【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
/ i8 ]( T/ _9 H: k. h  }# S, i! Y一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
  z% X! Z- t; C+ \+ Y0 V; U: V三、数据插值
四、图论
3 N3 C' w3 i$ p1、最短路问题
+ g# W8 e) N; N, p2 v（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法
$ S% S3 K1 D8 E% E. n



一、蒙特卡洛算法
1、定义


蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。

1 U0 @# b+ U. u
" \  C1 y' j8 d- A, r
$ _$ R' y8 J* _5 s( W7 R/ a2 B5 Z( c9 U
* A1 P- G1 `% k+ B( G2、适用范围

1 _6 {2 K; R4 d- b4 @# a  u
; B9 ~) F, t' ?1 J' B& m6 d可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
7 [' R! m7 {4 F' }  i: |- j1 W

' e9 C) ?9 z2 C" b4 B8 Q, L! N
" f' g, C' K+ N+ i
3、特点


蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。



" n) X# D" V/ [* j5 m  L* _( o+ y% R
4、举例
/ J6 ~  @) G0 A6 n: \4 K  `
* n# q- d, |( M3 {% W
. T4 q0 n& R2 U0 j# Y5 _; s' Ty = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。


5 t" R/ _1 u' H0 ?6 R1 {

（1）作图


Code：
6 M  Q& X( G; t$ q3 b9 a4 v- D

* e2 O3 @$ @; b' v%作图
. R2 E/ o% {* I7 P& W$ d) i6 @' sx = 0:0.25:12;
7 t) {. U! D; Q1 i1 M- Ay1 = x.^2;
8 q0 |. v, B$ d6 Yy2 = 12 - x;
) c5 F; }3 J' {8 qplot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
, K% V: O9 |. G0 X3 T: ^6 N%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
; p2 R/ n0 N: rtitle('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
9 U" @" }! z' H" B- xaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
/ Q7 G, T, Q5 s2 s%加上网格线
grid on
1
- X# L! d8 k3 A) B6 o7 {) j; x2
3 D5 `9 _/ l' T7 c' Z1 D" A% A3
$ S7 k8 \7 Z# {% i* a4
5
6
7
8
2 U# y4 `- C' R' i. O9
2 h# |- Y% t, S; ?8 ^: {10
11
12
13
14


( l4 {2 q3 P: I6 M% O（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
. u4 o( t+ C4 o: H1 C6 A% M

* }. E3 c/ Y9 o7 [& K$ l, m! z' R! M7 CCode：


%蒙特卡洛算法的具体实现
! t- I! Z4 f1 S9 Z  |( c2 {3 g' U3 Y%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
! P  ~8 |8 z9 o. n" kfrequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
! E) u) U0 o! u! {3 K" U& warea = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
+ L' R$ Y3 W, i' g9 Y7 e1
8 b1 l6 R. A! M5 V2
# Q. O+ F" I6 A3
4
5
( _& l. z6 i3 X2 h6
7
* C; g) }- {6 W% L8 N) W* z所求近似值：

0 S" ~' W' I0 H3 y+ }7 }2 O! w

2 D% h1 W4 j& y" l( W


: @& h" l) S, ^* C" G, T4 R参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
+ w) e" B. q3 Z) n8 s' }! y: l8 X
2 y! W0 N0 L" Y, S% p" J
8 B- m8 p# h6 Y; t/ s+ w! G" x6 O

6 r$ V9 [9 |- _' H- n$ \

  L# R; ^' K- n  R8 f. z二、数据拟合
- H3 F% r! I  U  ~+ c* f  \1、定义
+ r- C2 ]- k; A

- w( e, I8 M2 |已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。


. G, Y! t4 Y$ z; v$ H7 A% i, o" o
- z' s3 {7 r8 o" p4 U1 r/ w9 ?. z
2、常用方法
! j- G+ l7 }8 N

一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
! I" g' V7 a( `, \; J/ ~4 R

& l5 z. o/ a/ K- Q) D- Z8 u3、举例


(1) 数据如下：
- f! z5 O' Q" Q

' K% v' u8 `* R& M( X   序号         x         y       z
( }" c. R$ K) `! R( Y: C! L3 W/ U; n        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
8 g1 l) l$ k! d' m8 x$ L) m        3        504.0792        0.102        2.429227
1 h* G6 a2 Y, I+ v: W        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
7 J/ h* a- @  A: `9 t        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
1 G# p2 \  k( k3 n  c! r; }% t* K        13        372.1432        0.041        3.604795
* v/ D9 m9 g+ x' ~4 |0 y) z4 M' a        14        389.0911        0.085        2.048922
$ m; X3 S( }2 Y$ C# C% g        15        446.7059        0.057        3.372603
. R. @6 _. l1 M) ~        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
0 E* u) @5 }: y, ^* Y, e& b        18        453.6719        0.082        1.841441
4 h' v; J& _4 t5 q8 l- E        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
) \$ Y6 r2 l6 H( G$ y4 P        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
7 {6 E4 Y, p! V+ C& q. v        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
+ B* j9 w9 @/ @) f  O0 l0 N) a        28        421.5248        0.063        3.005718
, d1 D2 Y$ ~0 T9 q6 f! @        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
% j& s+ I. y  ?8 T8 D0 R) K        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
/ G, p, X' F# h! Z        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
        39        362.2008        0.036        3.060995
0 }1 [! d" z# P( Y, p' j- O( k        40        417.1425        0.038        3.69532
5 x+ c5 t+ U" w" c; J; x1
( m$ k7 f" p$ O6 n" @$ w2
3
4
5
" `) \; ]" @! K) ?: _6
) l1 b& E  t2 a/ y' k7
1 o! @) b* `( Z2 t/ o0 ^2 @8
  |/ O# u/ n% m9 d9
4 ?5 n  D- i  T( y10
11
# W" ?  D, i# V3 S) Q$ J) w! v12
1 g$ k% _4 S5 I2 H2 g8 F; y3 J13
14
15
16
17
18
. G" j  P& K9 [1 ^19
1 V* s% y; O$ j20
21
$ P. w& v  u: @& R& {7 d22
: d% w+ b. V; I% o# h23
24
25
26
27
28
9 F1 P2 _. S6 h, l% n, s29
30
0 ^3 {% i2 b! A; ^$ `31
# R  a; M# x1 d" ^$ E) b# \32
; I9 ]7 h1 Q& |3 p, d6 I: l33
1 D7 X( i$ v4 V0 b! J34
35
' X' }9 |8 I5 a) ~, J! v$ k0 U' `36
37
38
39
40
41
$ o2 x. H2 A- z4 W. b" A
4 g- L5 A/ _3 v1 I. g- A& p
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
* w: c. n) s6 S; W7 Z
5 O/ ^: w$ C; r4 c
%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);
  O/ r) F, ^6 r% B
%数据拟合
8 M+ M4 T' [& Z) e%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
y = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
! `  _& ~7 |# V2 K0 s* W6 L%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
1 N. l9 C! ]8 o. Q%下面是作图的代码
& j1 Z0 `, H3 x! g' D8 ]x1 = 300:10:600;
5 b3 R1 H+ m( f6 A1 O- Q%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
* _/ T# @' X- a) ey1 = polyval(p,x1);
# A: C4 }5 P- F# p4 Wplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
& y3 J9 n, Y/ i. ?%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
! G# q6 s6 S/ d+ \%figure(gcf);
1
2
+ z; u' f: t9 q& z( f0 B: l3
2 E, c9 k) d$ \& @. E5 h4
5
6
7
/ h- x$ W% i: u1 P% k8 E( S9 M) y8
9
10
  r  B& R; ]3 R9 u% J11
12
$ E3 |3 R. f) s5 n% h$ x( I6 {13
14
15
16
17
18
19
' h7 O+ G' ]0 z' k  c& Z0 Z1 }! Q20
9 x, }) Z7 K3 M; [- A21

0 U' H9 I; ?& e. N
(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
, ?2 }+ v: P8 O/ ]9 i- T9 v% m5 }
/ h" C# {$ _( T- w& j* X8 u# G, r- j
* ?  L/ t6 t* e5 N7 L" O1 F6 b7 |
5 L2 t3 Z# y) c8 t8 Y  {9 M# @
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
: q5 T! D+ K/ x9 Z: u/ q
+ v8 b2 t4 C) G( B( F


选择x、y变量



3 C4 h! J9 H  w1 ]5 n; g
, j- S! y; J9 v% K7 v选择拟合方式和最高项次数
  n/ N2 P0 z: L/ M
0 d; Y) P8 w9 n" {, [% d! h  A
/ i" d1 s/ v. s! d( E

- [7 y' [( Q6 i2 L* R. e得到拟合结果




0 `+ Q- X, R) _; c使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
+ @! ^& M9 W. V( X$ J' ]0 j
4 r7 p; O1 M& u! F% K: y8 C, ~" c9 z
! Z* z  G" R8 W( ]% u

2 H& A4 M5 p. w9 m" K

三、数据插值
1、定义

3 Z9 c- r" _+ }% w/ f9 ^
3 ~; ~$ w7 C0 r8 e' \2 Z0 u在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
; o2 \5 I8 s2 m% W
( R" X( j; m5 X- \0 ]
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。


; d  {2 B" P9 U$ c0 W
! j- L/ [+ u6 [/ V& S  ~0 Y% _  z) Z
2、作用


" E4 D" R) \* T' R; Q插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。




3、举例
% o8 D) L" r$ R9 P
$ _3 ^2 Q3 J9 z* _  w) I& D* Q
7 R$ X; U3 j* a8 ~$ a7 L9 ?%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
9 T- U  O, P. d$ j  Sservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
" a1 @8 K4 p  g%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
8 W( W5 Y/ G6 \! gw = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
8 }7 n: P8 u7 y- c7 v2
3
3 A$ z( u2 u& ?3 R4 ^/ D4
1 {( T1 V8 \2 {, G2 @# E8 L5
1 x% O0 O: |8 A& U2 n: k: z6
- x/ @/ Y. m/ b% e" I7 I7
7 }0 Y/ V1 Q& f3 H" b. R8
) q# \, ?( n$ m" ~  g1 a9
: I& u8 @( V" S/ W10
! W# X7 q# u: H11
& ^0 |3 o5 f9 Z' x- ?12
3 {( x! M" s) R; l% c
5 J) b* L& W  e. z' ~+ @/ k; t
' H/ n( T% |7 P, D

可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
6 t% C1 F  ~0 k  U) X% p
' w. C  {4 x/ D

: o% A6 `% y) D4 G% G6 d7 I2 y0 s3 f


0 Z; j' w2 B9 r2 P- K四、图论
  t7 Q4 m+ f6 U& i1 h8 g5 E1、最短路问题
' H4 z' k, ^" U6 Z最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

; a1 ~3 C8 a3 Y2 D  A  y/ Q
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

1 a% e* g8 ~( T' h/ I5 h! j
) ?3 X/ X  n# b1 M具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
6 Q0 x% W, y3 u
7 o2 g* }" m2 ]) ]0 f+ q: F& Y/ `
8 T/ U( e6 o6 a- h' }& [

（1）Dijkstra算法
先给出一个无向图

/ L5 a+ A" G% ?" Y: D# [! h
/ O4 W! V; k1 o) ^
" K8 z& |& p8 e/ m" O, w
- f  n$ ~% n' k$ ^, R1 W7 D. \用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
3 R( o% S2 k) N$ g! f8 r8 j* \


8 V, Y0 I: T8 Y# D. d
" q- A$ v" g1 M& Y, C
/ I6 ~0 N( ~# A$ w3 Y7 C
3 q+ C2 R9 f% ]( e2 {代码模板：


& \7 `4 h; z6 p" {: x' C#include<iostream>  
#include<cstdio>  
9 k8 o  x) M5 \# K! t6 |#include<cstdlib>  
* |' @/ f9 {7 g; z#include<cmath>  
#include<cstring>  
/ q5 h: Z: t# [6 d#include<algorithm>  
' l2 \$ q& h; i! |  ^#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
/ G, ~  w2 H9 ^/ G  
- V$ i6 W) k+ Y$ w1 Sconst int maxnum = 100;  
% ~" N4 E8 }/ Y) ?! @& pconst int maxint = 2147483647;  
- j/ Z0 D- K+ u- S+ }6 K! j! iint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
9 ?4 v; G% u+ b8 Lint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
% |4 J; ]0 U8 |$ j- g2 eint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
( v. b' p" ?* S# m' b/ w& j7 m{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        dist = c[v];  
6 L# V8 v' V+ e: f: d& Y+ u        s = 0;     // 初始都未用过该点  
* g! ?+ x) q+ R- {( F) H: C: O        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
        else  
            prev = v;  
    }  
    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
( }  p1 w5 x0 ~3 S( T0 K  
0 }2 p5 A2 _( i; c    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
! q6 j* Y4 L) F( T    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
9 f  K% W2 W9 }) ^1 v        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
* o+ _6 {" f: k. w0 }            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
) a2 n% E9 R7 I; p# T                if(newdist < dist[j])  
                {  
  g5 S( h) Z/ S                    dist[j] = newdist;  
0 f5 Y+ q- H  G) ]3 a- i0 `3 s2 L                    prev[j] = u;  
                }  
8 R% x3 F7 w. y7 K& C' \            }  
    }  
}  
9 C  X6 Z2 V7 kvoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
$ T: z- X$ Q6 C/ L' ]% v{  
8 V6 V! H2 Y4 X+ L' k; K4 B$ N    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
, g( O, o/ ]- Z2 e4 I1 p1 I+ [; ^    que[tot] = u;  
% }' g) [, m0 D. W/ x1 N    tot++;  
& `. \/ g0 e& F& O, x9 k6 q- t# `    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
3 D6 V8 s; W  e. p. j2 S        que[tot] = tmp;  
; e! T8 {' G! y0 B5 f5 u3 |        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
: j( M2 P7 H. y8 N; f5 [$ f5 N    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
. F" u+ ?+ ]# ?3 W: g            cout << que << " -> ";  
        else  
7 `0 D, J& Z" c5 B6 o9 \' z            cout << que << endl;  
7 U: W  D/ ?. b& T/ @}  
% ^$ m9 g6 g' p! Q  q  
int main()  
{  
5 E' X) M$ q3 q, a    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
8 ^0 K0 ~4 Y! F! p" ^9 J1 K$ `    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
* o3 [% H+ e" p0 F9 u- O/ b    // 初始化c[][]为maxint  
* U2 v2 C# b1 V$ ~7 U0 h& F    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
        cin >> p >> q >> len;  
- X+ a: x; ?! V7 n' g9 c5 C( G( E" t        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
# A) C" Y' E9 b+ X2 I. f            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
+ X' D5 X: O# A- u& F        }  
' B. Y/ K) K$ F0 n$ r& I    }  
/ j. l7 B, N$ Q   for(int i=1; i<=n; ++i)  
& T& M* f* t8 t, w        dist = maxint;  
- ]8 l! Z1 |' i# P  X    for(int i=1; i<=n; ++i)  
9 ~: ~4 a& i2 B3 {    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
% t  f( z. u6 M$ l. M  
$ h. J( I  g2 Q( h' M, @/ }) |# \//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
8 k# J1 q6 G# ], s. v: C: r//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
7 d: ~3 m. H1 U; v: l/ j    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
, N  a  S8 ?& B: R) `  C( R# W. E    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
  H. n% \1 W3 W& O    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
2 B  d  [' p/ M8 [1 `" z6 s}  
  
  
/*
  Z) Y/ U. l0 {) i( |输入数据:
* D8 r7 O" X5 g$ O: R 5
7
0 W* R8 q' h# d+ m 1 2 10
1 4 30
" {6 q6 K0 f' H9 W# O+ w. H 1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
6 D* Q, ~# c$ Q: W  r; B 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
: T/ }% O! V, l- Q5 | 30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
3 h! w1 g' u: n  A9 l% @: C9 y 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
$ g6 n, f' F1 U7 [7 |2 P 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
2 h+ Z6 a: p. f  h( V$ z( v: H*/
; @& h- U7 Z' x6 z$ s1
2
( {. \1 O- Q" g% J3 B' A# J& i3
7 D0 o/ Y/ u4 _. K  N- G; O4
5
6
7
8
9
/ w( s; `$ E5 x( m10
11
12
13
: R  J8 {* a3 L14
15
16
0 |% o* x/ x6 K; t7 |% Q17
+ V. |  e9 I- u$ i, V# G: o2 L18
5 F& K& {+ S, U7 ^' o/ U19
: a$ j, b/ k& x- ?* B* d& y20
; I5 F( }, K, N" U. x21
3 p9 r9 m' y# t; c" W, r22
23
( T" j) _. l8 H$ o( n: g% L( A24
$ Q0 T# @2 h6 L, C0 T25
2 ^) ~" F' a+ c0 L3 m, g9 d26
27
28
29
! e# W" P5 w2 }$ T* T% Q2 g: u  e( }7 W30
31
32
4 p; e! _$ \+ z3 m3 k! L33
34
35
4 d0 L! X" `' }- a: n36
37
38
39
40
4 m3 D- z$ g) W41
42
6 I% Z6 T: _* E5 {43
44
" P( o) G* l5 V7 a) I# m1 w45
2 _$ k2 O( O5 P$ T; A: C# W( t46
47
* ]; p  l! H8 A7 G9 y; t48
49
* y0 L5 c! d  X/ R50
51
52
; X6 b' W  s7 b) t$ Q& @+ Q  f! Y53
0 p6 N* A: B3 u( z+ K- r+ Q  r54
55
  H' E! f. ^1 D8 U- ~- m! G( l56
/ L$ ^# u5 n* G$ B- z2 U57
58
6 _* \' S$ n4 _' n59
60
' K: w  ?( x6 a$ @: @+ s, ~( X61
62
% n4 d% m* ~  Q, [$ U63
64
6 f( k8 ]4 P2 A8 ?" x$ M4 `4 D/ k65
66
8 |' D( ~! Z3 \! X) h; a. w67
68
6 q4 H' u0 }1 s8 ~' K# R) E* t6 Q69
70
71
* p3 K! u0 ]  l# _. k72
4 V" }& f5 ?+ m73
74
75
+ o* a1 l# {4 t* w76
8 }3 \+ k( \: y; P77
- w$ E. R/ c7 R5 ]; g& |4 A  @7 E8 j& W6 o78
79
* F8 D. m" w) p: R$ G9 @( N80
81
- z( J+ {6 q! c! K+ g82
& Q- c8 S6 A- Z8 \83
9 L4 P( w! q6 g+ L& g% `' G84
85
86
87
. r% a$ U) c: K2 ]: ?# S88
6 X  z; E# s) K: B89
' M  k, P6 d  i( G9 \. E& N. f90
91
92
93
( K: `8 Q! [1 u: n1 J94
; k3 `2 K$ R1 h+ R, w95
; s, C* L( {# a96
97
98
' W1 l5 Y1 r6 E- y4 y6 }  o99
* r2 B7 y6 @6 D7 N) q( @& k4 U100
101
7 L: ^+ I. z/ W% s$ J102
* |5 w' p8 M% b2 e" r& |103
104
105
106
107
108
109
) Q9 n5 R3 {# m3 M9 j/ W# O110
! _# ?3 r6 ~9 i6 {. F111
112
113
114
115
116
, N+ B. X0 [: ~8 I0 V/ ~3 a2 U5 e117
118
( ^+ ]$ Y$ i0 ], u2 f) ]0 {5 \# }119
120
+ I7 J. ?) Q" S1 V121
122
, O' @+ J& s" a123
124
; ~4 b8 W+ R, I3 u. ^6 V125
; X7 V  J  m3 z( C126
127
, _* ~7 S. _; C3 Z( J128
, S- u8 N8 r8 J4 l3 m% |" `129
130
( x$ ?3 v, i& l$ `, T2 C8 C+ V131
+ j  u* i  C# U. m132
133
134
5 j2 \/ s( h7 {3 ]' J% V135
136
137
138
: d+ k4 A% g- ]1 |( P8 a139
140
9 v$ u; \$ E2 m+ U1 B141
7 C5 W* |# V2 l6 C" Y142
$ z2 R" W' }6 v& O! u9 S5 e143
9 I2 D2 c3 S* c% `144
145
  x: [& H* v% N8 s% V146
( p4 @# V. N6 [" f% ]' ^' g( z. ^% \

（2）Floyd算法
#include<iostream>  
5 c4 I# I6 y8 E* n! d' U#include<cstdio>  
: _; |8 g% N; u  R. {7 |2 q7 x9 ?#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
/ a3 i- z5 H7 @: K$ F#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
/ H9 O: @1 y, }1 u2 d  e, Gconst int MAX=1000;  
" l9 y/ A) U2 g, e+ Adouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
- `; S; P' K7 T% u" uint n,m; //结点个数  
  
* Q* G4 C. s& s: I7 g5 M5 S- e9 r: m- |) jvoid Floyd()  
{  
1 E% H, I0 K7 \! ]: d5 p1 k    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
, F1 P3 W, G# b    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
/ J3 p) ]6 S/ m, d        {  
            dis[j]=a[j];  
5 f) a/ g6 ~$ Z# @$ S9 U            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
7 u- c: _2 {) \, K( ]1 F            {  
                path[j]=i;  
            }  
            else  
                path[j]=-1;  
        }  
    }  
  
: \2 M/ u; h! S6 A0 o3 u9 S5 ]8 T1 J    for(k=1;k<=n;k++)  
- }% ?7 V) }# o# v0 o* V4 U    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
+ u) K4 f& j+ N; |        {  
4 f' F9 {1 M; j8 u$ v7 Z            for(j=1;j<=n;j++)  
& w" A5 [% d/ [* p  r            {  
3 S' o' I- P/ ?                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
9 u0 N5 X4 A/ }  f, J9 u2 o                {  
0 s7 U$ |# J. [! A' [& R                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
- p6 A( J% v( C! ]! @                    path[j]=path[k][j];  
% V/ w$ v' u+ b6 Q9 B/ V% [                }  
- o( ]1 d8 j, X7 F5 Q+ F            }  
        }  
( `" X% g: w( L& @    }  
$ B$ }1 [, |3 I1 U5 l8 q) x}  
: F  s% w* p4 @* x+ ?4 p2 p  
2 `$ t$ i$ T* t( aint main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
6 F( h% {% I% n3 S    scanf("%d%d",&n,&m);  
* O% u% Q* X! D/ K1 J+ Y    for(int i=1;i<=n;i++)  
& c: F3 J: J( e/ f5 a% F+ ?$ [2 W    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
! q  F! s- c7 K- m       {  
" C/ \% b+ Z' ?2 g2 w( a) }            if(i==j)  
                a[j]=0;  
            else  
1 P/ M8 P3 \, N& y5 Y6 u9 A" d2 W                a[j]=INFTY;  
! y8 i& o8 ?! f' i' R6 e       }  
- g9 ~7 P  E" c    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
* y! N6 V% y8 ]4 b, L8 H3 \    {  
# O4 p8 f) f3 d$ o1 d% P6 U) g9 c# y        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
0 ?5 q9 j. P: P' R        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
% }+ F1 O% h& ?" G" B8 ^7 @    }  
/ U. r. b( }+ P* z- \/ o    Floyd();  
& g, y) i1 r/ x- K6 ~& |    for(int i=1;i<=n;i++)  
  L$ z( ^1 b: ]: _) e    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
6 B2 x  ?: s2 l+ c2 ~) B       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
- d' T' \( ]- ]0 U}  
1
& u2 M" P' M) i2
3
  y* H7 I0 Z. u5 M8 x' Z4
! M' v% n2 n5 r, }1 L5
5 S! |" x( F$ A# I- i7 Y6
9 j* ?6 {# U: f9 _# w5 I2 F7
1 g  E3 l* w; H+ I/ V8
9
10
11
, b* i( g" b" ^7 ^' ^% N- e/ S12
1 y! I4 N" V1 A' ]' W13
14
9 ^" h$ d" S% @4 n0 c& y' |15
16
4 a+ @1 s' Q8 r  T! j9 l17
7 W3 J  t5 r, r# Z& y) W18
19
20
21
5 Q1 C6 h/ h3 R3 ^; t22
23
24
25
26
27
28
: ^4 A  T( r; N6 O1 E- S9 V, T29
* o) M. G* X' I" d30
+ O2 ?! x% j* l/ K1 q) u31
# r7 \% ^8 s9 S32
33
4 i# y4 `4 }1 V4 Q* [: d; V34
35
8 W, Y$ v$ d/ U& t7 ]/ l36
$ n7 a' ^1 w2 s; V/ q37
# N- [7 s0 o! D+ V( D38
8 @- B& y4 |1 r5 H2 I4 I39
6 D3 _9 n4 B4 ~; `40
! Q9 l1 h5 k2 U  j6 m' j- `& L41
42
# X+ q. Q% R; ^9 W9 E43
+ s+ O& ^2 |9 n7 p44
1 Y- L! [% e/ E7 j+ a  `6 j" t3 h45
6 A' N5 z: U3 v2 J( g! c46
47
+ E: e8 l% X& n  I$ G48
5 S2 Q# E, m8 n49
50
1 C4 h0 F( O" Y" C+ z. J51
52
: Q' ]+ w0 D! i* b* v( _53
54
55
56
57
$ O0 ~  T9 |- W( U8 v4 w58
! J# i7 A/ c  f* M8 P+ \59
60
' _1 d  _+ z: l61
62
) @+ Q) B2 R" T63
/ j7 H# V' u# \* u64
65
: p( c: x% H7 K( m, ]9 n66
67
68
; M. ]# Q+ ^& l' d9 M! v0 s( {6 P* d69
70
+ C! `) r6 ~! S8 F3 t$ u, L" m71
$ R/ |/ d: c: ?72
73
74
75
3 x8 L4 V. h3 v$ p3 c76
77
78
79
+ f2 {  n9 }5 Y6 n; h0 d+ e% L, U80
81
* t& ?$ ~- [6 l9 u3 g$ ~% ]' }82
( k( T1 f8 b! U( S83
* a. Z6 @; n1 r' t
2 t0 U4 H' `" A) T) d: e8 ?
————————————————
$ b; h4 k0 ?; R版权声明：本文为CSDN博主「跑起来要带风！」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288

. t# H' U2 f, N! w  J: [- Z