【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
9 F& }9 c  c/ B! f4 I- A( k! S# {三、数据插值
& ]  J+ T& w. @- ?$ C. @* ?# K四、图论
9 ]0 Z) N! H4 `! R3 N1、最短路问题
4 c# N$ S, a7 `* y0 D# `（1）Dijkstra算法
9 Y2 J! P) U  ]" o7 q（2）Floyd算法
4 |1 h  [# T4 @, o- L9 F* B, k



一、蒙特卡洛算法
) Z( I( i! l6 \1、定义
% @& t$ l; C- U, V1 q' w

, b. E* f. P6 I. j! x; e6 X- }7 ]1 A蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。



8 j3 J& n/ }" {) O8 c/ v
2、适用范围
- n* n+ O! F8 a2 Z

可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。



9 w3 `. w1 K& E5 {7 v" G
3、特点
) V! I) Y; ]" ^* V( W- R% D4 G
" |9 Y. h1 R: b, E% W
6 \) R" c0 J! c% Y# v蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
1 h0 P% w0 k' h( T% Y; k; ^; C- m$ P

& R& V4 R4 w3 @+ c

% a& c/ N, j  o! y9 q& V+ F4、举例
( i8 E- [) s  S" W  M3 C
4 N  x1 ?: Q& _7 g
) C7 j8 M, ]* u0 ^$ n# qy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。


+ F! O) t2 z7 K6 l3 {

（1）作图


Code：

' W; a1 t/ {8 j9 `
%作图
9 Q5 h8 q* s+ |. H1 I8 E& k" T# ?x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
& h& c! X! i1 X+ ]6 j% Gxlabel('x');ylabel('y');
& z8 X& n7 Y) ]) V%产生图例
3 m4 w2 D, r+ Ilegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
7 {2 T, }, s+ L4 r%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
! ~/ z4 x, P2 x7 q  iaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
%加上网格线
grid on
1
2
3
4
5
' y- l2 \5 o. L- n2 a6
* l" ?6 t9 R7 Y% S7 ]- F* e7
- S+ \: b  B' X3 T/ D3 F' e8
! L6 g8 ]9 Y+ L! q/ b0 R% o, U9
10
1 l6 |# u% \$ n3 @+ D11
! v' `2 K) s' p5 G12
! \" o# N3 g* Q/ e6 x8 e: t13
14


/ o6 ]1 @  R1 z: R9 x! v# {8 \（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。


( {) F! C! g7 {Code：

' ~6 ?  X8 b; G  B
! Z6 t4 j, U5 F- g! f( U) V3 _+ a! D%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
# L0 U! S3 ^! P- Y9 [2 w3 G( G6 Uy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
# S" Q2 {0 T" O; _' A( a: vfrequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
1
2
3
4
5
% v; N& g& V; K1 O: Z6
0 S3 v0 V  ]- e8 q, j7
9 K! H+ `3 j- G- f所求近似值：
2 a/ J7 T) B4 L6 F8 z

% l, f" R. `) e
2 j8 B) h/ m% A9 w
( Q# @* @, X& J+ v; F
# ^) s- A9 {. v0 k" u: R6 V# z
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898


% D; H4 R: V/ m+ @. q0 c) _" C
5 t/ z) h  u- b6 l. c
* `. T+ s' z8 [  H6 ?4 j
5 G& i! `+ W+ R; n* i/ h
+ O0 `7 o) l# `: H二、数据拟合
6 A" e$ m% U  m6 n. Q0 p9 p1、定义

) |- E+ j- S5 A6 U4 @5 A: F
2 L" n8 U$ E- `, W已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。




  n6 @( f* }  g# N. ?2、常用方法

& i# F8 j8 o  I" u6 z: ~6 l# h
一般采用最小二乘法。
, y) b4 g- n5 k4 L" o拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。


6 A: Z% ~. z0 n3、举例

9 h$ v# Y& {" y) w% s; ]; O, l3 r5 }
(1) 数据如下：
6 t0 E6 R4 n  A/ M% q6 z) d! S

   序号         x         y       z
, u+ ~5 G  E. c* [$ Z* e6 i) w        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
; D; {9 I: A9 B& g- ]        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
8 D8 @; y0 z4 d2 \, {4 U& \) S        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
& I( \  K! g* @$ m* w        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
' Q' k) L* s, E8 H1 S& o- w" u& W        13        372.1432        0.041        3.604795
! M+ V: Q# o9 ]9 |! X7 Z: z9 B. o        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
; c' M4 Y: N/ b* J/ M8 L        19        388.1694        0.051        2.293532
' K5 B$ V/ Y& J4 z0 `3 n' T        20        444.9446        0.076        3.541803
! O$ R9 p: q: T# D6 j, G        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
7 ~% O# J, L8 [2 J        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
; f7 j! I! b$ Q( `3 Y# [        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
% o: g# `, x4 x        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
  e3 D+ S0 m) ]$ U0 p        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
/ B) G$ V+ l5 U$ {% K        36        421.5248        0.063        3.005718
: M8 ?+ Q& g6 D$ E        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
3 b( ?* `* s6 m, O* j, ?5 B        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
2 v2 \: n; Z# ]0 S/ k. d% t1
7 @# E/ I( x. {9 l' l- b2
* d# x  c- P' @! g) j" j" ~5 X8 @3
" K. ]0 s+ E8 w5 }# `& T: y; ^4
5
6
7
8
' C2 w0 j0 U0 ^7 [- j+ @6 i. L8 y) i9
5 q( T( i2 N- |# {) t2 U" F10
6 V) R, H# k# A2 i& R* i6 ?11
12
13
14
15
16
17
) }; t* p1 \" L1 Q* z* z: F18
19
! U$ D3 W5 E* m* b3 p- ?9 H4 p* P20
21
# Q9 q7 f  I- `# g0 s# O$ D- Y22
23
- a& o$ E. {- R0 B3 {1 l0 z; f& Y24
3 g, m; H1 u8 p. j; D25
4 t0 B( D  A" j: v  A26
7 A0 {% P8 K$ z/ E/ ~27
28
" \# s% L$ c5 G5 _+ b- n29
30
6 d+ e) ?9 m+ B# ]5 E31
8 c2 D' K9 [3 Z6 [+ K1 F$ O32
33
34
35
; M% \2 n8 s3 S4 H+ G; k36
2 c+ A1 L  Q* \) K3 ]3 ]9 U' Z37
38
39
6 U1 E3 V9 h0 p& M2 m7 R5 q40
# j" ?, `" d% S! a" u1 U+ i+ D41
+ E; t6 V" T; A% Q5 J
* _& d# `/ X; ~- \9 Y
, M' a+ K$ z) w- Y, B* Q(2) 方法一：使用MATLAB编写代码


* w" x$ F' r! z. N7 D+ r%读取表格
# n. q6 o& u- m. j; f5 x& TA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
" D: j, i5 `2 c# \[I, J] = size(B);

1 \9 o, d3 @6 }# r5 Q- b%数据拟合
6 w$ @$ p  o% {( N% Y6 ]%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
6 G9 I) V7 i( }y = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
%下面是作图的代码
- w8 t& i: Z0 f  s$ K9 Lx1 = 300:10:600;
3 f, ~4 |- e: F8 t- ?* b%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
" u6 q: t- @$ M+ M/ y6 m$ w%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
1
2
3
5 W3 O: u$ }8 k2 y  n8 G2 U4
+ _2 ^! p- `6 h3 u1 S! ]5
& `* _- C) \5 ?% v0 W; [6
7
8
9
10
3 K! E" C) `6 o" b11
9 l9 J% z! g" e6 y  s  i4 o12
* R4 c9 z6 s1 S. S2 o13
14
; f" _# I" {! b( r9 E' s: v4 o15
16
17
+ f1 G8 d5 A+ J' _4 k& F18
: B/ P0 }. w! Y, G, n( R19
9 i  t5 P7 Q  a# u% f: i4 p20
. O! ]% Z$ i. k" \5 i/ \  t* |21
: g' b, c% y" P9 o% _7 S% a
6 b$ a' L) ~4 M8 p1 u) A0 P
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）

; h6 R4 A; a* {6 b7 H8 l
- y/ |5 ?5 W2 e* a6 V2 ?
" D1 [* u5 U! F- |' [+ ]4 R
% e: ~* b% }& I! t- i0 y, w将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
) @! Y* ^' `7 d8 r' \" X



4 X7 e) K$ a, A8 O. C5 \5 x选择x、y变量


1 Y& k; b; G) x! d; }/ c" B# Y

0 q+ f, r3 {3 N) [$ f. Z选择拟合方式和最高项次数
& U: o) L1 `+ q  `
: u2 f; N; B' R* w+ W$ ?
6 d0 g' X/ n, e1 E  \8 ~+ x. s) q9 c6 }

得到拟合结果
/ W; p1 `+ s! r* x* |1 g# j
2 J: w5 u$ p+ ]- E% M
- {0 @* H; R$ g# |5 C3 ~
$ W( U# @" @' ?* H# ?
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。

- N5 [5 {- o: E


# s2 N0 A) N, Q  U+ K9 e
( S) T" J/ S$ B
6 n0 e: P& ~3 @% x2 L% t* b三、数据插值
, i. }' ?7 b- u6 m) t! q1、定义

) Z. s& q5 O9 ^& e
1 p2 k0 D0 {1 D4 B/ _  {: b2 c在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。


3 D4 e7 v: @) T+ [! P* k  |" I从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
7 p$ H& E9 W4 ]2 C# o9 O. d

; }$ ]+ [% \8 T
+ ~/ x; K9 n( [; R, y1 q9 @
" L/ I9 p3 y: |3 O" H2、作用


插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
$ g. _; T8 e6 L# ~
% Q; b! u$ M# n; m

. f/ r0 ^' \* t2 G
1 c% e6 S" I% i8 ]& X' R3、举例

3 S4 K% I! d3 g* E- C
%years、service和wage是原始数据
8 ^! Q$ H* m$ t+ u1 ?, myears = 1950:10:1990;
. j4 e6 t% w8 y& f) [0 t1 i+ U, Oservice = 10:10:30;
$ o% s/ H8 ^8 c* m- o- X, Jwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
" W4 A) T$ g, I. w. V6 |$ W[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
" R' f! n4 L' B& @; G: `6 s, \9 ~%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
% w9 D/ a7 Q' \  ^1 Uw = interp2(service,years,wage,15,1975);
3 l/ @7 [- [3 p& t, r6 \1
2
3
4
5
3 z, @# u8 \0 R; `& K6
6 u" Z9 B. n) f. J6 R  ?7
8
/ A, l4 j6 i- h6 i* f9 L+ V9
9 q: z3 ]* O, p10
2 }% a. Q$ H1 N" B, C11
12
6 U( R# a0 f$ C3 O

5 g4 u5 g) i$ K0 Y
! h9 l5 h8 F7 U3 I9 p5 Z; ]
可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
, {- p1 L- l# T; V& _# I8 |8 x
; b+ G6 z: w+ A# ]# N
. e; e  h" P0 H9 {$ ]5 m
- A) x+ @* T* p5 o; j
* L6 m2 s$ K* x7 q1 @8 @
  `5 S1 X% s% Y; M
四、图论
1、最短路问题
. _$ L) \! u. b4 `. }6 O$ v最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

! U% e& L# C% A' L
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
1 J7 e0 ?6 d( r; J8 }, v, Z
1 t" x; X4 }( R. W. H( ?2 i2 Y
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

) M0 D' d9 @, x6 i/ @& T( x1 P

. J' h0 h. B/ o
+ _5 l& L) C( m7 w（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图
. ]: x  B! B8 W) P

( o' r- L. }/ y0 @4 O

9 G5 m! `' [* n( D用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下



7 Q$ Z% P+ s+ G2 v# t  g
5 a2 @5 Y/ G1 p) B: b
1 o/ I+ P& h$ B8 n  j/ o! F3 b9 j& Z
" F! s  K# z* S; P. x7 L' F代码模板：
" E$ b+ F/ P& J# q" C. V0 W1 }4 z
* n: w' S- X$ Q
9 h. t- U  q0 p* ^#include<iostream>  
/ O6 f9 J% N# {3 G, \* m#include<cstdio>  
8 d. d0 E2 c/ z8 @' Y" A$ x; K#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
$ A' W+ u2 y& N1 u+ p; z. n; z#include<cstring>  
5 A, c& X2 Q  D+ N% e: r* a#include<algorithm>  
#include<vector>  
  G3 h& R3 o2 i' B1 Q" y#include<fstream>  
using namespace std;  
  
const int maxnum = 100;  
0 I7 I2 \' U( z/ b$ H, rconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
& O3 d  v5 h9 O, Z3 h' Oint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
( f) @$ T( N) R+ S9 K1 G7 b1 Cint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
3 {) N: q; D' q0 `  L3 I1 }int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
' C' y7 ^% {( n2 e{  
) c' V* i, i- p    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
3 `; a- @. o1 L# {& Q/ g3 ~        dist = c[v];  
" J. @6 C5 ^+ q) S% v        s = 0;     // 初始都未用过该点  
" y$ ^, U- [. a! T# }        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
! z0 z" T" P3 f* c        else  
            prev = v;  
    }  
+ H$ O0 G' b3 Z) o9 O    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
  
) R3 O  t2 j. v, H& |    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
8 r3 [( k5 ^1 B( B    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
2 _% o% Q! c& }) T6 Q6 |1 E7 x( ^+ ]        int u = v;  
1 ^( U' N( ]' _2 W- b8 F$ m        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
6 F& A4 {  a7 O! k- w8 j) J, h            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
5 I% ]& ]& U% g- ^: x4 F                tmp = dist[j];  
/ N: E9 I$ F) n4 T            }  
1 S9 o  p: B1 G        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  n% ~) A7 f/ s! b% t3 E5 x) ?  
2 Z5 U2 ~7 H% B/ P! i: i/ H        // 更新dist  
9 i" |, ~8 \9 M. r% j1 P$ Q6 |4 p        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
; F0 S! H! S+ x# a                if(newdist < dist[j])  
( \; k# a1 @7 M) a# Z: v& ?                {  
                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
: u" f) x0 v1 Z" w# E2 ?                }  
8 n- A9 b% {2 F2 k            }  
7 s% G( o: r$ l) O" X  o  p    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
0 e. u6 b4 R% ~" O$ F, u    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
% K. s6 v% G) R. I% M        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
/ S  d9 T$ l/ |    }  
    que[tot] = v;  
/ z: f, ?0 k. ]+ w7 E& X    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
8 {8 x8 n0 g3 M  G: x7 S            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
}  
* D$ y0 h, z- y' [5 B  
int main()  
{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
3 ]: }, N. H7 o$ E( I    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
0 \( L& O# x/ G% q% |/ E    for(int i=1; i<=line; ++i)  
) S( q9 B# \) ^2 k    {  
        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
& U( x9 B/ b/ W5 F+ \        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
# g; G# e/ u* u& {" \+ [/ |% v8 k            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
1 D2 b) l4 `7 f+ V" T2 h; h- L   for(int i=1; i<=n; ++i)  
' N3 f$ h# v. L1 `; g/ o& k4 @        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
" `+ @8 j. F7 M; A- ?0 B$ i        for(int j=1; j<=n; ++j)  
6 z* |/ U. \; @" y. ]            printf("%-16d", c[j]);  
2 }, ~: l/ \0 j9 I7 B5 e        printf("\n");  
$ j/ v& ~" z) q    }  
: X( B1 |! B( n9 r' y    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
& s9 W" _' d( M//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
1 Y' E4 I9 z6 m+ f% |  I: ]//    }  
    printf("\n");  
4 o/ R5 O( T/ i5 U1 K8 q4 ~     // 最短路径长度  
' B, i% T" I. V  U- ~    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
, {+ K- G! c( w0 }, n% S3 h     // 路径  
. I4 S4 r. q& d7 P  m+ f3 T    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
) o  P7 Y( N9 Z. z: _    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
! ]1 B, U9 l) x) u4 ^& Q  Z# y}  
3 a* f7 ^5 _7 _% \4 T7 E( F  
" t# N9 o" O  p* c  
/*
输入数据:
! u% n2 K0 g) _& p. \/ [( r0 C% ~ 5
7
  a* G1 n4 R$ C 1 2 10
# O9 b  Z  W8 z* K 1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
, \. F; {2 C, t2 Q% }" g/ M1 { 4 3 20
4 5 60
. ^  r; H: b! T 输出数据:
1 G, I. \/ ~# b 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
7 C, {/ X6 J/ K: Z* m$ W/ N 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
  p  f6 C( H+ l: F4 E) B2 B*/
4 n  a; {7 V; ]: g1
; j$ H" {  e2 {2
# x5 G8 ~. k1 W4 k1 s: ^; c* N3
4
2 G& S4 o" ^0 M6 I+ i4 R& l6 |2 a5
6
7
8
/ y# L% S$ `' [) h1 {% v, E9
10
6 ~: a" j) Y6 q4 i. M* G0 n* ^11
: F  H1 Y  _# c: |8 p12
13
14
15
16
7 m( T; G8 h# A1 o" Z4 O17
3 O3 f" O& u" T1 u! A18
0 a/ h% C% Z1 e6 M19
20
: u0 c' E; C& C2 n4 G1 X21
22
23
24
25
. r5 _2 F) h5 K3 ~, K! t26
& Y; Q/ O7 Z6 g) c' C3 e27
28
  g+ P$ B7 n; v& W  q. C29
30
31
. f/ L/ m: b) r8 @5 k3 ]32
33
& m1 _# T! ?$ \* ]0 O4 @4 y2 V, ]34
9 [7 N  Z& A' S; g" ^! V35
36
! Y( E# O. {/ q4 z$ |% M; [) [37
+ A) y& ?0 ]5 J" a  V38
: S3 n' f0 N$ F, j3 S39
40
  w& J$ w+ X# y$ a0 g8 ^41
6 G6 j: I- X+ c* @42
% y5 O% r5 B# g' u( R2 M43
44
! H! l- }1 L  K! O0 G( D45
46
$ D4 l, R; ?8 o2 V47
9 p; Z3 f/ [  I4 N4 h48
49
9 }/ H- B: r& |2 E50
5 l2 Q6 W% B& e% z/ n/ K& H, E, X, n51
52
  _- G: H  X" u' O53
% V* v* y# S% A2 f/ e0 ]54
55
56
5 B: w* t' W/ d7 j57
58
59
5 l% L$ u8 ]9 i  G60
0 [5 C9 \) i' H; M" o, n61
62
9 k; v9 U5 F+ l; P! U63
6 ]' V* ~# H- I( F64
65
/ X. q( C0 D$ {5 x9 R- k! ?66
67
68
69
2 k# D7 J# h' X70
  D, y  A( }7 F8 ^71
# E+ S: P3 e( s4 `0 u72
73
74
75
$ D; F& n! B' {76
' w) ]. L/ O" f! ?6 S# _$ O77
78
79
! V2 B. w6 r7 s, N* N4 f80
81
82
83
! X4 O/ W4 J( u$ L84
  w/ _* C7 j# g, [/ x- H85
" t# Q% W" U# o+ A, _5 F( v86
9 @" v) x  S7 O) I' q87
88
89
90
91
" ~) C  \6 d: ^$ Y92
8 g, {" T# F: p8 f2 T93
94
95
96
97
98
99
100
' [$ L5 h$ m) O6 n$ i, T0 o; T101
( Y' R' f  ?, R. d4 k) V102
103
7 \7 d3 l# \# ]* r104
105
3 u7 V3 X$ P3 C0 v106
: c* w. V1 [1 i; h, \7 |% S107
6 ?7 {5 @$ i' B! V7 x( r# S0 F108
109
! k% s0 ~9 a8 U" D, |* L% Z110
111
112
6 V# n/ a4 X% V" r" O113
0 k9 Q" G' m2 F$ h. S) B' E114
6 }9 U5 i% Z8 ^5 k115
4 g5 i8 d' [+ x$ }' L1 {116
117
' O8 N9 a4 v2 c1 H; f118
9 Q$ `* J  O: _7 i  `119
120
. A0 k1 h' }6 R2 h7 ]" s121
122
123
124
2 s5 v0 |" _9 \4 U3 e2 b125
126
5 @. a, X' a' `127
& L  C8 r5 w$ @. w( P0 z0 d128
" |2 t& q) O! }. g2 C7 {129
130
( G6 X& H) w& G# x  A: X4 G4 q131
. u# m2 j- k/ H: }$ @8 \4 U132
1 d8 T) N; K7 Y1 f133
134
135
3 j% F0 E4 W8 P% D: d& @) W, E9 x5 Q136
/ I" @6 Y" `5 E$ s137
' p3 {) O+ F- L6 P: p* X* {138
139
7 h" T- H0 w8 t. P. y% g9 R140
+ o: K' S/ h- I141
142
143
8 z- p1 g, C/ t! X7 W7 {  f- b144
145
146
* J  j5 k1 X+ v1 j0 e

（2）Floyd算法
" u0 A2 B: G. e0 d1 S# `! ?#include<iostream>  
- m* Y/ V2 S# s#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
4 ^% p* [+ p) P# ?6 U* m#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
0 ~; r& u" O5 \2 Y. l6 uusing namespace std;  
' j& _! L$ `8 K) Q1 F* Y  
% C( ^& i  ^0 x- a9 y//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
& i" K+ @$ y- M) W( l* M0 r3 [const int MAX=1000;  
0 {/ M. x& l" t4 b8 |5 ^: rdouble dis[MAX][MAX];  
3 l: n* c- f& Q- c9 T, ]double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
+ v: T+ [- k1 a; N7 @+ k: ~/ o) Y! _  
void Floyd()  
{  
    int i,j,k;  
, g& F- T; |3 z: I9 S6 V    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
8 v7 P0 F8 Q4 c% ]5 I' y        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
$ ?% [! K2 T9 K! ?  }( c! i6 d                path[j]=i;  
. f, b, E8 T# o9 I2 w            }  
            else  
3 c/ D7 Y' [: n                path[j]=-1;  
' F* R: t2 V& k        }  
7 n( R# F6 _5 e9 b, _    }  
8 e0 M6 S- P7 M5 J1 p  
    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
! a& T9 V) A4 R1 @: v/ k        {  
2 U' |  e- s% ^8 j" q1 U0 r            for(j=1;j<=n;j++)  
. ?9 E9 q6 f4 g5 T7 k% K0 D" [9 t* a            {  
7 e6 r( e8 t+ O, u0 q                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
. r4 {, Z% Q) b4 x+ [1 Y                {  
6 {3 B9 d& L$ A$ d5 B( \                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
                }  
            }  
        }  
& }) y4 b6 W6 l+ h$ Q9 Y    }  
}  
* S! Q0 o! H! Q" P/ ~: W' i) ~4 i( p  
int main()  
{  
- G2 e( y" P$ V; F, u    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
0 U! B/ K9 E# D- W    int beg,enda;  
    double dist;  
$ f, x# E6 _9 d5 Z    scanf("%d%d",&n,&m);  
/ f: f5 {6 Z* X6 z, [; |    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
6 r9 u. _$ w: S4 J( L2 d7 Z" Q       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
* N: M- o1 k+ N, J; d5 \            if(i==j)  
; r# I7 t$ y" h3 ], l+ r' W                a[j]=0;  
            else  
6 v7 A0 j- A; y- s8 S                a[j]=INFTY;  
5 K( _1 M8 b7 c       }  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
  W7 r7 d) o5 |3 g' r    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
) p+ i$ L; @) p% [  _# f        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
( ]% [! J2 p1 M9 J/ m       for(int j=1;j<=n;j++)  
" q! J! p/ h# Z( e$ j1 k: d% u       {  
/ b9 W. I5 ~: O4 T; z1 Z/ D            printf("%-12lf",dis[j]);  
& o2 o3 g! Y- m* U) q  o$ ?8 O0 n       }  
       printf("\n");  
# j. a; f3 ?0 C. y    }  
6 n! l1 i0 U4 b; \1 K: k  h% @& z* b    return 0;  
}  
+ W+ d: R* R9 S  ]; p! I. V7 M5 a1
2
) {3 W1 X2 B1 E9 @" f0 \# r3
4
5
; W* F8 k) f+ f( H" [5 }/ g1 e, d6
. }3 g! A( e8 d- p7
9 d4 \. S/ F1 C8
3 \$ |* z" Q5 k' U4 J9
" L- ]" l$ z7 f% m- v6 ^* P10
11
7 a! i# v- h: K( g) M5 ~" w- Y12
! I0 p- U6 A- v0 ]- {0 ^13
1 h5 l5 F9 l5 F/ E9 A14
' ^. }) g( b% ^  ~. Q% d8 R5 Y# p15
16
17
18
19
20
; I* E8 p- o! z21
# x' _' B. I8 P& ^7 ^  x" M. _22
: M$ Z, B/ R! E$ g- E23
! ~7 O$ @" X1 K( g  f- R24
25
" S9 \% I5 @$ V" e1 k. O26
1 ?# e) L9 o& t. f0 m$ h/ {. H27
28
% v- ~7 s7 w: G: Q$ E2 D& I29
" s5 `0 M8 h: r2 \5 \30
31
32
33
* ]  w5 H4 U, o7 h. b34
35
4 J0 M! y: |/ R7 d# g0 X* c! W8 l36
; i0 h; Z% _6 O9 A- Q0 g37
2 a- P9 y, l& V5 ^6 H38
39
4 ]  ]; I- I* b0 P- x% \40
41
; r6 U2 E& Y) }# C4 z42
43
8 D. P. [( E( u- y! j  n+ I44
" a4 k# B1 ^  a, O, _45
46
47
48
49
2 X6 Y) O: E& Y' o" m" ~  S50
2 Q! V3 }2 h1 w4 i7 J) b51
52
. b& @$ I. H# v- d! e" U53
54
55
56
57
58
59
4 L7 S  Y4 B- E4 z6 B9 ]60
- |& \) `  c4 l6 b: P) M1 a61
2 {$ c' p# L8 s; e* I, I+ y62
: A. O! X, Q, Q5 S* K* @63
" v, ?8 @4 H+ L' n  Q) A  n64
6 B) T+ M& ^& [65
66
6 w  }. O6 I; G& S2 U67
68
' L7 o4 L* A9 w$ A69
& T8 c9 u5 O. g2 l% f' e70
( J! u2 e7 d6 f. {71
' E. L# [& T: j3 I; w+ v72
# Z( B# z! o0 t) Z" j73
( M$ q2 C: b& O! |, Q; X4 i* y74
1 |4 G& s5 ?6 s75
76
77
78
7 u8 U" u& V! [79
80
) N4 R# j. |9 a* S  h0 g  I81
9 V5 U" \9 x4 E! _2 E9 a82
9 P9 v# b, }" ?* \' v. K+ s83

$ E+ M9 {/ {/ l3 I1 ?
————————————————
; E  U0 L: m4 e8 ^版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
# D- `3 p5 @7 q/ l, f+ F原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288

' J. N% x6 i5 U/ t6 d1 \
1 q$ t- p, Y* u8 K8 L3 K2 e