KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
/ [& d/ j; y( h2 J2 d1 e8 r! c% C9 q
/ P# ^* o! L' u1 C
0 u& b( ^* ~3 y提取加速匹配的信息
6 P2 ]8 }6 P! E) J: b" x; T　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
1 V* O2 j0 T5 b5 o' o$ [　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
5 o7 d5 z, N1 v" R+ M* ?4 O& o　　
先上代码
4 z- q& ~- f: T* e8 U! w7 f6 j# s& T

void Getnext(int next[],String t)
{
  U' M/ [" M9 G+ M- `   int j=0,k=-1;
3 w' V0 P: v5 w   next[0]=-1;
* x7 e0 Y( ~( Y/ J3 z8 v( w9 E6 V   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
         next[j] = k;
  w' }, i3 ]) u3 U' k      }
" R, @9 u, E2 k( d9 x      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}
$ r9 A% e3 C. [9 A
: o8 l- R$ X9 m6 ?, lok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

* g, ]- z( q/ U
0 n$ ~6 G: L& _& `$ }$ @特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
: L7 o) Y- C, I( U) {; C+ d; s+ x4 K
* \  Q2 w9 j+ T) Y" I- ~
0 x6 n# x2 J5 S- F7 E当 t[j] == t[k] 的情况
3 M# f) w, f: z- G举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

" ^2 Z6 c1 d) K/ i+ {0 V
当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
- R8 Q( |6 k+ ?' _$ H7 e

$ U7 [' R0 `* C2 x2 H我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
0 b6 r* B7 @( l) i  V) ^
8 ?# z3 E' f" A5 Z5 j' |$ R7 j　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。
* d" q7 a0 h, m1 d1 }5 u/ w
" m/ j8 v( p3 b$ J& X
" d. w" k& H/ u( }& ?& K至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）

% ^* D% E0 b  y9 B* S0 N( j
* @; P7 M( z6 _% O0 Y! Q1 ^因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


# ^/ P6 {" _0 P3 }2 ^9 n再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
$ |! N. K0 o2 `) f7 u
; l( T1 a- I' @3 l
KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

, l$ L8 Q2 C2 }- ]; y' M; [上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
6 e5 A$ W- f# k7 K) Z; I
. k) c0 ]" `1 a3 L将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
# M3 R% S) g. w2 P" e; A

" h5 A" W7 F$ s9 j" P4 X0 l都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
' X, S# ^; }" O. P

* k7 [0 h9 b! u& C) _+ sint KMP(String s,String t)
0 [( t: T' ?. J{
; I: [  J) B4 h* \; D4 x   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
9 i7 I$ M! J! c0 O3 I5 @      {
         i++;
7 S/ U9 ]0 a& X8 m. y$ p         j++;
      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
/ C* ?8 z& `5 K7 n# p   }
   if(j>=t.length)
' e4 w7 z( P# {' u6 l! c; t" P8 R: k7 K       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
  P7 Y6 }$ [  o1 B4 x* F% `   else
      return (-1);                  //没找到
5 Q* t9 {. v% M& y- ?) f}

改进后的 next 求解方法
. N7 }3 U7 @1 E' J2 j% \4 A5 I先来看一下上面算法存在的缺陷：

7 A+ i/ I" P- |显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
5 v; i4 x; t+ r6 i* T) |
) J& _) Z' _! Z" ^3 c, F  i
所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。


显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
7 V9 u2 N; V- M& r9 r" E

所以我们需要谈价一个判断：
( k4 z- ^; G/ H# Q3 s
) r4 ~4 F7 _' F0 V* j. |
void Getnext(int next[],String t)
{
- x+ `6 i  c# e! L   int j=0,k=-1;
1 W! r* ~$ I6 G7 e   next[0]=-1;
6 ~- }5 S- e! `  a* R4 d8 `   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
0 m; i3 t1 m0 h6 C: U( n: i      {
  ^! m; u8 d. k5 y3 U& A3 H         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
) V+ T9 {7 o6 t            next[j] = next[k];
- X8 y* y$ F& S& ]9 {. A         else
* I  e3 h$ j5 @) i/ \4 k* H) A            next[j] = k;
: o! u  f9 b' v- V: K% j      }
9 e2 y; ~- @( \      else k = next[k];
. ]* \; i1 [2 t. |   }
% x: R7 K( {) G2 G1 b}
. J- X2 z' ~6 m2 @" r————————————————
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3 b5 h7 T  P& ^9 f) f, V5 a原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
( f3 _) d* e/ s: l7 Y/ N
9 u7 d, `8 r* h: X- P0 F6 X3 w- x4 P

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