【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
4 Q$ O7 V- f. J6 e! g一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
- z+ d1 F" Z7 j2 f四、图论
3 {/ F4 `- ?% G$ s5 Z' d; j7 j1、最短路问题
4 L0 H% t; x/ q7 V1 }3 s2 J: N- I. ^（1）Dijkstra算法
# J. C! Q; P8 Q3 p) }* b（2）Floyd算法
. r0 k4 I' l7 S5 [1 [$ L



一、蒙特卡洛算法
1 Z, o( i% ?& ], |1、定义
9 \0 z2 B. m, V8 n# r

蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
# \# u- m- [% k
0 T) F8 F( H7 W$ r
$ c% h5 h8 _( n7 d. }# M
* M* ]9 v4 m& z% r' V
( N; ?9 @* t' m; i0 I# \- H* {+ X2、适用范围
& x/ J  l. B0 D/ g# k

$ \# o7 d& z- Z$ ^可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
6 |. ^+ y8 O  d4 T, G5 H$ Z5 X- r, G



3、特点
0 ~# ^: c! v1 b2 M4 v

蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。

0 K( o6 H) u& o0 ?2 d
9 U1 }7 v8 b$ _. a

6 y- {4 l2 S. W( R& n4、举例
' j; D. T5 W" o' @  [; x7 f: A
: p* U! S0 X- M- D$ e* y; k
( Z0 f5 N8 c" Sy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
4 ^( b- M, }3 Q% U2 C. I: G# H* ?$ F9 X# Q

$ c3 d( F: W. x2 b, \5 I6 u  n

（1）作图
( v9 t: T9 c0 J$ ]

Code：
% [* k  C! L3 m

1 x8 I* f: y8 I%作图
$ @% T( r4 H  e& s+ G/ d$ ~x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
3 R( h7 C9 `* u! E) g0 Py2 = 12 - x;
4 ~' r( j8 C, ]- D5 X, Aplot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
8 c8 M2 b# V% Q7 n; d8 w%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
  X2 {7 \$ u5 h3 M" W, Z%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
0 {/ Q4 d& @- l%加上网格线
/ m& e$ }1 H. X) f$ H) _8 O! G1 Jgrid on
5 {: Q* H* ]3 _1
2
  U/ Q$ P% E* u2 N/ ]3
+ d5 K2 B" i: W4
/ i! {# ?0 [7 m$ i+ D7 j' b5
5 b5 L* B' v+ B3 q  \6
7
8
9
  I3 i1 }3 s& l( B/ }10
; @$ i, b  w5 _  \11
12
13
14

6 E/ O$ R9 N1 ^* A) C9 l$ S
( ]* z, F- \+ f. B3 D（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
) P+ E( U+ n% G) ?% V2 B1 ?

Code：


%蒙特卡洛算法的具体实现
- `7 m5 ?9 Q0 {+ z# ~6 Q%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
. l+ p5 t7 z6 w4 e7 j* g$ W- cy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
/ v* I) _0 U) C( V7 r: vdisp(area);
% y% S  A) X% F- a  E; K1
2
3
4
( I* W# D7 y; b7 y5
3 n: `9 T0 S# }6
7
! K7 S& x0 A- ^" d所求近似值：
! @8 ]6 }( {% e$ O+ K% t  \7 ~
7 ]. F6 s9 _& s+ x. l
& h; m7 w! a6 H% W8 r
1 X( Q9 |- y- @


1 C$ A' Z$ j7 @4 W' x" \' z' T参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
+ K( z5 x# K, g2 N6 d


$ A& b: @% j! H4 z) V

5 H- _' m2 |+ g4 }# I
* f1 q$ x/ d# A二、数据拟合
1 y! g2 n& e) u5 V1、定义

8 f( m( P6 z! S- _9 n
% D/ Y6 J* P# Z- a% A已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。



1 M( K2 U6 O' Q/ b* a2 j. c
2、常用方法


一般采用最小二乘法。
5 G$ T3 V" i; j1 a  B- x拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
3 W" _1 n7 T& ~) {! I9 U

# Q9 g# E; ?! T, O+ n. D9 `3、举例


4 M4 K  c, H- C(1) 数据如下：
' j! L0 ?' j4 X

   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
% K2 n5 Y/ G) v$ Q) Q! h        2        465.325            0.123   1.621569
" n: t! R2 _/ x9 o        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
5 V4 |* G7 ?( G: D( D. b- g        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
8 d. G5 B; S; A! J' X. t7 _        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
2 T. O, F: ?2 G5 A- R$ O  r+ \        13        372.1432        0.041        3.604795
* U) H2 Q6 [6 Q( A& R8 z        14        389.0911        0.085        2.048922
# c% a9 b# \& I" C' b( O: O        15        446.7059        0.057        3.372603
) @( S$ l( n! n2 ^        16        347.5848        0.03        4.643016
% t! E/ k' N4 h1 n        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
2 c5 c( t! p  q        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
4 l' O2 y; Y+ P! _# l3 S' v- \        22        408.9602        0.078        2.291967
; v( H# j1 C- U- ]* N  S        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
. b, U7 n. \6 R7 U, D        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
# S, C  G. K( M% P        27        421.5248        0.063        3.005718
' B. O# y5 _' T4 y& N! a9 Q1 W% l        28        421.5248        0.063        3.005718
$ R& W) t+ M1 X6 _3 G, d' ~        29        421.5248        0.063        3.005718
# D1 v( M! V' f/ i* Z) J( n        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
/ ~+ i- i* ?0 g2 @        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
5 B6 C- l5 n  r# J+ G8 M& N3 m        34        421.5248        0.063        3.005718
+ Z9 [( r8 ]( m# j        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
$ Q+ |) s3 a; y3 T( a, Q" J- M        38        369.019            0.04        2.861201
. H6 H7 T- t8 J; `        39        362.2008        0.036        3.060995
( Q$ r1 {8 B  c# }        40        417.1425        0.038        3.69532
4 \& c& p+ M- G) _) R1
0 l/ r. P5 o, w2
3
4
/ M2 Q% T* H$ R5
6
7
8
5 Z- z5 B7 G& o- e" F/ ]5 j3 s9
( P# ^! N( D4 `5 T* j7 V10
% k6 ~3 ^* c" u! j1 l2 b& N11
+ X0 Y8 H+ X: L7 R1 i12
$ b3 M5 L$ F2 G% J13
14
15
2 q- j( L6 L! e( K' \- H: ~# j16
17
* s5 s. |0 r) K0 a" p8 d- Y18
) S! A1 D! Y) U8 B( @  N19
20
21
22
23
24
25
1 t3 ?; }( |+ E+ R26
/ F5 A; y& N9 n8 H3 Z( i27
28
29
30
31
32
0 r  {. ]4 E# D8 y33
34
' f, ]$ p5 ~( k; x- [: m0 L35
7 B- {3 f" e. K  B/ @36
  [6 [9 B4 e7 J& r- s3 F9 Y37
38
39
40
$ V0 v5 n: V  r0 B" [% U- G- L41
2 u1 z! ?% l) A

(2) 方法一：使用MATLAB编写代码


%读取表格
! v/ M0 j3 {3 K! J* o1 dA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);
- f+ {/ J3 B/ `( g$ u& w# v: d
/ B* ?+ T! M$ q7 K2 E%数据拟合
- N9 ^" e* l% Y8 C%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
" x& F) a0 X. e. Z- X% e# y" _y = A(2,;
5 b1 x6 s$ ]. M+ ]" X  p%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
1 J( t& ], |  r! z%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
9 d' @# ]9 `# G2 A' U" Q5 Lp = polyfit(x, y, 2);
  K2 K5 Z0 R3 P$ \) I! Ldisp(p);
%下面是作图的代码
4 ~; ?. @) `& N+ h' e7 u. l* {x1 = 300:10:600;
- p; v! R0 g% ?8 e. |7 E%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
% q# E2 c& o4 l5 x! l4 F%figure(gcf);
1
2
+ o& Q% R# H2 L7 u% d: k- H3
4
5
# |3 c5 J) e0 V% S; A4 W, }6
4 ?* T7 n9 A" p$ n7
+ P% f( A! N& R4 d8
/ t% v6 F2 m3 d" c) w9
10
11
; v/ ~3 X  Z8 g; v1 |/ f1 v( x; D3 y5 B12
13
' a9 Q# p* t* i' m  l; ]  ?14
15
16
17
18
19
20
* m  N& |5 w  q8 U  g0 O: P21


(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）




将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包




选择x、y变量
) y0 W, |9 Z2 Y8 F


; M/ }# B  l( X6 B. g8 b" x) Q
选择拟合方式和最高项次数
4 L! X6 J1 Q% K) b

/ z, ]* B7 ~5 p- E, [
2 F. |" K' @# [5 U1 m' d. ]3 m
得到拟合结果


* V" k& n( s5 c; W
" [0 U5 n& T4 B# K+ A) X
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。


  X* d8 v8 y" `' a! u0 R& r  h
/ J+ I# F$ k3 n9 f/ A0 R. `$ Y, T) b. `
$ C  p& i$ ?+ ]9 c1 b( \$ G

三、数据插值
1、定义

; ^! Q4 Q1 G% l6 w% g. x
, S/ d  o7 V7 D( _9 d在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
# |$ |( D  R8 s! Y8 S& j1 _

从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。




  j2 @% \1 r( X' A9 N$ Q  U- w2、作用

! G. A, z) X2 F6 W
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

4 z- l3 r4 Z& W: i' M; ~3 U+ H

. S7 I. n6 m( |+ [" E* f/ ^' C
3、举例
" e6 H- V) F' e7 h
$ g7 H% P7 K8 D
%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
' K3 b+ p& g: s# u[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
* U4 |+ D7 c; P0 v3 W% plot3(X, Y, wage)
  _& f) u* T7 z+ H) ]& c" R2 B% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
. p. E3 {  ?# p; I7 C%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
( ^8 M+ C* x; z" h) U& Z8 Cw = interp2(service,years,wage,15,1975);
8 w# A5 {# E. Y$ w, u1 g7 _1
2
3
5 h( c$ {+ h6 b: D7 |) o- L4
5
: u9 b5 n) ?: k& _* Q  S6
# \" d1 V, r4 u% x' o* p" \3 w8 w7
8
+ h# w, C/ q0 C* w' X" C# A- c9
. Q% @8 d1 [* i% G1 _8 h10
11
12
% @4 j" t$ M! b: f7 ?


, u! o" ?2 N) a$ w- ]  G
可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
2 x/ ~6 \6 ]- T

- l5 A8 D8 n+ x

) |8 g' {2 B. T9 U% H2 U  n. ]. ~

四、图论
" k+ }9 s  w1 y0 [# z& y1、最短路问题
9 G3 L4 j( ?3 T! T$ A0 ^* Q最短路问题就是选择一条距离最短的路线。


* `* k& g) X7 i% p5 \例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

" ~! P% _* R$ B' p
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法



4 E7 w! T/ z0 W2 d* E
（1）Dijkstra算法
! @$ d3 q: `4 {3 M1 E先给出一个无向图
: \( i7 x9 a* Z  ^& }$ Q


' n: E0 @) p1 `: ]) J6 R
6 Z9 @8 Q, u! a* z8 D3 a5 q用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

, Y9 R  W0 f- y
- X) |$ |5 n2 K& [3 l

* u- O2 h8 u3 L5 Z! @4 c  h$ ]( X

2 Q* T) M9 X6 V7 j0 E6 F代码模板：


/ s9 U1 \0 C* Z; K" d/ ?#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
$ ?! E9 @; I" t4 v& C0 P#include<cmath>  
+ w. P; b9 t- i! [% Q#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
) g% k' B4 a. Q, w" W#include<fstream>  
0 I% R- {2 {5 U+ \% Y" jusing namespace std;  
  
+ T+ f: e! Y. }1 N2 t+ tconst int maxnum = 100;  
, l# N; n1 _( ^3 o1 i! uconst int maxint = 2147483647;  
, K9 x) R8 g$ f0 F- ]9 {int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
# U. b# G9 M* O- _int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
3 b/ K; ]+ ?4 r6 v% v' B! Xvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
1 P. J' l- f6 I4 \/ e9 i{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
9 Y1 S" m: K6 `0 f/ s9 Y    {  
% J/ ^) ^, n& l9 o0 q! x2 I! h, v  U        dist = c[v];  
, i4 U- g5 ]3 n! A- E8 f& l7 S% u+ \        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
; K; W2 X4 h9 F            prev = 0;  
        else  
5 E. p; X2 P) e            prev = v;  
* P, X: W, k, g% ]4 Q    }  
    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
9 P. Q% n9 {0 b- U8 `  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
/ j6 F  v* j' ?7 Q3 l8 l/ ?9 R% s! a    for(int i=2; i<=n; ++i)  
7 J1 h( G9 b8 ^    {  
        int tmp = maxint;  
4 B- B9 J- o2 S2 p& \. E        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
6 U# P' _  X; T0 k/ C            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
            }  
& f7 v& x: D! I        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
, k1 x& f9 y9 F7 V- _  H        for(int j=1; j<=n; ++j)  
( l! @# D2 E, G% R            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
, ^8 b% y% r3 e7 x  z+ I1 N% H                if(newdist < dist[j])  
" _! E: f' L' J% I- f7 `                {  
8 @1 Y) [5 F; q' D9 F3 s                    dist[j] = newdist;  
; n- Q& x, f' y' [                    prev[j] = u;  
  z5 j! o2 K" Y" _0 v$ a/ Z5 b                }  
            }  
' X7 ^9 S0 a3 M" u6 l) w    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
  P) u, W- b8 N" a# |    int tot = 1;  
% z3 @; K" j; V% W. |    que[tot] = u;  
    tot++;  
    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
! C7 q4 p7 }7 G! X" k" f/ X6 |5 K    {  
        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
/ j1 k3 o) \  r$ [        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
* D; p" H( n: ~: ^- w6 G/ B        if(i != 1)  
5 I5 ]8 N  k4 u7 C; f1 F7 {            cout << que << " -> ";  
        else  
' u& d% x) P4 P' F5 @1 g            cout << que << endl;  
}  
; F6 Y: X( I9 V, u# c  
int main()  
" W1 I6 _- Q& w8 ]( n  c' e1 z1 U9 O{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
$ Z# Z6 u! o4 c+ T# S4 j, e, o    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
7 \2 R( b5 y+ E$ x  d    // 初始化c[][]为maxint  
/ V. u( k+ g, g- j    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
        cin >> p >> q >> len;  
8 J/ D- o0 K: ?3 O% n, q4 Q( g        if(len < c[p][q])       // 有重边  
$ o* R- G2 Y' P: i7 m1 r  Z8 f        {  
2 P: l; l/ I$ G4 Y) q. L            c[p][q] = len;      // p指向q  
  C+ y8 g( u7 d& k9 l# y            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
- `: S0 _7 Z8 y0 E        }  
    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
        dist = maxint;  
( _( q* V4 a/ Y$ G! G( R    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
) |1 y) P( F: g' C1 i4 r        for(int j=1; j<=n; ++j)  
- K/ t9 L* D; p( P            printf("%-16d", c[j]);  
9 U+ h9 W' }. L8 F        printf("\n");  
( n" V4 J# D) {) N& |( R    }  
! ~. ^" v8 _7 o1 b. w    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
4 i* p* p" r# m% q. e//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
% a" F# Z. D' O    printf("\n");  
9 D, g( O" K" m& t     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
% n+ k; s6 @& X+ g8 Z}  
+ T( X0 {$ l0 A2 Z  
  
, y. d  S5 w" |1 J" {0 X/*
输入数据:
5
+ _' i: V8 k) z0 u 7
1 2 10
! ~( ]( S- Y* z 1 4 30
: S: C% e0 Y7 t% t3 A 1 5 100
( W9 x5 ?7 ]; } 2 3 50
+ T' x  T  Q( O$ M! o+ k 3 5 10
, q7 i& F+ |3 g9 i1 i 4 3 20
4 5 60
6 H6 m' ^: t- ~1 q) K/ Q 输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
$ y$ O* v# f, K! d. c# z 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
( @' s, g4 ?) Q& m, e& G! l 100 999999 10 60 999999
  W5 g# {8 ]+ p* i' P 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
& a% ^8 V0 p9 G! q; }& F. B1
2
6 B& \) w+ h! ^  s3
4
4 l3 l, y* ?: |6 B1 l+ J5
6
, ]8 w, V3 A; y7
8 [/ Q$ d  Z0 g) e; g$ s8
* s- T% r* K# A, A# p0 X8 \9
10
0 f- X) H( l% J- G/ s! F2 h7 m11
* M) h: j- I& V7 y, m0 K  }# V12
" a, o- h5 L1 h2 Q13
14
( B+ e9 X6 x( {0 e) P15
16
1 a& n+ n, h* m9 D0 ]" i17
18
% `* S$ ^4 i* n- A19
8 [& U( X0 }% ?* m; y20
21
22
( E- u7 P# @* ^1 `23
24
25
$ |  |- [& H. P2 |0 n9 A26
27
  A( k! t3 U) @' s- v1 G4 }2 u28
29
30
8 d. |* F& h$ w( W2 n1 s5 `" v) ~  Q31
32
7 d6 ?. ?" U( q* y" o) Q33
) M% A+ Y1 |! G4 c3 y2 v34
35
36
37
+ t7 K) b$ z  a* n1 X3 N38
39
40
41
42
43
. z9 v5 Q# U3 T! ?, ]1 ?) H- Q- ^44
45
46
47
48
% U$ Y8 c7 h- l- L49
50
51
) j) B9 h7 P2 {0 ~; ]: B. E5 l52
53
54
' G1 w* {* `% g: [55
56
- @/ o* Q) G& d' h* _# o9 g3 s57
/ Z4 w# C+ k  c5 r1 N' H- C58
59
60
61
0 y; f6 t* k2 o. w! e62
9 d- b% z/ X' }2 i+ n( b+ P63
& [- r: f8 P, ?( F64
65
2 B" I* v* ]8 d6 d66
2 c1 @% k1 t/ E; k67
68
7 S4 B! @9 w+ M9 N) v69
# k* ~) u( y. h# H70
6 t9 s! M4 o  [71
* W6 I& W( \1 B$ S" P3 f+ a. j72
& k3 w9 V# R+ \3 v* b3 V73
74
9 `% F9 d5 _  R% A: I- E75
0 m: B  \' p5 ]1 r) O76
' D+ k; b5 e' _7 t* s0 D1 o: S77
78
79
5 I* F8 P- ]/ p: F# y+ g9 H! G80
81
5 f1 P; `& U, C& B* M+ b8 @( p* j82
9 e# d( [. r" v  g% A3 \, Z; N83
84
" y7 z# R4 A: N85
86
87
% [6 u% B$ j* K+ }. l9 o" Z2 H2 Z88
89
0 Q; ?; u  ~- P, I' T7 b' A- [90
91
92
93
/ w" O) t3 B+ h- s94
95
; r- x; C, v& w  N, J96
: P/ y- y( b- C$ j3 F6 W. [6 R+ A97
: u1 V+ N3 P! I- q6 v- `98
& S) n: f6 C$ g6 C99
100
: V* g) t& ?  o101
9 H$ s+ h/ {  \9 R/ O. k* O102
# Q# W( U  n8 ^103
( e" z8 ^9 K; C& Z104
6 N  X6 Y& r+ r1 B- H% V! x# f105
106
107
108
& F# C! _: O7 j5 O% q109
110
" g% G' U; a5 v# X, ~: X+ q7 g111
/ ?( ?  ?5 v! q4 n. f: [( D: v112
. ^8 c* E+ n. q- ^1 u4 L113
114
115
116
117
118
! i( |) \9 c7 F: p, C& T119
120
121
# l* p9 G; [8 i& M! M122
123
124
125
126
' N$ u& a# T9 x7 C127
( D. x8 n8 r' j128
129
130
131
" U3 g) K) y  U; }1 {132
: j+ E- f* K  L: V" L133
* E4 W/ l: K$ g1 X2 \1 G134
, L7 {* M& s* F( H* \135
0 I  C* n( A' y136
* Q0 X% Q3 l$ k. k) M) K137
138
139
140
141
# O# s* F, X) f142
143
" q* m3 w) o8 F! _: Y6 b6 b5 J144
145
) R( A5 {+ e; R% ?2 ~; n2 H) e146
+ e3 ?' W" Y' u% [  a  b: e
2 ~0 s# _; v  |# c3 a, W3 [' }
（2）Floyd算法
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
7 f: E% L3 ~/ S#include<cstring>  
9 ]; B% u6 {( r7 g#include<algorithm>  
8 C" ?# r) x. \2 H; {/ H- n$ o#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
( k9 E, a& a! o% t  
//设点与点之间的距离均为double型  
/ Q. u; }. g0 M7 Y: udouble INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
- ^) [( A  t) T2 N0 `8 ^- w1 p9 Fdouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
6 @- t& s  X3 |& Cint n,m; //结点个数  
  S) S  O' o+ Y  
void Floyd()  
- ^% S5 E' j3 {; Z+ s: K{  
    int i,j,k;  
4 X" ^6 B( T) |6 D    for(i=1;i<=n;i++)  
) S. q  ~9 _( v: `2 r& B' @* l8 Q$ \3 _    {  
6 x2 P, X3 e# I  {- |+ e$ g( e        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
5 }- D5 o3 p! H; [( ^* l( j: @  S            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
            }  
1 k: t) [- X  R. \! k            else  
                path[j]=-1;  
1 ~: l# _1 o/ X( _3 r        }  
0 V+ U4 u( s2 _    }  
9 E) ?" W5 O- n: l) G$ X% S5 g  
$ V. ^1 q' O& t" g# x    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
* m2 t8 Z9 o8 E7 s        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
" i5 N* ]1 c8 G. q            {  
# q' P' Z8 V! U9 H; ?                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
+ M4 N' A* X3 e0 W; m8 x                {  
6 Q7 o# r1 Y; E9 ~" v" A                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
7 y# c& V7 @# _2 \  Y5 A                }  
- ^* N7 i9 o% B+ F4 R  L            }  
        }  
( K1 E. j; T0 s8 j% M% L6 m    }  
}  
. _7 O/ p! i- }( k( p1 n+ v  
int main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
8 ~: Q  h; J- v6 S( C: n1 R    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
2 D. {; ?( J" l# X/ }+ \       for(int j=1;j<=n;j++)  
8 V% H; l$ z: x9 B       {  
" b6 z9 b- V3 F            if(i==j)  
                a[j]=0;  
0 c" j" Q& z4 m  O( g1 x            else  
. u% M7 T& \0 H! B" `" y" B: A2 ]                a[j]=INFTY;  
0 j* P3 x/ T/ d8 V! i. W0 L/ Z       }  
6 ]0 ?2 Q: l) K9 k- _0 K* L* O    }  
; S" w! g* D5 y6 b7 a    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
- }" @# S! k7 f/ ]        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
+ n0 q8 R' I- X: e& a        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
    Floyd();  
0 G: F; i, c+ H5 j    for(int i=1;i<=n;i++)  
3 G6 s, Z1 @0 u/ s1 @1 ~, o    {  
  R+ P- F8 }/ n# [2 U; ?       for(int j=1;j<=n;j++)  
6 S1 D9 X, E& s" H       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
    }  
+ L' Z& q4 H' O0 F, p    return 0;  
+ @* u6 i/ T/ U}  
5 Z: ?8 I& [$ _( ?! a# P1
; p, A; K, w" I2
3
4
+ @4 r, _5 W* _: Y5
3 f: S& o6 B+ h4 X  w6
& D) l! s$ e1 s' R+ m; F7
; v% O: ^( F! }: u2 J* k8
% A% g% |9 ^) c# J8 K) ]9
10
11
& J( b; z; }. ^" _) v# E  E  f12
13
/ [$ a. ~7 T- r0 [! f14
. |7 e- F! p) @15
16
17
! X2 \, C, u9 E1 B( z18
19
8 H4 }/ h; X) |4 u) e* m1 |20
21
. E% k+ p3 O% m; l# ~22
4 c0 Y$ O: R; Q; p* F% E23
24
+ C, h1 k+ w$ K+ N! C25
26
27
6 y) Q* O  H3 r5 ?: K3 s28
5 X  X" A) H* P6 x29
; `. a5 O1 Z' N0 O30
" G( X2 U/ |4 V31
7 `( J6 @1 s8 K, f# N0 _9 |* G/ X% n32
) M0 }* T8 u6 Q7 c33
  d7 ?5 J' M9 G5 L3 F34
35
36
: j6 p. [0 F/ O4 N) h7 y; x37
38
39
40
) {* \. U/ [7 q# U/ i3 Y41
42
43
. b* j/ ]1 X0 K7 o2 ?44
45
# ]' X) J# ^5 P- h) ^7 Y& f. X' M46
9 A8 {' K, C0 i# }1 b" Z) G8 Y47
5 q5 D0 h) |% l48
2 B7 F5 T  p, X6 ^( j6 p49
: W3 |3 q0 d% C7 X2 e' ?: G50
51
! K1 W4 {% D5 P; ^5 `3 G( Q52
53
54
55
56
57
) Q* k& f) G7 c4 P* s58
59
60
61
) @# M  ]$ F/ I62
63
' M+ A# t" P1 _. D  l! x64
5 M! r6 p+ n! A" L2 d& A* H. w. B65
66
67
68
69
70
71
0 g" B4 Q. ^1 c/ B2 f4 k: ^72
2 c5 u# O4 c! @& V: b73
, N  c) p1 W+ }% E' s0 U6 W74
75
76
+ }+ _+ {* e& `) u) m0 j77
2 d' e: z' X$ l- G$ a, i78
79
- R" R$ F& z8 t' J& e/ X80
% @% I- j5 o% C- I2 ~& S- {81
82
83
& e% p+ ]7 x$ u: u) X

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$ O! T" H1 p; w& l* ^