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线性规划——运输问题(产销平衡)

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    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-28 18:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    运输问题(产销平衡): I- g+ C! q) R. g
      某商品有m 个产地、n 个销地,各产地的产量分别为a1,a2,…am ,各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调 运才能使总运费最省?
    * o& x; e/ E% B' |6 {# U4 w' h4 m: G# I5 Q& O1 |; }/ s# {
      解:引入变量 xij ,其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量,数学模型为- j# F! `! [; `9 p
    8 @( T. `9 A0 |) S, ^/ h( _6 x
                                             & Z7 J5 D0 l) x' @2 g
              显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。

      对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:

    其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)
    . Z) k8 e+ ~1 k+ ?
      w9 g! m. d0 n6 g例题:
    & o& C' q1 a  h. r4 v5 j1 M& A  C% n$ j: ^) `+ e' ]% {: o# s
      某公司有三个加工厂A1,A2.A3生产某产品,每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产品分别运往四个销售点B1,B2、B3、B4,各销售点每日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费最少?
    6 r- }# Q1 R6 e0 ?" C. {$ }+ T* b. _& j& ^6 ^7 g
    解析: 典型的产销平衡问题,将已知数据做成表格如下:  D: w" _% Z7 y' q' t

    ) G2 w( l* S) q+ i6 _$ o' @" G
    ( q( r$ l4 G1 Q# m将所有数据列成表格会更加清晰,根据题意可以得到目标函数的表达式如下:+ ~! ^3 c: E1 e8 Q# c5 `
    ! \% {9 x* V! ], W
    然后将已知约束关系整理如下:8 H! T: z7 `: e% {
    , r0 d5 ?# L7 s$ u: [+ q
    可见题目中并没有不等式约束关系,同时也没有约束上界ub。- ]6 J8 a7 j0 L( a8 _/ O
    Matlab 程序实现. n8 |6 i0 {0 `$ F3 j! j
    clc;clear                                %清空数据防止干扰7 G' ~2 A! A) b. Z* I! ?
    f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量$ y9 y" @1 @4 a1 L
    aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵6 l! K. j, I2 y  m6 t4 Y
        zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);0 S! W# Y2 v8 I* y
        zeros(1,8),ones(1,4);3 u. t. M  k2 N3 n% [( ^, x! E! O6 s
        1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);' Q0 e' C% R, N) l4 K1 |: k& F
        0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);0 R! w! @6 Z# C7 h% N
        zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;) P( e3 X# m3 Y9 n( h4 I
        zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];) T8 i& }$ X5 ]( u
    beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
    # n# \- \7 g* w  B* B[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解4 x$ p- g) {0 O1 t; T$ c, H0 Y6 O( u
    题目答案:0 ?4 g4 ^3 Z: B) C
    x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]- n, Q$ c1 ], Y+ G
    y=85  K; I: h% F' \- T0 m; x5 {+ [
    8 |! ?7 w' R' v( U+ `  i; F; p

    . {* h$ Q- h4 [" Z& J
    , K% O2 n9 H" d4 F
    zan
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