KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
6 L; F8 d' m+ {% Y' n* L简介
3 W( P1 [& E$ h( H/ U/ D" x　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
! q% w: ]1 S$ q: E* E

8 N0 X* C  d8 ~# t! p( b5 A2 n提取加速匹配的信息
& C- u- }7 |: G  S　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码
% _8 B" F# A2 @/ U" r6 O# P+ N

void Getnext(int next[],String t)
0 L/ q, A& J1 u" e, A, o3 Z; S{
   int j=0,k=-1;
0 L! Z7 P; G2 X$ _   next[0]=-1;
3 e& q, f: M( X: \) u7 V   while(j<t.length-1)
% C% l; b1 p; {, c: j   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
5 n0 f9 L" f8 K6 K8 e& g      {
8 W% s+ t1 Z/ O# K         j++;k++;
( y6 y6 C3 E, S4 F. @- {9 z" v/ P* G         next[j] = k;
- [2 I  C0 P) N' \      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
! f3 \' i% C) T}

ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


5 E/ m% m# D  `5 @1 S/ m特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

7 A& B- X9 A( [  Y$ G
% S9 s+ z0 @# J- O' M, U& b当 t[j] == t[k] 的情况
/ ?- Y! y/ ~+ `$ g: `' U举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

, ~; ], [4 B3 p1 t5 P
当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

5 Z. L0 W5 T1 k0 b8 O+ G% m$ c　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

& X0 z1 q2 j8 J
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）


因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
! u% ?% L3 _2 U0 o
( k( b. `( x! @* _: S' f% ^
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

" U2 q1 f+ m7 }" A& c# R& c$ s1 F
6 q) T$ H* I* p) g* jKMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
4 v4 f/ Y. b8 b8 V; i$ I以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

: L" _* d! U% K! g将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。


都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


4 C% {2 u: x8 {4 C) Vint KMP(String s,String t)
{
- y& u9 t: B" g$ g   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
0 \) J( w9 P% V* w3 B, R( W6 a   {
) z/ W) H3 I( `8 d: i* {$ W      if(j==-1 || s==t[j])
, Z$ K4 x# X( [' ?- L4 Y# o      {
         i++;
         j++;
      }
' t! L- f: p. f& c2 d# V- E: e      else j=next[j];               //j回退。。。
& Q3 Y/ C' u) Q3 |   }
   if(j>=t.length)
1 t5 C, _: t' S0 C; I       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
3 D4 q7 l  S% k) N3 Q/ A. m7 I   else
$ B3 m; {0 A9 g* r0 N( A6 R- Z6 e      return (-1);                  //没找到
}

+ p8 f! {- d+ |1 y, L! |0 |改进后的 next 求解方法
+ q& T, x- e0 ~0 E先来看一下上面算法存在的缺陷：
: D2 B7 K; [4 m3 B5 W6 f
- d; _( n& a# @0 h3 S显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]


! M6 d! S+ L' u# a/ @所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

! O7 s2 N6 `* }, V- L
" ]4 g8 L) ]7 \3 {* ~- q0 u显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
% U' r7 v! y5 y

所以我们需要谈价一个判断：

7 F" e" _/ j$ R
void Getnext(int next[],String t)
! C4 k( y- I6 p{
% M9 Q7 j& }- l2 z   int j=0,k=-1;
" t. O: C$ n% {( Q) F: g0 L4 i3 [   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
, U7 K, [" Y+ {   {
9 I9 u0 ]# K  V. r2 _- ^( X      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
0 S, F( `- [0 q) Z9 i+ r! w         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
# ]8 k3 V/ a) J. |) y            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
; P9 O" ^* R6 \0 \, ]# @/ }$ v   }
' i9 G& R7 H4 X6 |* x% @}
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