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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
+ c* Y6 m2 T  _8 z边的结构体声明如下：
5 _. u7 Q) s6 Q: V4 k5 f; estruct Edge {( V. x$ g" Z6 q8 @. y
int u, v, w, next;) M2 E2 s! R7 A  Z! |) H+ }
Edge() {}  m% l% @* x" \, k
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
) Q& ?/ h% ^  W, E% f# X+ X" S       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 4 g# r5 P. M& d! R* s% y/ ~7 K; X
{
7 I  K& @1 Y# ~7 X4 ] }
4 G4 i9 ~0 {' h* |+ M}edge[maxm];
' o/ v4 u1 N. Y% |8 W7 ^1 n1
$ y- c8 E% ~/ h( c, T+ c! I% @28 D) `: |, B$ u7 z2 T
30 \$ f' X+ ~: i0 R2 ~9 D; J" u8 G
48 f8 U) M4 A8 p& I
5
0 W5 O6 X# i1 M! V1 i. C$ k6
, _( T1 d9 y3 J: Z$ k* j; x73 J1 g$ Y4 [& r1 T$ p
8
7 \6 F  A3 ~3 B8 g/ s0 U初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
! k  C( ], B4 ^每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
; T; l3 a$ X# Avoid addEdge(int u, int v, int w) {  H0 T; y9 v9 x, Z% E9 N% N* _
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
. [; H- g& t' r3 H+ v; U" T head = edgeCount++;
2 m" G/ j( Z3 f- E4 j& C3 F% ^- B}
6 T( P4 R. N/ ~( L" ^8 {+ z1
# W; W( Q& p3 Z  V9 `! Z- E2: p( A7 ]% k* Y5 q! U; y6 _
3
# g. F6 @# ?- B% T; D) Y40 c, X( L( x: \) s# p4 z" D! P, r
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。& V4 X' Q- `/ a# Y, w
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。+ |6 |; Q7 q1 T5 n$ U
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
9 e/ x0 C, I: ?& l2 d: z0 `3 ^ int v = edges[e].v;0 I- f7 \2 c' g
ValueType w = edges[e].w;4 W3 ?/ f1 g, _/ V& k! c$ K
...: V0 H2 Y; V) ^
}
. L7 g  t" Z5 a+ s/ ?1
5 s" Y7 X# Z3 |4 i# b/ K2 _" T2$ r, Q/ E2 y5 F" Y* I- I
3
+ {$ {6 ^2 A; I  r* I47 R2 R2 Z7 I: \
5
0 m& r" b1 ?$ z7 x文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
: A# K# u+ t9 m( [8 d4、算法入门
) I) m1 N' d1 q# Y5 P8 v6 w算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。% H' V. m. x# p1 \1 w9 V
. e" _/ t% ^) Z2 q; X

3 p$ f. ~. S1 s8 b5 T- k& W入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
4 ]1 P& d* K$ L/ M7 B2 x' X5 ]对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
; y% v, z3 M& V) b- p3 L1、枚举/ R. @, G: @! u" p# T. I0 S
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
7 U: |8 s2 o! o9 q& d6 k  L对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
% w5 X+ K6 `& ^5 ?2、排序! M% Y. G! S3 Y6 r7 g- H1 `
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
' S) }, |' a" D; v, o# f冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
4 q3 z% q0 h+ j; `6 gC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
# t$ q; u) n9 U8 ~( R( ?' P/ y6 H" F3、模拟' @8 ?) C9 B6 `9 O8 E
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。' w' ?0 }; Z- P1 @- b, [: w+ P
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
, _9 J' [7 Y3 A: l但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
! w4 h/ m# m5 ?6 e1 o( d" b  P/ o4、二分2 ^+ h9 ?1 R  R3 R  K4 k2 B
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
6 D2 W# I8 t: h. @0 ^! E/ _例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
% {; o; h4 R2 A9 ?) a' \1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；  A  N5 S8 _% ?, J" j
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
- K% }% C/ d; \' y+ J9 ] 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
, a# {; H' r2 v' s 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；6 `5 N8 K% j# _& ]" [5 L- V
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
5 K8 X5 y; u- C8 d! X3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
$ J4 }+ `2 {# u5、双指针
5 [, z6 k& ^4 z+ B; Y; V双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。0 B5 l9 j1 R* M  m5 U
: c; `/ f4 K- s/ Z4 M: ^
7 \$ @/ a: h9 p
6、差分法& B: e- U. m2 Y) _" R5 w7 ?' \
差分法一般配合前缀和。0 j1 v+ D: u4 N3 T
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；, c& A& Q# O: s. `
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg : M/ x% S( i3 [9 \) L/ }, c. _
x
' v$ v8 o5 X# w' K* H5 k
7 k( ^& v, R8 j* X) @9 n7 A ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
$ K: Z. C; \& A6 h) \2 p" hr( U, P6 g) ?, J9 u/ B6 |
# ]3 ]  u4 p7 F3 {( F
−g
. {* C* }) {1 _+ Cl−1
, n' i3 ^  W' j" C7 L; l * R% K8 a% n7 R6 Y
；分别用同样的方法求出 g r g_rg 7 D3 ]. b8 V1 h) b# d
r
/ z( f: @* m; M1 }- H. v) n * J- }! ~" }$ T' Z
  和 g l − 1 g_{l-1}g
  g; t/ U4 j7 B' h" wl−1
: w# s5 J# s$ ?2 p
# }+ b, d3 J8 w* ~% r ，再相减即可；+ E' \$ A# K2 w% P0 j

: Z. k3 x, u: {; w' D' C4 m6 `, I( _0 g( T: g0 L: G
7、位运算
2 H2 N, z$ P  J$ Q( f3 W位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。  V" q- R9 n! o5 N% }6 ]3 @" r
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
/ T7 [4 Q3 B/ o. F: x1 P" p布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
# _% V$ R' b  Z" w: |, d7 ]如图所示：
) Z: d5 W, p9 Z0 [+ T+ C# ^. A& @" p. j. G$ p4 I* \
" Z* z/ ]3 l+ i
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
% \4 q; d: l+ O# e' h, _比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
: O8 s$ [( M1 V!(x & (x - 1))9 n& [/ Q8 }0 ~- O6 N0 K
1, d* J( F/ F0 s% _, c7 r
8、贪心
9 Y& I& L' c: J; U贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
& l% m& a6 t6 h3 w所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
8 C- @# r( z. E9 k4 ^9、迭代' v7 }) J& [+ r6 H9 ~! k" A; O
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。) |: |: c; s: B
10、分治
2 A$ c4 ?- N* f2 M0 H" |8 {7 Y: m分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
! R7 m1 h6 f; [' x& M5、算法进阶
: d- A5 H8 i; F1 ^算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
7 t( A7 K; v/ f  q) Y: b如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。3 l* v0 e$ t! s6 z  V
这个系列主要分为以下几个大块内容：+ b3 y& G$ t0 u8 c$ `0 G+ F
1）图论$ X  d. X! \* P0 m3 P1 w) ~; Y
2）动态规划# S- {# c0 C; [7 L. H/ @6 f
3）计算几何
! }8 o- }+ I  e0 q7 @) W: N 4）数论* w8 H& D, ]$ p2 u2 n0 b
5）字符串匹配
1 {* V! g9 y  A7 d9 M! h6 u2 k, n 6）高级数据结构（课本上学不到的）5 G7 e0 ]/ G2 ]& y0 k' ?7 B
7）杂项算法
5 d) S$ K0 ~/ m3 y* z4 l& D2 J8 ^: e: ]+ Y# T( o: ^+ n, p
+ o& w" ^6 |: X) q
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：9 [7 t- }" x# m! K9 C0 f+ w
) R+ R6 ^+ l  E5 t# E. y

2 l: N- z4 D4 V& @) a
- F+ g; c' Q/ W6 `7 U, V9 g
& j+ R+ g8 `2 g9 @! O1）图论- c- s* i3 X5 H3 a" K
1、搜索概览
; C* I! L  @' M. g+ G" B图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
3 h2 y/ s7 F% v/ d% d8 L9 \
( H/ T) p/ \: Y: Y8 |- }4 ~( ], E7 G3 T7 _9 y* s/ O
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
* q, R) {+ `# ~3 K, E2、深度优先搜索
! H  @0 `* F+ U5 P6 P( m& ]深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
- }( d) K# c, b, j, [( \0 u8 p原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。; n* E2 G6 }4 W/ }5 B+ e
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。  \1 E* n+ F+ j7 f2 _6 C1 X
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
  d6 I7 s1 `& j- b1 O3 |7 Y! Q- o, h/ C

0 g' P6 n( C' o' V红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
3 _( ~7 f3 C: {$ z! [ 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6+ b. H/ l6 v& S
1
% Y  Y0 f, T) u同样，搜索的例子还有：% N. e6 u" h5 }& V
( D. A. j% {8 d2 I3 y, [2 r
+ I6 |0 y9 \+ C
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。+ h) h* i& z* N# S* z# S: i2 d# I
3、记忆化搜索
' l) |' L1 {/ ^2 H9 p7 S0 |对于斐波那契函数的求解，如下所示：
) d, j! `6 A- L' A, of ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
  ]9 u7 W* {  L+ p& D⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
/ P6 [: D  Z$ A  ~' Z* \. U{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)9 h# d) k* T* \! ]: r
f(n)= 3 |6 M1 X  ?# A
⎩
* P0 }  f: {* _; x; s⎪
6 j+ w$ K4 A( n6 Q( c8 b⎨1 {; q$ W7 P" x
⎪( G$ f5 k  S, }: c0 ^" P+ [
⎧; h, `: e9 g# }

) n# H7 c7 K) p& s+ e
) B) @- L! q) N5 q) G) l& w8 H1
% R- X$ g" {  q1
2 ^1 Y# y3 \# P4 z- {7 |6 _f(n−1)+f(n−2)4 A$ F0 y5 ?( z$ M
/ o4 E( s( {% X+ a% p
  + z) m9 ~" f& z/ ~% ~) k! g; ?; s
(n=0)
(n=1)
! a0 u' T" Z, ?- c! _1 |) p(n>2)
4 P0 V/ j! R5 V5 k; z; y' K2 j# |4 V ; W6 \6 L0 u/ D8 ?0 e  e+ [
/ l, v9 o' A" g, A' S% O
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：7 Q" p0 i5 D& }9 l; W- }/ M
* g) z$ c) E: [4 H
0 O0 J& h- m9 {2 l+ r- H1 X
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。, L) [. `0 \( X5 {: c  u5 H! n7 F
我们通过一个动图来感受一下：% r6 C2 ^3 B$ ^1 x/ g, F# B

/ A! y( p. G( `" T% d! R! h' \7 H( v0 j! @1 }5 D
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。$ s3 ?# X0 q; D6 V
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
3 k9 _( k7 o6 w0 g- _8 G& X6 i/ D2 y4、广度优先搜索
$ v0 q+ [; J3 f4 w! f单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
6 G2 D& U8 [! k' W3 F8 R/ e3 ]我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。( K- ]  ^( x) R6 n- J
- O. R' Q5 b* `
4 Z! D) ~$ B& R1 ]

% u) O2 S  R0 E5 H7 X* p# G2 Y' a: a0 m
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。+ @4 g" P# e% n' F4 N4 E
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
' M; Q* Y# o6 T7 K6 r- K  R这时候，算法和数据结构就完美结合了。
" F. b7 X+ H, H# M! D7 w: o2）动态规划
+ w8 s4 ?. t; N/ C( Z- J% C动态规划算法三要素：. ~" C7 p, T3 c6 n) f+ A4 v
①所有不同的子问题组成的表；& w8 J: ~3 T( C0 r) g
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；: ?- K9 Z0 M7 C5 @
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；+ @" P1 M; [, l' a+ ~

  \, v# x' J! u% T9 w1 h. Q* r
0 z& k) {: ~4 {1 u% ^. w  T如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n ; m0 l: A0 ~2 Z' m. v
t# {% i( u+ S; i4 f
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 4 Y% U$ b+ v9 `0 F$ y3 Y6 J5 ?
e
( i8 p+ d4 v! @3 ?! D ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
- }- S( {6 j* o" C: Z/ R9 G1、1D/1D1 {9 s1 @; Y9 _- |# l' C
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )) u8 C* b  l9 X* X
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
' v1 {, r" }! i' w" w5 \) @8 A状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
2 L) _- E2 e% e9 z# B
$ |" d& D! k; [. _8 i$ g: j1 p* a3 p7 E6 D
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
' P: ^( q9 ^! j2、2D/0D, D4 M$ z' ^5 L( l+ F$ L% [
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
( w/ \7 T4 D$ \" j) G2 ud[j]=opt(d[i−1][j]+x
* J+ D& ^; ?* t* p0 N) hi- Z& J0 ]! D5 D& V( T: s+ w0 R
8 [# j9 }. y" \+ ?" x* _' A* O
,d[j−1]+y
9 G- I) R( A2 ij
& Y/ Q6 _2 O0 C7 X6 ]
4 @% k& b; R1 q% Z1 l ,d[i−1][j−1]+z
$ r* `5 F' T7 g" a* x8 y4 f0 wij5 d1 w1 B$ `3 }" S" Q8 A- D
0 w: u, G. J4 b! l* y. [8 `  U# |7 t
)
% B7 X- [: K7 z+ n3 T状态转移如图四所示：/ s' b$ l$ G6 E/ P! l  g

0 h, D) Y) D. @" \! V3 c* i. |
7 u- p2 b+ N) W% |比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。: z/ H+ M- t9 s
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
, n( }( u; s, t  i) ~: t有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
- Q  c5 A, g8 ~+ H" d4 T3、2D/1D! y( e7 A) |+ C0 H0 G* V' ?
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )% @( x* \6 T' y4 ^# x  X
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
2 {( }& }3 q* E/ y区间模型常用方程，如图所示：2 j$ q* a: X( I1 ^" t

3 |% M. p$ g/ j) r/ u1 H. \! C) R( P* k- B% t
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：! D7 \  r! C9 Y
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )0 g/ L* \" S: Z+ f8 s5 o; ]1 l
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
1 [+ W2 T. [" U6 b% |9 g9 T9 r! Q区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP& l4 N; w# S$ T) V- E0 h; p) a
4、2D/2D
/ d0 Z- T* R% G( ^/ Rd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
% U# [# c" u, E- x2 |" t7 G4 Md[j]=opt(d[i
- o% _. C( t$ ?8 z0 y& Z  n′
0 g, @+ j+ O( R2 @ ][j 1 V# X8 z# p# |6 H
′
; _$ d  d0 k* | ]+w(i
& R5 F& g+ {1 a8 g" @$ T) I) ]′) ^' \& v4 m4 s1 ]) W1 O' N. S5 p
,j 8 ]: h; U2 _! F" _
′) S; L1 T# ~' o- @  L2 S
,i,j)∣0<=i
( D% m" Z" Q9 f+ x2 ]7 R! Y′4 {1 k: _, C& e: A6 w
<i,0<=j
0 {/ {4 r/ |' C′
# i7 c, ^) }# ~) i <j)
6 i5 b. v* E- V5 I+ p7 f如图所示：5 y. V- A6 D/ y) o

( s9 l4 n2 P' ?3 g. U0 ^9 [' ]4 g" }* J' b% @: c
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
2 I# x$ W2 w4 M. Y4 i对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
/ w0 F9 X' Q/ p  q& ot+e: Z) M: o$ H' X" t9 s
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
7 q6 z7 ]+ q  {t1 ?# Q( y7 ^" h% t  M
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
" E6 l0 ?7 ^$ Z  \0 B3）计算几何* d- r* s+ f4 N  H: e- n
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
, J9 F9 U# ~) p5 W4 ~! a" s如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。4 v: s7 j, r! T' u
1、double 代替 float
0 P( D% F" z* O# E* Z  P0 V* vc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；  T' S1 a: z) B  L7 t. v5 [
2、浮点数判定
# t/ U4 |4 g& v8 U由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；' A# s, {+ K9 ^+ `& W
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
5 Z) e8 m' c: Q5 \  C& K! wconst double eps = 1e-8;1 f  n, M- a! }2 H& U
bool EQ(double a, double b) {9 M7 I: T5 d3 w1 c$ l) i
return fabs(a - b) < eps;6 U  b$ s5 L7 O2 x  m
}
) W" m0 w6 B, ?2 M3 Q3 U$ V1
( N* n4 j, j$ _/ K( X" f2- t/ d# I! F0 F: s: f+ `
3, x* p% h' `( j! ?( {, e
4
6 C. h* ^- d7 I5 G并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：9 H) r: W+ q  J, N) X% f3 O
int threeValue(double d) {
8 q7 W5 D" G( V% F. H5 M; r if (fabs(d) < eps), h, F: O, B5 D: ^- r
      return 0;  @5 Q. h& I, x3 ]% I
return d > 0 ? 1 : -1;( |. D' X: X9 W4 z# @  v; F, c2 I$ V
}
* W$ x" |5 [0 j; q% t3 e11 X) O: p. @! w0 m
20 n2 B' d$ g% `! }0 m0 q
3
% m/ e2 x; r5 B% x; b9 P3 S+ @4+ }5 R2 i1 m% F7 O" s
5+ H7 h$ J$ `2 [( U4 B
3、负零判定- M, M; A* H# L5 O  m0 D
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：+ k& v0 F0 }2 N: H: f; G/ J
double v = -0.0000000001;
' o! ?2 K% {6 \# s printf("%.2lf\n", v);
9 x  O0 v3 j6 R- ?; u1* \$ k5 @- j/ H/ L- V
2
$ o! H  t% C% p) V  q$ @6 t9 e避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
, c+ S7 k/ U. [- W& h/ [2 O+ _ double v = -0.0000000001;7 L6 l; J  @8 f& V2 S
if(threeValue(v) == 0) {
( `: L* q+ t, x& ^       v = fabs(v);
+ M3 t9 K$ [: o9 _' R! G }+ S* m3 \+ A" ~8 C- i/ T- W3 L
printf("%.2lf\n", v);
- g% J. ^3 |+ |/ u; ^) @10 {" Y) G- z! I! T1 c
2# o% L  z( ?6 o6 ?% C
3- C8 @& O1 @7 F8 e8 u( B/ x
41 T$ Y6 P( p  [
5
% j0 i/ q" ~5 Z+ X) J2 u& ~4、避免三角函数、对数、开方、除法等
+ }' r1 g7 n6 Y; n6 [% j5 jc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。3 Z5 g# V, _+ |
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。# n- x4 o  ]  C0 X& q% D8 y
5、系统性的学习
& w9 C/ B* ]. v1 g  L/ T# t) {9 |$ r基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；7 e2 f1 R$ b" J
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
$ B( H6 u( u: x相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
- w# r+ \5 ?7 z% O  r' P2 {6 z' E2 H

0 \! h# ~+ `# ?+ }0 [- A) h% k学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
& ?5 A6 \: ~+ M3 [4）数论+ ^6 u$ e" _, y# T, l; ]
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
7 [/ D; A% q* K8 k) o6 T' }' O数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。' o7 }9 k2 w: x8 U' x2 t0 w; g
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
% {  v# @, P' w/ H$ ]; Q7 \1、数论入门
7 Q" R, O! E) s+ H& @8 X主要是一些基本概念，诸如：
1 C% S2 Y/ R" v( ?0 \整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
/ Z: R  ~' Y/ }( W/ m1 K2、数论四大定理+ J; b$ ~) z/ t% P2 ]* F3 X
这四个定理学完，可以KO很多题：
- p: S9 \/ R; \' U/ T; v欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理- U& J/ S8 L# o4 \6 y: [9 W
3、数论进阶
0 `, }) i. ^/ l; r3 m2 t6 I系统性的学习，基本也就这些内容了：: B2 t# r) ~' J( w( V9 r8 u. u
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
! m0 v! u/ ]/ P/ j# }6 G* ~5）字符串匹配
5 G: d& I; R7 Y- \$ J字符串匹配学习路线比较明确。
7 ~8 U* Z# k! I0 ]0 L. j先学习前缀匹配：字典树。( j% T, n5 r% X
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。* C# R: F; u- F, n9 q
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
0 l7 m2 ?+ A2 Y( k, p  ~) I9 G* ^实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。6 h# i/ i/ Z1 p% d# B* C- K
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。3 v3 o  y! @2 Y# ?+ S
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。8 i) P1 `4 _/ h6 Z, Y
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。; _# y5 v. B7 B$ |2 J
参考资料
7 b$ o7 s: t3 `) p/ ^1 c【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）0 O, U8 [& g, `9 t5 X4 z
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）& t5 b; ?$ k) m; P
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
' \! x9 J2 w* l/ M5 y+ v【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）: G3 b; X" {! i. G3 c. C
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