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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
0 s+ L/ S8 I( R5 t1 X' t5 W4 f# \边的结构体声明如下：
! {2 J: k5 J9 f3 E" Astruct Edge {
# o2 R# A8 |0 ?8 T7 j9 L: _ int u, v, w, next;
! b; D6 O/ a, n" c" `! y, ?, } Edge() {}' K7 \) F$ {7 {" @) [! n% K
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
+ B  X( H- a! p9 C) O. E4 j  s2 K       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) % E, F/ g1 u7 I" a# g
{4 t) @7 @3 M$ o, v& Y
}
3 Z$ K: N% n" P5 Z3 j; }  a- ]}edge[maxm];, h( _4 g% @4 e) K
1- |' Y' G8 d  B7 K' m( u# ^5 u
2
. V: E' O5 L6 F% c7 {, {. V/ [; t3
0 w  S2 g- Y2 Q4
* a! [2 |. u# K& C6 ]5
. X6 {% }7 z" @7 `! d' j6" E# |9 b+ }2 [% W( i8 v& {" J, k# |
7
: B! M+ C' \6 H# N# n" f88 |7 R- X8 m6 @0 x4 }8 v& k% V
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
/ ^- `* |6 P; f) {# _$ R. c每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
0 c9 D0 w6 _$ `6 ~8 B8 hvoid addEdge(int u, int v, int w) {
1 ?$ [5 e! ^0 w/ r5 m% w* h& e* v edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
( F0 D: Y1 N& |  W' K) ] head = edgeCount++;
6 N( g% M2 g* _}
4 E/ k4 r6 E$ x6 W4 \+ b) q- l& u1
' r" O$ z/ S3 @+ z/ U2; Z7 @1 M/ T5 l5 Q9 N
3- A, V0 a# G7 I4 U( Z* T0 }
4
2 e4 r+ Q/ }0 t6 {; H! r这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
# M' |( w: N9 r# i- o' J; ?2 l调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。+ `6 i! X# h% @- y: W- c
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {! w$ h7 F0 _5 I6 s+ d
int v = edges[e].v;1 ~3 E9 G9 D) g
ValueType w = edges[e].w;
& `' f, [! `4 w: Y4 T) o9 @% r$ g ...9 M: Y; }' X, i
}" x6 H9 B9 X/ y
1
* L4 a2 f8 A7 g$ |  S* O9 C+ l! B2! p2 L$ u+ @, f' F2 D* z
3
, p% F; N# H* t2 b4
% v9 d, ^* ?* v) A! l52 V3 S& W3 i9 }/ {
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。$ @3 ^: m) t" K6 D4 e/ @+ ?
4、算法入门
3 ^1 S. q% ~0 h2 M. F算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
6 n( f3 ^$ i/ G7 D; U% Q- f8 @( F! L2 h* B- \/ W! Z; h
0 A' E2 s3 P) g$ G
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
8 [+ q3 B) P$ \; p对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
  T3 @9 V" J; K1、枚举
$ u7 m. Q9 i6 P# T枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。8 a: Q; g/ n* z9 Q  ]0 Y; w2 p# U
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。  X- S& d; x. P. |, E
2、排序
9 k, d/ k( q1 Z7 r; Q% I既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。" D0 S8 H( @# l1 |4 i- _/ h
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
% ^0 ?. R1 n% I, }% aC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。( T) g  {2 l: @
3、模拟
2 B$ d2 T+ a& m1 W9 f模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
7 X4 N% o" }" f; s3 G不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！" U1 o+ p( N1 ^" f
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
5 ^. U: g* k1 H: v* K+ |' p. B4、二分
$ C' R& j: C! Z0 d2 j二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
- W; F5 L5 y* B3 \例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
! b9 H( m8 |6 s- L7 ?8 y. n1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；+ @3 Q7 P, \0 O) a9 z) U
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：- X8 x% A1 V! N: v5 P# [
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；. W+ L3 p( `$ i% l% \
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；3 O4 m3 K2 b) t" h) d
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；" E2 m$ h- t! `; k
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
5 o$ M5 `- K) @9 F5、双指针4 i2 s- }5 a- n2 {% _9 j* t
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
' j3 s, A6 C) {. X3 }. t7 Q6 S+ v5 w$ L; x, S2 F! s) z6 H) k
0 p8 o  Z  B/ z$ k. y. |
6、差分法
  a. X  Q8 k/ F) H1 V, ]: o, o" V差分法一般配合前缀和。
$ [# X7 |7 w( ^4 k' E# @  g对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
; o  y7 `4 ?$ I4 }/ L假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
- ?9 e  \- ]: D- y3 f; W& ~x
& x8 P! }, [! R- [0 P / r% v- J0 n% P- k+ T+ g0 Q8 v
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 6 o5 a( `6 Q  a) t% n8 D9 R# w0 R
r
0 K; N( r& ~1 B1 }# ]2 O
% E& g0 j- Q0 w  i −g
! j3 p. G8 d9 g( I+ i& `l−1
- {. G$ c7 j2 P# {1 d5 x5 t5 d
" ~# ~- T" C/ L* W/ |9 n) S ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
! X0 P5 V9 I9 i0 Br: ]- [2 y* s6 S. s# r

8 p9 v" D- n' u0 d0 }2 ]$ c0 p6 A, g  和 g l − 1 g_{l-1}g
, O/ x6 Y0 M: b* xl−1: r, [& r3 d! L( y# Q& G* f

/ |8 `/ R4 u% x7 Y, f" P! y) } ，再相减即可；2 S4 g: g9 N8 o7 L$ U
3 A! r) |; \! a: Y

, W: l  i3 n: f. M+ p7、位运算5 w" C6 ?/ ^% F5 j8 e* u- `6 [
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。  R0 a( J/ C. v0 v4 R7 q+ u2 d
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
% t1 n  l* Q8 ?2 N/ P" _0 j& C布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。6 M0 H  ?7 ^. Z/ P7 S: ~1 Z
如图所示：
0 o) I% ?' m1 ^$ \1 p& o+ q0 {2 r- K0 z; t; O0 A+ v3 ^

% U* v# D: p( M+ k位运算的特点是语句短，但是可以干大事！, G8 @6 s; D$ N3 r! m3 v$ }
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：5 e2 L2 J+ i( O" G5 ^# ~: X* Q; z
!(x & (x - 1))+ V: T! G* o$ N1 u3 t) A# T4 Z
1, k9 }3 p2 L+ B2 s1 [" F
8、贪心% G( v+ ]- X9 M) Q! O+ k- G
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
  P3 U8 E4 u$ t" g8 n所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。% L; v1 M( E2 W4 E! f) t% J
9、迭代( w  Q: r& ?% Q( a, ]4 [, P  s
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
' J0 D& i( B% }+ V4 y9 D10、分治
# V, A3 `3 H$ C3 X分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
1 {; t2 b) q& Q- R8 F5、算法进阶
9 f. F+ ?# B( W- r9 h) B算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
  I8 `  b- Y! b2 ]" v+ \! k如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
  s% }4 P" A3 a) A/ \; H9 }9 j这个系列主要分为以下几个大块内容：
9 G6 R/ S3 l/ E( P% v( D) N7 \ 1）图论
( Y8 H: j! h9 _; |) m0 u5 C 2）动态规划. s6 j6 B: j+ G, u
3）计算几何% s/ }$ I: A! J9 k
4）数论
; G, f$ v, |) ?( K5 g3 N- s 5）字符串匹配! i7 d5 o8 h; O. l1 @: f8 t
6）高级数据结构（课本上学不到的）
! V! U9 x4 c+ ] 7）杂项算法5 @( ^# [# m1 E. ^2 l

+ V! m2 Y: ?; y, F3 |: q: H1 D3 C( n4 X  I- \+ {5 O( J: M
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
5 L$ [3 ?  p1 g/ G# o* v8 A4 z, m7 e% d% m$ ?5 A1 I9 c
/ X% Y' ?5 e! p* A* `5 c8 m

4 V. O+ ?0 @7 G* X+ a, r
+ ?' X3 B" n- H* S: [1）图论
$ O& z9 p. U; z- {. b; H1、搜索概览' ]% y" Y4 Z4 C" h% e4 ?! R8 t
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
1 {3 }3 e% m" i6 j
8 l; @  x! _2 A2 ?  o2 Y0 b; J5 P- Y2 s" c2 D, z% w2 _( P
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。2 S) C1 F* M2 f; Z  W
2、深度优先搜索
# z' {$ c2 Z- G0 c+ }8 T+ {2 ~深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
8 k/ t! R% o0 `  ]6 U原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。, I5 ?+ M0 a* P  K
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
$ ^0 S* D6 t3 f+ V如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
; u& \0 ?; m* c  M( ?+ o' C8 B6 [

( x. Q6 _9 t9 E! j* Q, {8 D红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
# ?9 E" U+ F5 Y5 R4 m, o% H- U 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
3 z7 @0 s. w& a: s1
4 y( g  l3 x0 Z  m1 Q2 b同样，搜索的例子还有：
& |# x: J0 S8 U& @9 ~- [0 Q# C9 E6 ~% [- S) ^7 l8 K* |) K; m8 H

6 H: g5 M  [  v4 \, o3 x" C' n计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。7 e% j$ F6 r' a6 R9 C6 h7 ^
3、记忆化搜索" A- R1 [8 `5 p9 k9 J' {# R
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
$ T' ?0 c+ [/ `! q. g5 ~, Rf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =2 r( U; C7 o3 ?
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)  O. a2 V- R6 z$ \; q: ], C) \
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)# m& A* U0 @* L) o2 e. g( n
f(n)= " P  j2 D# G" D8 ~, K0 n
⎩5 @3 l" A( F( C7 p1 U
⎪" n0 U1 I/ F' h2 a8 H
⎨
( }2 Q6 N" E: d, e⎪. \  E; |8 o- D1 O6 R
⎧( x  g  J6 U/ C; V5 X' k4 W

5 f& I5 m( r; V6 G) o
3 f! O( g# ~9 s2 ^: M# h' y1; J- [: X; `1 I* V- g
19 p' t" Z) d) _" ?! ]
f(n−1)+f(n−2)$ ~5 a! r; g) \' o  s6 N6 _; S

( f, @3 i# ~0 O: j0 c# h0 n  ) d% ^0 U; J+ D) j. I
(n=0)8 _, f2 X7 C/ B& A
(n=1)& g3 X1 w) i7 }1 z
(n>2)3 }0 r) E9 T; w' D. f

( M: d2 n6 i5 C 8 A6 @+ K' |6 V7 Y) F
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：+ i3 r7 m8 h+ k1 G' S
' N! Z9 T" r; y7 C+ D2 f

7 x) Z! v3 L7 P; I1 ?( R这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
/ r: [# K# [% c0 L我们通过一个动图来感受一下：7 P4 ~% {/ w8 m' i3 s. p! b% |
/ R8 N6 t" o2 R. P5 e
5 a4 m  [3 i0 Z+ t+ t7 I
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。; L5 x* E9 g4 B' L
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。4 Q; L5 c& B; G
4、广度优先搜索
: O- D; w3 v4 B- x0 U单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。  z# C: v/ v: b2 a
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
  \( S& h4 k. n# s3 P5 S; S5 [
6 {) K9 f. e; {3 t: t' h  z
9 j) J4 W3 G2 p
+ O: i5 S2 I% M, e) m4 _+ x7 m" L) O0 p# Y& _2 O6 y6 i8 r
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
, L) A7 u9 ]# R! ]: S& |3 ?4 k那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。, K# O2 W: F) `0 ?9 c1 Z/ F/ ]
这时候，算法和数据结构就完美结合了。/ b6 V5 f% Y3 u' ?. V$ K3 f/ y
2）动态规划
! C% H8 F: H9 M动态规划算法三要素：3 x2 n2 w+ b0 Z" ]8 L: l6 K' E
①所有不同的子问题组成的表；9 i# a5 b/ D. J  t
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
+ M# h$ v4 o# ~/ s! e4 \! u& V ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
- G) [' s& T. K4 d7 d) i) ?
0 G' W& Y' {2 `! Z; V, q. R" G% I. l; F, |2 x5 u5 h  ~- ~
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
3 R) e( @% V2 y% L' St
4 G& E  {' _+ n8 V( L2 V! z )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
3 X4 [; P, W6 h/ n$ N  z' m9 Ge: o. u- w- d% Y, x. q
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
4 h& b9 ]$ g# c/ e. r1、1D/1D5 m4 E6 v. ?3 @4 T5 S
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
; ]* v1 a0 P! Z+ w! Z7 ?d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)9 {! \! l" A% G9 H. X: T3 Q# `& }
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：- ~# `9 Q9 H* q2 ?6 l
; N5 F' t/ r0 V# S3 ?

4 j$ K* P! P: h7 H这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
3 ^5 s+ Z- o% l( b2 q2、2D/0D: d2 ?( Z8 k3 F; o
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
9 w5 P% K: P# `2 h4 s' o4 Td[j]=opt(d[i−1][j]+x 5 t3 w  O' A/ M; a# B. @
i
% G( d" ]* Q* B% }: T) {7 c# p
1 `5 J# |0 I% f. c ,d[j−1]+y " T( f! q' a" ]( G
j
7 J" Y( w# v- d
  m4 F. C5 u# J( ]& f ,d[i−1][j−1]+z
0 D+ D$ V1 P: }; b  v4 Yij
& Z5 t+ _, L8 l: m 5 E) K& z  \! q1 H1 v1 H
)9 ~! r8 s+ _' }7 D: H: g$ Q
状态转移如图四所示：
) g4 q8 ?4 D* `" X, S) I- L
3 o* m  v9 q+ b' p+ ?* e
1 X' r$ d0 f1 u# L比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
- \) j4 R' B! b- j有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列3 X8 Z! g- {7 V7 F2 ]& U
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离' O# c2 S- O& _. P9 P
3、2D/1D4 \8 r" \& N$ E
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )2 z; [% X# K# A- N5 y; {) B
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
2 ~7 U  `1 ^) H3 W7 j7 [& v  v区间模型常用方程，如图所示：
. q; Q2 ]7 L% U2 ?: a" i' D+ P& p1 F
+ I" r9 l# B5 v. a' [+ F
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：* T* H5 \8 |, X: L: V7 V9 x
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
/ X: G' B5 L) z5 I4 A( m5 ed[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
9 k  `1 N$ g6 `2 Q! M. ?2 |区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
3 ]' P5 _/ c1 ~& }( o% Y1 u4、2D/2D
5 W: o# |! R- y2 T' B* f/ bd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)+ g# ~2 t$ {! Y( P
d[j]=opt(d[i
2 O7 r. m( d* o′7 s( q2 F# u5 i% q9 V
][j
4 l- X+ q- s6 ]- J) j7 z1 ]% [′
$ ?6 V; \& t" H6 u* @ ]+w(i
+ u& a& k/ ~* X- k6 d′9 T' D) a6 x" s/ g3 X4 F
,j $ ], C9 W2 m7 r  ], J, ]5 G
′
9 }8 j9 D: i' C( k1 F ,i,j)∣0<=i 1 P9 O6 C) Z7 O9 a: h
′0 b% h# u0 ?3 a5 X% S) r' V
<i,0<=j
  i0 N+ X- Q; ^- j. U) [′
2 t$ @$ t+ e. C2 M <j)1 ]% Q5 E& o+ y( _8 N
如图所示：& e5 ]) [0 ~: Z5 T" x. i  \" P, G# H

8 r; q. D' a5 J1 Y- `
4 r9 s* `1 z3 F4 ^常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。2 G; k' l+ j* k  Q$ H
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n 2 H3 `* n: c* v) \, F& a
t+e. k* P# l% P. F( m% \/ m: e3 q
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 7 ^( {7 d+ J, z0 z. T, b0 E
t
3 @6 N/ |: ~7 F9 U3 V ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。) R5 B: M) W9 f" r2 b  F
3）计算几何! E. I9 \$ {# F' l" w
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
) R/ O8 S" V- w如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
8 Y# {* i% ~5 y8 G1、double 代替 float
: l( \/ N; F% Kc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；6 n9 U, Q5 e  r( N8 Y9 E
2、浮点数判定
+ P' J1 N, j! ^  o. \1 x由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；1 n. \+ [& s/ R9 {' u$ @( G+ x
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：8 C! z+ u! ?+ [
const double eps = 1e-8;1 D  s) y, h2 ^- K( }) B
bool EQ(double a, double b) {/ k- q$ N' ^% ?1 f
return fabs(a - b) < eps;
- }. I$ G8 r5 X# H' a& O}
+ V& U: y: K( l$ {- y$ P13 ]- a1 P4 ?4 Y. z- g) V
27 V7 ~  [' @7 A# o: W/ K
33 m. @( j' x. e3 }
4$ {. k2 F. F- q" S+ {
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：+ I6 ]8 y5 w5 o  y2 o) A9 Q; P
int threeValue(double d) {
. W+ `# p' M  ?- b if (fabs(d) < eps)6 ~# z  ~6 H+ y3 r
      return 0;; d+ G" Q/ Q# ]+ Q+ j/ Q
return d > 0 ? 1 : -1;
# i+ ^" s% O) U' [. }! I; Q}
- v/ w8 m1 G  s0 V13 c: ]. Y4 a& x- l( _- z- @
2
" ]' x' K3 H, ?8 o9 c8 _8 v3$ V3 A, w( g: C+ q! }* T6 V
4
9 U$ I  \$ @2 D5
# D. M/ \4 Q( k5 ]" l; o3、负零判定- ?: c' Z9 [+ B8 X- M9 @3 o" }# X" K
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
' E9 L7 k7 C. L! H double v = -0.0000000001;
/ |8 |. U# h2 B/ C9 q; Y: q' x( s1 u printf("%.2lf\n", v);! s+ N7 N) ^7 p8 J/ }# p3 u$ d' `
19 F" a9 o0 P' d0 d- P% H3 B
2
- W& g9 ?1 ^  E# U% W6 n8 S避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
. j- a( w% l+ f double v = -0.0000000001;
: P" M/ h8 K* p; B if(threeValue(v) == 0) {5 t$ T/ D& S/ m9 u
      v = fabs(v);+ `7 Q. D, m4 D9 d
}* w" \: ?6 m, c0 k% A" F
printf("%.2lf\n", v);% Q) j  j* g0 J) f
1$ W( C. a: J: C
2' n9 U9 S) I8 _
32 k4 E* o0 f5 o) U1 j  @% u
45 M; U$ V4 n0 c5 [! p; ]3 _& o" k: D0 a
5! T  ~: K* J5 N# Z% D# ?, |
4、避免三角函数、对数、开方、除法等' G% U( ?5 u7 M. \$ H5 L8 R
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。2 l8 Q7 f$ m' I4 r' j/ r
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
3 ~6 Z/ X1 z6 ?! I( \5、系统性的学习) V4 b! q. }8 @1 w$ J* x0 ?9 L3 ?
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；% @: ^& n" P$ r; j" q3 H- U  d
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；0 T- c9 Z3 a* B8 _- d% L- }* Q
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
$ X' t6 [! q+ f. g" q. b7 |# K4 t
: b1 A" l& c! e8 G) L
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
% Y5 h( @, H0 k' L4）数论, }& _/ _7 g/ r8 g
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
% V3 b! K3 t" p+ q数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。4 B( ^% l( n# T0 ^1 b
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。2 R: ~7 [3 {7 a1 F, @. o
1、数论入门
' A1 m; Q  Y! z  F, J- h% |0 ^主要是一些基本概念，诸如：$ e- A) j/ A, p8 a9 D
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；; H5 J0 m! @4 |1 J
2、数论四大定理; Q" V3 H5 h0 o+ e( |
这四个定理学完，可以KO很多题：
  k3 ?4 E' w# @7 J5 M' s$ t欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理1 n. i4 Z3 X, [1 |- x2 q0 a/ X! a
3、数论进阶$ a# G7 Y# H. `  V9 V4 h) d* K
系统性的学习，基本也就这些内容了：* c( ]' V" F5 }9 }& q: h, e9 }9 @- H
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。3 k% }; g( s3 h) |; |- x
5）字符串匹配. c+ M2 R% D1 [$ m
字符串匹配学习路线比较明确。0 x' {. p# B  p' g
先学习前缀匹配：字典树。7 S5 Y7 N, i$ G$ q' X$ L' m
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
) S) j! J$ m, B3 I5 o以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
7 M0 D2 S- t7 V" B3 v7 i实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。$ z% a! H, V& D
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
1 x  a6 P1 w! \6 }关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
9 c6 h( L& G5 L7 v7 u5 j如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
  k5 I; W2 b2 x4 s. u6 @8 f6 u参考资料
7 }9 d4 y4 F1 a5 M4 o8 i: V5 r【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）* x3 K. y! A: a+ W& e2 }1 }
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）  G) ~3 w: l4 N1 Q: E3 ~3 y
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
1 o/ J6 c; o5 P  U【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
1 Q, ]+ _7 u1 R: ?————————————————
6 B0 \7 d' Z# H9 D* U) _% u版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
) t8 X# X8 l: F原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
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