数学建模方法——SPSS主成分分析法

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7 ]2 G" Y6 b* U0 _$ W. pⅠ.主成分分析：
, x$ g# Q' `7 e+ R; E主成分与原始变量之间的关系：
% ~" p& Z9 g( e+ w5 E9 L* K# X9 p, S, _PCA降维：
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：
A.求指标对应的系数
/ k( L/ d6 E- Z% J) a& N  e1.方差图与成分矩阵：
' [8 n; _" T, Y. s' G2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
; P- T' u0 L/ b: f. c- ~. V! ^3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
4.采用excel的公式计算指标系数
& U3 X8 T' }( C0 p$ {7 a& E0 {9 m6 S5.数据的归一化处理
. J6 `$ T. b% ~0 D. oa.操作如下：
: @7 C4 w  h0 Jb.得到归一化后的数据：
9 Q2 r2 b! q, n* {, K5 ?* [8 kc.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
- O& L. F6 c# X, p( I- K0 ^8 [B.附spss的免安装文件地址：
, ?& u' ]$ V6 p9 sⅠ.主成分分析：
​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。

主成分与原始变量之间的关系：
​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。

​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。

' D3 E" H) M; m+ S​ （3）各个主成分之间互不相关。
2 p) ~5 U) Y  {; I& k$ m
​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
9 h  B  H3 w4 \# L- S: x
0 Q! s8 n7 M+ \1 w' n) Z! kPCA降维：
​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。
; Z" d$ V% Q& I5 {
/ c; o3 k: H; N0 c​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。
& m$ t. L6 e: A! _6 Z
+ E8 q: p2 }3 {8 l  T( _' KⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：

  Q4 L( I  z2 r8 F1 V2 `0 g) C

6 n+ v: L3 b5 c% `# l- G
& \: o& T5 E" V. u" {7 o
1 B8 t/ w/ Q* M" c' Y9 A$ h; f
0 j% {2 D0 I4 B

8 n6 z( j8 `& O. c% T2 [




( S+ j; c) f! c1 k* i5 f* W
9 L- D0 N2 z( }, S- H0 p' R
$ B/ [; G8 W9 S6 M1 r( S  u4 s
, J* t, d/ i& _, |" d. t


) R9 p  z* F+ }$ fA.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：
0 m: F  Q1 l" Y+ r6 `' t2 d

" }4 }7 B  w& j9 m3 Z' W, L
; a' D7 M  \  M7 i( E2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
' d4 T1 T( W& Z9 E& mF1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10
; r6 h, D4 w* c' ?3 }, l2 \
F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

: b+ Z9 G  ]! X(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)
( ^  {/ Y0 x* G7 g! K  ^) |
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2
7 I' Q( {( b" T' D
( G7 z( x% ?" A2 C3 N4.采用excel的公式计算指标系数
$ E& A( r1 k% Q4 s4 Y% I将成分矩阵的数据列导入excel表格。


( h+ w- s; `+ @2 e- x3 W然后通过Excel命令：

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

  c7 y& w7 k% K8 `' _
7 z: M! k; o0 f
5.数据的归一化处理a.操作如下：
! }: Q! \- _4 ^



b.得到归一化后的数据：
3 ]- d! H3 Y! T4 z, `9 m, \

' _6 o' m4 b; o5 K% ?3 e  wc.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

' u) ]7 L3 {: b

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

- I4 \6 c7 v7 o* F: s
$ M& s+ Z4 O8 J) X) l2 x; C
5 x# x8 G8 Q! ^2 m  T9 S" s
4 P+ z% c4 y. a- i9 O- Y; g; ?
3 e2 m* \% K6 v7 C1 i