数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
7 M+ u; Z) G2 h  ^/ E1. 按模型的数学方法分：
, x1 K+ P; W0 V7 [几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
+ v' X& e, E' a$ O; M3 ?* v2. 按模型的特征分：
3 ?/ e) b4 s2 h- {0 O7 V4 f1 e% W静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 F/ o! L6 B3 E" L性模型和非线性模型等。
6 j& j/ U: b+ F8 G  o/ ?2 A3. 按模型的应用领域分：
# {( J7 y) ^% ~) ]人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
, Z+ P8 j+ s/ v' W" e( M- H预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
- p6 S/ |2 D! S0 O3 G5 M0 C+ u往也和建模的目的对应
" H( z' f& ?3 e3 a. Z' `! r5. 按对模型结构的了解程度分： ：
6 o2 _& E0 @# ]" B& m有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
. {, @' p# l( {- [1 B8 k* V/ i6. 按比赛命题方向分：
, H# C3 z; z: w! n( b+ F& O* ?% J国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 T4 A: k- ^. G数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ Q% q* |- I7 l; ^8 r* P- m. b比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
0 e; b2 ^; _' [3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
; H' X/ p2 e  o9 Q4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# `% b+ ^9 O/ I) e4 x这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
8 a! D& f% W* H2 F7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
# d% m  j6 ~9 @5 y8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
: W' v; [# R8 B5 ?2 W7 A8 W9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
4 e. o6 f5 @: X5 L: q) w8 P- A赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
$ b/ ^8 [6 N3 N6 O, ^8 q) \的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
7 {$ d# z& r1 [行处理
算法简介
6 H5 R: l$ _( A& n1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
, G/ a$ s* y1 A0 W- ?①数据样本点个数 6 个以上
; ]- m; o  `. U$ Z5 I+ m8 E. k②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
4 G: W  z. W$ x$ q) u% M2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
6 b, X& T& A" B0 ~0 L微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
' u3 b2 M9 G8 _# w  }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
" F9 j, i: E3 \% q9 }& c9 K7 Z5 p+ k找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
9 n: Z! U2 |7 z/ o+ s0 g" b求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
3 [+ I6 r" P% g: L化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# a7 g3 Z! Z* F②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
: J7 {4 O; G9 v4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
6 h5 H4 p( S: |9 V一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
4 \, p$ C" k1 ~$ u* x6 u1 e+ M概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
+ T$ g# u" |9 J/ z5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
% [$ ^6 m( f2 x% H+ R, \7 |1 N3 w预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
; l: s% A! V: X/ n$ N6 U# T4 D7 a7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
. S- O: c2 G& N/ @2 q- u: ?" [办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% I7 i* g; `: h! E; W9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' f. J% ~* j7 p评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
/ |2 G) d$ `2 ?, \% Q作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
3 y# ], F  j0 E6 ?! X" H12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 j5 S. k4 |# }优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
) s  C1 [3 F" V- m- @  S秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
. Q: H- k  C- A  J, T" l似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
0 Y- ?/ h) K5 }4 @- F( |2 p) ]评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
2 N2 S6 V! k) h# c: i* A) e. _( g解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
, C1 l6 `3 n" @& H! U6 o可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
4 g% D  j+ j7 v0 |1 u# a方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
/ d  m- \4 V& {+ m; q8 K量有无影响，差异量的多少
7 H4 w5 `$ a( w. H; K协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
. u( R8 D9 p" T+ O# d  ~素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
: J9 ]$ K/ o( X, T- X$ z此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
) A" c! C) I! y$ A模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
. a& G' l0 K$ Z( {7 z算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
) |; p8 y3 [1 y, S5 T19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
" ^( e) Q  E5 b: _离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
' X+ ~$ n3 r7 W3 K排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
% k; Z  x/ m% D) U, \1 ]0 e7 b般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
  K. Q7 O$ E  u8 M- U7 W21 、图像处理 （ 较好） ）
! x8 a9 q* l  |1 k4 RMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
/ A4 p6 V$ o& T4 J) p2 [例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
2 ?/ R2 H" b6 u. |+ ^6 \3 z1 j支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
. L. t9 G2 t: \4 ?1 s2、因子分析
  a! {, D$ i# \, Z) [3 o; t3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
9 ~, ~( [6 G$ }7 h% n3 B/ P各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
7 p- h) `! Q9 w  N4 K4、判别分析
5 ]$ P, q1 z" W5、典型相关分析
9 _, I0 I: r2 e* t6、对应分析
1 x$ S# ~/ Z5 y1 @" a7、多维标度法（一般）
+ q2 M) n: c- ^8 v8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 U* K8 ^  \$ c$ |" I24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
  [( W3 b6 v6 a1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3 ?3 a! Q8 s3 X. j1 I1 i2 }3 S+ k2 a3、层次聚类
2 o! _4 P2 P: ?4、密度聚类
5、其他聚类
/ Q& T( |& S/ ]# c2 j2 r2 G+ X0 }8 P6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
5 P) H. a2 I) |) w' Q& t# |25 、关联与因果
; {9 q% d# r' R0 V5 j1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, n$ |" t) C6 M3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
/ {$ {' b& m! F2 t1 C（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
# Y% V3 _) k5 K; s% _一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
: ~$ f1 g6 V' h$ b  J. J7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
! |7 F  P. H3 o8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ h# C3 E5 y% k4 a9 R量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, n- ~% I  L1 r$ S6 k* W率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

8 I) S6 ^( h; C$ X) c

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的