KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
" k6 @4 A( k2 Z4 S7 ?7 b! B简介
6 y7 C* O* c. J3 O2 Y% j# n( F　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
8 ?- A2 R$ H2 N7 E6 ]
0 [4 o1 K# A1 d3 ~! r; [+ }- d  b
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
  Q$ G0 r" p9 s　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
8 f2 ]& _* q6 \3 e9 o: ~　　
3 [% `7 D# O: E. D$ ^' P, z  ?先上代码

+ p4 j: l: ?; P& B% O" m% V
7 ~! Y" Q9 K" \3 u9 M: a9 `1 V- o$ Hvoid Getnext(int next[],String t)
) n# l; J; p" y( Y( F; K* ~{
& L6 u+ c  p) F   int j=0,k=-1;
* |' Y+ H5 t! S) A   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
$ y- V4 q% @; p: F   {
# C  P# h+ ]# a& R9 m$ ~      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
# Z) ~  q* S  t# l% I6 c) F         j++;k++;
         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
  ~( S3 r- c& y9 j9 T$ l8 R}
  q. l9 Q3 ?/ ^# }9 R+ C
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

; B" e2 ]; \! O1 m3 `
特殊情况
& Y, l! G" C" U+ ~1 P- ]当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
. p4 t0 ^0 Z) E

当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
9 `/ A/ D; M" W" n7 J
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

0 {# f& }/ N! x, d& ~. [
# c' D- ~& Y: c当t[j] != t[k] 的情况
, j; P; v% G+ R/ o7 N关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


, e7 j$ v9 [+ k我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

  c$ s) j7 S, I# ^9 \6 g
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
1 g/ I4 ?6 t* z$ o$ P! `8 g

2 Q3 y& ]6 [1 X! ~' m! o  q因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

# p* D* `3 y6 Z. I  R
KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
. {( {# r+ p1 y1 }" `. `以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

  \5 {2 J# ]3 C1 L1 x0 _8 O上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
$ ]$ w4 X4 c* T! I; m" N
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。


. m+ Y3 O7 b3 m! s7 N/ [都明了之后就可以手写 KMP 的代码了

2 ~4 W7 q( N' V7 C
5 j7 B7 l5 {: K) zint KMP(String s,String t)
# y; _6 u1 W" d; W+ J{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
3 ?5 h5 C  d6 r* \% P! R   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
# w$ p; l2 K8 `  p      {
         i++;
: ~; T4 X! B5 z& H$ y         j++;
2 I: d4 J  f8 K: D9 l. _      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
' a; N; X, F; j% B   }
   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
5 N: |3 h) M/ B4 t0 k7 w) z   else
2 [! l9 j0 t0 K" j$ |! Y      return (-1);                  //没找到
5 k, ^8 V. e7 F9 E& @# m+ e}
1 \% M6 c8 @3 A+ U; G: M, p
改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：
7 P' R( [! X! O0 j
; l$ G* x( C3 d显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
7 Y& m6 ]  t" M3 q  w# {& |8 X
8 g  f$ R( o2 ?4 M/ s
所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

, z5 E1 d( e& c3 p6 [  @3 u9 f" ]不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。


显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
" @( C$ D. E: D
. h7 C/ Z) X% c5 C+ O
所以我们需要谈价一个判断：

$ A5 c, f0 N& [9 _) \; H! ^2 w3 @- S
4 }  t' R: ]9 S1 [void Getnext(int next[],String t)
9 q8 \* u, I# F/ j2 w1 D9 x; o0 @{
   int j=0,k=-1;
2 R" L3 D! |) j  v   next[0]=-1;
- ?+ u; O( D: b+ Q, `$ m/ w! e) j; P   while(j<t.length-1)
1 r+ l% G5 x* p- ]& S: K% J, O7 I" K6 O   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
9 g, Q0 q  m$ h- b3 h5 M         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
. ~( j2 {' ^0 l$ U$ b8 g* d            next[j] = next[k];
         else
            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
/ J' X* f+ p4 D* m( Z# G- y- x   }
}
2 l! W$ c  l! o" L————————————————
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5 q( N$ e/ E/ E; F* x/ J  \  V, W2 |原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736

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