线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
9 {# z4 Y  V( m" F4 |  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
# K* A! h. A; F2 A# g: g* R" M: a
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

7 k  p* W, x& l0 z% J, ^) d                                         
3 {: w8 n/ b7 [! H! s          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

" a, U. j" ~' H; T/ M. m- l例题：

2 T* T3 Y( n1 [8 J4 K  k+ Q" n  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

( |! f6 C. r6 s4 @# t. R解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：

! l7 E) W0 K; L7 y4 v可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
" l* E7 h: \( t7 nMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
( L% D# {- E" Q6 `5 R( }* Saeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
/ H4 X1 `$ x  t1 f- ~) s    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
4 w6 u7 _/ s* o8 r    zeros(1,8),ones(1,4);
5 ]8 l. Y  G- G: M3 d0 R1 g6 m    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
  a4 ^. B& ~3 n. @8 T    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
3 i5 O- y4 F) S/ r+ h' s/ `/ ?beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
# b3 g. N  B5 {9 x* |& {[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
% ~5 _1 Z+ @7 R' }; a8 V# T/ C5 b8 Vy=85
7 e( k$ o9 x4 d( s
1 E$ S# U* L  G, N" D