KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
# {8 |* r$ h: N% \  Q& v　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。

. H6 V# f! Z2 e
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码
/ B2 _- R& j& M$ X' U! n" K' L

2 D$ P& P2 e' N; W6 \void Getnext(int next[],String t)
: p2 s: z1 @& Q{
   int j=0,k=-1;
+ A8 |, ?, A- i8 v5 G   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
  Y; o& X9 h* H0 Q; [& a+ E   {
3 \& ~4 t# Z+ t& o, e% F) M      if(k == -1 || t[j] == t[k])
1 n5 }# w  U5 \5 `      {
         j++;k++;
0 F6 v" @1 G' q) _) U) T  R  n         next[j] = k;
      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
' s  A, ^; R9 }4 Y7 b}
, t/ j* ^- b8 j/ I
; m; Y% e3 W- \0 O! h) g& h, nok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
6 `8 b" a5 S" c

4 ?- t( H4 n% I+ l特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。


当 t[j] == t[k] 的情况
% V0 f: p% U$ W  [' y+ W" y举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

$ x% j+ r0 B, }/ B
6 d7 Y& S  A& t! d5 ~- p当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


# x+ q- G8 t) k9 }# _4 i我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
  B% G, O* Y! L0 ^3 M+ j
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。
! u$ u; q' }" D3 S7 `; v
- ?0 q9 N% c( K" U7 Y
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）

6 W  ]) ~: j2 N# L  s5 V
因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


( b* x! z+ s* o: i2 X再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
$ o  B( s- x# I- r# V$ n4 B

. m( y) C: |. @# W. }KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

) C+ ?7 E1 ?6 ~) a9 y8 z上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
/ o; z( E  |' |9 u
9 c3 [1 c# ?; t8 D" j2 a7 T根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
2 @" q7 M4 H$ y, G  [- C# ?6 x
5 \8 m' t8 h: }) Z, \将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
) @/ J: e) B9 i3 P8 O) B+ x

都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


int KMP(String s,String t)
+ w$ K$ \+ `4 M6 M4 u( A{
% c9 E! |- z" g% X; R1 ^* P4 i   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
6 v9 N; N  v, X" |( K  q  m6 m4 [# u      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
4 v5 u+ M5 _* c) E         j++;
: x+ M- z  m- D. ?  m5 i      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
0 r9 Z: j- w. c  a/ H  o   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
; N" _/ l1 B' Z( O6 V   else
$ W- y$ S. ^1 i% z      return (-1);                  //没找到
6 |6 E* c3 ~* _5 q6 G}

2 H2 w8 j" p  Z改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]


$ c6 [( j9 E9 ?; D' k所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
+ M! f1 X* R, W* _' x
8 B; I' N4 U) k4 s1 {不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
  c2 K$ c$ w2 y

显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
6 K0 |; ~: Q! x; p6 I
1 r% K. x/ n3 [' h! ?9 i: j& X
! ?& R) f' l& ~* @0 O* e& ]所以我们需要谈价一个判断：

; m" f$ [. y0 n% O* U' x1 N/ y
; m+ @# V8 y# T% e  o/ Wvoid Getnext(int next[],String t)
{
6 Z  I- p0 d9 O2 N   int j=0,k=-1;
6 g$ G! i% a3 f9 t+ f   next[0]=-1;
" }6 x  f0 }$ i1 R9 ^# Y- V) }   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
4 D6 w+ Z# Z8 W9 `3 f         j++;k++;
: S+ {1 k0 x; G) T9 y         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
; t# z  Z0 M5 a1 @2 V            next[j] = next[k];
         else
1 {  h; Z: j2 Q$ N+ A8 [* ~/ p* R& }. }            next[j] = k;
# N9 g1 x7 F9 S" k2 m+ {6 W      }
( O- x. ~4 F, \  b4 L& c* o      else k = next[k];
   }
. W' L5 f' o5 Y* I7 E/ ^}
7 M  h6 B. f* N. M! e9 y6 i————————————————
: [8 R* l( D! H2 ~* {" y+ x% k* k版权声明：本文为CSDN博主「June·D」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
/ R  Y- w, L" p$ ~3 A/ O原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
$ u" P! p9 s. J- P

) y( I4 f* S  H6 F/ X1 r9 L

1051373629

zanzanzanzanzan
4 W1 j/ D* Q. O. S3 L" c6 {