KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
& S  x  Q- x' [& F8 v3 n3 H　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
3 e* _  o3 p; d& P7 ^% g* B

提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
6 @( r4 B* x4 Q0 }+ W　　
7 W9 O1 ]% c$ G. {. H  b( D6 M　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
1 T3 p  O: u+ D/ d- c+ k先上代码
0 Q9 s) C7 R' I0 p2 C3 A

void Getnext(int next[],String t)
/ m+ f$ ]7 u3 q, J' d; i5 b$ H+ q{
* Q0 q! p% f5 q4 Z  _% q   int j=0,k=-1;
1 D0 d2 {, d; I% p: d4 M# m4 [4 U   next[0]=-1;
7 B% z4 i% k- W5 g4 o: K, G   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
. A+ H3 y/ F9 H" [$ v0 T& y/ T8 z      {
# @$ W6 |3 _5 x/ ]* V7 H         j++;k++;
0 D- j( h5 _0 y6 @* @  q, k0 h3 Y         next[j] = k;
& Y; v" [$ P; Q7 k: z' P- o1 w( G      }
$ _& m: D- u" x  P* P( i; W      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
' f4 @% p2 L* u; h) \3 t   }
}
% U; ?/ j; F7 a0 q8 l7 N
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

& ?; V7 h$ c+ y8 T7 \, Q
特殊情况
/ J+ `7 q6 N( C9 n当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

  A. Z- `1 U9 X4 G/ U
) A6 f( ~$ A4 q, a% ^( a当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
) V2 E: w0 z9 F* K! c  T
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

5 Q3 P1 U/ @0 r
) s" J' m3 Z- L7 ~) w当t[j] != t[k] 的情况
4 y; }; Y+ l0 T- |( V: o2 A: `关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
8 ^& s1 {2 X) @* d. f$ T8 K
0 B! p: I9 _9 c% a+ q$ \
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
0 {# J  q% r- d( a9 Z/ [
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。
* u3 F* F; V% x) U# g

至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
0 e6 \/ ]$ ?2 I" A9 n! g7 {  P

& Q! O3 B' `' t3 B因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
$ s) q1 s* F$ A/ G8 J6 m

# n4 U# H7 }% f0 f+ OKMP算法实现
$ s, m" j$ q9 f. v当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。


都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
% P* d- B' Y0 N5 j. C- k

& Z. U3 V) c$ o! h+ h2 _int KMP(String s,String t)
{
0 P- x4 \/ k. x9 R" J8 [   int next[MaxSize],i=0;j=0;
2 R6 n; O. l4 \   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
& o/ c( O  u2 E) T  x+ y   {
! k. H% ^) [* d% Z3 t8 d      if(j==-1 || s==t[j])
  b6 J; u( X& L+ o% f2 e* B      {
         i++;
         j++;
6 i! D. W0 y" B7 w& n, z* v1 a! w7 d; u      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
- h5 M) S4 Q* v& p$ ~- g   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
      return (-1);                  //没找到
}

改进后的 next 求解方法
, @! u! @5 ]$ a# f: V' O5 m先来看一下上面算法存在的缺陷：
5 j( A0 n, {0 G; ?$ b
! P5 k$ ^( Q7 V% }显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
6 X0 D' u% o* e6 q1 V

! ~; h0 A  X/ f* a- p: u7 Q0 _0 f所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

  J* n5 X! P* e  r( g不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

+ N5 I( S" a5 N( m7 n) a
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。


所以我们需要谈价一个判断：


void Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
1 B) M' G" V; F& G   while(j<t.length-1)
   {
/ r$ P, P  X3 q# D" N      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
% ?% p  a! U* A1 l% L( o$ I5 H2 M" S         j++;k++;
: n" i, d5 ~9 ~9 b. o$ H         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
" t" U: B% \. P( [/ v4 P            next[j] = k;
2 p- y" j  i+ a* D      }
      else k = next[k];
3 I1 |+ k' ^9 w   }
  B; n% }2 J$ j4 d. D) z6 o}
5 d1 y9 F9 r1 Q" W) h! |) a————————————————
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