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线性规划——运输问题(产销平衡)

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    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-28 18:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    运输问题(产销平衡)
    $ S( O  i  _5 o, U1 T  某商品有m 个产地、n 个销地,各产地的产量分别为a1,a2,…am ,各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调 运才能使总运费最省?
    3 P! t6 R  E9 t  r" n7 j6 M. S" m) u& O, _) Y/ E1 K7 }
      解:引入变量 xij ,其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量,数学模型为
    % h* }! F3 Q$ c- n
    0 I2 f) L. L0 `4 j# |' ], ~* i                                         
    ' E7 N5 a3 \8 K* {/ x* V          显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。

      对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:

    其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)
    - ~' M3 _0 _1 Q9 ^  k0 @: @. N7 Z9 M0 G! w6 x, c
    例题:
    + [3 U0 t5 @7 f. q4 Q! b) q8 G
    7 }" w# ]9 {6 }) ~  某公司有三个加工厂A1,A2.A3生产某产品,每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产品分别运往四个销售点B1,B2、B3、B4,各销售点每日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费最少?
    " u( x( }3 w1 j* Y) }) M0 P4 A5 c. A) f# @: B" D  W9 d- F
    解析: 典型的产销平衡问题,将已知数据做成表格如下:& A# D- y' `% z* B+ h% u7 Y
    " b' L$ R4 H& x9 |, H9 X2 V
    1 A) {. ]& B* |5 Q7 Y( I" m
    将所有数据列成表格会更加清晰,根据题意可以得到目标函数的表达式如下:
    4 s* w- n+ \6 }: d4 l! w  G
    1 n  u0 Z' X8 f然后将已知约束关系整理如下:
    , _( V6 t; a0 X
    " v8 v" T/ |& S% B, X9 T- }可见题目中并没有不等式约束关系,同时也没有约束上界ub。4 C. _# m9 M; t; P) b- m
    Matlab 程序实现2 v. M. q4 S; h
    clc;clear                                %清空数据防止干扰
    3 L9 L+ o# e0 h7 K7 Cf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量, z0 Y, `  F* T- v6 s4 [3 G
    aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    ) B, D% d1 p% ?, A1 l: R% I+ Z    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);" F! z6 u4 X1 }4 J6 S# T
        zeros(1,8),ones(1,4);
    4 O( e, ]( ~  q$ Z, ]    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    $ c- V- y) B3 E- ]& K    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    5 {0 g# D7 ]1 f: M( @. H    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    % g0 q+ Y) Q. h& y, G8 }/ r1 k    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
    4 x- y, t' J: V( q2 F# ?  s1 @beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
    " m! a( x( |" E8 R1 J3 Q[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
    4 B! K  A) `% Q; q题目答案:3 N! {2 B% j9 U3 e6 p9 A$ ~
    x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
    ( A  z8 p. e: R1 ?3 w9 x* i3 xy=85) F1 O* i+ K; h: G) f
    $ t9 z4 d# m! F6 T
    , F& H$ S1 w" d* k7 v% H9 e

    7 ?5 c+ x) G" {. Q( g6 X
    zan
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