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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。4 M: @; g- r' U3 v1 l- `" z
边的结构体声明如下：
  R( N0 r) G% \6 l2 W) Z- Ystruct Edge {. J, B, D7 N6 a' J
int u, v, w, next;
5 L9 |: T: f, s( T Edge() {}
$ i4 g3 h" B( \! a Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :+ \, j2 y) |" u, q. g
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 5 l# V" k& {8 l) v+ u
{. _4 D  e5 b7 D8 u6 A
}7 a+ ?9 z' C8 M( f. F; R
}edge[maxm];
% q9 ^. c" _6 E0 G% ~. Z1
) F1 D0 e( D# V  h2& i( D* x  n% q
3
6 |% N7 s3 D: q' I4
9 w! K+ d. [2 e2 r4 G8 p5
% l6 z) J8 {% @" y$ g% X* c6
' m3 W( Y9 X: n4 M# @/ w7
- U; c0 G- v7 B0 p- i8
6 X) ~2 J  T1 Z; K初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；  H2 K+ A) A4 I3 F
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
& h3 _  a+ ~1 [1 J7 g, ~void addEdge(int u, int v, int w) {/ @' l5 F' g* u4 w( ~/ E  c
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);3 K( Y% D: k: b) ^
head = edgeCount++;
0 \2 `+ N# z+ ?9 V( D! t; v}
# Z( ~5 J# j2 J5 {1
7 Y, C4 u" V$ d' v4 R. b( D22 T7 }% ]% }! R! T" Y" h; s" e+ R; A1 ]/ A+ N
3
! @$ M' X* n" `4 D0 D) G/ \4" d9 k- I5 E, p6 O$ G& Q6 g9 E
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。, U5 j5 j$ ~8 |5 X" B! J4 y6 J. I
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
: W3 o4 T7 [# b- P5 `0 Ofor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
2 L* X- x4 V- Z5 v$ R$ Z int v = edges[e].v;
- v  n$ r: `; N7 n, f$ g8 n- y ValueType w = edges[e].w;  b/ T0 l* h- Q3 t, H9 q! G
..." S6 g& ^) R8 F% J
}
. F3 b4 F; F9 Y- |9 p13 G7 B8 H, [6 ~' f
2
6 u! @9 p1 m! B5 E3/ P7 J  |1 L! H. W
4
- s& u& P2 c% p7 a$ j53 e  ~( e- k5 g4 p0 K
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
. A: _2 Q/ S# l# C) \# Y4、算法入门
. n4 q8 D6 R- a$ M2 e$ q算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
: I) F4 H7 j1 K5 B$ p  C4 e5 m" N

* j; P) \. p; ?! ^入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。0 w: G% B5 @* x9 x% x" \0 n
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
( o' @* w- T5 Q% F2 i! h0 T1、枚举; D+ b+ Z3 D2 D. R. o) H
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。0 M* L+ b# W8 V2 q% ~2 }
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。' s0 l2 e1 A" G
2、排序
" H# k3 u% U, E; O既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。4 q) U) @+ D* q) ]
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。: Z  E5 ~* a% |  r2 G3 A
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。' g  j% v$ ]; Q+ p, H
3、模拟# \2 @0 S( i2 F  i: l
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
' F% R- @  a! u  i& Z不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
2 [, ?& k) P4 o% U" V2 N但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。% w/ }# i6 y" e6 m* u
4、二分1 U8 p: V9 Z! w. n- D& k, u
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
0 }5 \& c6 w- l1 e例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
! \" c  [% D$ N( T' E$ b0 A% Y1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；! r  D6 I; l2 G5 c2 X
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
* I. H/ g$ `* |. i' J$ B) e$ v 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
- V3 j1 |7 p; p5 [ 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
" k$ ]0 |' d" y4 f9 L! F8 ]9 {1 I 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；* Q; l+ w6 O& w/ [
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
) I0 `7 \8 h: x* p& H5 O5、双指针$ n% e: i" q0 a: n6 M
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
( s% n' O! ^. K9 j8 m" f. K0 Y) p9 n. v. B9 H  X  A+ A; E7 Z

" y) U5 H6 z4 [: a/ l4 \. Y6 t7 q4 w6、差分法
7 V5 ]( c% ]* b) ~$ V差分法一般配合前缀和。* R) m6 j  `8 A
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
1 _+ u( D6 `7 L- k( A# R4 u7 b% S假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
& Z2 @" \! m7 K5 W' X8 fx
" r' j7 ?* V( t+ j9 @( V. Q % W$ c4 D' G2 I0 o4 q( V
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
4 B5 K, |) @* t5 g6 {# P: hr
7 _9 O- u- F8 n$ r7 F2 n! E
, p( @; I0 c0 L" j2 ^. X) g. W −g
' a  S; U: j3 p. |9 k! ?l−1* E0 U8 m( U! K4 d

+ j% R3 X2 Q" [; s0 ]9 ^ ；分别用同样的方法求出 g r g_rg 5 v) y; w& F( v) C8 u
r# I9 o- p. v  p6 y3 z1 J

+ A7 V9 |" @$ G2 M' d  C  和 g l − 1 g_{l-1}g
+ w1 t$ J7 {: {5 V6 m( L6 tl−1
6 D" P; O* |. g2 X: O* l 8 q  P5 L6 h3 ^3 w9 @! W0 ?  _4 k& n
，再相减即可；
/ s  N1 e% N6 e9 p9 b1 Y9 a! w7 s
% {, c6 u) t2 ?- F, H7 J
7、位运算9 E, L1 w4 Z5 p8 P5 a
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
# I8 j! @% e. V; f. [位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
0 v1 m' t# y2 Z* ?布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。% @# j  C9 [( b% z% ~- x: e
如图所示：% J) ~3 n  m2 \4 j( F2 V8 d/ ^

/ p3 I0 \( X- |' X+ i, p3 b. j0 j8 h2 p+ p6 Z! l
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
. C- Y+ ^7 x& q. v比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：0 [0 ^* a3 l) Q6 |1 d
!(x & (x - 1))
. D; h2 O/ F# }1+ h3 ^- ~6 e5 Z
8、贪心
# L5 T" g/ z8 Y' e: d+ W贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。5 k7 Y$ q1 @5 u" Z! \5 ]- r
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
: c& A- m) f) l! @9、迭代( H2 T& \$ P2 v$ Z8 |
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。  C& r3 O9 h: ^" N% d6 |5 ~- |
10、分治! H$ A/ G  u9 M
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。9 T0 j+ m1 \/ Q9 L8 L9 I. U3 z
5、算法进阶4 M5 \1 y- Z) f( A' y! X
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。* ^$ m6 Y0 M0 R/ S& ]& m' |
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
1 t& a! v6 c7 V# v9 V: t这个系列主要分为以下几个大块内容：2 K; U5 l  K9 g& q
1）图论
, \; c4 m: G! u 2）动态规划% X: c; L+ V+ J. e  c3 f% @/ G
3）计算几何
# ^3 Q7 L! f! t5 m: e  ~9 ? 4）数论$ H8 N" [2 V, T6 y" Z; L  Z; E4 Q
5）字符串匹配1 u6 l: y( k: H7 i/ d! E7 J
6）高级数据结构（课本上学不到的）
9 T# Q9 N# p7 K( Z 7）杂项算法6 R) V) F; F& V, L7 Z. g

# y% w5 s9 a7 G7 o% ~( z' e4 u# ?& b0 G7 S! y7 H2 t5 q6 q8 H
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：+ z1 g4 r+ n; l( P1 C8 J
1 a8 s5 _2 K5 I4 k) F) o
' C; l: i- g' a

& r# x8 F1 \6 G5 `4 Q
) [' `9 u, [. P. O- V! O1）图论* n9 q3 H" k. d; e
1、搜索概览
# |7 t! G6 L9 l, J4 C图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。) ]0 l! v) z( n& z& `. T
/ ]8 T! R& w0 T9 u, q$ d
) E; ~2 @+ P$ V% Z9 _
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
+ g- T1 @) U! _& H  h) n2、深度优先搜索! Q+ g; A% d+ S4 @2 F
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；/ N/ z5 _( P$ c  X. J2 i6 B$ c
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。$ q2 H+ s$ ^6 k" Q/ n6 b
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。2 r9 w* I" c( O) C. u% I9 w
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
1 r( s, Z: p7 P  f
! a& {: }% ~/ N* A
9 ~' w( w( k0 A! m红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：) k/ }& a+ ^3 Z  T
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6( \6 G3 ~7 F: y4 O/ I
19 @+ p0 T- i1 v
同样，搜索的例子还有：
  \" ?, G8 e6 A6 T- K* g( ]: i* f1 x+ v- f6 Q( W  d  {& b* F

. y  L# ~2 L* I& M' b$ Q2 o9 m计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
8 }& J2 ~5 A# N8 \" F  K3、记忆化搜索* ^( _3 t% ?) \- G- {& S( K
对于斐波那契函数的求解，如下所示：& V2 F4 [7 f( S: Y
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =% ^, L! k, N" b& O" H3 }
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)% g- @" i3 Z6 ^% h  I
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)+ `' a4 }' V4 V: g( G
f(n)= 5 I; w0 P7 e% D% u( M+ f- }! Q% ?$ d
⎩; J6 r: x- C6 F3 V" T
⎪6 G1 p) C( u1 H, {2 c
⎨% s1 G% f6 `( a  m9 u) W1 i
⎪
9 i  C1 z/ R6 t2 J/ {1 J5 p⎧
; S" C( B1 w7 t0 U0 t
7 i4 X# ~+ H  X+ l' K) y7 o
9 m" |' Y! A( V9 N* H9 E6 u1
4 @; m  Y% T: r1
' W5 M) k$ _( @9 E6 q& Y# O' Nf(n−1)+f(n−2)$ H8 l3 s2 \2 E

" t) W6 k; i1 I. W7 u2 P5 C+ b  ) c1 E  I8 z7 A" W: K; X
(n=0)2 X" ]/ n/ U- n
(n=1)8 o0 c1 ]. D4 t8 g/ X) B3 a
(n>2)1 j7 |8 e  }- `: `" L

& g. w1 |* \# _  [
) T4 J% @6 R! l, |) t对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
3 g$ r# Y, N2 Q" K% [9 C& }* G  t, E& V; J4 g4 P

; }/ @! E; E2 r1 B$ {2 I+ b这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。9 `* r4 @5 h5 V4 Y+ X1 `- T% U0 R
我们通过一个动图来感受一下：
, o) D$ r! @5 O6 Q4 l9 X" m5 J* x" v. G

. d4 X8 {5 A" I* B6 C) W# o6 H当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。! t% S2 n; h3 |$ }. n
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
, o$ f' j# e" I4、广度优先搜索$ A5 p7 w! z9 `% }
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。0 H, ~2 u( o) d' ]1 t9 d2 L+ D3 V
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。$ t5 `" B# e6 l; B3 {, r

3 f# X4 o4 F3 E, z2 c
* A. I: _* x4 H4 m+ S8 G$ r# i8 O+ _6 X* G8 p

4 K+ U% Q8 U( y从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
/ Y3 j  F1 l6 d' o' w7 K! a+ Z; a那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
  `; X/ f; l8 S" X7 G8 u这时候，算法和数据结构就完美结合了。
2 f6 e8 ^/ `4 M5 ?- P2）动态规划
& K% v$ v8 f- B  S! E" W动态规划算法三要素：" W4 m: z( x  |
①所有不同的子问题组成的表；/ g# t) s7 {  d# y% A  s' Q) M( ^
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；9 T/ O/ h5 B0 v2 O! a, O
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；; D  g+ T3 y% q/ S! [7 S' B
- ^% |' b0 N7 \) ]  L" a7 D" x
, y6 \3 @' S! X3 D: k
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 4 s1 Z. Z, a% Q* R
t; W7 K7 R. s" G0 I
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 6 t  r5 ?3 W3 ]9 N4 j# f8 y/ E+ S
e
1 ]$ E/ m# i. z& ]: ~ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。8 N7 U" R: S) L  y0 M; H# F% T
1、1D/1D
+ _1 D* _9 |! K4 `d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )' Z4 L. u5 E( _7 |! x* G0 i
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)5 P: U' F8 K* \4 _8 S4 c
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
* l' `6 @% J) l3 g3 c8 i" k7 d
1 r  U+ k# c) T/ \' N
& f5 m% ?% ?) X: N6 J+ K5 ~4 }这类状态转移方程一般出现在线性模型中。/ O9 `6 A. \/ ]# _3 D3 N
2、2D/0D: I$ j  s) ~9 r
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )- p1 c: w$ k5 X' ?- g  ?
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
/ a+ q, k& A! v1 h( f8 pi0 T4 Z: F) T2 f/ G/ j- i; ]1 t

5 J4 j% ^7 L5 ~) O ,d[j−1]+y
) ?" U. i+ z/ W. {+ r6 p5 o/ j9 wj
1 g' c. H5 [4 E1 T$ w
: v2 m& Q& L7 o1 n6 M& x$ [ ,d[i−1][j−1]+z
3 K- t: I% v9 E0 Dij
2 H; x4 y; B" l / f5 q) _* [2 c
)* ^* j7 n( R; E! w
状态转移如图四所示：5 G2 u5 P/ m% Z1 s+ z6 F4 H

: t& r; N( t4 {( y! C1 s& @, r: B" X/ T% u' u
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。) M9 r4 P) ]5 _/ [/ r& {8 a
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
/ i; E' o( w# p+ M# M( B有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离% v' X: P/ t: W
3、2D/1D/ E7 @4 K# U! X$ c- E* j- W! u
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
0 o- v9 H( W. K" Y2 wd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])% X  O5 U# ?) G8 y; ?' w. W* i4 S
区间模型常用方程，如图所示：
' @- A& }" H+ Y" ?( ^* g: p4 H
/ O: L; Y/ t8 f$ t9 n$ B0 L1 C2 S5 j
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：0 v- Y" f7 w: w% u
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
7 q6 O. ~1 D! E0 \9 G4 Qd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)! R; _4 Z8 r  w) X9 E( L+ I
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
$ H; U3 ]1 @% i. }4、2D/2D
3 Y% H; r9 {, V# ld [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)$ M; _! U+ m: J7 M/ u
d[j]=opt(d[i
8 \; l, u: ^, V9 U& R′9 s& l* i* u3 f8 v
][j : ~- }9 y% ^9 C9 x: u
′. F6 A& u- H+ P0 _
]+w(i ) s/ k& ?3 M7 [3 v
′8 ^+ u  _$ P6 z  e/ K) _
,j ! f8 V1 A+ o1 K7 C/ ~( a: r
′" g0 f3 W9 m3 {, I5 d4 [7 i: `4 @
,i,j)∣0<=i
% q6 Y/ q; Y! f- F; ^7 F# j' g′6 K# v6 f1 k$ F& Y$ X* v7 $ f+ L
<i,0<=j 0 o0 y0 I+ p6 r$ v' r
′
0 Q" b* j! T, Z' A1 e' s! n& S( {8 W <j)
* n5 W  G3 M/ g" b如图所示：
, P$ I- N& H) n  R& Z" e  x: a0 \. U( \: E

: P7 [: o" K+ J7 q3 \* @常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。# {8 M6 f- i" c. T
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n ( W- A2 b/ B! m' R8 N
t+e
5 u7 F3 i) t/ |% S* a; K )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 0 j8 m( q% @5 m3 Y8 s+ c) l  C
t
) X. H1 |+ R* d7 ?) } ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
9 W* O# $ f4 d: A; h/ b3）计算几何
0 i5 X& e, v9 O: w' j' R* p计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。  d' g4 _' {. ~& M
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。  u- Q0 B5 Q8 J/ |) _! `
1、double 代替 float
8 h' B8 ~. b9 G3 H4 ~$ B* Uc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；: V/ U( W$ p9 X: H
2、浮点数判定
  ?$ i4 }" [+ {3 p$ w由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；5 @& M4 @3 M9 L& [! c
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：$ b$ h- u& z2 D$ a* @, v
const double eps = 1e-8;
: t2 j1 N% i4 [bool EQ(double a, double b) {
+ G2 e& m" A% D8 z9 I+ i return fabs(a - b) < eps;* O1 v  f" k9 Q8 W  T5 G$ I7 B
}% O, ]2 L8 z6 [" }! q" e2 E
1% T5 G, b- {6 E9 W6 v
2
5 P$ s; _/ Y# j3 T4 a& i7 {3: y( L, q7 G9 O. |5 C
4& Y3 L) K0 r1 E1 g. [$ r: f
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：4 H# D0 i7 ]& _0 \" r6 v8 K* P: ]: C
int threeValue(double d) {5 z& v0 X7 z' c. K6 K' W3 O
if (fabs(d) < eps)1 V2 u+ D; C4 t* g/ p# J1 W' W
      return 0;
+ c1 g# f# H+ T return d > 0 ? 1 : -1;0 H. B( M* L1 a3 M. \3 H; F( \
}6 Z- n, p5 ?  v
1! P+ y/ S% l4 v
29 E. L- V% @7 G, B
3" `: @* R7 n. C1 @
4
+ ?8 {& m* m5 Q5
' ~$ h, P" w6 i# r7 C* F3、负零判定8 \- E# F) Z" F7 y0 ^
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
" Q6 F0 ^( s0 o- a6 |' Q double v = -0.0000000001;
0 D  G% o. P8 h5 W7 |+ Q  m printf("%.2lf\n", v);
/ E0 }' V& Y5 Z: B2 C& y1 x5 O19 D9 i: C+ e2 z
2
) g& F! i' A& Z2 C6 S8 g) A5 h5 ^避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
8 l" b- u2 O/ G8 A: | double v = -0.0000000001;7 N2 f: O$ |6 b! H9 R, U9 }
if(threeValue(v) == 0) {
7 p2 F8 I: n1 w       v = fabs(v);
4 `. w, x& q0 Z }6 r- m4 E, g) A5 s9 n! W  }! E6 j
printf("%.2lf\n", v);& \$ p3 A' f: R- X: h; m( }% U
1! z8 Q! r0 p# N- b  F1 {* S
2" u( ^# @7 T* _$ m# H- F
3
6 n, k) ~, j. s+ I3 Y" G4
/ {( ?) w3 O- q% r& q; x7 h5
) [- d/ g# N. R7 Z+ ?- O4、避免三角函数、对数、开方、除法等
) S' a7 ~5 ]4 L1 ]+ O' [c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。# t5 u6 M  k! d, M  k, @& \6 `# Q
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
4 q( n! R1 b  d5、系统性的学习
+ o, U. I& ^2 O( g% T0 t基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
$ H& i6 n4 K' h/ x  K进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
& x1 r+ ?( a9 j/ D相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。4 B$ G* P& J9 Z0 I) c% L% v
' E7 S2 U7 Y9 w
' v; Q; b, u' d( q9 I
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
( O" s/ r' I2 K  n4）数论
+ Q  I, h! v  O6 `' ?刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
2 h7 z5 h% w6 l  z: J数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。0 c2 t) M% z9 R/ P; \$ ^. ~6 s
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。' m7 y/ ?% E* ]' e) I5 Q. h) ^1 v
1、数论入门% b% `: o0 @) S  k
主要是一些基本概念，诸如：
! b5 J. r5 O" B% c5 h  _整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；8 |0 ?" J1 p5 W( F/ M+ n- R( n7 W
2、数论四大定理
) a7 P+ R+ o5 r/ c7 E1 O这四个定理学完，可以KO很多题：
, z" Z7 q7 J* c7 c欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理4 z- O, S7 d6 {3 A. E- T6 j- S. F6 K
3、数论进阶
0 |9 G. G7 l" J3 Q9 N  x0 x系统性的学习，基本也就这些内容了：
7 D& A3 T* _3 K8 V# [. t扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
9 s9 C& v! I% I/ j) V% w9 u! ?/ S0 Q5）字符串匹配* T4 E3 M- `4 h# b0 p% Z
字符串匹配学习路线比较明确。
$ G3 `- l7 ?0 m' R1 @: S先学习前缀匹配：字典树。
: u0 H2 w9 b- Y# S, v然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。5 ?& r; T" Q* H9 ?# V
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
" ]6 k; e" Q3 M# j* Z/ a' V实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。2 d- j6 }. F/ B' Z7 C$ O0 z# m- m, u
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。. M1 B! E) Q8 Y7 e) }
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。  N, e- r( W. L
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。# g1 ?! d( g  d+ I( |. s! }
参考资料3 A* p% @& B" a& a1 Q
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
# P3 \, F) f( m, }【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
$ y1 A$ l+ |& I【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
1 g$ Y" i2 F, H# |( h【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
1 U' ~. _1 ], r$ x————————————————( Q$ a1 A% e, W9 \6 z- H4 i, \8 T
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