KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
) A; Y; a1 B# F3 U! o. J) t6 x简介
* s. J) T& c" m6 F( Z4 N　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
- _5 t! L5 l$ G! f" E4 n3 o
, e4 w! g! k/ @" f& j/ S
- _7 `9 c6 N+ w* L# k提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
- ~5 q% r; ?4 i, a+ c5 i3 q. [' j; v: I　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码


void Getnext(int next[],String t)
. a$ C: C* t2 a/ S{
/ v$ s" {$ C: n/ t/ _2 }. w, g) B   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
9 z. ]+ E9 y9 {; V9 Z' G8 ?   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
, F: R5 [" h3 u2 q0 X. U2 Z/ m         j++;k++;
! ~: Z( G8 v2 J2 _         next[j] = k;
      }
( r$ [* L! g9 j  R2 L$ `/ [      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
" m+ v" M/ d1 d3 d}

ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

4 N; K( i- K- ]3 F2 \. Z. o$ ]
特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。


当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
! L) \* A; X; b
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。


当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。

: m8 M9 ]2 s% r5 l' `
/ o- \( W& U- I+ e我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
6 T2 |9 n1 l& g9 }& S" e
4 q! C( x. V: r% B# ]　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。


至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）


因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
4 B  r4 M- W4 W! ^- o
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
/ C/ f+ }" F' k
根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
! Y1 r1 k/ ]( s$ }, p. @# o) N. V0 Y
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

8 Q% g, j( l7 m/ w& b
都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


int KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
7 ^/ D: l7 P) p: @- E   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
         j++;
      }
' ~5 n7 X4 h5 d) T      else j=next[j];               //j回退。。。
5 f) ^7 j$ h7 D3 G# [* }) w   }
   if(j>=t.length)
9 a. }: u* ]% M$ y& S2 ?4 N       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
) p8 }$ G) X" ^3 u      return (-1);                  //没找到
/ ~8 n9 i* s: G' ?}

改进后的 next 求解方法
' ^# q% t  a# c1 C1 ^先来看一下上面算法存在的缺陷：
* Q' E$ d6 L6 V$ T; Z. {1 r, h: u
) {/ N9 K) K- t' N6 Z4 v7 D/ P显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

+ b6 Q! j/ }. m1 @
所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
: e) j0 u6 G& p& v
不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

- Z) W0 x! A1 c, H
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
0 \6 y! u4 a$ P2 K/ |' J* r
' m( u$ B0 @3 P! O1 h
, d: O( P% j2 R& w  u5 d所以我们需要谈价一个判断：

3 U! A7 q& j4 \' g0 ~; n  W: |! B' Q4 T* X
void Getnext(int next[],String t)
: p% J5 \! t! ?) Y( |{
   int j=0,k=-1;
: P/ h* ^+ z8 L) U: ?1 z% X   next[0]=-1;
) r% {  n( W. o0 l5 [( n   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
6 M9 v" v! T2 h' m- ]1 ?, h9 b1 a      {
         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
! E% m4 V* X/ b4 s) t6 E0 d+ T         else
4 P3 C( E6 X. ~; Z" r/ D            next[j] = k;
- m1 m* T6 z/ s% v5 g      }
$ H$ y2 C+ C5 g- n/ i* j      else k = next[k];
   }
+ z7 U% n' q2 v/ M* M8 b2 ]1 f}
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. w7 I! b( h4 P3 O4 f$ W原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
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