数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
: C, y" G; |$ p: q0 T7 J几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
; ?4 h# L$ s- g3. 按模型的应用领域分：
3 \" U9 G8 U; H人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
  \. }9 c, P: u6 V3 h2 G! l一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 n; j' h' i- s# {5 p往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
( J  P, Z2 j3 @  m0 M有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 N# W1 _% p" b- s+ w* Y# d4 [比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' v; I; g* h" P- I$ l6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
/ Z$ ^  r" p' W! \7 @2 A数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
' E- X1 O- h6 Z$ n3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
, m( L, o  m& d4 U) _8 z, ~/ m法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) N* {$ ]  b. j6 o3 {+ x/ F1 t& h4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
9 Q3 ]5 S( _4 K$ A" x4 g. X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
  a9 ]; b; [8 S8 y& f这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
4 a: ^. r+ R& `- p帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
2 O9 q+ T2 I' m) I' a7 o: c当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
$ _4 f! d# }+ Z& b8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
) I9 T9 C3 \# B7 t% U7 ~据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
) o. H# @( i% ?7 l" N- t- E' {9 、数值分析算法
3 C4 W0 [( Y5 z/ y9 [如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
4 l$ \' t9 L1 @如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
& A8 p6 _; i' C+ h% z10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ g, N0 S" ?' |3 t/ v; i) y6 U个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
5 L5 y; U) Q+ P7 w2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 l% x$ r5 |9 I% z  z/ `* i* f) p其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 W5 c; ~( _5 v1 D% c化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
9 P1 m: t  B  J9 n" O8 ]0 @0 p②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
! |$ m; K4 ~/ q概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
3 r! W$ k" p+ }: Y( @（较好）。
& m, ?+ P/ o( e$ G0 W  D6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 w- G7 U+ o0 g预测波动数据的函数。
2 T9 p& b" r4 `& L% G5 @7、 、 神经网络 （ 较好） ）
7 c* T6 D1 Q9 {6 m- {# R大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
& J! m5 D  Q7 n9 H9 ^+ G/ Z9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
" ~# ?9 ~% ?, y10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" U4 v! l- C- p$ }. D评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 P) Z: f% |! Z+ Z: m8 R11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 R3 |0 e6 ^% \4 Z作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) D5 j& I$ Q+ f; ?/ R12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
) o+ R! Y1 e" i3 y7 n3 B1 Q优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
  T5 P; H1 H# n* E6 p秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
4 d/ ]% N# x0 e5 e% M. i9 o似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
7 s8 ^2 P2 {, i( ^2 I. }其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
3 ~( B( f: o4 m* y" i的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
6 W) A0 K; }+ ~4 D该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
  t* s, x; A! e3 C( d9 @. G方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
5 @  X( Y" y  O# \5 B素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
6 V5 w% i2 v" e# q3 ?8 P此外还有灵敏度分析，稳定性分析
$ g* L( L# f) d- |$ _8 @+ G17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
$ s; A1 m" e2 E+ j5 z$ t优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
+ i! `# A. [: M0 N, @3 `5 H其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
% I$ W0 B3 x& X1 {6 s3 v9 Z' a6 \20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
  c% v" w2 d8 p" R( _" Z" p& N8 P排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
. I1 o, V$ |% |* A$ M4 [2 l即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
% \% l* V* c- T$ n( N; B, d( g  u8 ^例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
  ?- Q- y3 C! d22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
4 m, o1 T0 ?) ]; o" ~支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( V* b! U# C2 f3 H+ p射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
  e! i: ~0 _, z$ O1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
* m3 N' U4 k* {) G各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
- i. Z, E5 ~0 |/ H1 ?5、典型相关分析
/ Z$ F- A1 [" }) H" o0 o6、对应分析
8 R  A' n. R! m! ]3 V4 ]6 d7、多维标度法（一般）
, q4 `* e7 b: R9 x) Y' ^8、偏最小二乘回归分析（较好）
. Q+ c+ }5 y5 w0 o6 q& u6 Y. W( ?24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
! y0 N/ ~3 m3 U6、贝叶斯判别（较好）
. d2 q! H2 g: ~# r8 n. K7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
! c0 Q/ R0 O$ {2 E) g3 N8 e+ m4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 ?" ~3 E  }9 x一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
) u3 C/ x- ?3 V! l5 k/ ?1 \若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
! \/ `, Q9 d1 z# i; E7、生存分析（事件史分析）（较好）
; e6 O4 g+ ~4 M( A( _2 h数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
9 k1 V9 A. P, x& Y" c8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
# Y- f* S  i) W0 _5 g26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
9 N, I* i, h, t3 T# O率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

  a! g1 I: g5 f% X: X

$ y& G  ?1 l8 U& I7 H: r

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的