数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
" k" P8 P6 X$ H* y' D2. 按模型的特征分：
/ L; L  M* `- G$ p. F1 ^$ o' H1 X& b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
0 g/ @& C1 d3 d1 D3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; d8 X9 t2 n9 [/ {$ j& y一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
# W( l. p, c8 A, i& ~6 Q有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
1 x" f; e4 ?8 Z# W* j6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
/ n, ]: p! {! Y! o( Z8 B数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
0 F5 t1 _1 z) ^# d! d* V该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
0 y5 N' D# j3 |2 G; j2 \/ Q2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# W! v5 v1 w. N: }+ ]% w" `/ S5 y建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
3 g- A# t. W. E1 S( p法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
; J# J# V) R' ~: I4 q4 V4 、图论算法
( M6 d0 N+ u' q; m6 \0 ?* H这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
) K# N5 v0 v6 L论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 u, W6 l7 T9 e' k这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
9 T7 e7 L1 u  K8 S& k" k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
0 n9 L0 \# e. w& E$ e4 `8 g帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
- B- X. B$ P1 Y& E/ p3 ~当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
' a' F( K" @5 R$ s" d8 u/ ^3 y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
+ R( H" y  [) n: E# l; Y' i# Z1 T如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
% d+ Q# a2 f( {0 \10 、图象处理算法
- J6 w# Z, N+ }6 @赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
2 y+ t+ w' e- c, l4 [- R% M# K# {# J- X$ r的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
9 b: C' q+ B( f: I4 E. _5 H3 X行处理
* D" k% }, L' W8 `$ F算法简介
0 ~8 |1 s" Y. @/ m" ]( L* Q! @1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
, [* o! \$ A5 o- U解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
$ h/ b- F2 p- C/ }8 m0 Z, G( [①数据样本点个数 6 个以上
% O* ]9 k9 h3 j2 Y  @: d②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
* p, Y3 S3 G+ b# o$ U) m4 `其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
7 A# N' Z- t4 T3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
0 F# o0 ~  I# y! S/ \8 B②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
* i& a- {- n$ R5 s" k/ V一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 ]9 @+ i- R- X9 {5 I$ P6 [. D) B互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
. q' N2 Q2 B! {$ E% o/ L( v  Q4 o+ q概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
" _* \& p6 L5 k) J5 H# a预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
: @3 W7 S/ ~1 q+ k/ o; R7 B( t0 V& x（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
8 R; I3 n* e: [& Z4 R, W大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
( x) u. U$ c/ c; _0 M8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
* b( I. n* K: j1 V  z拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* f. N$ I' v/ t逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
6 A* t, G  R' Y- M11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
( t: X1 L& Y: Y  r作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 f! o2 e0 j! ?; h9 R* [' t12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
5 X- o" a  ~! @秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% Y+ F( n- G( r评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
# l9 _. z4 R/ ~9 E, u; F* ]解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
/ B! q+ S: L: X2 r: _的最差值。
3 i* r! d4 e4 [' j: E15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
: X' r# Q( m! G4 P5 D9 F16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 e2 ~6 p0 e8 @) P5 @量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
7 v4 [9 [( g/ s素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 q# A& X7 h4 A1 P0 M, v6 u- X7 o此外还有灵敏度分析，稳定性分析
$ v, |+ q, r  I- U" j  i- K6 S17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
' `- ?1 P* W( x1 Z% H8 v模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( J7 G9 ?" G6 S5 \5 W" v5 u优解。
& C2 r6 Y, H) Y18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
0 ?' P& s, ]. [7 e智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
' C8 ]+ K7 g( g" x9 w0 q: s& H3 y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
2 {3 ?. T9 ^9 u, O! o离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
" d2 I! b# {9 {$ ]: G  p: G, f- h! p: f排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
! f% p, ]) ^; D2 b! f般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
6 G" m& S! E% ]; c# K21 、图像处理 （ 较好） ）
+ R8 [4 Y" `' G8 k9 }4 [( h! t! HMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; N7 j2 G& j- @6 o7 y1 [/ ]8 J例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 r9 I4 ~3 n8 }1 v9 q; d2 i支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 k( c; \! J8 p  @23、 、 多元分析
1、聚类分析、
: _& i# M. U7 d9 R$ R2 W  k0 H( C2、因子分析
7 v1 H% l' `6 Y# Z# X# \3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
" a: J3 K5 g! K9 z, y- C1 x各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
6 ?* R! T8 I; d7 a, q/ @从而达到降维的目的。
4、判别分析
5 C) b* v( |: Z5、典型相关分析
. s( c/ K. K2 i3 ~3 b" ]6、对应分析
$ A" V! r0 ?& D9 `$ H7、多维标度法（一般）
- f: a1 {) L$ l+ ^1 S: C% Y1 H8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
# n! ^9 k* H4 w( z; D- c主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
- _3 p& F% r* D3 K3、层次聚类
$ ~; U6 B' e, U4 h4、密度聚类
2 c; I2 H+ {8 l, Z. c3 K7 k5、其他聚类
. s( |1 D: D' F/ y2 b, R  x6、贝叶斯判别（较好）
: x# p  W# o4 h. p$ O  i( n+ V. m7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
! Z9 _4 A4 P$ i1 M/ {4 M$ t25 、关联与因果
, T( p+ r( q" ]2 p# a% c1、灰色关联分析方法
" N% Z& u; @' d; w1 q/ q2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
, h, H! Q0 C/ u8 M4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
" f7 l, ?8 J& w5 y8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
6 k; K4 F7 y2 |4 q9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, Y- l& J# w% g* ?8 f量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


4 s6 p- j4 B2 k; S
9 J7 I) m  [! M# J/ n

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$ Z$ C$ Z4 W6 f6 G. m

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
2 F; I. a- R' t' u8 }, S$ j