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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。) ]9 L+ [  x5 f1 \6 w
边的结构体声明如下：0 B9 \( b$ W& B1 c- p( k
struct Edge {( @) Z, N! [0 ^, v) N" S) e3 _( o) j( i6 Z
int u, v, w, next;( k( M" @; U9 W) ]1 Y, \
Edge() {}3 |8 m4 ?* D$ E1 s
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
$ l& ]5 M  M3 k5 G3 E$ Y       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
" z$ c# A' r8 K6 _2 Q- B4 K {+ e* i) V8 V7 a
}( D& T* T' N# v7 i$ }
}edge[maxm];* t9 n; D( j4 i4 u, ^
1
1 d; H' |  K9 J0 u2
- ]  w2 ^- [8 n7 ]3
" X* p/ |* ~  m, _4
% C; [7 ^2 i0 L3 K2 G; L5
7 [5 X/ |8 u& R3 e! \0 Z0 U6, o! N2 }: q0 J' x, U0 M
7  k$ ?, x3 T% u' |
80 G+ u& ~! a. R$ v7 z9 i
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；3 c% j3 b( W. e
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：% @* C4 V- B# F; |
void addEdge(int u, int v, int w) {( F. a- g$ V8 t$ _, C3 o5 ~" ~* t
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
- d) A0 g0 p; v/ Z6 a& a' ]9 O head = edgeCount++;" {9 T7 ?: f7 f5 v6 b
}6 P! h. D! x3 u* v! |: Y
1
1 J+ K  Y! {( W4 }. a7 o2
( G4 I& }% G$ c2 k5 b8 Y# o' I3
+ X* J" B) d2 A# q; T4. Y* i6 _' I+ ~6 `+ |1 ]: t  ?
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
. o2 p8 L$ p, Q0 }5 C( {) X调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。+ x) M" l, z3 x
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {$ k$ A4 Y' {% `
int v = edges[e].v;
" @/ z4 n, I6 X0 W0 J4 C ValueType w = edges[e].w;
0 R' m1 K9 F4 o7 _$ w( A0 ? ...
! R, a8 d3 q6 Q6 S# F, N/ }}7 [' F8 R3 W, ?6 g, Z! U/ F
1
" V% X, T! X5 J& v2
( L/ C! y7 h8 W3 D. \( ^3
' w1 P( t, i) P( S* c, ~' Q4
- Q, y# D- K3 r5 w5
) k" p( w8 S' r, n* }5 w文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。4 W# v7 K8 R9 B: a" s, e. a+ e
4、算法入门
* G* F' o7 S) \" @' c算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
+ @# E' Q. x; R9 y; ]- @) e, }7 w0 d. X8 P
% p, o! V+ l: C, b5 i; R
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。" a1 P3 [$ Q5 p3 M& m1 h7 T3 j
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
) N/ ~% l! P9 g1 ~& d7 t1、枚举
7 I; P& f% b- y/ M% B! k枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。" }( {5 l5 D9 p$ R
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。- c; V& X0 T- k! m
2、排序
7 A0 v& S: P: u+ X, `既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
. I( F6 F3 _5 L6 F3 |冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。! T& o$ j/ N4 L: q  B- G- T* Z
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
) q; c8 m' D5 b# i- E  n3、模拟. r" V5 d  S* V' d# h1 m
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。- z* O1 o: z7 }6 j9 Q9 w8 O( O
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
# b! D0 |2 a! s; J" X但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。9 O# \1 \" \6 d" K
4、二分' I; C! @% @* D2 ~3 D2 c+ Q7 P
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。8 f/ ?' k' U- @4 K% {
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：( C; v( l  P/ A2 f
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；, O1 E7 U1 T5 W5 s8 f
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
  }, f' t5 b3 T" v% o; X 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
: J; E: `7 D& S6 g+ ~" T% m' T+ a 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
9 L1 F7 Y; p* ^5 p  C) Y/ y 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；7 L7 _: R% D) c$ z8 g
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。$ O  R* S* X; U/ [% ~
5、双指针
$ Z4 N! L$ S; d8 p. @6 V双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
5 @: X9 a5 M; H# S0 a" c( W8 R. G" P$ ?8 p: A! a' B

4 ?- y( j( v" p6、差分法
7 w4 ~% a. H3 L* Q) f% Y* P差分法一般配合前缀和。
/ P% A& |6 \. }9 @对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
- J5 V- L0 z4 Y5 e假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg " }9 @6 |, z- g  M. R' v1 |" ~+ x. |
x' u& F* S+ S2 Q8 i

3 x5 y9 n" h% V' J, W( _' B- E ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
  B) F" \6 W" Gr
0 ]4 b. S; G! y& H1 }1 G& C : \- x$ K( w; a3 `, {& F
−g
9 S" x) E( a. O9 N& O9 cl−1
. B+ Y3 b0 ]- h( [1 O' d, P; i
% b4 g/ G6 O; R1 _) m1 T1 V8 L$ w ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
& l3 z# }( f5 z7 c% t8 a) X0 l; zr
: f$ d+ I( \* [6 h8 o1 T . }% W+ r( S6 u6 [  @( C- R# t
  和 g l − 1 g_{l-1}g
/ F! ^; \6 h" g4 s8 jl−1+ }$ X0 G/ t1 m- l/ n

* ?* S+ h! W/ o2 \8 a) M+ s$ S! T ，再相减即可；
3 s3 t  v  ~7 ], S/ |" I7 a% I
( r) X6 V7 {* R% F
" F" y  G) d( M7、位运算( Y8 r# z! o) K
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
  M2 W+ T, k4 l1 i位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
3 B; E- e, d- X4 X$ ^布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
, d: M' G# f/ |$ P' k如图所示：. L. ^2 v2 A& P$ C, U  u* n+ f# \7 k

  p  d* ^+ T0 h) ~% _4 \  a* Y2 m
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！9 r* L" c" j: G
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
) y. T. {  T, B. h!(x & (x - 1))4 N. ]2 D8 q' N: |0 _
1
7 L3 c" t3 y# ^" k' f: q8、贪心; L- m9 l8 s) _# Z! ^  \1 b
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
- }7 E9 m$ U, U9 U$ ]% B: P- @. _所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
4 c4 Y" A- S/ M6 V' G, g" i+ p/ M9、迭代" |6 ^" x# |/ R
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
% |% U5 n$ y2 c' s/ c10、分治
0 {) O7 a  N0 M6 X+ W分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
  i8 T  T- Z! z5、算法进阶
$ ~$ @9 Z5 q6 P0 W' t算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。( A+ N& \& J6 N5 ]
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
) A: R( N+ U: F; R; v& S" r这个系列主要分为以下几个大块内容：) ?# a: ?' v  d! j, v
1）图论" _6 c/ f1 C9 Y8 J$ Z4 ]9 J0 k
2）动态规划& L) y. r' T. [: O2 Z
3）计算几何6 ?& X, W* [& j
4）数论7 ]0 O! A. d6 L/ }. Z/ X* _( ]0 x
5）字符串匹配' w, P# ?, O* q3 u6 [, M5 L
6）高级数据结构（课本上学不到的）
* L) a( W( n$ n7 I9 V+ k 7）杂项算法& K- U3 E% |3 g2 }+ P0 ?
9 t/ ^, ^. w* M

. o9 S2 i; E) n% R先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：9 T  {  a' u$ [2 b! E6 k% R

4 `  r( i, t7 p1 R/ }
8 V& |7 K6 {2 k9 s- X) j+ m3 }' _/ K7 a& O/ z
: n5 n- i( T  M
1）图论! y$ `7 r0 G+ M; Y# m5 `
1、搜索概览
7 L" w4 v, P5 p6 T0 m8 @, F( p1 M% `图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。3 k" f; w! A4 m9 \2 I2 b4 z% y! u4 g

5 A6 q" d: M( F) P! Y3 d2 F
, p& q" o, e6 [* v7 @; T/ q比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。$ P$ U, I4 Y/ L, ?' ~* o% H0 \
2、深度优先搜索
4 q0 B! q2 D, ~! q深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
( t" G; B, {6 d0 ^- D7 y, `原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。$ @) `6 E6 I' X1 R( l7 ]! M9 p
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
' Q5 m2 ?( b/ j! a" b$ N: p如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
3 s, ^3 {: y' }$ }9 A5 l
" Y3 n$ Q$ t1 M# W
2 C. \* m" d8 x! ~: `红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
  H* p+ F, ^6 F; N 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
$ A$ a1 i/ M7 ~. N12 n+ g0 D9 w9 T
同样，搜索的例子还有：
) F0 _$ t, j  B: l! [; H) s0 {; R9 A/ c1 \, {- N

+ a3 x/ \; v1 J- a+ {+ v+ o! L计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。& o/ _3 D- M. p8 d
3、记忆化搜索# y# Z# M+ q5 Z! _* h, F6 h0 P. X
对于斐波那契函数的求解，如下所示：( ^( }8 l4 X: n. @! X
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =8 W6 }2 C6 ?  b' f- j: D
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)8 I# D1 P4 F8 P
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)( y9 Q) p8 G0 s2 _' T6 `7 z
f(n)=
# D7 z1 j8 E4 o( k⎩; Q: G/ [/ g& k0 Y( k6 ?0 t4 y4 [
⎪
) b' K; K' }; i/ G⎨
" q/ e5 H" r8 t& W⎪2 ^1 s: F. V4 M8 F. ]
⎧/ c1 ~% Y/ o, ^1 ?0 K( v7 Z
* N# w( Y% t; Z+ E- V7 o0 p; r: c
  ) {5 p1 \; Q" _5 z! E3 ~& I( n
1# J+ b8 H+ r# a  O4 K# H
12 e; S, n' B: W* j0 A1 ~6 F
f(n−1)+f(n−2)1 f2 x9 E  N2 }7 V( _. Z
1 _0 Y0 L$ b  s$ c7 a; [- e2 Y
  * n, T1 s+ E, P7 j+ K1 j
(n=0)& v2 b* I8 O; V6 O1 F; ?1 u
(n=1)5 ]) V& ?' d0 V/ a0 O6 U
(n>2)& I; m# F/ x& D- X4 n9 Y$ U
% `) W, X6 _, _# b
" b2 d' r* V" D$ V# ^6 i5 n9 k
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：- X" t4 E' u! p5 O/ p8 o
  x* N, s% H7 Z$ F0 _4 ?# N) C

( H% ]3 m7 T" C+ m  k这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。1 ?$ v- J0 O. }3 v1 L7 I( {' a: m7 M
我们通过一个动图来感受一下：
. k' n! R9 ~/ x2 V; H
* S$ R$ E6 X( z' e' [0 v9 S
4 j! e. Q# r( K' S- L( ~2 G# Q2 V5 n当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
4 |5 @9 c) u' @# k& ], N- t这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。7 q1 e! U/ ]* @3 b9 x# C: K9 Z
4、广度优先搜索
1 }/ h0 q0 @0 k2 y3 T. O/ X单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
2 n5 L1 o* O) H7 s. X我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。& Z+ E4 u$ f$ ~% `; o3 ^
3 q5 L6 N- ?1 [

# ?7 n! `, {9 ^. N  Y, W3 [% [5 Z2 m; P# l5 G" Y, W

& @! f; z) G1 _, F7 N& Q从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。2 C( C! U9 T7 V. f
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
" l$ w. |& w, }; X0 m8 S% V# B, G这时候，算法和数据结构就完美结合了。- c( _4 k* U2 I, R5 J
2）动态规划
2 {% F- g7 o' M动态规划算法三要素：5 ]. j" Q$ B0 o0 V/ j! b& x. U
①所有不同的子问题组成的表；, a) ^, j6 i- Y5 S. L6 b( i2 [$ v7 i
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；' `. ]( e/ k! f& R& N  @
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
  v- A- ^, S) I
2 Y! A! L/ j& J
8 t$ p. `0 s; }" y) Q如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n $ @# H9 R. u2 a5 I6 _5 ?! C
t( q1 k1 z, j6 n, M! J  Q" g& \
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 7 e: ~, o0 L: V, z( H" N  N% r. [
e
! }9 V* J3 w. T3 V2 L0 y, t ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。2 B5 U+ _* k  w
1、1D/1D: P& Z6 t9 R4 \" r
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
  T' s( A3 J) e6 n$ z0 md=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
4 c2 j* t) {/ w, O( _; _, c; k  W状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：7 B; B# t& W" ?# ^+ [8 G9 p2 ]

8 y3 t8 g& q2 S& @
" R& E: E' G! o0 b6 ]: r$ q这类状态转移方程一般出现在线性模型中。& M3 a" H- x! T* X$ i; |, Y
2、2D/0D6 F# h+ H  p. I" `$ b/ G* v
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )  B3 D) L4 c/ o
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
  _0 }. h8 n* f- \  ?' [& T! ti
! U- F- z8 j% q1 N; |) f+ ~
" K1 i. ^/ z  k ,d[j−1]+y
: y7 O" v' L  ?% Z  mj
* k, ~; h3 j2 P) I! q
& Q+ j+ V" b4 i' ] ,d[i−1][j−1]+z
' t1 f$ L. F+ dij
  E3 B9 {# G' Y0 T" Y% A$ D 2 {, U( W: K0 m! j
)
, K1 D- O0 T; u8 X; Q0 Y1 J( _状态转移如图四所示：' M( m6 x2 {! f( X  b
6 S! s1 K* P2 r) a/ i# [+ F

3 G+ _$ _! f* a比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
3 i8 c/ E' ?, P8 I7 R  s有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
  x# q! K/ u+ H# ?7 w' b有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离0 w6 S, ^8 \/ |4 b
3、2D/1D
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
  S0 L3 g8 y: {8 }/ k- T+ zd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])! a; @) Y9 O1 {; h) i4 |  V3 z" }: x
区间模型常用方程，如图所示：. @6 ?% e7 G/ O+ i  S, \' C
3 j/ S8 j4 i- c. W- R9 f: ?$ C
) ~6 B( B! n1 \6 O
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：# ~- P1 J; A; J; [5 g# u
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )& H. v- S' d/ r0 [, Y: C& E
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j): K: K0 b5 \2 L9 S$ y
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP% T) v" @& _4 o3 Z, K$ {1 @, D7 C
4、2D/2D/ [- a2 \  v1 z# t  m* A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)4 o1 k6 E: M) g/ x# m
d[j]=opt(d[i
' h9 g# J5 Q$ r" a, p# W′  u" M" f7 r; Z7 a$ o/ Z3 m
][j
5 Y9 n5 M) p" O/ l6 m2 R  [6 K′
. {+ M2 q. V- N) n4 W# Y ]+w(i ' G1 l4 K0 S) Q' c
′
9 r& ?0 Z% g* z) o ,j
6 i: B5 u( A, _4 |  }′+ |, [* {6 p, O& A" P
,i,j)∣0<=i
! R" z6 i/ i& H5 Y; v' W′6 V' W& |# Z" f5 H( i; I) g
<i,0<=j 5 r1 U. u" S/ z" m( s+ Y
′
! S1 x) T' h. F. @0 V3 u1 } <j); T; t$ _* v9 v# Y& q% E
如图所示：
0 _% U/ ]8 \' i8 y6 `- w5 K( `% z) D$ O0 }$ u

6 f0 q+ t/ j7 q& S) P( |3 ?2 s3 j3 y常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
4 F; f8 p: {, J3 }! R% t对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
4 w" v# Y  V$ {8 n6 Jt+e
' e3 ]5 C) a+ m) F' N" `+ h/ _/ L )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
3 w3 J3 u5 C% |# Ut3 X0 T% k( y( m" l! X
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
3 {5 e$ P6 f: m1 I3 U0 Q1 H" {3）计算几何  H/ A( U6 G$ I; h6 e2 Y% x
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
* `, P1 T" p$ L8 L如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
) }. m  n6 I( ~& i8 I/ L. [1、double 代替 float4 M7 P5 S2 ^/ z
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
4 t3 W) v8 p5 \. H8 _: W0 I2、浮点数判定7 c7 B& w+ o& R- \) ?
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；; b, u6 n& b5 K$ A0 T& w
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：+ K3 x, G" l; d" K$ @; _; P+ G9 q# H& y
const double eps = 1e-8;1 y* W* U0 T* Q, n$ F
bool EQ(double a, double b) {
0 e5 o' y2 [; l# {5 @' M+ X/ g return fabs(a - b) < eps;
1 o" I' G8 W8 P}
$ \+ d7 b( C- t. R0 ?1
' W4 p5 e2 L7 F& n! J2* b1 |  E( F; Z' d1 ~. n
3) s/ K6 i* E: `# q+ J2 X3 N
4
+ g' u. M8 b% l并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
2 ^5 ^. V8 i3 A5 Nint threeValue(double d) {6 [: D' v& d+ K2 P
if (fabs(d) < eps)1 Z' G' Z9 z* Y$ h$ \$ v
      return 0;! ]  F" {% S( I& s* h. f- J' Q, F, k
return d > 0 ? 1 : -1;
" e" |' o+ Z& s}
" U+ F& g: n; S- P! w1  Y5 m1 m7 t& p& r- K; n8 ^& B
2
) j2 ]) y$ H4 ^& o) P% a6 K5 U33 \. W: F1 Q5 K9 ^! `% f& h
4' \  G- a2 J1 Z: Z' `2 H
5
5 s1 O3 S7 i" l: [) N, X3、负零判定! T' \* E2 \4 Q2 z5 Z1 v
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
* I; G9 k( {: F) Z# r: ] double v = -0.0000000001;
3 w/ Z" _, @& Z printf("%.2lf\n", v);
  n) N6 ?5 T4 r1 i, F( Z1% D$ h2 i; [1 a7 f- ~. L+ @( o/ S
2
$ m) b9 B: T  ^% n5 t# u* ^避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：( W0 m$ A+ P; N/ _2 i( B
double v = -0.0000000001;
6 u7 Y- O+ s2 g( E if(threeValue(v) == 0) {7 C8 W! `5 e) R3 [2 ~. V
      v = fabs(v);
- S8 F; o1 ]7 W0 T }* j. w) J9 R9 w$ L& h
printf("%.2lf\n", v);
( m$ B5 c5 f5 ^  q; ~1& K6 K& `6 ~$ ?% w/ P, e: u4 w
2: L' z& d; D6 Y% y* B4 `
3
+ h' }4 w3 z: S& \9 p) L& }* [4
; r% |5 G" ~7 D5
- k/ q, h- l8 F* Y' @1 W4 a  x0 g4、避免三角函数、对数、开方、除法等
) ?! {8 R& ~/ @- P: g1 F$ _9 dc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。$ b6 T: N6 h5 }: b" b" ]! e7 |
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。$ i' q( a7 W4 m8 {9 o
5、系统性的学习' a( f( u( [' [' H# W* m# @
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；; ^! L8 X# F0 G( U; T( w1 @
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
3 t5 A; @4 ]7 B0 P相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。# n7 U: R. V0 Y4 |4 g9 v$ E6 ^
9 I8 t( o' _9 Z" n5 L

2 W3 H8 d3 j  J8 r- i+ @学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。7 B* S; l1 a( j8 M! F) h5 G
4）数论5 \% f% c) ~: ^3 z0 Z2 R' s# I
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
5 l- C" u* h7 W, @9 n: v3 K  r6 B数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
& l9 j1 e2 s8 v$ ~4 t' I, u当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
  k: X# S) I6 d! g0 M1、数论入门& L; c  y# C6 l% g9 W. P5 [
主要是一些基本概念，诸如：  e8 L3 o6 q1 ]5 P0 \  V0 r! W: u6 W
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
6 `+ v5 C7 Y; z2 k/ E& A- R! P2、数论四大定理
5 N( z) ?' K3 X. _这四个定理学完，可以KO很多题：
* G# T+ U2 o! v- c8 ~! r欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
5 I+ d( _; W# y& a7 z0 B% u3、数论进阶# e! m2 Q( w, d0 C! @
系统性的学习，基本也就这些内容了：* v7 R6 C7 z2 V3 ]( B
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
" {3 }' t- S, Z7 R0 y5）字符串匹配$ p8 B& }: V3 g- a/ K* c; w
字符串匹配学习路线比较明确。
& y- D0 {# @- e先学习前缀匹配：字典树。7 E, e; F7 C  i. j+ N+ `
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
# e# Z# E3 `/ T, t7 q+ T- c以及经典的单字符串匹配算法：KMP。6 b, N* [( A* G+ d* u
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。: ^6 R# V1 ^$ M" G/ G
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。; e: M0 m$ t0 A, v
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。9 k$ j, z" {# J3 ?
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
  A' f9 o- {$ o9 D9 v" _  h参考资料
2 T: Y. m' I; E% O" v# L【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）! c' G: y0 U; ]+ G$ D
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）3 _& z" z- i, d8 W! K
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
- [& n, }- N7 d1 x3 d: g, _+ h) j【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
& K4 \1 x7 A) F" {% N————————————————
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" t2 a5 Q2 z) a$ T4 g2 _, ]原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
& C/ ~5 w% M  C0 p2 t: I5 b: V5 V4 T" [  Q! Z9 @

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