 |- x' F8 d6 k9 ?  \" u解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
* r8 z! k  U  P- b" t, H

$ K, ^8 O2 U0 c/ i3 L, `6 m
' A0 b3 O/ N4 H. Z+ _! E3 y) p+ Y
& w; ^) N& W" s7 U; f' g
% j% i0 U5 {  q. X4 }7 }由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

: A1 y, N$ W6 N# }: Tmodel:
- `% ^, J' G4 \$ o* S7 L* glamda=200;
4 ~% _; X5 f- h. Z9 ]5 ^mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
& N$ Y1 p, w$ c' Nlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
0 Y2 `: D$ L6 G) A8 Ieta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
: s7 `0 ?& B3 X4 {+ send
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
$ b7 `2 P1 i. g# Y7 z7 T! i
  r3 Q8 z- h1 N& d0 s% i. G求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

1 z* k4 k' O5 `4 F/ d% ?- g" b第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
0 L3 n  {" a7 a+ |
model:
lamda=200;
# [8 ?7 v- A% _# X$ hmu=60/3;rho=lamda/mu;
- A% v2 \- l: S@pel(rho,s)=0.05;
$ j( w4 y5 u1 a% cend
求得 s =14.33555。

第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
$ x, U4 e! s+ m( Clamda=200;
/ s0 f4 x. F7 ?) C( P! a6 S3 imu=60/3;rho=lamda/mu;
) Y8 ?) q( m; s7 ys=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
) ~! J5 o4 S) f7 elamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
5 K2 t( c  `( ?8 xL_s=lamda_e/mu;
4 X( q1 y0 |7 Meta=L_s/s;
end
" z5 b, V+ ]/ F) w( J比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
" a; E3 T8 Y4 H* `————————————————
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) j4 [0 F4 i$ h+ R  o& R
# B* R) h  R7 k' y+ p