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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。( B' ?" D6 m. f
边的结构体声明如下：! N# p1 [7 V& {
struct Edge {4 C, @! k1 W* w
int u, v, w, next;
3 O6 q" U; {) ^# x) _- Q Edge() {}
9 y3 z0 o5 h6 j) h Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :. j1 M* v% N. h. F# o
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
) w' l) t' r  E9 @9 R {
: [  Q1 L. w9 q. G9 u }
+ x- G: a* D& C}edge[maxm];
7 |9 ?1 Z4 I' ^8 L- ~+ ]3 m. }15 H- y! d- k0 R7 g- e8 |% o4 s
28 K3 |$ Y5 a3 k6 A/ W; V9 F
35 o6 {: a6 Z0 e9 n9 s$ N1 P
47 z% W, W! \0 [
5) R2 x4 J- u2 E0 N: m/ R& v8 E8 I
6
( g* {( Q8 M" j" ~/ m1 R9 F7
3 x- o8 X( Z' Q8
! a$ s# r/ f$ I  Q$ n8 `( y" B$ _初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
( }' _! \/ y" {5 g/ C4 R% ?每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
/ F' t+ r4 _/ d+ \void addEdge(int u, int v, int w) {! U9 ~+ @( H8 \2 F
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);& w+ [: @5 N' n5 n& _2 W
head = edgeCount++;
+ f9 ]* V! Z8 h( Z* b* X8 @}6 p6 N" m! V( o* q7 F1 n
1. v$ F7 m! h/ s* u$ \' k
2; i5 z) E  a% ?  F% L
3- u' n% x2 q. Y3 Z
4
+ E* X0 T5 i, c: c( a0 W" ~, H/ H$ F这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。5 z% c! P! {! |
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。; ~* X: N0 D# [  R* b- ?) O/ I; b2 r
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {2 F  V2 H9 e2 o( }1 O
int v = edges[e].v;# `6 r: W+ `; }2 A  P
ValueType w = edges[e].w;
% a# M' Q, F% E6 ] ..." H" Y( ^  C. j; F/ D8 D
}3 F: H! P( ^* v. {  D
1
* o% T. L; v' B: l" e1 |) f9 q3 K2
3
6 A! J6 g* g$ V% l& y9 B/ }% K- m4( O5 E9 _" _) O& t# e# u" d$ T" P
56 Z* J4 V9 t( z! D# R
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。, S- c. p7 S6 h5 T/ A
4、算法入门+ q, j1 E: l6 R$ Y
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
  V6 h4 Q# z# z
* ?( B# `( s( S8 u& E
) j" T) Y3 L2 p6 p( ~; z入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。; |: T8 W6 E- O
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
6 D0 a5 |2 H6 U  B2 b1、枚举' S! O! j! R2 g: h$ ^/ V
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。8 n7 v4 S. J7 C( a  }. c
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
* }$ X0 Y0 \, D2、排序4 ]% T+ k) G0 I* T6 Q3 Y5 G. ~9 K! }
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
5 w' ~7 r( o* K冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。3 C: x6 P1 h% O5 V+ ?* N/ O1 f' c! j
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。2 F* J7 T" }  H+ R2 H& _+ ?2 _. E
3、模拟
2 {  D2 a! ~6 L. w! N6 }; k+ i. B模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
8 k: S6 ]+ j6 F9 L  J1 y不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！* h" h) Z. D+ p( y; R+ o/ ?
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。' A# P$ M; Y, y2 R- n$ q
4、二分9 k+ |, R) w" [9 a2 t1 A. o! n
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
- Q/ r- Q$ [. C5 ^7 I例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
" a6 [5 u% M- E' A- T1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
  N# O# T4 ?0 H7 O2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
0 m+ f3 p3 w  [9 e, {. H6 O( K 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；! x2 O$ p. R- I( ?& y
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；0 [9 W5 p$ v2 p. N+ Q, ^
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
8 t3 j/ Z, b8 n$ z3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。& U9 C; d- A1 `# ~  |6 l. D+ m& Y
5、双指针1 O: ^# u8 U0 D
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
* l' h1 H- d3 n$ W. _( k; d( }
- F1 l3 Q$ l, V2 o7 }  ~" ^) U% a$ L# r6 g
6、差分法
  H& e2 R. B, c- K差分法一般配合前缀和。! h- n8 P9 h$ $ L, n8 I3 v
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
! H4 i. L# X0 {) Y2 r$ E假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg + K: i6 t0 L4 L; l
x, d: M6 X, h$ k

# d4 J- P5 l0 n ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
6 n! ]% ?+ ?& B* }r
' G2 {- s6 w& p" C0 G6 L
( N! f. a7 y8 m& q+ z/ }) X! r −g 9 S/ B% {# ~- m, x
l−1% k; Y* T: X- K

( g& ~0 D$ h3 |* E" h, ` ；分别用同样的方法求出 g r g_rg # p8 m  x4 R) t; N  n, @# C
r& b$ J; e8 @% d

  v! d; }4 v$ q# s, b- K( ?( o# W  和 g l − 1 g_{l-1}g 4 u( w7 j& k) S9 {2 _. E
l−13 n* z# ^' @) f& $ }2 _
4 z: q- Q, @' {& k% Z: v! X
，再相减即可；) o3 Z! n! d; v4 Q. I

) N" k) O% T- A& ^1 G. s' C( ^) }8 R- }; k
7、位运算
) b% d" x* N$ S. r位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
! I5 Q  i0 N" j; A/ G. J5 `位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。# S! k5 O, Y1 f9 q
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。, j! R. j: g! x& R& h
如图所示：3 L  Z! r& g+ ]& F; |0 K# O1 j1 P9 n4 l
$ m# c$ g* E. d' Q) K' e

  {- K9 w: e; W4 t, O位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
" t/ P' I1 Z2 G% z8 j% D比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：: @* s& ]' R3 O( r1 v
!(x & (x - 1))
- D, }( h% Q! Q1
* x1 V$ J; T  S/ U; a8、贪心
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。6 h, l8 P( W6 G& Y
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。/ ?: g2 Z  y' g
9、迭代
7 O( Q4 [- _; Q每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
1 V& U* J1 l8 h4 z# M' w# F1 a* h10、分治( {' O2 f( R0 y
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
  f5 X4 \+ U; ~% R& e8 e+ x2 c$ n5、算法进阶1 D7 w* A1 b( C$ t
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。* @/ b# r# T" Z
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。7 Y( K) z& K: x- \1 r+ X
这个系列主要分为以下几个大块内容：
; D, Z) M7 A' m" X! \' Z- g 1）图论
) U$ M# n3 r, {3 H% j9 ]7 T- _' S 2）动态规划
% p# C1 `6 p& @7 a 3）计算几何
0 g/ Y" f* y5 X1 P9 t& { 4）数论8 u9 Q5 @( u8 I% ?# J7 X  g
5）字符串匹配
9 a4 z( W4 q" M8 ?4 P0 Q 6）高级数据结构（课本上学不到的）
" X+ T8 T+ e6 L2 ]% ]1 j* m 7）杂项算法0 w$ e: J+ E( @1 |5 D" [

& b/ r7 j7 K7 V  ~2 a7 H3 H$ [
) J  @+ ]1 d" F3 F- x+ ?7 Y先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：# C3 L. {3 b1 [3 @9 q
2 A1 Q, b( N. y$ b
$ N* E6 V7 a4 c
; V1 N2 j% N6 v  t

7 c7 H7 p, b% O& L. T; [: Y8 {( Q1）图论
, B9 w8 `3 f4 F0 ]. o3 a/ B1、搜索概览
0 B. I* k# F5 C: ?  a图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。6 Y8 r- r- g$ z  u3 D3 s8 M
7 m4 G# S9 [2 u9 r) C6 i# U' E3 K

) L1 c5 `4 _, K7 W比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。3 s$ r+ P  R) R' m: z- y
2、深度优先搜索
/ ^8 i, D7 T8 f# w2 p1 x/ W深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；* U' l+ b& B8 e8 L7 _) e% r- w
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
" ]9 @: W" L8 C8 ?6 v+ Q6 e但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
% F( \3 Z' `' s  S& P2 b; T) O9 g如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。5 U+ F' k' \. v

2 b" x1 d2 B: k1 J+ v+ R/ [- Y( `$ p2 C6 J6 [& i% t$ b* e
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：2 t% K7 |* v; [7 G( n% }8 n
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 66 _9 W* b: C0 [2 {! f9 S5 f
1
. o) F7 Q+ J' T$ S同样，搜索的例子还有：, n, Y) ]9 |1 g' g
( ^$ z4 a$ Y# j- u9 v: P) f" C

! P) P5 c- ]; V: N' U& x- W计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
' b3 d/ n7 |2 j( g) Z% d  L3、记忆化搜索
$ G2 J  o. i% Q4 ~) n对于斐波那契函数的求解，如下所示：
  Q) H7 h+ m2 ~f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =/ }4 A! S- w# z; f; ?, A
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
0 r7 I% \4 U- L{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
5 B4 Z/ Q$ F4 Q$ {! b" D2 gf(n)=   F8 k$ s1 A' p# O6 K: L
⎩8 e3 q- h! j, }+ ~& L$ Q
⎪$ e5 q3 D, z" \
⎨6 T7 e& m' Z$ b' b& D/ A& c
⎪
7 ^. R" ]0 r/ p, a6 J⎧$ S( E4 \) j7 E/ j/ [; ~
) y8 l6 F/ O; H8 A9 s# z8 H

+ V- ?) p4 ?# `* J1; A& \4 _/ I- p/ F: N
1$ _" U2 C5 C$ o; M
f(n−1)+f(n−2)
' {/ `# A- g" c. m7 m+ q - g3 m! j3 L+ E4 Z. C; y6 A
  : {7 O1 P& S% W2 g  V" i$ j
(n=0)
* J2 m5 o6 R& a(n=1)0 \; R2 v* m5 l( g
(n>2)
* ]6 k5 U! Q- B0 V! g; `# |* G ' B- h& p  i# h" h" u( _8 ^
. S1 ]) K; U* E/ k! \2 w
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
" D5 {4 E8 q+ b3 [* H9 u$ @  _) f) x" j4 R/ L- y! a

3 ?) y5 ?! P) `' G1 {这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。! |# K3 Y! D: ^) r8 @- O
我们通过一个动图来感受一下：2 ^8 {- P) K2 e' P6 O

4 \% u) p4 r( e3 V6 |/ ~
1 r+ _6 C$ q' Y  V& ~# s8 a0 a当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。# @; q  G& s) B
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。; n2 N  r0 f" r& L, X
4、广度优先搜索$ q; F6 U6 V& b
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
0 L1 d7 ]1 i* X. s  m3 Z" a, t1 J, E我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
$ G2 Y" ~* }! v* n! I  [3 q' v" j' \5 e9 u" o, G/ M, I

% l; O+ z$ i1 L$ n3 Q! g/ s! E- \+ J) p- _; S3 M
- U6 q1 b* Q, L8 M5 f+ w% Q% }
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
4 h% d" v9 j% U3 h% ~那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
) J2 n+ b) S2 H+ T5 s( H; U这时候，算法和数据结构就完美结合了。
# i% h* k5 w. n8 [& ~% N2）动态规划
3 ^9 u+ X* U) n6 v7 F  w动态规划算法三要素：
2 {. ?/ P& c- r0 m1 _) G ①所有不同的子问题组成的表；
- L3 c# |5 Q' h9 L1 w2 L3 T* D5 p) x ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；8 M$ K3 c5 R# W7 N6 U  J
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；2 l  a9 L8 A+ b7 W  o( H! d

& [4 I; i4 O% }0 J8 U+ _$ M2 s
, e7 G$ U( B9 Y7 ~如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 2 T0 V7 S6 E2 A5 F3 Z7 G
t
- k6 |; S3 @' I' z )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
; P2 T6 U, b' G5 z) Ze
$ p" L: W6 ^) G6 r7 H* d! ^ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
$ p5 P# m* a( b/ k0 G1、1D/1D7 h' z5 A  m+ P! t" W
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )5 F: N" W( w: B
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
: Z" u/ V- C0 w! C$ _! u状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
# ^2 d2 \7 R3 Q$ Z+ r2 S
9 a0 G1 ^; L0 N# c; l3 `) x0 p' I- B# d( ]! m
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。! B+ Z- T6 n$ |/ A7 F+ q
2、2D/0D% I1 h3 E: {8 p; t6 }. k
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )2 {! M8 ~% F5 @7 w7 t
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
6 y! n% D' W% w' r6 yi
6 [  ~7 s8 {# q
. u4 D; t* Y% g! c$ } ,d[j−1]+y
" h" V* a& V1 c- kj9 }: z6 C$ ~( o% x9 S) V

& {- t' z2 T. V" v ,d[i−1][j−1]+z + `6 @- N1 I% {
ij
$ y4 P3 q; H4 B( u3 D0 N0 ~ - _4 E- u3 Z( F1 f( a! S5 A
)5 D* m0 D/ ?  ^6 ]/ G; i
状态转移如图四所示：
5 P; D' R2 \# ^- S' b$ j: X2 F- b0 G% a3 x0 W! [5 H, h& Z7 l
/ J* \8 F& b4 W. O
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
4 M: |8 O% W2 M有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列# j' ~0 z; F6 K
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离% e, z; Y" h7 @8 \1 m" n$ u
3、2D/1D9 \; Q  F' u, M, u& _4 u$ x
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
) P( }$ d; a  I1 H& D. R: L+ id[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])) W1 |5 G  C* v3 z# P
区间模型常用方程，如图所示：" I, e/ C: Q4 Y! O) F0 K

& {: ^' f5 O+ m$ v
5 l0 Y# x/ z/ ?$ C: `另外一种常用的 2D/1D 的方程为：" R5 W3 v8 P* v& Y' Y* ?
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
. T5 x& r9 ]/ |, r1 L8 B5 A( }& Xd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
% a$ u$ j. d1 o区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
1 G$ c% y5 Q0 I- n& {+ [4 r" A4、2D/2D
% g1 _  F; ]- I' ]: Nd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j). \- |8 J& \& ]5 ~
d[j]=opt(d[i 7 o# D, [  I3 u4 ?
′
0 n- C7 R* a) H ][j 6 Y! H$ Q8 q1 N( b6 r
′. E% F/ `/ Y) w7 b
]+w(i , z. {) R9 r$ b( ^" |# ~
′" O. d& S7 N3 W% J1 H
,j ; a+ T% F& ~  j' a/ X2 e" U
′6 R: J4 ~5 `7 ]8 O
,i,j)∣0<=i ; e# d0 b* ?- J9 N3 q4 h
′
! c: v, }+ q* X' ~% A6 i% d <i,0<=j 6 f! G* o8 n; ?. @. Y' x
′
2 z3 r) G9 s' _( a: Y6 v <j)
' X3 c: d3 T0 c$ a* }- M* `如图所示：
' ~, A" L3 _! }7 _' M, i2 M
: |/ }, V/ c$ R9 |8 `# v3 L3 ~; w$ q" q' ]
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。1 ?3 Y" j) ~+ D1 Y4 ~2 I/ B, e$ v: {
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
3 ?2 |7 ], S5 L) H/ st+e
' C7 X5 F) u4 J+ g )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n . B- r) L; t1 m: a; y2 g0 F/ f( j
t
# l# n: O* H- r7 X4 _ ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
, m7 T) v+ {; w2 U; O; q3）计算几何
9 x4 Q7 V  z: A- N1 A计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
2 W/ p* a$ [) N6 l, X+ f如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
+ j! I4 ~2 }" Q( |3 L0 M1、double 代替 float" [3 Z1 s9 g5 G, ~8 `( ^% o: F; ]
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；, v* k$ d- `' H/ T, N2 f' S5 T
2、浮点数判定
# ]5 o4 V+ g/ G) j$ w由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
& {% n+ A. O6 j两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：$ x) |& q& c0 g7 v0 n; ], I
const double eps = 1e-8;
9 j- s* A- [5 z, ~& J( lbool EQ(double a, double b) {
/ y5 Y/ F; I) t% a( ^3 t return fabs(a - b) < eps;
* c% J$ w& U$ s7 H  }- G}
3 s& d# V" O) Q5 n5 p1
9 J, f4 E7 V8 S. ?2
- L7 Q$ R; b# _) _# F; R38 P, f* Y3 c, w, ^. O
4
- q& S  h: q) R, k3 N8 m并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：) o) V+ p! H% A2 ^7 l: T+ E! K
int threeValue(double d) {. h) j$ y, K  I1 @: s
if (fabs(d) < eps)4 `3 y1 k1 U0 m4 ]. u
      return 0;
* K8 g8 n. G; q- ?: J) Q" ^$ e- Q: p return d > 0 ? 1 : -1;
8 B$ `1 f( t+ l) E+ J* ^/ r! J; H2 z! d}$ e8 X5 b- f# h' ^- t
1# F$ |' J% l3 d* ^( ]8 k# k. a
2, a7 U7 X6 o3 _' O4 z* ]5 H
3+ G+ }9 C3 B! v) h* w
49 G7 H6 A1 R$ D! l
5
9 q. E# O3 V6 F( T3、负零判定
* k+ l' s3 C, r+ Q因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：; d+ @# Z- p: |2 p7 d! D
double v = -0.0000000001;
$ E9 C1 x* w4 w" y& R7 o6 j printf("%.2lf\n", v);
7 n- d9 ^# ?6 Y# d. \1
& s% i! f2 F1 {2
, g% i, t8 Z1 r$ s) n0 T: p1 P6 u避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：5 s7 Y/ n0 S. }% R
double v = -0.0000000001;2 w' r) o. F, m8 Y) y; I( B2 a
if(threeValue(v) == 0) {; F5 e9 ]) O4 L) ]
      v = fabs(v);: q+ X- M. @* m0 N. D! d9 N
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9 O  j4 A! @0 O printf("%.2lf\n", v);' _) x+ Z, p6 Q; ~- }
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0 }& V( N& ]; A1 C( |2
& w: n% Z. n! V7 E4 W; z5 C3- b8 Z" q! `' Z! f" l" v
4
' L$ F8 ^  A6 z' O1 X5! G' E- E8 }1 `2 t; Y* a; ?; N9 |# [. q
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
$ X- q; g* G0 Vc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
" Z" m5 \8 A- e! S除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。+ b! b9 F+ b1 r9 o! y
5、系统性的学习
/ C* K' H) D2 \2 l& a: F* ?基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
. i5 M9 k" B  U9 p& [进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
2 q; g2 X/ H9 c0 c+ ?相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。) X- O# x8 |" h0 P1 Q
; @- L6 A1 o( d0 o, a

( F2 {9 ~$ E! V; O学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。! H  W5 f/ K- L' \; \, ]. ^
4）数论9 r3 }% E+ y' ^' Y* q
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！# n- S7 ?) k5 g# y' d
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。# h# B5 P( A( a% ~& M& ]
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。3 C0 X) x: D, k# E7 y  H: ^
1、数论入门
& v0 p( H3 w' I$ L主要是一些基本概念，诸如：
* N" k& u. s0 H% R7 w% _  A6 a整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；- H# z- ?) J* @  J; |9 L$ F
2、数论四大定理
" K* J7 X0 ^8 d2 k这四个定理学完，可以KO很多题：
( M+ g. o7 r. k4 t6 J; Z6 m欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
* P8 M/ w7 L+ U0 I# c) \3、数论进阶
+ N$ r1 c/ T3 k; r) {& D+ S$ o系统性的学习，基本也就这些内容了：6 N) I  q8 m& X7 P
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
& j+ U+ \) B  S8 ]5）字符串匹配
: |: B1 C- j$ r! x4 J" P2 s; L字符串匹配学习路线比较明确。
8 Q- t5 f3 x& U' I; \, T, j& N" c先学习前缀匹配：字典树。9 Z' o% ]' a' o) n- ~
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
' q6 m* k  S/ T# h1 g* Y以及经典的单字符串匹配算法：KMP。: p& w1 d7 B& }, F0 Y8 ^
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。  N; V- J0 w8 E9 @  L$ H
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。' I' a" e) o  O
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
9 J  d. [& Z- P/ w  Z, l, ^如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
" t" f: P2 s1 ~+ w9 M参考资料
! T/ ~# s; w3 N" e7 B: G3 I- Z; W【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
7 Z% w9 C0 A6 k4 `【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）7 h+ b0 `# w4 g  N; b- t
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）& y7 f# H/ x$ p/ Y. l9 D# U
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）3 E  o) `. W( a: w8 J! S. ]8 G( ?/ L
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