查看: 3747|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。  E3 ]6 U/ L* ]' Y5 m2 O6 h
边的结构体声明如下：
8 Z+ {9 w, [8 F) pstruct Edge {
: _0 l2 r; ^/ u4 p% B int u, v, w, next;& m- W1 V; @) P7 r1 U
Edge() {}1 ]- P: v" n, q) R' ]5 S
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
# K  Y" [1 N# n8 i1 _       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) , ?; n% s4 l. ]. n  S2 e
{
# i1 H: X5 i: M) R, R" h. ^! } }# K& H# }5 u) X/ z0 C8 L+ g* `5 k
}edge[maxm];; R7 o) T, h/ g: @- i  s( f. P
1
# x9 _" \- o# Q0 @* e2
% j# z8 q" N$ R9 j3
' i, z) f0 y2 a/ o9 Z, u! s4
# e: G8 o% D- K6 Z) X( r/ D55 l" W( l9 n) A% r( I
63 d2 L( K' l  p
7
: u+ F- p! Q$ A& `. j8 M8
$ @3 t- B9 H2 O1 b% m: e; \/ t) R初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
8 Y  D. D' `0 B8 g5 Y每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
, Q  S  }' [4 E! rvoid addEdge(int u, int v, int w) {
* X) P8 [* W4 u edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
* K) Q, x2 |0 S) x2 i3 P) ^ head = edgeCount++;
! K/ q; D" t$ _9 @+ o9 i}
3 m/ N% X+ Q7 Y( R1% h% P/ g! B1 P* a0 _5 x& S
2
9 g9 n; {$ W: n5 W, }# C- x  L30 j: }& ~; t4 o) `0 J5 j
4
7 j5 J0 P' v5 C+ Y6 F& M+ \6 C这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
# e0 {& [: X7 q: _- T2 c$ C调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
9 \% q4 P) f0 V& s; ifor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {! w% A& r  p1 M
int v = edges[e].v;
; `( l3 u3 J$ W  \/ x- O, O" O' R ValueType w = edges[e].w;
7 x- B. @3 M+ d3 x ...
3 V/ z3 l( a. Q}
" E, K! v: t; G1
& \5 T8 T8 u! d* a( M! M27 i( G8 u1 ~: ]: h9 I5 q) y4 D
3
" M: k( u0 b. P4 m$ V. {4 c, q4( b# j2 V( P3 o7 l
5/ K! I! L: J# w
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。" ^7 r: o/ @4 r( T3 c# V
4、算法入门' E% G# s0 {8 j& W' K6 t! y# L
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。! z8 o& O" M2 _* S. l) y

2 K& |  K1 o& N4 t# M9 @0 @
9 ~( d7 {( i& y* \$ W入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。$ {( a- {  `, @  C" y6 r
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
' F5 J# u, p; O. k/ x1、枚举
$ x2 {7 D* y  q9 i  W4 _$ B5 a枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
7 l& i& j" A8 o. V# A: ~6 h' D对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
# [$ N( g0 _( [5 @& P9 C- p2、排序5 O% O1 a, ]# ^" r
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。$ ?' k" P4 a: ]3 N6 c1 M0 v( u
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
2 Z9 F4 [& l' f, `, NC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
7 B' u& R- w% g4 L  ~- P3、模拟% Q8 l- Z2 d0 {- }
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
- Q( T! F& f: k' F, Q4 o不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！! p  C, Y8 Y2 s
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。9 B, ^) m; Z8 N4 }
4、二分3 N; D* A: t6 |8 G, U9 x
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
% }' l* L; L. u& y' Y7 P例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：- X2 t0 W- @- B$ \+ l
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
$ A2 `" a" U6 h, d/ Q# T! u" q2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：. l0 s4 e& s  H9 d4 n
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；! T9 t% h* @, O# F# c
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；. T3 P$ F! p& S  ]" S
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
. n# a5 p* e4 h9 G: I9 Y; _/ k3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
+ ]- S: ], g. T& Q2 y4 W5、双指针/ n4 ~3 r2 k# q" p+ O4 a
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
9 y- W8 O* ?7 N8 G! Q& [
: J. H; j; E4 j/ e
% s' V  A1 B* C% O1 x6、差分法
* t% q7 q4 a: D" V+ g差分法一般配合前缀和。/ d2 ^: D' X% p! P5 z! B+ I
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
' h! ~% C% z8 V6 x9 T/ d$ [4 I; S假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg " l- n' G) {/ H6 l. ]7 V& G
x) V( n: S( t3 B$ [# t/ @& ]

6 p: z/ ^" e7 ^; a ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
$ `  c* W3 T% l9 cr( o8 O( w" G* n( ]

. O. P$ X7 [5 s −g 0 j7 v0 k! G% G+ A0 P
l−1
3 A4 e! f# U9 M, z
+ Y7 Y0 j, E: ~2 m0 n, L ；分别用同样的方法求出 g r g_rg 5 ^, i$ o$ j9 S9 i: A4 P- U1 i
r$ f/ V) \' S" j6 I; E
3 P  V0 u' L0 v9 Z0 z* R
  和 g l − 1 g_{l-1}g
( Z4 [" ?9 U; g/ j+ |9 Ol−1
4 a7 h4 m: M* S, R ! t  Q. K/ ?5 U0 D$ P! }! B; t( m
，再相减即可；) V4 s( x1 h1 _4 V% X8 F0 ~

  Z" M$ C( Z1 T; Z7 K/ @* w
' x& F0 {4 c- m9 ^; ~! O7、位运算, L$ D1 c1 G6 B  A$ m! F7 C* n) ?2 }- z
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
1 {9 ~; N, p3 p! r, J! E位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
( z* \8 p/ C5 F3 X布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。  \  e2 B* `9 l( g( I& M: J+ m9 }
如图所示：" q$ M3 _- Y' U3 w/ n

4 p8 p+ R4 ~$ @5 U2 Y: |  D. f1 K  u/ i2 w
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！/ b" a+ P9 Z: j5 l; u! r
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
3 q& S$ S6 I8 @0 f!(x & (x - 1)), e: ^0 g2 ^/ n, {0 x
1
, L- k2 H. L$ |/ T- _8、贪心
" a2 C% [4 R5 Y6 B. d* G! Z, M贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。2 j& h' v# X) l/ \, ]5 W  A( u$ Y
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
6 B0 d3 G& c/ v% K2 ], }9、迭代
+ g* ]3 l: o2 G$ E! J! {每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。" m4 {, E; ?8 `0 ?  T* \2 ]: U
10、分治
2 S& b: j% K$ c* _# l6 h分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。  M, w/ s6 V. e. s7 J) H0 S
5、算法进阶
! k( l: ~) _& X4 K算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。  n1 Y8 X7 [3 _) I. }0 M
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。6 Z6 }0 i1 _1 @1 {% b! k
这个系列主要分为以下几个大块内容：! F  _- }( E: I% T8 z- S+ ?
1）图论
- J1 p: N; h, n! _ 2）动态规划
! L" t8 B! L/ l5 }% j 3）计算几何1 V' P# p0 \2 N
4）数论& w9 `: [7 F- J( l
5）字符串匹配" z' ^# y" V: W$ E6 H% H
6）高级数据结构（课本上学不到的）! [5 C; j" ^: _  |+ w1 L% M  \2 X  C! L
7）杂项算法8 @5 P& T' ^' }- a, Y8 _/ o) y

  _* n& e0 p8 p& a
; {! v1 j% q. w# p' J先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
& i8 j3 ]- k) p$ W+ g/ I
7 A' G2 G) V1 K0 J
) x1 U' _* ?: p" K  {: B
+ J& G" {, B/ N) n
: G/ \/ y; a  ]5 O1）图论
; i4 M, S3 e3 z" B1、搜索概览
& Y- o: z& ]) E/ s, X图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
8 O" w* m9 W* A8 q
8 U% Y* O5 k1 A# t
5 W4 B4 P# e6 p+ K比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
9 v0 M" H4 J0 O7 w1 _0 e2、深度优先搜索
' d( F4 S8 Z' D( }- L: |深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；) @4 j3 x0 m; L+ \+ ~% f
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
5 g$ a% K+ j% B( [+ i1 p但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。6 j3 P# r' V* w% ]% D/ B: f
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
1 {( l5 ~* f3 {$ w$ b' a7 @' [- n4 H
+ k% A6 U4 x4 i
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
0 c3 b0 S& ~* g7 z4 z/ l- F" O+ k) d 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
+ A: \* ]) M  @1
7 Y: u4 L) e0 q4 i$ g, [& j) b同样，搜索的例子还有：
' F5 N! w! m- c- _' L) j* Q9 X/ r% d) k

2 r5 h. ]- {  c* `' Z+ g计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
/ t0 A+ a9 d: E3、记忆化搜索- O9 y/ H$ z* U7 o( \3 i3 F
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
# v3 t3 Q! W3 e2 Of ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =! E1 U) l' E/ E1 a; {9 A  b) i
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)2 \# w* \8 O2 Q6 b& E* X6 w/ ^
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)5 G# C; R+ l) y. S* [  S3 C  j
f(n)=
( {* k! O/ t4 R4 `5 M⎩9 \/ R# O5 e& t0 T9 P
⎪
4 f( ?  o5 D( T- [⎨
( A# d% ^: u# D3 H( v. Q⎪, S5 f+ K: e3 l0 Q* G& ]: E' |
⎧
+ V9 Q3 G. b* }4 j) @ / m( y: z! p- C" f/ E

: A2 {) Q  s  s9 A9 e; G/ U% r1
8 @; `1 b. @$ k# S' X* E% B1- Q8 X1 u9 B- ^: M! ?) ?" ?
f(n−1)+f(n−2)
: W6 s- F7 s: {3 V
) u* X3 y; ?6 r9 H) j4 a" S5 z- Z$ v, R
$ M, b+ `. ?5 c+ C- d) r9 v3 a(n=0)
- Q& a1 P: c' f: P  M(n=1)6 _5 [2 V# l9 u5 p, @  T. f
(n>2)3 Z1 U. `2 e9 j
+ k3 y* h4 O0 h( n( c& C) Z$ B

+ ^- J. Z: H# ^对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：. k; C2 v0 b  s1 T, U" t/ }" R7 O
3 q* z6 q: z' |4 }! g; {9 \# a
  y8 ~$ Q9 Z; o* [& a! ~
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
3 U1 R' {' q- c' z' h0 \我们通过一个动图来感受一下：
& }! H, _7 e+ N1 }5 o! J* t4 m- ^' Y) @7 f" i4 D0 ?
5 H8 A; q" `- {) _8 X' c; X& N
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
4 V- m" v: U2 x4 P% S2 c1 N% c% L这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
) U# E9 p- W" U4、广度优先搜索3 \. u9 G, z1 p* h0 N
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
8 `1 ?" V1 C% \) ~8 Z我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。" `, h! _. ]& g  T. w- R( v9 Q

4 O5 r  M7 \( [! \8 k7 k: p) x- B3 f
; V/ o" x" i6 ^1 i( o
8 F# B. [# b  S1 k* [3 ]( s
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
6 _# B; d7 o$ P, X' n3 l那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。5 t6 n+ U, E' d! ?9 X# {  y! i* a
这时候，算法和数据结构就完美结合了。' e: N0 X/ P. X( M3 y. E
2）动态规划
; |3 E, X+ Z& I" ]( h( ^& a7 [动态规划算法三要素：
2 I  d! M- P' V, g% S ①所有不同的子问题组成的表；
0 s! S8 P2 z$ W  ?! r ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；2 k( R' d8 \, P6 J! f
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
2 [) A  Q: m( H! |  z# o- a1 K3 Z: n. d( \0 g( A

, B0 k; |8 C1 z0 p/ G如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n ) q0 ^* t3 @; w9 w! @" H
t
8 Z8 _' J* d' n5 Q1 A$ u )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
3 e9 g' n4 o! u0 q+ ~& Pe
  a- X: |( I$ K/ g) g' e ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。( P' w: `/ E& A0 B, D
1、1D/1D
9 T# j# L$ i" C- Fd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
( `" v0 y+ A" fd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)2 b$ q5 }/ n+ D6 N  J/ @: ^8 d
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
! ^0 N2 F* X# ?. o
' y4 T7 r9 G8 p
. a: u3 V) N# J  @这类状态转移方程一般出现在线性模型中。& H0 }" m0 x! y+ [$ ?$ m! [4 u
2、2D/0D' I" k& I" i& L2 r9 T: y7 Z
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
$ g" r" J8 a9 _/ _$ X" ld[j]=opt(d[i−1][j]+x
1 l: ?& Z% }9 y4 a9 Vi; X# g, K) {$ z6 V0 e3 |& Q
4 g2 R/ R# p# N$ K. @
,d[j−1]+y
" [( @! W7 O' b8 ~j
# D7 c* o4 ?! e6 t1 U8 a  r! z % H# a% T; V7 s# t& @% e
,d[i−1][j−1]+z
3 r( C3 H; ]; ]! w3 g& |ij
) u8 G1 `2 @5 _9 E1 Z0 d- O' G  b . o' D. f/ C" r( r4 ^* S& ~
)7 Y' l5 q1 ?7 A2 p2 m/ W
状态转移如图四所示：
' x4 I8 K6 L. e; l  b' g* U; j0 z( S% ?7 Q

& U8 j1 B+ t# @3 N9 w  v- C比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。% f& d; f1 y$ O2 q( B
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
& ~5 K. i6 T' b; j/ |$ v; ?: `3 p有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
. O# r" [% i6 t( e# l8 I4 Q) s+ N3、2D/1D
) q; F% g9 n8 \8 Cd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
" ~+ S& G& v9 k; \d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
# l$ c  e& g! v区间模型常用方程，如图所示：
" E  Q& m% t! i- B6 E# @# U% P0 c" \, o, k) i' |$ S

6 U9 x. \! B) _另外一种常用的 2D/1D 的方程为：1 }  i- t/ v" c7 Z
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
* G; d: S7 J  a# Y. n- ~9 Ud[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)  y6 J6 c9 W, j  Z- J
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP, l% c6 H! W: U/ k- [- d, K' Q2 l
4、2D/2D1 ^6 m! C* `5 `
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
! T" s1 Y) H% W0 q( g( z" u6 Kd[j]=opt(d[i % r' R7 C; Q2 s: b
′2 y4 `3 [. ^1 W' ^& L
][j
" z: \" [( |0 b0 i  a/ N′7 w) u! q( H: s( L% y
]+w(i + x' T& k2 n1 z# d4 b; A+ m
′  D/ k. A  z$ E( V
,j ( N: L( {8 z+ }9 |6 U
′
: o8 j% Q3 x0 }5 I5 ]. i# Z/ ^ ,i,j)∣0<=i ; p8 H$ J# H7 x7 j$ Z$ e4 P
′& \. B! c. x7 W9 ^/ G, K
<i,0<=j
9 u( G# I2 |% M. ~* I0 e4 J′2 t8 y6 c4 p  N+ r5 U  R
<j)
( s* F; n% g1 k5 d" E7 q如图所示：
4 d0 o8 f; N) M
1 F& ^9 y! `9 J# \3 h, T( w
; H+ Z. X% N8 K( C常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。" k# l/ ?6 Q6 w2 i/ f# C! L7 c
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
; g) c) b1 }! T! N" rt+e
& f; l4 C" I1 u9 J )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
& G2 s$ H7 [: R0 ~t
- ~# N# E$ i# f9 U/ c ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。, l: h! x: m, n8 [& E% N
3）计算几何0 e& E, F7 t/ \6 L/ q- w9 v" T5 ]
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。1 i2 i  \, F/ |; k- G4 o) h
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。9 s0 i- q: L! q/ `9 K6 J
1、double 代替 float" Y' B! s$ l2 E$ p% @. C
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
0 p0 Y* B( F* o. k8 U2 c0 X2、浮点数判定
* J" n$ z1 n6 m( k8 ^5 T* v7 M# c由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
/ @& `4 j( A7 E3 E8 s6 u0 [两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：2 U+ z% V4 T5 ^4 U! h
const double eps = 1e-8;! `& ^/ `) m# v
bool EQ(double a, double b) {
6 D/ i% v8 S2 p: t# ]0 m. F return fabs(a - b) < eps;! o9 C: g6 f6 T, Q+ E2 q
}
) o" @- `, T8 N1: M1 v5 _6 X4 L, l. k# I
2
. m0 @6 @2 b) ?6 e; z/ G' I3
0 @; P0 j3 O! V0 @6 l4
4 t* w3 Y4 B9 i! `1 I并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
) \4 v5 D7 W8 B+ y0 Kint threeValue(double d) {2 \3 D3 q! }# ]. I
if (fabs(d) < eps)
  H) t; q* V" \: v* p       return 0;
; R, V) Q) n' ^! n return d > 0 ? 1 : -1;
( M3 y: ]* J0 f2 d- m. U}$ R8 V/ S  p0 L8 y2 c. b2 |
1
; C( d5 I" f6 R2 p9 F5 V# {21 b& ~' Y$ _4 W! L
3
6 A! {; L/ P" d4) y9 O. Z: |0 J/ h0 C7 p9 G
5
0 u. J& P0 q; N9 K3、负零判定6 |. `8 @" c, @' Z! }( R
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：" w! p. d+ D" K" R# ~8 V# Q
double v = -0.0000000001;
& E5 Q4 a$ `) s! @; d0 G1 A9 | printf("%.2lf\n", v);) g, V/ A+ d  k! S9 S6 l
1
/ m9 V$ O1 I) }/ d, t" @' j, V  }2( _1 C  R. x% l: t+ P
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
) I5 H' O% t- M8 Q+ Q double v = -0.0000000001;1 A1 n- m, z6 B9 Q. I
if(threeValue(v) == 0) {
( ^8 Q% y. u. n3 F       v = fabs(v);/ ^% {& I" f; L, {# z
}0 g3 ^* Y, G& h& u! V( j
printf("%.2lf\n", v);( a+ o; ?- U, S( z  M4 A* _
1# [- J1 x, v( X% X& s
2
& m. i( A1 v/ F3 o/ e7 P3
( R) w' x4 r) y0 @: S8 Z4
9 Z& R, T/ U% l0 d# B50 w( T! Y( e2 i( p8 F- m
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
7 t5 U( h  y: q. n% R) @+ jc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
' R# t! v0 v9 B. {( Y( o7 n除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。' M, v; \0 u! u
5、系统性的学习
+ ?  @9 F: C, P8 }+ K* A基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；' k; d( F3 Q7 H+ o+ N
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；/ s5 X4 _$ ]2 ^
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
- R" Q2 x: ^& s& T) N# X. G( @
7 L+ S2 E4 g. P- L8 ~' w+ {$ z+ d6 X
  H8 l% ~  c2 }+ A/ _学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
+ J7 Y) s% X5 u6 V1 R  h' \/ Z8 n; g4）数论$ l8 u& V: `8 x: n0 G
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
, D  T; k- s  `3 Z9 ~数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。3 @/ B( |# I/ L* ?( w
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。% @/ L* w" W  e1 t$ S
1、数论入门
8 s- b" L. R* q5 s  _主要是一些基本概念，诸如：
. b$ [4 F$ O+ D8 q% ^* n3 n整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；; B8 R3 h3 h1 V. z+ @, n
2、数论四大定理
+ L' \2 e' D! p4 K9 H7 T2 r这四个定理学完，可以KO很多题：( f7 V5 f  z, }4 x
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理* V) n& X1 B5 h# s2 W: q( W
3、数论进阶, {" R5 G% _6 w# T# y9 `2 B4 }
系统性的学习，基本也就这些内容了：
8 C  j  l" O2 D! e扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
# f5 U$ I: ]! o$ ~, Q+ z5）字符串匹配
' i! c3 S1 _* p6 S字符串匹配学习路线比较明确。2 ]1 g9 w5 ^0 k3 ?4 T
先学习前缀匹配：字典树。! u+ a4 d# V% i+ q: T+ R) {3 M
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。, Q2 L  M) k' t2 K7 ~. n3 \
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
* j3 B! v# D8 j) `* X% Q: [6 X* n实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。5 A5 U7 o/ v+ c. r2 R
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
5 y0 x5 ^8 H! l+ t2 t5 ]0 ~% _关于算法学习路线的内容到这里就结束了。" V$ o' w  {: b1 x# C. }
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
$ G: o: S4 I5 a! }. ~参考资料/ g7 u5 e0 u% l! J+ E# o1 X3 o
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）& \% ~+ f: }3 F  e' C
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
; n. h4 [* ^5 v- h* y+ r【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）( n3 k- e4 I9 Z: I; p: `2 a9 F4 h
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
+ u% s# L2 r6 m————————————————
8 v* ~: R, N+ Q2 }7 N# Y版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
2 R& e+ S8 G1 l  x6 _原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
8 @( ?% e1 |1 t5 w5 r8 c  W5 p- k; |( s" W- I8 l4 d
# D1 _3 r% m& X0 n