市场营销问题 （一）：用马氏链进行新产品的市场预测

浅夏110

某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场 前，公司营销部门进行了广 泛的市场调查，得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ，其中 A为新产品，表 中的数据的含义是：近购买某种产品（用行表示）的顾客下次购买四种产品的机会（概 率）。例如：表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客，下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75％，10％，5％，10％。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少？



, u. _8 S8 i4 k, Z, f& s& p
9 r8 }8 l& R% h: d$ T/ {' F7 @
（1）问题分析
' b1 y' E+ m. _) \" l
0 ^# S4 S, E! h+ ?! o5 I9 v5 S新产品进入市场后，初期的市场份额将会不断发生变化，因此，本例中的问题是一 个离散动态随机过程，也就是马氏链（Markov chain）。很显然，上面给出的表实 际上是转移概率矩阵（注意每行元素的和肯定为1）。要分析新产品 A未来的市场份额， 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。

（2）模型的建立

7 E" L: h( k' J& g记 N 为产品种数。产品编号为i（ N i =1, 2,...1 L= ），转移概率矩阵的元素记为，稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态，所以应该有   

                                                              （1）
, Y, q  E) p2 h. g" P
+ u) L1 p0 ]6 b: L不过，这N 个方程实际上并不独立，至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束，即 N 种产品的市场份额之和等于1

& H5 X) W6 q* R
                 （2）
8 Z' Q, j! D9 m5 R
可见，这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组（当然，还应该增加概率  非负的约束）。如果把这些看成约束条件，那就是一个特殊的优化模型（没有目标函数）。

, w0 n, B5 W- K" y' | （3）模型的求解

+ @6 q' l2 W: l, @  Y8 w' ILINGO程序如下：

8 a+ x( ^: n) P$ W+ \! k, z6 ZMODEL:
1 x. L( e4 p! l' G" eTITLE 新产品的市场预测;
SETS:   
    PROD/ A B C D/: P;   
    LINK(PROD, PROD): T;
. ^9 X( c* d: Y) V! rENDSETS
; ~1 ?3 R+ q; K7 E* i4 R) j" `: LDATA: ! 转移概率矩阵;   
    T = .75  .1  .05  .1      
* n  w% ~* x/ B: m( Z; c# V7 N$ e) U        .4   .2  .1   .3        
+ c/ o2 N% Q) y% D, M7 t, B. U        .1   .2  .4   .3        
& U: l* \: _: {- X( p; y1 {        .2   .2  .3   .3;
ENDDATA
6 p" t4 s: b6 g7 Q/ `" J5 n4 ?@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
6 U, K( b! z  T& i+ w@SUM(PROD: P) = 1;
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
: W2 L/ D& S2 L. OEND
7 A* S/ G# g" R0 Y5 p+ Z! q可以指出的是，上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1，而且我们看到为了比较两个实数（如X和1）是否相等，一般不能直接用 “X#NE#1”，因为受计算机字长（精度）的限制，实数在计算机内存存储是有误差的。所 以，通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5％，15.25％，16.75％，20.5％。
' r' e+ a8 V$ d2 H% ^) o, {
$ V! Z. v+ \: l& i
. @  I; b" t. `6 U
9 t; ~  f" d: J8 y: U习题：假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户，现金帐户利息很低， 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金帐户进行，如果 现金帐户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户；反之，需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见，假设以万元为单位，现金帐户的钱数只能 是－20，－10，0，…，40，50（万元）之一，分别记为状态1，2，…，7，8，它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外，根据统计，如果当月现金帐户的状态位于i （ 2 ≤i ≤7 ），下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1，i，i+1 三者之一，并且概率分别为0.4，0.1，0.5；如果当月现金帐户的状态位于1，则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2，并且概率分别为0.5，0.5；如果当月现金帐户的状态位于8，则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8，并且概率分别为0.4，0.6。


2 S! {" n8 v. }3 w+ J' ?
* b6 P* H4 C7 y$ V' q1 Q" I 每月初你可以改变当前状态（即从长期投资帐户转入现金帐户，或从现金帐户转入 长期投资帐户），但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用，此外还要收取 转帐金额5％的转帐手续费。请你建立优化模型，确定如果当月现金帐户的状态位于i， 是否应该改变当前状态，如何改变状态？
* c8 z8 N2 [2 F2 @. z2 `' |; _6 U————————————————
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