排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
3 w9 r7 j4 c6 _6 z* {  p! u: p# i
1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
2 o, {( H+ \0 ?" s: f6 L- ~% _
" C5 G5 X! B1 L1 d+ M0 D
, k/ }1 k$ H' u( \8 d1 Q


" M' J6 d  d0 @" x' N% }# H2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
0 g9 t8 P' l. j* j, k; ^" P
( a) E4 b# K8 v( O3 N

  r1 Z, G, D% r4 ^! ]% lmodel:
( x7 j% s  Q) j% `; [s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
& Q( x6 c! G: GPlost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
5 Z! @$ }2 H; f& [: \" R$ SL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
  ]& V# T' C0 m; X/ g0 d  P求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
5 _1 g3 e3 h. C$ Y; O) T9 A
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
) I4 T) r2 ^  v& n) I* P例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

" V( i+ L. Y# a7 A$ j- }解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为


% r6 Q: A0 E, s$ D. r' r


4 N5 ^1 ~; n' |4 d" [8 l由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
5 H' _% c  p- h
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
! H' }% e$ m4 W* G/ Plamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
, X5 |( R1 B6 [( n' JL_s=lamda_e/mu;
/ E9 s" {( o0 I2 Aeta=L_s/s;
- r7 Y' z0 R% q% B% |# x, umin=s;@gin(s);
, C% S3 Z6 L; `; }end
' }' S. p3 [- B0 e7 v求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
2 }& `3 P9 d) ?0 ~
+ j+ |6 D6 G  B# O2 y* D1 gmodel:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
! r, N' |: o4 |$ P( o7 Z$ \end
" E5 S6 F. P9 X1 B: R0 f% r; x求得 s =14.33555。

8 _; d8 }" C, S' v第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
* y, S; e0 f, E
model:
4 g2 r3 y& J2 R% `' m; o; zlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
8 T1 K9 T/ [7 j1 z7 Ms=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
0 `3 J$ V  K) g$ f0 Z& |  AL_s=lamda_e/mu;
4 q& L" M( m4 L' M1 L, Yeta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
$ H0 A4 ~8 H5 _& l2 N, S  V————————————————
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