数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
$ S) U5 p9 n4 n- E/ n' I几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
# b3 T: O9 L7 F2 p4 l: q6 ~2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 Z$ y/ n' X9 `3 V性模型和非线性模型等。
, s; s4 |" R4 q3. 按模型的应用领域分：
% [' h% d. _1 U! h  S/ O人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
: V) w' p; s) C8 r预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5 m! ~$ g  I' K, l/ H2 j, P$ {一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
9 G3 k7 N' P: V# a  J往也和建模的目的对应
( }8 T. M# ~; L! H$ ]$ v5. 按对模型结构的了解程度分： ：
, t2 I* l5 X) {6 ]0 Q/ j有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
+ W- C) R5 L3 G6 a. f比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
3 g* K  z3 q) V/ a6. 按比赛命题方向分：
& y2 d" B8 D' e3 h8 _国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* K$ P8 L& C7 V4 r5 X& q" s数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
: U; c# {2 w) s; c4 a, h3 I. ]比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
# J' e9 }. e7 T* C# ~法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% I0 ~5 g8 @5 Y) T3 P论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* m+ U# Y) N6 l( c8 F9 K" a6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
4 ^: ^1 ^7 B( a$ c8 v: ]5 z这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
* a5 ^/ c, K( k+ G4 D( I7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
6 c; v- z( c  t4 p6 J) |. f8 、一些连续离散化方法
$ l5 u  C& a+ A0 N7 m# F" a很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
9 e6 o0 o' y: M- h  j) p据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
4 A$ f1 u8 G3 [/ ^如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 m4 b$ r) X" w+ ?" j# w) [$ I如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
1 s- L" L% {( B3 _赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 U* D! ]3 C* E4 o9 V& J3 {的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
! c+ r1 M- P7 i& f; ]' o行处理
, c/ a1 Z5 I7 q. W$ k5 m算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
) A5 r& R, A. Z/ h解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ l: j, s2 `; \% T# b' @8 d& h% k个条件可用：
! w- _; `  n) u; o( M$ g①数据样本点个数 6 个以上
4 G% D- E, h4 u* [②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
) X& Y) [6 i" p+ Y% {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 m4 I7 A: s/ j6 ?& u3 、回归分析预测 （ 一般） ）
& d1 b; w' S/ s: P5 K  l0 H; Q求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
/ ?# N* m9 {/ N3 O% ~2 p化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
: e7 P0 U' x& c9 c8 {% c+ w②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
- S+ x$ [" f/ {4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% e& F8 U- ?3 v: T5 K, o% \# \# W% A一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
2 s9 s1 X% q* I& W* \& f' g5 e互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
- A" X' m# B) M1 J. p5 b/ [! ]1 }7 J5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- v" W7 P: H. F4 r7 I( [2 {5 ~预测波动数据的函数。
. Y$ a9 K9 t' x/ Y& t- V7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
- Q% a, k  x1 N7 e. W8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
, g6 |: ^( I, m9 `逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
) ~7 W- G' y1 U& G) s10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
, S7 Y4 y  I. y' t作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 Q9 r3 s8 g8 N1 ?* J7 M12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
7 w* ?2 K; j4 ?3 j, D: C% n! Y13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
+ \, g2 A0 \- K$ z* ~2 c& u秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ Y! M* j. N1 _9 i+ c7 X似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ C5 D; ~& l; c' L( O评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
6 H, `* k9 Y* z3 j( v15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
" o) `4 `: z7 l/ C可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
) {& s( U! P! m该方法做评价比一般的方法好。
4 a& {1 Q5 v+ p3 t4 ~2 x! _0 G16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
! [. m* a- W: ~5 {, D* B4 N4 V量有无影响，差异量的多少
% N! g7 F$ d3 O2 N' W3 Z协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
- ]  K# X' F; \& {模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
" p$ \5 E& z: U" J% \优解。
9 J6 A. [2 y+ W( V. j5 \5 s4 h. m18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
# E# O1 j  U) l% j7 e; Q% W非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
  C( I8 f0 d. B智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
0 m$ J: O0 _1 e6 C# [8 b其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
) p1 I6 r* y' H" [7 Z* ?19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
( i) q* {8 T$ L$ P! o排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
1 [- b2 T  Z9 G, n% G有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
) q. y: {5 J* k" s9 ?8 }1 }21 、图像处理 （ 较好） ）
/ f: E$ l' j& pMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; c, Y& J: s# p7 ]+ s% j例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
" B5 r6 h6 U  S2 j/ l22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
9 E% s3 s/ x  M# M% k7 x6 I) F23、 、 多元分析
% s6 d! m& g* ~+ n% B9 D1、聚类分析、
2、因子分析
6 R/ Y3 m( M, V1 O8 Q, e6 Z3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
9 Q: ]7 R% x9 _4 X& B. @9 ?各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
3 ^* L! Y" D; C( @( K  h3 q" h4 y4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
% I0 q6 t( h& @" a1 ^6 H7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
; l1 |) C" f. j  |" R* F! H7 w24 、分类与判别
/ H% r1 T* [5 |4 N: f# M" j5 x主要包括以下几种方法，
3 j0 ]" M* M, U( y  D0 F0 R1、距离聚类（系统聚类）（一般）
: q; s9 t; ~: F; X7 M8 |7 j2 ]- f2、关联性聚类
8 f# c( G. A$ s3 V4 C& I3、层次聚类
) w7 w2 F6 P4 s9 {  u. y* i4、密度聚类
5、其他聚类
3 e. }  e. h+ G7 v2 n, c5 ?8 r7 [2 E6、贝叶斯判别（较好）
7 z7 n9 d5 S2 m7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
3 x' K' A2 V7 t" O7 f) I6 L1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; y* U# a: [  ~3 ^8 m4 ~+ i4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
) Z# n" v3 ?+ v8 r3 _5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
" ?% f" y) L8 ]. A+ ?; _6、标准化回归分析
. m$ G7 j6 @( F- N/ d若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
5 S* y, @! \! m5 j9 V+ d7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
$ g5 h! E) ?( O8 _4 }. }计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
  J& W3 [8 J/ O+ j& [9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 ]+ v; D9 y. m量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
( d2 j, k6 @! g- i) \! V


5 J- D8 i. m5 q) S; T9 R' U

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9 b$ E! [: @, E5 J+ c  D
2 n, @3 x) `* u9 W111111111111
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% h4 O; T9 Q& T0 M& E

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
; l) E' I0 d: a