KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
  j. a* L  X* m8 }1 }2 A简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
6 D; ]5 u' t) u  _1 z- C

+ e8 x7 _* q9 Z. d0 N& ~提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
4 p9 j; m/ C0 M" z' Q6 f　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
  [. E8 N8 j$ I　　
  j% n  @( s  Y2 I　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
5 i5 @& R4 ]+ i8 o　　
, ]5 p7 L1 J. ~% R( [% S先上代码

! J, E. n8 P2 b8 d' I! G
void Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
# G4 Q+ |3 N& ^% _' p   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
, G8 z0 Y* V% L      {
- s9 n2 L: B9 d         j++;k++;
# }( Z! @( a( X( s4 K; E         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
  E% ^2 c) j  F/ c5 U   }
}

' B' `! ]; \! S% F" }0 I" Jok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
3 Z1 H+ K# r' ^. l: z1 g7 A当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
0 s9 n& q  l" D4 t9 ~5 m
& h3 D0 `' z( B. N* u! D& `
* J& \" h3 I  B' g8 q  V当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
, F. ~8 w2 r( q# ]  H" d6 M5 ?
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
; B1 A5 F- L6 k1 B7 a

当t[j] != t[k] 的情况
# N6 Z! n1 ]8 \' u+ x关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。

# n3 \- M; z* B/ S- n
2 `6 Q6 T3 M9 F- J我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
8 @! @) l5 {9 L6 c3 e. i: ]1 x3 z在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
7 t) q+ |# T& n' B4 c& b- _* O- ~
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

" N% p) P7 T9 T8 Y( y8 F  e2 ?
) Z1 W1 J( s8 }) }. E5 B* j+ A至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）


因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
, L% Y4 B$ C/ B( V& ]5 r
0 T1 M# O2 x7 z+ U
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
: a2 E, a, Q3 [, C1 n以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
4 v" O7 w" a, z$ k/ I
6 A/ [: i$ N( L% a, u8 Z! q- t上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

) Q) H; \+ H7 g( c  ~  n5 _根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
5 }  _8 Y. x# }, N$ l

% P/ \+ y0 P/ q' p4 o% |3 n都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


8 f9 u8 W2 T  d8 a; m- C$ Pint KMP(String s,String t)
& V1 A5 W4 x- u8 c; Q; J3 [1 p{
  S) [8 D7 n1 w6 y7 t+ w   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
7 t) L( t2 [5 B+ k5 q4 ^. S% Z1 P- X   while(i<s.length&&j<t.length)
+ J* u: d! j5 p   {
8 ]+ B' x$ W6 i0 Z3 b      if(j==-1 || s==t[j])
2 f1 f0 f; G7 i9 Z      {
         i++;
         j++;
      }
0 I& M4 ~2 l3 @% t4 R( W      else j=next[j];               //j回退。。。
! r8 L' w# c5 x7 f- R" y  a   }
) [2 M  C, k' }. h   if(j>=t.length)
& P* |4 \: T2 [* b$ }. U" R       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
7 |2 p' R3 }: v* X! k8 I   else
& l2 M3 C4 l9 p1 J# `- b; o9 e      return (-1);                  //没找到
/ \. K6 x' I" M0 D}

改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：
$ U/ w- d2 p9 {" h+ ^
" @6 h  k' S  s8 p+ \显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
0 o0 N' u& l$ M. R; h

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
, T1 `  r: Z( r  {  e
* U: o+ T8 q! K, p0 Q4 W不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

# T+ V9 w4 K# t& ~
% H/ L* g$ S% f% a( v. D! J显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
$ T% p! d( r9 ?
% P8 _5 a0 v3 ?, q8 g4 a7 _+ D
: E) K' J6 D# `, E/ G" z所以我们需要谈价一个判断：


0 r. j8 O( z4 j2 N5 K4 L- Yvoid Getnext(int next[],String t)
1 S; U4 `. Q- N" `" x{
& i/ l4 v- f' ^  z   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
0 }6 ~7 u2 z+ A2 S) x  O   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
3 ?) `2 L! {9 @7 Z* a7 D         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
9 w+ m6 n2 i. U) e         else
            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
   }
}
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( b7 G2 n3 D1 Z' l% V$ f原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
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3 F  ~* B: N0 L; S$ U5 h$ `

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