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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
3 h0 Z+ a3 [& c  x边的结构体声明如下：
& u: y/ x6 @5 p1 L- K, @struct Edge {* g: u/ R6 j( W  T- p! P! A3 l
int u, v, w, next;
7 w- s% \) ~, H Edge() {}% s! f  J* i$ c0 T. K/ d: Z
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :3 b& _5 g5 x& F; N- v& w1 R) _
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) ! |4 R3 j; k  X9 ]+ U0 Q) e
{
8 u# J9 s' M$ [+ _! U  P }' u( P  y4 z" t2 s& O2 v8 N; `
}edge[maxm];/ x# u4 p/ G( z' m. u% m' U
1
5 n' H0 E, }  i' o2% _- R0 r8 g& |1 T! T
37 T% T5 g4 _# l6 K# \% d
4& O& J1 H: t1 }: a5 K: P, d
5. L* N# o* E, Q& d5 h. ~$ v0 H# o
6
  \% _, c8 d/ Q  U' y  V5 E; A; M7: Y, |1 ?9 R1 ]9 U7 C( j% d
82 c0 B. [$ d( l2 w
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
! q: i1 |* K  U* ?0 T  s" e. }$ T每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
; k6 D7 d4 J' ^9 U7 {void addEdge(int u, int v, int w) {
8 v  q4 M( m$ \ edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);& f! O- s6 f8 K$ W9 M0 ~
head = edgeCount++;
1 `6 P1 |3 ~" |: `5 u2 `# w  p}+ }  l5 j8 O2 v: q8 R. ~. K
13 L# h- M. @$ J0 c6 @  ]! a! \9 p
2
* w7 C) Q" a. |' A  I" m& }: r38 J5 l  a( L! ?9 K7 [
4
/ K. A' m- b# {2 e/ A- l7 S这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
% N# r8 l. A1 S$ D+ \" y  Y调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
# `" }9 B( U* Bfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
( z  a2 l3 y& `# I int v = edges[e].v;2 y+ p: p1 v1 t: ]/ P) z8 a
ValueType w = edges[e].w;
+ p* b, A6 X/ f ...& P! J! V+ Y* ^- E+ {* X6 ^7 T
}
" u. L( u. T! V2 c1 W1
  U( F# K; `5 B0 v) Q  J# R2
8 O( N+ |7 Z9 W1 h3
0 {4 Q. d* G* S% T) J4
* V  C9 q+ ]3 N! M6 p- |5
) Q2 f4 m" H6 y' h" {8 q文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。' m6 V7 q- q( P! a: x
4、算法入门
; [$ i; X1 `# u$ ?5 U算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
0 y' P) ]8 p' \* ]/ [: V
+ I  S4 {! E6 N  V2 r
5 u( P. e4 t) z5 L入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
' r$ l& V3 T; r# v& S; x对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
4 ]( L$ d+ [/ q3 f* j1、枚举
8 N  E9 @/ W6 x: V枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
' S& T- S( ?1 L9 T对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。4 v; }) e8 p1 \2 t) g! f
2、排序3 c9 y1 `( ]! X6 a6 u( Q7 G; q
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
" T0 m: w3 N: H' h, C. ?+ }冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
" U0 d. ?: ~. s7 Z8 e) ~9 MC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。$ r3 [! c5 v' v2 L- m7 g0 U3 f2 \+ P
3、模拟. |) B) w3 J- N; Q9 q, n! ]2 \& _
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。$ b( }/ {( d- K" p
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
; i( V& ?! o  r3 W% Z但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
4 Q" g6 @! r2 O4、二分
5 `3 E# X; V% A$ H" z& B! c2 x二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。% U/ Y7 @; ?" m% n- M$ C
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：) v1 `( w# N  |. C& _
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；& k& g$ V1 O$ V9 I4 Q
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
) T5 W6 V# t+ A0 l6 {" T, P! _ 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
) }5 D8 C" |1 U& }2 d 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；2 W0 \. A) M, \% ?* U
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
1 t. F: L5 |5 O3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
. P# m; m# g. }* L0 \; V5、双指针3 Z' t* d3 g, h4 b& [2 j
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
2 [: _- U4 E( @% [: g; E; i6 ]' t2 s( n. X% t

$ ~2 L( f( w$ \( `6、差分法
$ n. i6 ~, n! U6 o1 Q7 s0 F  t& k9 r差分法一般配合前缀和。
& a. N, t! R  q4 |  a对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；4 ~! U- }4 b4 b" c6 Z2 @! v
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
( N2 }, y. {) ^  M0 Yx7 Z. f5 s/ z- x$ w# U

( e( r$ Z1 Y5 a. g2 b ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 7 w1 T2 j5 Z# _/ B' O6 \0 d
r
# b/ s9 t) d+ Y, Q2 M
/ K+ S2 [/ q) f −g - j5 j8 c( L7 m) S' ]  t* U' ^! M8 |
l−1
* O: h! m( n- S& W) ^3 k, L5 M
; W  \# C7 H! S- L, m9 ^ ；分别用同样的方法求出 g r g_rg - A1 A  i6 i+ ], N; n* F) u- h& j
r9 b* \8 n6 D' p
; x' ~% n; b5 o
  和 g l − 1 g_{l-1}g
( |& b, w5 J, L7 xl−1
. \" t( `" `& _7 v2 |
* I( }- M, n! D. n ，再相减即可；0 s5 f& s; ]& A( Z- Z$ b

% W' h* j1 _: g$ p7 `: ~, m
. T' h  t& S! M: p7、位运算( U+ g6 V+ L# w) y+ [2 x
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
7 ?& b4 K( ]* d( f位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
& D- ]3 u  R3 }) P2 j  I/ |布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
' C* w* O+ K- k如图所示：
9 a$ z) x3 N9 m# a- u* W, L( T$ Y) u  S. m4 ]+ r' u) r

9 w. f4 ]; L8 A( K8 m/ _/ o) h( J位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
5 p5 u5 x9 r5 Z9 j3 s: ~比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
4 T$ J8 j- ^3 {: ?$ z1 ~/ p1 Z( Z!(x & (x - 1))
7 d, n, O5 U, z+ `' F) [1
3 @& Q4 M7 [. J; A% X' M7 g; s8、贪心4 K+ v: f  l; q% u4 ?  {. z' R
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。7 s! K5 p" T6 A& L0 r# t& ^
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
) [6 k: K  `; P% j9、迭代% q7 S- Q& D% b( B/ E8 A$ }
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。8 ?$ w3 @' b3 |" J" }. c( @
10、分治
" j" k, C5 A& F" o7 A- v' F分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。7 q, @0 F6 o, i
5、算法进阶
+ u) }% {; X8 v- {& e' w算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
$ T% b3 }- Z$ T2 ^4 p如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。8 x8 z3 G' i' `; H8 V: b
这个系列主要分为以下几个大块内容：' G4 Q. @: a9 l$ U' a
1）图论8 Y  {* \: z5 K" F9 B* K
2）动态规划
% X$ v: _! _! Y; T! L: i% W9 z 3）计算几何. V. t: c: K8 E# T7 Q8 {
4）数论
/ d4 u& F& P- ~8 x 5）字符串匹配; R! w. ?- k! B6 V8 R8 j/ W
6）高级数据结构（课本上学不到的）
$ _  U4 A7 Z: `# ]( j" B: E 7）杂项算法: B7 H) P: o$ ~& O; x

/ |, U! X7 [) i$ r! }' X& `; m
& Z+ Q4 C' ~: R9 ?! a先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
4 w. v# w+ q, R1 F
1 s) t2 F7 l, N' F, z& ~4 s0 {- v9 a; u7 o

" a: Y, G( f  |$ V" B3 x- ^' a6 O( l! R3 F5 P0 _
1）图论
- }0 Q, ^$ f, Z' c1、搜索概览' M* f  P0 Y+ w, y5 K' ^
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。4 n9 n( B8 X7 Z+ I7 K, w7 `

* }. G+ }# q* b# q2 u0 E1 o
! Q" e; I( h6 q% O. B比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
2 p5 q- N9 B/ ?0 `; K& \2 J  z2、深度优先搜索: A, v6 E* N; G* z
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；$ Q- k; ~# x( V3 p$ N/ k8 l( l
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
- `- n: e2 l, r. m% V但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。+ q: U2 ]4 E% A/ y( ?3 j4 q
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
1 Z  j- n! ]# S, Y4 F/ g( g5 S% L- K
5 Y+ ~+ W. K! l! K6 c
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
5 y: y8 U) M0 U+ I, a 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 66 @  E, R. f/ N! w* {
1, {! s2 a/ L. N, ?5 b7 ~
同样，搜索的例子还有：2 _+ g  T3 _3 ]
, C6 [% K6 X' O" ?

) P, Q8 D* H! m* D2 X# l! A计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。* _$ q8 {6 w8 y: K1 j& m6 u
3、记忆化搜索
- H' `$ T; l, x. D5 }$ E% T对于斐波那契函数的求解，如下所示：
) Q. c9 v' G  _f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
1 W6 o% w3 p% r4 J; ^⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)9 r" V2 r. J1 O) i( n. F5 A/ O5 l5 @
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
+ \: T( d* c& C0 u+ }) }; F8 ?& K7 mf(n)=
6 s; _( r5 L* q" }) o( Q⎩/ h' i. H  w+ G4 w* O* ^4 K5 P" K7 C
⎪
& S3 i6 _, ~5 c/ P/ U⎨
! `% Y. k7 z9 o1 n4 Q7 |0 U! w; s⎪2 H% T/ K3 v$ r8 j3 ~
⎧8 Z, H" f3 i' g) j$ [% T

# s3 d$ k2 `. ~  8 B. W0 \8 S: n5 f$ ^; K
1  L0 _# G% l3 S5 o
11 |  X; U1 V" ]
f(n−1)+f(n−2)/ B7 [7 ?2 M. G
4 t, C  b$ D' |/ A: Q4 V% s

; |) v8 }' `6 i# D3 z(n=0)
& J( I$ `# @5 ]; @(n=1)+ n! g% G* I, i- ]" h* J/ I, p, @
(n>2)
0 G4 e$ V8 K  o) [" S- x 4 o9 Q) T# l9 E, }9 k. @
0 Z2 q0 a$ r& c6 B8 ?
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：1 x8 T4 c: R* n6 |& ?
$ i! R. n- ~5 C3 k) J. G8 T. j

. Z! J4 [; Q* q/ m( L4 y这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。- Y# o+ R$ |3 L  a2 t/ P. @7 s* r
我们通过一个动图来感受一下：6 p. i' ]7 r+ B+ h7 U2 @" P
  A+ {, g$ y7 o4 i
, V" Q( s4 _: A$ l' ~
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
* [! z( G) x# s: h这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。. Y; e5 g5 n: j6 Y; \! Q
4、广度优先搜索, B& d- D/ p" ^  N( a
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
! h% \4 u0 v  m1 y5 T' L1 s. Y我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。; p. _: @! u2 X5 t9 b
6 K3 F/ x. T, h9 b2 Z6 f- k

8 \+ s$ l6 G2 a, N# R
7 W: `  `5 }+ J; K" ]+ A" |/ R! J9 ^3 a+ p. T6 C9 _- h
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
  ?! l$ M* s$ y! r* }' r那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。- L1 K$ ]  q1 i; j: O2 {, f1 X
这时候，算法和数据结构就完美结合了。: z3 k* i6 ]$ \! d3 G
2）动态规划& h# E9 G. o/ l( ~
动态规划算法三要素：
+ C( c5 D" j$ [8 m: c; n7 U ①所有不同的子问题组成的表；
8 Z( x7 p' u7 z0 G# I( {& g ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
# n1 S5 l4 O) m& `6 C ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；$ M0 r8 c- e7 n2 C- h/ P2 d
3 s8 z$ {; e& C
" H! ^" e7 K5 C! e- P5 Z
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
6 k7 C# x. C9 `t
2 j" S0 e: q/ `& H% d9 v( [ )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
5 G5 o( h: R0 W/ \7 ~) \e
; C3 H+ u3 v5 V/ i0 s ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。) [  }1 l! S" `& o
1、1D/1D
" e* V  S$ z- O$ f5 i, `5 w6 {d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )0 b, z( }( N; L
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
4 x6 B: @  J3 |! t9 H# P状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：7 \: t8 ^7 u  L1 j

# K& D5 D5 T* f9 X) j
6 v; a% {) P( b$ ^- C这类状态转移方程一般出现在线性模型中。/ d3 t0 P. B; J$ x5 |
2、2D/0D! _0 u2 n7 [/ `: J% }
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )' r8 F  o% v3 b
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
" M- T) e0 o: di
( ~# U- v0 B0 o( Y  ^ $ J3 t5 U) N- Q. o. {
,d[j−1]+y , u) G3 `% r) K3 Z' j( P8 `
j
, x/ t$ b4 B6 t, N2 p, e
4 F8 f: z4 I- M$ B! b ,d[i−1][j−1]+z
8 K* h9 r% p( ?! Bij% l0 [$ G3 m$ |: I# x9 B
( F! e6 G/ ?( V# c8 ~& @7 ~
)) z( k( _1 `8 ^( ~  Z
状态转移如图四所示：
" U. A, i+ ~& E* [' q0 u& w( T/ h5 e# R7 }
9 d( _4 u& e0 c
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。* @6 L! r5 u; |3 F
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列: X0 |8 _/ i; d0 x, A' I9 V
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离3 x! l* F/ k! c5 h. m" B) G  P0 q
3、2D/1D
4 F+ V) P3 n- F9 U% Cd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )' B0 `! Q2 F2 u6 n* ~8 [8 N: |
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])4 a0 x$ f/ H( m3 y1 k* ^$ n
区间模型常用方程，如图所示：' |. S4 n/ }5 h" o& Q
# a  g7 A$ O( c$ }
" y2 s' L; c1 V
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
( E" l1 u% h9 G1 J& qd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
8 d$ b, [8 N7 A, R2 ]* ^. e+ Y2 @d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
9 _6 W# i$ X6 {! O- f( v- x9 Q# J7 z) j区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP. R1 ~- e, f4 D' Q. {3 ?
4、2D/2D
# I0 {' l( r. g$ Jd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
2 o0 _" F. l% xd[j]=opt(d[i + S$ |6 r( ~' Z3 [
′
; L4 o- R3 q; L& k3 Q ][j
. W- D% P% v( w& ]1 y" Q0 o′
4 Z8 y/ g# ]. l; v  X& ^* s# S ]+w(i % S1 _: J+ S/ V& v0 p$ w" n
′
& o" Z3 P% b( N; }9 g1 W: Y ,j 2 h+ R: q1 P0 T' ^2 l2 ~
′
8 L" q' H3 A. y) s3 V5 ?. v ,i,j)∣0<=i
& D. o6 J1 n' ?) I′& t" u! [+ Q* o2 ?
<i,0<=j 5 f4 `) X! i$ p
′3 y& J" k* x9 s7 E4 j, j
<j)- z/ G8 @% p- \- u6 a2 ?
如图所示：# N! a. s* F& b9 R
, n/ m& K; H1 K- ^) P1 _. l

0 m) b- x5 T0 Q7 y7 N( f' o常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
- O# r2 o- j7 I8 N; T对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
# Q+ V' L  c; F" ]; L* Vt+e9 [+ v: l, G) W' c8 K
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n , n  {$ R6 i& m+ {$ ?
t1 J5 M' a2 g' P
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。# ^  f' M1 o6 H1 h
3）计算几何: y1 P* Q& U1 i
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。' y: Q9 k' _: f" T. C: r
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
1、double 代替 float
/ _" m' s6 U. Y( j! j% W+ ]c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
  R! }3 k+ `4 o$ X2、浮点数判定  j! G. G% Q: |  H1 W
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
; V9 X0 z& _1 D7 q4 ?两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：9 S: M2 w: j* _
const double eps = 1e-8;
$ A& d4 R: E3 r% |% K" S# ~# y" O8 B% abool EQ(double a, double b) {6 [1 k9 k3 T) h
return fabs(a - b) < eps;5 I. G- Y/ L* \$ R- J3 O' K
}
/ Q5 }  \. e+ P0 g0 X1
! U" q; v2 k* x4 w" k2" I# v, D, N9 z
3
8 r- f2 A+ D: m& w2 ]4
8 `8 l* M8 ^; O' m并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：! ?5 Z+ ?( t& `
int threeValue(double d) {3 {  o" y, e3 {' u( b
if (fabs(d) < eps)
2 X' c6 ^2 e. Z- j$ C       return 0;
6 H7 T6 Z2 s) `9 T" o5 { return d > 0 ? 1 : -1;: n3 V  d; {- a  i
}
8 c/ ]2 o5 i5 V3 ?+ [9 g8 j% T18 N2 d, c$ R) `  J
2
/ N/ A. K9 \: T) ^* \5 q/ G3, }0 q6 P  d* `8 w
4
! F! m1 K% E) N, n3 D& [9 m55 F# f& y2 ^2 g. `4 u0 b
3、负零判定
8 T4 @3 Y7 m+ a1 L, N: i因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：( x( W( f) \& f0 q# s. `- M
double v = -0.0000000001;" P# `, J! B. a) X5 p
printf("%.2lf\n", v);
$ J# L/ z- m5 A1; g* H' a. U- Q1 ?
2
* {; {8 @/ L2 r3 O; `4 ?避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
: x  [$ @' b4 l0 L7 ?5 V double v = -0.0000000001;; J$ ?$ T- C/ a  D5 [5 n% X
if(threeValue(v) == 0) {  Q$ f) T0 j* c4 M/ c8 f
      v = fabs(v);
. p5 \: m) X8 B( t& N }+ v/ ?( E# T( ?' D( L6 }9 x* y9 D' s
printf("%.2lf\n", v);
. ~5 r* n% z2 g4 q% B7 s& J: z% V2 T10 A% @+ h9 N% c" @, t# F: X( k3 _
2
9 b# R8 f1 V3 J  }" R3: h- t6 _/ V5 U/ B
4
; _/ q1 @! b: h) K$ d5- B1 D4 ?, k" l( [
4、避免三角函数、对数、开方、除法等" z3 [* n" x9 m2 j
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
) D5 q! H5 N3 `, }除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
& T' n: O+ s* ]5、系统性的学习* \! ]) `) Y; Y9 P
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；% X9 j' ]6 m8 }) U. ?  s
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；1 d* l8 J! U1 \! s
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。0 e+ s  x' Y1 S" J
' R# O: G, n! b# @9 K
: x2 @! y8 ~* g
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
8 f2 e7 ?9 y  B$ L% W3 u3 M4）数论
5 b  L/ J: f, r刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！0 l) `" X4 i& F* I  C  O
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
- c. Q# N9 l: t& H# j. O! n9 p1 C当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。/ B3 V- ^4 z2 q! ^8 a
1、数论入门
7 h8 `- y& k, y! u3 q' h  a: }主要是一些基本概念，诸如：
$ h; J, Q" Q8 O0 c8 T/ D, g5 ?整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
5 H/ I9 Q) L2 n1 R2 ?4 V2 L  r- E2、数论四大定理1 C- i; G8 B3 Z. E
这四个定理学完，可以KO很多题：
- B) |/ b; s3 G8 d: v/ P# y6 D欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
" ~" B; {/ `. r; ]  y3、数论进阶4 |' E0 Y6 U/ }2 e# z
系统性的学习，基本也就这些内容了：, x; N8 k6 w# V: ^! O, y
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。2 @. B; ~' _7 t
5）字符串匹配
9 e9 S  t% W) ]  u* B字符串匹配学习路线比较明确。! K+ b  j6 O0 Y& F
先学习前缀匹配：字典树。3 V' J7 S& @! a( v/ Q
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。5 g$ L/ ^! M; u
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
- j+ j6 }- q' ?7 l3 u6 I/ C实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
. Y0 ?' d. H: H3 ?9 W然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
+ j9 }" h* a7 t关于算法学习路线的内容到这里就结束了。  M" ?, P0 y% v  ~( G4 y8 S
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
$ i4 o; P& `; Y7 L" e( K参考资料1 o* I9 U0 E( v7 K
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
' u/ E6 m. C, Z# ~8 Q【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）9 T$ [# W7 Y3 V; H/ {' ^7 T, X. }
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）# S  X& D% ?  U* k. r& }
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）7 c3 z/ a) L0 z6 X
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