KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
0 V) i2 e1 A* _& Q* z5 A　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。


/ H/ I$ V+ i8 w9 a! X0 v% N提取加速匹配的信息
# V/ n7 }( b* k3 d9 A. k% Z　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
- Z- }9 u4 [  {, [　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码

) I  D5 Z+ U/ K, f
void Getnext(int next[],String t)
  t' q2 q$ Q, ^5 c5 B: A{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
+ Z* q- G" E$ z4 R* X+ A9 h   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
" g5 F" V+ a( `6 f' G      {
         j++;k++;
         next[j] = k;
+ B6 i4 i  t* I/ Z* t' N! u% c      }
0 B  o% L8 o+ b: J  W2 f: B      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
$ y3 w; w1 y, d6 G4 a9 U}
- v0 e$ k. }: \& b4 z1 ~
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

. _2 H* v: `% n& {- {7 F
特殊情况
) e' l7 c) d: M: i3 C+ X当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
8 |+ t& T  v& |1 B8 o
+ U7 a( U$ k& ^& u6 A
当 t[j] == t[k] 的情况
8 i! m! a- T5 V; x9 ?5 C! m举个栗子
2 e! m# J6 h# A
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

  j4 O* s7 u7 a9 e+ m7 _
当t[j] != t[k] 的情况
7 Z. P( }8 n7 q+ H' C# ^$ s关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


7 T3 B2 ]  m2 J2 K/ G; W  B& ^我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
( \9 e& T6 M' A. r6 O  w在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

5 v& ?, l& ]# P
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）

* \# D6 u/ n0 o. D0 l7 F
& d, \) @4 P' E$ `) [* Y因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
  `4 M0 }1 i/ c2 _  h1 q  i
& w% K& Z; P+ e
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
% n. R8 {+ ~/ L7 f' t2 @7 m; o

KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
% d- t* l* S, p
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
% s; {% d+ c1 b- D4 ^* _) i$ D
( ?% r! ?) g+ \7 ]) i- l( A# U根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

7 I$ p; A( M3 |; t7 c将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
/ d( g9 i5 b* M& E' \: U* o7 \

( K! e0 H; B# Y+ `2 h! m2 M都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
( G+ W4 M/ v, C5 _& [  `8 i
$ L4 T( T! _$ a' r8 A
int KMP(String s,String t)
: T  z* M: ~  l0 ~* |{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
, R0 \! ]1 O9 ^6 A8 n' W/ c      if(j==-1 || s==t[j])
      {
  ?+ K$ e! q* A4 i- M         i++;
- |' D* j7 p/ U6 i) z         j++;
      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
$ W! I+ W( z3 J5 _   if(j>=t.length)
" n% M5 t# l( S, T, d5 k1 F# V       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
0 G. @3 p4 p" D$ D      return (-1);                  //没找到
}

4 a! ?+ {$ G/ m0 I7 u, E改进后的 next 求解方法
7 z- v, Z6 d* u8 V先来看一下上面算法存在的缺陷：
  |. [- E+ l* b, x1 W( F
! u& O- S0 \8 |4 w, X3 F1 r8 Y显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]


6 |( ^8 q9 k  z" [) F- |! m所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
: q1 J  h) C6 A% ~
不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

* P( q$ p% |4 T. l+ X
+ Q) F! I2 b8 G1 N7 u  {0 s3 {显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。

+ m! s7 r+ E1 S& j
* O  B' B4 ^& a" A所以我们需要谈价一个判断：
% `3 w: f; o; j

& u7 U+ i3 `$ J+ J: C; l& }) o' evoid Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
3 e# y1 E, Y* X, L8 q6 y5 S2 l  |   next[0]=-1;
; C+ U" B7 `3 Z7 D  ~9 E   while(j<t.length-1)
& r) e4 d$ ?. e# }" q% V   {
6 T0 \5 T- f; V' g      if(k == -1 || t[j] == t[k])
% z" d; g! H. a" t% P# ]& ^      {
$ Z$ a4 _: |5 X  V         j++;k++;
: N% x9 ]) ]- s8 D% ^2 s/ w         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
            next[j] = k;
      }
& T3 b9 Z( @( G$ z6 L/ `      else k = next[k];
   }
+ J: s! G6 `* ~+ D" t}
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