【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
四、图论
1、最短路问题
' {4 H  l0 w6 O' t（1）Dijkstra算法
$ f5 K; o) r0 b$ u% f$ ^0 X8 W（2）Floyd算法
2 ]% S" k, ~. p3 W$ s) r& i

; ?7 N; w" X: {" ?; K+ u
& p5 S& B: ]  r0 J/ B5 c
) a6 O9 L7 \. P8 k; R/ B; D一、蒙特卡洛算法
! f  h; l4 e* Q# c1、定义


蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。

8 }. M4 I& D- y


2、适用范围
$ ?& O) _$ n) I) E3 ~7 N0 l" ?
1 x4 Z9 y# n: i! A* c
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。

2 I: P' N/ @$ f- x& }8 K# S( ~  f$ n

, S7 T) M" {0 n
3、特点


6 _4 C2 b1 ?& n, B, X蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
: O' A/ _1 p8 q

9 u3 j; w. X3 G* a, S) ~$ s  I6 K  u
5 @$ S/ H& L% p3 X" E
7 J" X9 Y* z0 _4、举例
3 Z1 @3 V. u9 j
+ e0 i: q8 h2 D. v( Y( o2 c% n0 I
6 D1 B# b* D2 R0 @y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
$ [6 {5 P9 s5 S
9 |$ ]/ n: W# Y) t* a: X; n
! |: N8 Z; u) @5 @
4 J1 D. _# p! k1 i" t9 Z
（1）作图
/ H& X# J+ ^$ s: [% r$ v

Code：


5 S& I4 ~* M) M# w3 r) H: T9 u4 X%作图
& ^& \; d- M, ^' @# F8 jx = 0:0.25:12;
. _- y1 y( {( _5 p( C8 \! c1 xy1 = x.^2;
8 }; B' e% V8 ly2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
- b5 T* _2 e8 d8 J0 a, Yxlabel('x');ylabel('y');
8 N- t1 {- n) b5 O. Y/ F" Y/ T%产生图例
  E; F0 h1 x1 I& hlegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
: V/ P$ V: o& _0 ^' s. r%加上网格线
) s. Y# Y6 M& }* r1 T, sgrid on
1
2
- J* F9 \% Y, ]3
* f( ~- t. I' k) z7 b) Y; `" D4
$ w1 R% d2 \- i1 M1 l$ U; U5
6
4 Q- C( d1 G% ~* a# ^7 L2 z1 h7
5 n7 R, E4 z  z8
+ g& s2 e6 ?" P- ?0 t+ D& ?9
10
- S' n$ s/ P% l0 J11
+ X% L" ]4 H6 B' x# |- A" L0 C12
13
14
" i1 R, f/ K; m
, Z' B+ I  S) x
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
2 L' m& @0 R, m& g

4 P0 b# D6 V: E# I+ |+ qCode：

1 T4 L; p. a. j" M
5 |5 b  s/ ^) m9 `3 \%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
/ M  C% H5 I! T. ~frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
7 Y7 K( Y) B# z& garea = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
- s5 O2 F0 n1 Z1
2
3
4
: Y  L  |. u4 Q' q, b  I' A5
6
7
所求近似值：
; S" ^- {. e9 }/ C4 Z, Y' _4 c1 Y! y
4 g3 l. E+ G9 {
3 \. K1 R# n6 a

. y3 x' j+ a& Y& \+ p# N( V
2 N  |9 R6 u0 S8 }* D
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898




5 ^" f' S! q3 Q4 @4 ]( i
; u2 J) \0 p8 N* E
二、数据拟合
1、定义

$ {. _0 q( i  U" ?: u$ n
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

! n/ G8 c; L  A  j8 m+ M8 G. }, @- B
8 r9 g7 ~1 y& ~: B# m1 ^1 t

2、常用方法
+ `" o( P3 _, b; p

一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。


3、举例
5 V; w( n0 t. }! b( I9 I
0 e5 [9 d  [( n/ p% o  r
: `9 s, w$ A  r% z' _8 Y6 q8 n* V4 z(1) 数据如下：
/ C$ ^' W$ i/ U7 l* S4 f, r% }3 n9 i
' @6 b5 x: x( f- ^, x& x- E0 ]
   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
* l3 h; J1 H6 J3 Z2 w( b3 \        2        465.325            0.123   1.621569
3 p/ c! U  A" f! P& x% m* T        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
0 U2 E4 a, z' H% J$ f% J# r        5        464.2019        0.103        1.153921
3 P+ Q( X+ z2 t3 b" U- }        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
& l8 ?* E' ?9 y; m& z        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
; ]8 b& l! N) ?: Y! j& {        12        449.4363        0.079        4.120973
+ L" S; p$ |& Y6 N0 Y' ]; w        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
  v0 h! E/ E! M) K) p- p% L        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
; e* r( u: O$ G7 T7 j        18        453.6719        0.082        1.841441
8 ]' _% M& w/ [" ~! j        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
2 Q+ R; f8 a: T9 K% k# w        22        408.9602        0.078        2.291967
, ~- A! b& b! m" j+ L& \% B        23        393.7606        0.059        2.910391
1 r( X" c- O$ c& d- d1 y4 X        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
, r$ R$ A2 y% @, d; w( V        27        421.5248        0.063        3.005718
% J# I3 L% t. I) z) }        28        421.5248        0.063        3.005718
& V4 ]/ D0 R4 z6 z3 i! q        29        421.5248        0.063        3.005718
- @5 W; B8 X) L9 D# T1 _        30        421.5248        0.063        3.005718
% [9 y  o( M) D        31        421.5248        0.063        3.005718
! \* E7 D: Y% |        32        421.5248        0.063        3.005718
" g, t% l" q' T4 j# G' K        33        421.5248        0.063        3.005718
' Q7 T4 U: `, r& X. ?: P        34        421.5248        0.063        3.005718
- \; q' f$ @* b) a6 i9 u" n) x        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
0 Q. `6 i* ^1 O- }  _" D" g( F( g        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
. ^9 D0 i( `5 L1 i9 D1 p        39        362.2008        0.036        3.060995
! ^: F, u* G8 M, `- K1 r4 F: w, D        40        417.1425        0.038        3.69532
1
2
3
) ^( _. g; f, ]4
5
. z2 ^* }9 o7 e  W4 D8 ?) j  A6
7
8
' n) n8 a$ W5 g1 m' x6 r9
' {( _1 W& B' [) v' g10
( q4 H& R, {/ ]$ u. ^: Q11
12
5 h/ z$ \* z; o' b2 Y13
14
15
* H' t: Z* t5 U' F16
17
18
9 c! X. y0 o6 H# _* L19
20
  `' ^1 w8 @& r& H" t21
9 F( ?( ]. }+ [22
23
24
# c1 p5 Y7 Z5 u$ E) J25
26
27
5 K; m6 g5 i( K# t28
! E' K- G7 j9 W# a$ @0 `, I29
30
7 P2 n6 x" X( R5 f31
# n0 @" H; }7 b5 S& ]32
* M. v$ y4 y/ G- q* [33
% R4 ~, j4 {. e! @! p0 x34
0 v$ d; b  y' a  h2 g' B35
36
37
( e8 \, j! g1 u3 A38
39
$ Y, o% H8 ?2 t3 t6 V) u/ l7 {% O40
( Y/ E/ \1 [2 K# U41
- z6 {, ]9 B$ e8 F/ R3 B, y

4 n3 w! T3 I; ^. b5 y(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
; e7 m" x% p8 L1 p, N

%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
$ v# _- ?: i' a% h- {' J8 {. \B = A;
; G& @# S8 y1 n4 t[I, J] = size(B);

: ]6 r# y$ \1 S1 Y%数据拟合
# ?4 ?$ m6 r% v) @9 P" d%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
% T$ K; P2 e5 N5 }4 b. sy = A(2,;
+ d* U' ]$ p* e9 F%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
! }. e# Z7 G2 x" f& B' D2 o%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
%下面是作图的代码
$ N4 o& f  H7 zx1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
" L# h( Y0 ]8 gplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
2 [6 @' b9 }- ~" q7 m. }  [( G%figure(gcf);
7 k. K+ T5 K0 D/ \# f+ I5 e% i9 s1
) s+ D. l& h6 M# Q) c7 Y3 y2
6 K3 ^* ^1 p$ o+ X* ?9 @+ l& p3
4
. K2 ?& s0 S+ n* s8 ^- i5
6
6 n1 x1 Z5 J1 M! D: j, ~& o0 Q7
. x) }# n. C7 E  @( q) f- y; ~% k8
9
10
% P8 \) }% P# t! p. T7 k11
3 ^. @1 }/ h( k% h12
13
' L& W2 M6 ~9 H8 h14
8 W, L4 r; |/ A15
) H, h) L8 f( C% r3 }  H16
17
3 O$ r9 k9 }9 L/ G  G7 ~3 I0 \" c18
. t! z% j/ y& i, j8 E19
20
21
. e" \+ @9 l2 u+ O6 x/ f) a
$ V. J4 D- g; r& p4 W- s5 K
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
% }; n" C: O' ?

0 T  p* V9 j9 E2 U/ z: b4 Q
2 {; }; w3 F! b7 S( C1 m& I
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
  h7 ?; C$ l- l% ~
, G9 b  F( P) H& m7 m+ ^
( R7 h) z3 t# {1 u  G
2 ?! L: b% L, j/ R
选择x、y变量


- V) @5 ^( s7 o6 K0 l

' P' Z2 y* s$ I) j/ w- }, }0 V选择拟合方式和最高项次数


) {* n- ]& }+ o; F: G3 W
' P/ |& L2 J3 ^& |
+ J1 E1 i* I4 A- c% z. y+ i得到拟合结果
7 j; G' Y$ d1 B+ f- {$ ~7 e! p

$ ^9 q1 V, y! K) k

使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。


  P% L) k# Y  l2 F" u! D
" u0 ^6 x4 V8 y8 M: |
8 \' U% x$ D. U+ K* U

2 {7 }! X9 ]7 d. i/ e- e: b三、数据插值
1、定义


0 q1 ?. {1 G& w$ s+ b) U% M5 g3 A在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
& @7 m( G& g( ^2 {& O* E0 R

9 t2 c3 [( Q5 d* }% P, c! l* n从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
# H5 I% a/ N$ W! j

( N9 f/ v5 w, Q) f- g3 |
8 G6 ]: w8 H, e: j
) Q9 d, Y" W/ R9 F. a2、作用
, I- w" q6 P2 Z- _9 Z. k# A

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
; j% E4 k" D$ M; l( e; U
7 C# U# K, n+ B- D4 B. ^1 S
1 y6 F- }3 W, C2 p. X3 H" Q
+ T/ J% {% {0 m* m; J
6 X- k( X: i) G3、举例
; ^- [& |0 @- r: z2 O! S  @4 p3 `
( M; O! ]/ L( T' V
%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
% n9 x+ |. X! ~; I) ?% ^# T) tservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
7 n5 ]$ ?& J; C$ m/ a) J  }% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
% k  V4 r, P# L. h/ ~surf(X, Y, wage)
% S" d+ K3 K+ ?* |3 N%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
- e1 X& t: v, }, a, @  O3 ~w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
. S9 T; k/ o, e" D2
3
4
- }5 l( S% e; q3 n5 F, r" m5
  D2 z- M* W( ?9 e6
2 H0 j" b$ {0 D, ]. r+ }7
8
" p9 s, L2 o, [6 c/ H/ [! a9
10
, ~2 @) T; r& P' V: T11
12


) I3 q+ N* O; U& B  x

8 o1 d2 m! J6 f, S可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
- D" j: r2 @4 N

/ p: i* t; W7 o! e. o
. s" \( r% g, i2 a

: U, [0 V* F3 p8 F9 r8 l! {3 I. o4 `
四、图论
* X% T8 n' l  J* r2 y( X: }1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

+ A+ C/ e! {1 q
' \  l0 c' {8 P, J8 L5 Z1 o" h; u例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

) d% P$ I* D& i
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
3 \. D3 o: A7 P) B; x8 H$ `, r

3 j$ b; ~2 o( U& {4 R# f4 I

& i6 y4 T; q# L（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图
2 W7 T6 L- T4 d% ~- K
# O% Q- g* M5 c% g) a" t  `
& m  M- e5 v0 j
, u& p+ X1 K* t6 a" W
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

* U! E0 ?* Z. R1 L1 p

7 M1 E3 X% J6 a8 f
/ U! ~3 E! V# ]0 ]
5 D2 A- d2 Z0 y: _0 i  m7 r. ~) L* D, W
代码模板：

4 g; Y3 l5 `/ q9 {1 Z3 O
$ X0 {' L0 ]1 R. \6 G6 Z#include<iostream>  
% |, c' d' P9 q4 ^$ |#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
/ ~. d6 I7 ~" H) k/ p. Q  q) N# I% _0 [#include<cmath>  
#include<cstring>  
* Z  l5 o# a, R0 A. r#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
2 `& U! G2 L$ }, W7 e* w8 B  
* z9 _$ j. d% Kconst int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
) R* C, \& _, Z3 q" l6 F. D8 sint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
7 `5 p! Q8 j- h% zint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
% ~! E5 b+ U% bint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
5 g; u# v- v  @5 I0 `' \{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
3 S, c, m' W6 o9 M# W    for(int i=1; i<=n; ++i)  
$ z& `3 x: z& W; |4 ]    {  
        dist = c[v];  
' t; z* U; s7 f- O        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
2 W% z' J* }) @- y        else  
6 M$ s) K( W9 Y9 s            prev = v;  
    }  
# |" i4 w* G0 P, X    dist[v] = 0;  
3 ]9 W) z: S. j& s5 B    s[v] = 1;  
  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
/ C  U* A0 x' k3 L6 h; f% l. }    {  
        int tmp = maxint;  
- ?2 t& ~+ [/ q  S; W- i) d- C        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
( _0 [, G" W- _* K3 y( f                tmp = dist[j];  
            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
; H4 c( r: S: b% s        // 更新dist  
4 b4 w5 W) D0 N- ?' l2 r$ ?        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
2 b, b; Q4 I& E6 ~            {  
2 M% C' ?' L% @( |: {                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
                }  
4 I  u2 o& l. C/ z" b            }  
    }  
9 H0 i0 P6 k! e; ]}  
1 {/ P& x" _0 E2 xvoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
$ X; Z' o- t6 A7 {( `1 P9 R{  
    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
, }5 _! K/ \# p% N    tot++;  
    int tmp = prev;  
3 d0 ^# X/ L0 |3 R" y    while(tmp != v)  
6 Y0 j  [+ e4 w, ^    {  
% k" g4 P$ m. s, R! k        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
  |7 A$ ~" T' D( A0 \/ ]! Z( _( u        tmp = prev[tmp];  
3 o4 C- U/ G+ x* T5 e    }  
: Y9 z: R/ d, D8 t; _    que[tot] = v;  
( I- h& m1 p; f- v4 C! S% X' L    for(int i=tot; i>=1; --i)  
, a1 y* j2 |" k9 r5 H: J        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
: L& }6 g# {* t$ H! c4 j}  
0 j5 m( y0 l2 Y  S, U4 q5 `, C  
) j% \! d+ z' g, P2 Uint main()  
9 f" b' X" R- ~2 E{  
8 K+ {$ p4 B' q+ y) F& G    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
' e7 g; \7 R* {, D7 n    // 输入结点数  
: }3 E1 @( f& ^1 ^    cin >> n;  
    // 输入路径数  
# Y$ _, C0 B6 h- T    cin >> line;  
+ ~1 g/ u- G  S7 C% e+ X    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
) ?: @4 [. n) z* N    for(int i=1; i<=n; ++i)  
, E6 O2 ?+ ^) G4 m5 ^0 @( d        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
& O: [" I9 c, n, L) E2 R    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
+ h# {" A- y; G/ H) }7 ]1 r9 k        cin >> p >> q >> len;  
2 p. A  c& O0 n. M& Z! }9 a        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
( A- x9 G$ u% b: h1 N   for(int i=1; i<=n; ++i)  
# t: D0 Y7 S6 [5 `        dist = maxint;  
4 X1 |7 D" o0 L9 N    for(int i=1; i<=n; ++i)  
* |" m* q% F9 t9 E    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
8 [" M; ~6 s/ K; O        printf("\n");  
% x5 t1 u$ D4 K6 e* H7 l3 ~$ d    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
1 ]/ v: [0 v2 V4 r% G. j+ p  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
$ T" z4 u* N: M, q4 [, n    searchPath(prev, 1, n);  
7 `3 ?- ~3 [& U" @    return 0;  
}  
  
  
+ q+ k: z) r+ Y: }! ?' n# X$ L3 _/*
$ ?# p: _7 q! y输入数据:
5
9 B0 |, G3 J5 e/ N' I 7
1 2 10
1 4 30
6 f, p9 R2 L& `; I( { 1 5 100
- x. ]4 i5 B$ K1 E: u& p  D 2 3 50
3 5 10
  L# A8 j8 B; G9 s 4 3 20
4 ^5 l' _7 q) I7 g# f4 E  q0 o 4 5 60
8 r; @# |# I- l1 R/ b7 l' ~, p6 } 输出数据:
999999 10 999999 30 100
% G) E1 Q$ I4 _# z1 U$ T/ d( u 10 999999 50 999999 999999
5 n! S( N) D, X. V: q8 I2 N, T& z5 f 999999 50 999999 20 10
; g, T. Y9 v# c1 A- j 30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
) m9 g9 x9 G. g$ D; Q! ^2 L 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
2
3
4
5
0 A: h) n7 D# Z( ~6
+ M# h$ y' D6 J1 C+ O& z7
8
9
3 f* D/ i; }# t6 A10
! Q2 Z+ E) {- [1 X' S" r11
12
+ _* c; t5 a. Y" I13
! u) P5 V5 C/ L  W' ]14
15
0 a9 D/ I; C/ {1 h16
17
18
0 a, J5 y. V; y) |" W9 D$ c19
20
" u8 s  u* Y1 j* p# P# e% u21
22
23
0 \+ o. F, i" x$ S$ h" x24
25
26
' n! s/ a. j9 D27
28
29
0 Y: D4 N3 v. v# {+ y30
31
3 H2 ~# m2 f; g7 X! m3 ~" z32
33
8 W. o$ i0 U5 t7 j, m. A34
3 Q, U$ o4 u7 g1 O/ u, _3 x35
1 v: C: y. y  w/ E) d# a# ]8 c$ g36
37
38
6 b3 b! j8 i) E39
40
2 J5 L( a/ N6 ~- T41
42
43
44
45
0 p5 A7 U/ P& U6 j46
47
5 K9 r  W& H- c3 ~6 w# e% P48
49
' I% K5 m5 g6 @! J50
6 O9 C3 r% m* ]5 F1 D" Z$ ~51
% r# Z2 B# A; o. m- [' b' \9 _; ?52
53
54
55
. O3 t% w$ h4 g3 L56
57
58
* }' a1 c6 e- L1 u+ _9 W7 ]$ G/ R59
' ?( {4 e4 {' A60
8 _+ D9 h3 j/ ]61
. ~$ \8 |' y2 o4 e7 D9 g$ k7 C62
3 d$ `1 R5 V5 C" U- a63
64
65
2 A: w8 i( b7 c. \$ |' U7 E1 |66
& c( A, T7 d) V! X, y' g8 A67
68
69
70
71
72
# a1 ~9 ~4 U' I6 J7 l73
74
- ^& v# L4 J+ v* }# \# J75
7 A$ P6 }4 @9 |; ?76
77
78
79
1 h, p# i3 y. z# S$ {! {80
81
82
83
84
. \% x: J; `# Q& S85
. @$ `% N, i0 P1 h. f; T) X86
87
88
89
$ S9 W, }4 z) S; i% z90
/ [$ ?' p2 b4 G  a# r91
92
93
2 r2 q* f$ h0 @94
7 H2 H8 P3 U8 L1 S- n95
96
7 C& q# @+ e9 M7 g' ?0 f( F97
5 B- [! \  f* G& X* I+ k' `  o98
99
. [1 {4 I4 a+ T0 F% s100
8 o2 P) N9 m" q101
) u# T9 F& g( R7 I! b9 B+ p102
103
. d7 I. E0 M% K, Q104
105
106
+ [" o3 M( [, X' A2 K107
: M2 }+ ^7 l8 y- g: [+ ~# W2 S  w108
109
2 ~2 v9 y6 G3 v- z5 w  {4 G9 G110
; T8 O, Z$ b, ^" U# R5 n) [111
112
/ C7 D2 l; D! B( x  Q! A* y: _* n113
114
" ^: f7 o% s9 p( g115
116
117
118
119
9 d0 \6 Z9 k8 {120
121
: k! [( f% ~# R: V122
; _1 t$ t, u/ U; Z; n; v123
  _# x) _/ X% _124
125
126
/ S) A& \# b7 P127
128
129
& [  g- J! s- A9 m2 P2 [5 [130
- ]& h% `/ d% B( \' H131
132
133
( ]9 q' B# i+ X* \" J134
2 X' O0 b. z- V135
, w0 u. Y3 X) [# f7 |136
137
138
. M" d8 o+ Z$ j" G/ _0 ^139
140
3 S% P+ Y! Y2 M8 [141
142
143
144
+ F' K( t+ n1 y" n4 a; r145
! W) F5 M" y0 U1 |7 B146
4 {2 i2 Q( C& h8 k# c$ e/ P1 }0 A3 P
& n4 \: d& Z& T( f+ x
2 A& U% H) \: S9 h3 B! U（2）Floyd算法
3 Q- B& o$ [& m" w' g5 u#include<iostream>  
3 U( D9 u' b" r7 c$ s1 s( Q#include<cstdio>  
0 s8 k+ K( I  s" u, o: {#include<cstdlib>  
- h0 b& [8 B1 X0 ~9 r+ i- c8 _( F#include<cmath>  
$ g. \+ d/ k; d' s#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
& ~5 }2 w* a- G8 h  
//设点与点之间的距离均为double型  
5 `" c+ @" h, \# E& n+ N) c8 [double INFTY=2147483647;  
; x3 G$ w# u$ K  U% bconst int MAX=1000;  
4 {" u9 X. D- m% T" D; v8 V! edouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
- `  ~3 _& }& J8 a4 s1 ]6 h  
void Floyd()  
9 X% l) f5 q0 K+ o* h{  
+ q+ T& i* Q- g% f$ B0 i    int i,j,k;  
  u7 M1 ]& o/ q: @9 |    for(i=1;i<=n;i++)  
* g* s9 u5 s: s( H9 H  C- F, r4 X    {  
% x9 I/ F- u, s5 b% C        for(j=1;j<=n;j++)  
" L1 e9 ^: g0 K# A" g# ~& |        {  
            dis[j]=a[j];  
' S+ X6 h- ]0 d8 A& E8 b( R            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
6 L: Q+ S+ d; p9 [$ y5 U            {  
                path[j]=i;  
            }  
9 m* D+ P+ o6 L- @/ z" A            else  
                path[j]=-1;  
        }  
    }  
  
    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
+ u! u/ Q+ J- P$ ^2 \            {  
- \% ~; `6 v$ U4 K8 T* a7 v8 G1 a                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
. ]+ w' j2 x7 Z- c( o7 N& U                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
                }  
            }  
9 q  j9 P3 J) H6 v9 x        }  
    }  
0 A+ X& \- i" Q$ B" \! @2 Y}  
0 u1 A+ d# _4 O" R1 [2 p2 G" \  
int main()  
! m3 \# x: w& _% k: Z{  
. i8 y4 W. `9 z7 m/ P    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
1 j, ~5 K$ V  j* r8 I$ v    int beg,enda;  
    double dist;  
+ r: @. |! R& @9 _2 q) \8 A    scanf("%d%d",&n,&m);  
3 m9 b; w: m/ o! b0 J1 g# y    for(int i=1;i<=n;i++)  
( V9 k2 g: {/ i- @8 Q# ], B    {  
& L1 B, p+ a1 V- \' g       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
" g& w6 A6 G/ ^0 j$ r            if(i==j)  
! |/ S2 G3 f% E& X0 P7 G                a[j]=0;  
            else  
; H' g3 V# T8 G                a[j]=INFTY;  
       }  
    }  
$ O* x$ v1 q8 R- @7 x% e    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
( x8 K3 w0 B: v/ @! p        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
& ~/ ]$ Y4 `! [" i    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
- ^' q  F) z; _; h8 v  F    {  
! r! A; [2 U- H1 E       for(int j=1;j<=n;j++)  
( g& ]8 @1 ?& l# ?) ~% k  \% F2 M) Z       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
% A/ W  E* v. S1 Z" u7 |# ~$ U       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
! {; Q1 H0 e6 w) E- \# v* A6 P# B# H}  
1
2 C8 e% l8 e# K) d& A) D2
3
4
/ P1 l- |+ M: R( u4 V  G5
# L' ?/ A8 i: `# c$ h! c# {# G6
7
; g9 n; v! }; p% j; q8
9
10
; p+ t7 y7 @3 }( O# w11
12
' \! N8 b/ G- h1 O! S! d" j: F13
14
1 V/ K5 f! n$ A; o15
. X1 g5 I- n# o* V16
17
18
+ h$ ]6 r/ o! Y9 E- [4 G- x19
& S2 e! `4 Q/ W20
21
22
23
9 s- ?; z4 H3 V1 j24
25
9 ]2 \8 _7 u0 q: h26
6 \$ R0 n3 h3 V: V0 r# _27
  A5 m3 x4 Y  I/ ]3 O, e% ]28
* o; K8 |/ }- O/ q! O/ v: u- }29
30
31
32
! p) C; C, z0 I' P( H2 A% M33
34
35
+ X- x) ?* V" l36
  u% E6 r, F6 a' d; W7 G37
38
4 S8 k1 E/ E: a" I39
8 ]* O4 W4 U5 N/ E& L40
41
) N# H9 Z$ U; A, a2 B42
- w! x6 n6 _1 F. U& A; T7 \. A. w43
44
- {7 @6 j* U. Z: J& Y45
7 t2 S0 F( u% R46
47
48
4 k. g* e' {( x  ~49
. k# l' R. z3 |& G" y; r0 X50
51
! ^% l* S% z! C" Y+ u4 A/ G52
$ o( Q5 \  [8 n" o. a. |" s53
1 t1 \: T- K8 l0 ~2 i! O1 [54
55
( S( R  y$ H& w' Z  C5 w, L' i56
, e# ~& A3 N+ D57
58
* M0 p3 _/ L9 F1 i" Z59
60
61
* |, _' s) Y! G5 C62
/ L4 P8 Z7 W8 y% ^" m2 J5 ?63
- Z2 j1 Q* g1 T64
& L1 w9 v# y& P. T1 ^" Z5 u65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
. z, D9 D8 i; y- f( I' s" a1 P- H75
% Q# y5 d+ f3 Y+ J1 e76
77
- X8 q  r+ m, S& i4 `& U78
5 a# {' `/ H* v2 v79
80
81
3 ]) |4 i3 G2 L6 D82
83
+ e0 D' _2 g$ @1 [7 d  A) i
  B% s* C( e3 k( Z# A* ~1 i3 {
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288
  d9 c! b2 A% d9 @; }' G+ }
; ^+ `0 i" v6 ]7 @* a: y, m1 o