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线性规划——运输问题(产销平衡)

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    [LV.7]常住居民III

    自我介绍
    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-28 18:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    运输问题(产销平衡)
    2 s) T2 R% R8 Z# y  某商品有m 个产地、n 个销地,各产地的产量分别为a1,a2,…am ,各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调 运才能使总运费最省?+ O# B" ~  T# p+ E) h, |

    $ \& @2 f, l) J3 Z. O8 p9 \  解:引入变量 xij ,其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量,数学模型为
    - d& b* W8 a( Q1 w9 P* R% c* b6 h
                                             2 V$ p) V+ k5 m8 {  G5 f
              显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。

      对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:

    其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)
    ; y- S( G2 a: ^2 \- H% e8 H+ C: T7 Y# U+ F  }: z' o* C' Z8 U2 x
    例题:$ a4 {1 F# z: {6 a

    7 X( f. \* v1 a+ w5 u: H  某公司有三个加工厂A1,A2.A3生产某产品,每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产品分别运往四个销售点B1,B2、B3、B4,各销售点每日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费最少?
      Q8 E! X% v0 i
    * g) W* b8 F$ ^5 H9 S8 W/ q解析: 典型的产销平衡问题,将已知数据做成表格如下:
    1 W3 u3 d; H0 Q( o
    5 j' y# c5 X. u: u; Q2 d1 o: |5 ?7 }) Q  I" c& J
    将所有数据列成表格会更加清晰,根据题意可以得到目标函数的表达式如下:
    4 o# E1 C0 D* Z& {
    7 D6 g8 p+ [% B. C然后将已知约束关系整理如下:2 l  [; U1 [. a3 M) H
    4 i. c3 k+ Q3 f4 I/ e2 o
    可见题目中并没有不等式约束关系,同时也没有约束上界ub。
    * L; D4 n2 N# O4 I, ~3 D# ~, QMatlab 程序实现
    8 h  k& i6 W2 l9 gclc;clear                                %清空数据防止干扰
    + t/ J8 u" N' T9 S: D, C" xf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
    8 m2 e. t4 r5 [aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    % I. ^# ?; O# |4 K; W* L    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    , E5 T* J- Q  H1 M    zeros(1,8),ones(1,4);
    - m4 z: r) O8 Z$ n3 H! b. c    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    $ \9 K: j7 L+ ]- a1 v; d    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);6 ]6 \4 @6 I5 E
        zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;0 Q' l5 o. i. _" b
        zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];4 Z2 V+ f9 ]5 P7 d+ t6 {7 f
    beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
    2 w- }; L, N% J; G0 z[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
    / R/ l+ W% t( |( o+ v! q' o题目答案:
    ' Q) x7 W$ Y3 Vx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
    0 l! r; l- N7 Q2 |$ vy=85
    % |# ]! O. G6 Y. E- n% L4 d& p# Z6 ~( C

    5 |" _- G, \' o7 X1 S( `' b, |& s- U
    zan
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