KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
9 @1 P) `9 ?6 o$ S/ s简介
3 S/ n% B% l/ a3 I　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
: @: n- y, u8 g- L6 |% Q; L6 f

: `4 a# u) ?# g- Y3 H提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
$ W! |: s. q3 g; O　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
6 l& Q* L" E& L: p. V4 G　　
先上代码
) O$ ?  `0 |# g$ b8 \3 k7 V
. _- R* J2 v  M& F  p
void Getnext(int next[],String t)
# i" V* I/ H, T0 T{
$ p' Z' t  z* w& E/ s- W& `   int j=0,k=-1;
& E1 t8 b5 o  P$ G: p   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
0 [$ y6 b0 n5 A! a7 t8 l      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
; {) d1 ~2 y1 G* }* O% P1 f& x         j++;k++;
         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}

3 G0 `9 I, e3 @ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
2 P7 B- D9 B! {- ^+ O) H' K
8 T; t2 e, [; w# r7 z/ r  F
2 E6 Q9 V4 y) C特殊情况
6 s' g4 F- K/ {当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
3 A$ H# D1 E+ w# g* n

当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
( \$ g+ V! \8 k6 M' L/ v  ]/ e
# B  D( ~* D# K$ _( ?% l( L2 Y观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

4 `/ g" ?6 [8 M* ~4 H& Z
6 b' ?+ N9 z- Y当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
# X8 R1 j* D+ }5 R7 F

我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
$ A: {" S7 E% N
1 r  E4 G4 p) n5 n* @9 l4 x　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

* `( ?  a5 ]5 o% A) h$ i* h" C
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
" C9 k9 r  m, I! B' z3 T0 U

1 x  f% N/ _& u8 o. r7 h因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


5 [! |4 o8 v2 O, W* W: f4 L* E) R再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
& ~8 i' _* c' i* y  Z' \

( j" W! T7 U; k7 ?. P; r! A0 UKMP算法实现
( u% g( y/ N9 l7 c4 U0 h0 _当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
- x1 S% u) c1 f% o9 V& j& n5 R以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

2 I) F/ m# s4 N8 }8 L- ^上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
& G; y+ U0 n! k: ^5 t
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

* [0 P, N1 I5 [/ r7 `* l
3 U# K4 V: p& c) I0 N都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


/ ^: G0 a- T( m6 Bint KMP(String s,String t)
& d) J* J$ v' _, s, y# c{
$ ^$ h5 o% M7 v/ f2 T- A   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
! r3 y& h9 V) u- s9 \( K   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
& @5 H7 D. I, u: X         j++;
      }
% n' U  C0 v9 Z2 b: A      else j=next[j];               //j回退。。。
. P; o* {. \, t! Z  o   }
   if(j>=t.length)
- `, V3 a8 h( C2 h/ [       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
      return (-1);                  //没找到
, m% c6 |4 l: X% w! p}

改进后的 next 求解方法
3 t1 ~  c# v  p5 I1 b$ s. z( F) m先来看一下上面算法存在的缺陷：

; k+ w) P2 X3 r4 |. |显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
7 l0 O% o8 O5 g
7 \, ^3 Q: p& u0 T; W
3 z, j8 H- U1 \9 R( E# K, }- ]( n. p所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

2 e  _5 v+ F9 f/ s不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。


, @0 _# ^& c, i* K3 A显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
! y1 }6 I& h' u6 E2 @

所以我们需要谈价一个判断：
1 L' i4 c1 Y& K( {+ k: n
& c- l5 _$ ?9 c8 u0 |/ `
void Getnext(int next[],String t)
{
7 W6 n* A" w8 ]& o0 B8 o   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
6 D/ u# b  H$ T: |; T# {* a      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
6 ?, W9 O$ s6 x0 }% Z3 M* d* m1 e5 b         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
+ ~# s/ t% [! M( K; I( E8 E$ ~            next[j] = k;
% I+ S' F: t: I# v      }
      else k = next[k];
3 n  Q( V) Q8 C! n& m   }
}
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