【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
. b. p8 O* [6 v& P& Z! B4 s一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
四、图论
1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
9 j% e( K/ A: a2 ?（2）Floyd算法



/ p* M6 N( @2 L( ^4 f' B
' Q8 u3 {9 g8 v$ i! T一、蒙特卡洛算法
1、定义


3 F( I* y& N8 e9 U蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
% n- H: @! g! H; c

& W& q" Z! @$ f% z, m
7 p- n, M: U- O' A
2、适用范围
( h5 O; i5 H3 x8 z; I+ q
8 y* P, z% M4 t" I
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
: M5 }- I1 `' t+ i

2 e/ d# P% j9 X& n

* q( [. j# _% K6 i% ^3、特点
+ M. S& e' t; P. I

蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。


/ O4 T/ W# v3 `
( P) ?1 c) F' O
) L- g/ ?# K' T3 Y% v7 x2 j3 B$ K4、举例
  n& b/ q6 b, g3 @
9 \6 h( |8 \- ?7 A  K
% J  {# A8 q7 s4 S9 |; P% b& v) Hy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
/ p  O2 @/ M+ e# L

. C8 z9 K6 _: S7 }( y

（1）作图

3 Q% ]# b1 s. n
8 X7 A5 M; U) T& E: K! E: j; uCode：


- _) w" g! }& c( a8 j/ e1 K$ W- K" I%作图
' v6 ^8 h- e! I4 F2 y; t% S  ex = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
* c% P& d/ b# K: b) d/ a) Xy2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
6 e7 A9 ]/ K( L9 T* q% Wxlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
7 K9 g6 L' }' M+ D- h; t( }6 L5 vtitle('蒙特卡洛算法');
$ ]5 j; V$ I* m% [, C%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
! Q/ u" {4 C+ K6 Z( u9 Oaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
%加上网格线
grid on
' Y) |0 o; T' w( w0 ?7 O9 M# O1
2
3
4
4 C3 A, d" q2 s! ]7 m! e5
6
# R* G& \% ]) B: v, O. L7
8
9
10
11
12
13
14
2 ^' G9 T  S0 r" F% _8 {
1 M, W6 F3 O( Z& X
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
0 v( X+ |% _5 F% u2 ]* V

8 `; k5 c* O8 n  TCode：
( d0 |7 o+ C) j; e; K1 E6 k9 ]
3 b$ Y' F' x' |
5 r' X+ ^1 |% T# w* u5 e: L, {%蒙特卡洛算法的具体实现
+ _8 ?$ J- O- K%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
) R5 O/ i. X0 w; ?2 ax = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
' P+ U+ M2 g0 W9 earea = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
6 g' S9 L3 g- A: t) `9 v1
, _' D3 R3 u" @4 S: z& g+ s2
3
+ ?6 `; P6 e$ N& p4
7 G5 O/ {; P2 I" c1 k) d5
# X- \: W/ E' m: t* t1 f) Z6
: p/ x! m  x3 s/ q8 A( O7 ~) w1 \+ s7
" [6 u- t3 K1 ?" V# N7 J* h所求近似值：
$ ~2 h; B, V+ Y( d

4 ^! F* v9 ^! q& p6 l, L1 P% G$ H  o
+ w0 @* X5 h: D; j

3 m  K' n5 r8 ?
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898





, a, m  U) m# q. M& W. H3 `: @$ D
二、数据拟合
1、定义


已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
/ H0 ^! b! l+ c5 ~1 @8 y1 v$ T


5 j; }; }, J; D+ |$ E+ x
2、常用方法
. U, U! s$ }; h' C! Y- R

" G, B" w: o+ m9 z- H" v; g6 Z一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
1 r0 A& O1 {% o9 k# I3 [
, R4 u$ _: d5 a
3、举例


( j: |' K+ i$ L" i3 ?4 ?(1) 数据如下：
  @. }5 F2 S$ |% }6 D

+ F5 {& H- g7 x. o, G   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
6 O9 Z* z3 o, m2 \) ]# @# H) S        2        465.325            0.123   1.621569
7 s# [! f  F+ c# V        3        504.0792        0.102        2.429227
0 c* D0 h* h, i. y        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
9 Z0 A+ l6 W2 D        9        453.0949        0.09        3.028741
. ~7 @$ I9 y) z: R2 r+ ^) `8 p0 h/ x        10        376.9057        0.049        4.047241
/ [. }: k8 J% ?  z1 t" z4 o        11        409.0494        0.045        4.838143
( e- N1 Q8 x  z3 a& Q        12        449.4363        0.079        4.120973
: L( c$ R3 _5 o/ F& i" b( n* G3 f        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
1 ^" O# J" w5 g+ X* ]+ E        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
: z$ E) g2 x3 V( R8 j  g. z4 D        25        514.1963        0.153        1.314749
# @# `7 I% z$ d' ~7 I        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
% K2 _" {* B% p# k0 D        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
- Y" ~! F) A4 V        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
& g0 i7 ~% O& c. @! d. Z        38        369.019            0.04        2.861201
# ]/ C& n, F0 a. Y, B" `) L        39        362.2008        0.036        3.060995
# }! m, w& h9 `+ i6 ~$ b        40        417.1425        0.038        3.69532
/ T% L' N5 d- U6 X0 h4 d1
2
3 w, V' b$ k6 K9 o$ Z3
! y# n1 J( m8 T  X: ]6 u4
5
5 Y0 H  x% v, H# g, O4 ?3 P7 {6
7
! j; O$ a$ j2 J9 R8
9
10
11
12
) J# f1 m; G0 }+ J+ w13
14
6 l3 ^, N0 Z5 F! u1 U: c, F2 ^. G15
16
+ b$ _8 k" z" j+ D, k17
, i/ c0 e! T4 r18
19
/ w: e8 j& H: ]  Z20
21
22
23
6 \2 w- j" @' x+ d24
25
% Y/ U1 X3 R" `26
27
' v0 p' \+ l: W28
% A: G& h7 l8 M4 d* c29
3 W5 P1 A6 z5 x3 y# m30
6 U0 I" Y2 j5 M/ H6 g6 e/ Z- `31
32
33
% I# l) G) F3 g) i( N1 F, R; \34
2 U6 I4 r% ~! o3 h" s; x35
36
" F" f$ m) K  O) L37
# {; }% [" h$ O6 O) Q3 K38
39
( j" N  j6 f+ k; @" }40
41

! V4 \. R8 z2 h7 J- J$ G+ E
(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
+ l5 U0 R' V# D, ^8 K
, Q  ]1 s8 z3 T; M; M; G$ X2 a
' O% m& C# ]$ j/ {' E%读取表格
* S) a1 {( N1 M! q. ]A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
( m% k! X; K# }$ c) b5 B. f" h4 pB = A;
4 _$ G/ J' @/ m[I, J] = size(B);
+ B$ }: r" O+ U: X
7 z" o; W( e# ]4 @" n; R1 g& }$ Z%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
y = A(2,;
2 T7 X; G% L, e( V+ U%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
5 |+ }8 ]5 f: P( I" E* R%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
5 t: ]/ \, H3 ^  D2 y! g%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
% T0 M$ N7 E5 B4 l8 e9 B9 by1 = polyval(p,x1);
# Y5 g6 N9 g0 C9 A: h6 s) ^7 C* wplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
1
& Z3 f* g) ]: v* ], I- M2
3 v, c& l$ M. R6 _0 ~1 z7 e3
4
+ |$ h' Y4 U  P5 C5
: ?" s/ U. o. [5 L' M' M3 |7 r6
7
* C( _3 `* I7 n" ^8
9
10
, e6 S3 [# i4 e8 p11
12
% N/ s0 K0 Z$ F13
0 w  K, N8 u) h14
  I0 G  T' I" j; w/ {15
16
17
5 O5 N3 K" O# j- b18
19
9 U1 |3 G& Z+ r, t20
7 Z7 q  F; v% i! d1 Q( z! e21
) _% G( J0 i, r

, m3 v2 M7 W+ @) _, D& y5 J(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）




$ b5 U. v! ~; i) O5 ?; T将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包

$ _1 V4 K% C+ |3 F: W5 m  m) c


( |+ \4 r0 e# y1 Q. x选择x、y变量
! b# }* D4 d: q" Y
+ t' ~' ~0 C3 M1 T
( s: h& f. i1 C+ _2 o: J( y

5 ^  O) w/ l  V4 p选择拟合方式和最高项次数
' K8 d" q; h* B# ~: A. Z) Z
2 j7 N+ [1 h( X9 a+ y8 u  H! ^
/ ~1 \* L) x0 K* [  P
2 \+ k; q8 X. Z( y9 c  \4 Y( A
得到拟合结果

/ t! P$ m# G7 T! N" V) K* h  g) l

3 o+ M: v( V! H
; i' f9 b1 U9 O$ b& Q+ l3 [使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
( [% P9 N: M# d) E! C1 Y$ Y( U




6 n0 y8 u5 m/ r  n2 s% B8 |- ?: H8 p
三、数据插值
1、定义


8 E; U& L( i+ c- U0 U在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
" G, ^: n! d) B/ w0 M
" z/ Y  q: ?% h; a0 B
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。


2 d1 V5 J$ _: i! E6 V
9 C+ \& z6 A9 t9 `1 n
. S3 i# U  _% f. C% r2 U7 k: _2、作用
4 @- j3 s* A6 K; |7 m
% h, |( w  w; ?- h8 L0 ]: I! t+ \
& _6 y# h; n) I7 \, i1 ]" r插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

" X5 l4 B2 g; ^" z' `, i

% R: o' K/ a3 [6 u0 F. l
" n( W" g3 G7 p: Y% C) P3、举例
# O0 \+ g& X: l: E* P

! c( ^! C9 w% m. M7 p% q# j! m%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
  e; Q$ k* t9 ]4 W9 B2 Yfigure
surf(X, Y, wage)
$ W/ ?% I5 m" a' G0 I" U%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
$ C0 ^- u4 a3 H7 Yw = interp2(service,years,wage,15,1975);
+ w' ~8 L# q+ {1
2
3
0 ?) d& ?% Q. u2 L% x4
5
6
7
8
6 ?  O0 t/ [, |3 C! P- [9
4 ~8 u' Z2 {$ P  B6 l1 _- z10
11
12


' ?! f' W( J) y! N( v: ~0 a0 N
- P: x$ t& k& C3 ^( T2 r. Q
6 x' b' |4 x6 \* {( l0 M- m9 M% ^可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

; h& d" b) z# a* [" m/ s


, X% l0 h8 w/ a6 E. W5 s# Q5 ?

) ?' c: ?; U, U四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

7 r0 b  R; T  ]# }. Z( Q
6 k. o% f4 X: }1 C8 }: P; i例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

, C6 c2 V" _8 f3 n
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法


  c7 i7 b9 R6 i% }# r3 F( x6 q! b5 W
) w6 F! f3 o3 }* Z+ n
# k5 \. f# f& z0 p（1）Dijkstra算法
2 W; f$ I7 J: _  \3 G先给出一个无向图


# f! V' K$ |( }- I- a3 k* M

. x8 R9 O8 L) T2 W8 x* a用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
5 k, @* ?4 V( v" E





代码模板：
7 n; ^$ o; P; R: C
0 V3 {! Y6 M' `, _. r
#include<iostream>  
2 @, {. h0 n1 p4 N' z#include<cstdio>  
- V- n$ I  E5 z2 h# h1 q: p/ h#include<cstdlib>  
) \/ y% K$ A9 n( L' ]#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
# c3 U# }) |, m! h  k#include<vector>  
3 s7 _, g7 s  ~/ T; E#include<fstream>  
using namespace std;  
  
const int maxnum = 100;  
8 _6 S7 p2 ?: \5 H0 Zconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
& J! d1 I: ]6 _int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
& a$ Z$ I/ g/ Q! R+ d4 m! y; z. @void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
! d1 z! t% s0 q  J    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
" `- M" `  ?0 V    for(int i=1; i<=n; ++i)  
' ^0 f2 @# A: g8 w    {  
' d" F: k2 X/ Y        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
. h2 q( V# w) b+ ]' v2 p        if(dist == maxint)  
6 z6 n0 F% d# S* l2 \0 J" f            prev = 0;  
        else  
            prev = v;  
& d9 w0 }; U* P% s- V% D    }  
    dist[v] = 0;  
. v/ j& u. c) R$ Z    s[v] = 1;  
  
; H; Y7 u8 J. T' X. J& h. J    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
* A( Y# b' j$ A8 k. H8 K$ x    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
4 D# _8 `+ L- Z% @! l3 c, ~# K    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
0 V' S; p1 @. ^% \) W" u7 v        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
) l& T, o- l$ z& N, ?* B            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
0 n/ T; S4 S& f" D. J; ?% a/ t3 \                tmp = dist[j];  
$ Q; h8 L% l  O: T# A6 n: ?9 [            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
( J6 W4 d: m7 X* C: y            {  
: [) X# y$ D0 `0 z! I7 M                int newdist = dist + c[j];  
- t+ X* {$ |, r                if(newdist < dist[j])  
! y. w8 [7 x4 _; S6 z5 e                {  
0 y/ T  `( ~: s' f1 m                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
                }  
7 P) Z2 m# M! P; Z$ ?            }  
( C4 |2 _: I( X/ `/ ^    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
% j0 w' d1 V) N- x' ~$ m) O- N    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
3 b* L; e/ g0 ^* G3 b) }5 T    que[tot] = u;  
) {$ N) W5 w: p& ~; n0 W- \" W    tot++;  
, {! t+ J  Z2 J    int tmp = prev;  
# h  }0 A  W6 T6 u+ o. {9 B. S    while(tmp != v)  
. o# n/ c( y0 C$ z5 _& \! \    {  
+ n5 r. ]; j% J2 E) S        que[tot] = tmp;  
& o. J5 a1 Z/ z% w- Z9 I        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
- o8 l4 F' b& a1 d# G4 D, z& l    }  
$ T  P/ L! x8 u$ p) b    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
: {  I* I/ u% Z* S0 w  o: I        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
9 \. `/ \  g* J2 |! m9 t+ `}  
  
- Z+ {9 [) t6 ]/ n( eint main()  
{  
. s5 R3 }6 W) k! t" B. m% z    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
  p  f' R. e7 A$ c' O  Z" c8 ^    // 输入结点数  
    cin >> n;  
1 B+ _& A& I3 o: [& u    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
4 W) J$ W- ^8 W1 {/ I    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
7 K( M3 W, C& g5 S    {  
        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
) b% Y& a6 H! n: b5 ]0 _5 S   for(int i=1; i<=n; ++i)  
* F0 y" a0 ~$ }2 G, H        dist = maxint;  
) h) h9 }: S0 g" G    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
, V" W& k4 L# s            printf("%-16d", c[j]);  
( _+ p0 d3 H2 [( \' o        printf("\n");  
9 M  n) a' y0 U0 [& A3 B# E    }  
' p6 c+ O/ i. H- b2 D    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
: J9 {$ x& A& ]% ?1 b0 {% L8 K; S) T% O//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
//    {  
% U$ h2 l5 s6 S4 x; X" ~/ r//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
0 x/ E3 ?1 V8 Q2 x1 o, ^    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
( r3 f5 w' n5 D+ D2 C     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
' t: `+ }/ j5 t0 @) I    return 0;  
; e/ S- K* o/ o4 Y}  
- p7 r. t4 @/ Q' U1 E. O( G  
  
/*
( c4 \0 x1 z6 K: s输入数据:
' V% C; L/ Z4 m; ^; ?2 a 5
1 {' z2 Q9 C: M! ?* Q: M$ v' I7 G 7
1 2 10
1 4 30
" E* O# p) \4 d; H% \. k+ t 1 5 100
2 3 50
3 5 10
! z$ p8 g% [$ E. H1 w% Z4 q 4 3 20
& ^1 M' l& o; d2 J0 O( S 4 5 60
( s3 Q: n) y0 h$ H7 R6 J 输出数据:
999999 10 999999 30 100
3 v+ ^6 a6 X1 s7 r- e! ] 10 999999 50 999999 999999
/ K& d' T" E* o$ O7 z; w, p 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
2 ~9 j4 K6 P" I: a 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
% W. Q2 `( }6 d, [1
2
% R2 ?1 W) ?0 R8 h( ]+ N# z3
4
. `( G0 @) q$ J; b3 t5
3 ^6 Y( `8 c( }& d* c+ H6 }6
0 N" \  z8 ?2 r# o( ?7
8
$ T5 d  X, [9 O6 U# F3 }4 D0 ]9
/ `5 w5 t* p" G10
- j  [0 Z4 m3 B- M3 X' L& i11
12
* U& j! ~7 Y& m0 _* z13
14
15
; b7 W& T7 g# q+ E" O16
7 H) T' ~" V' E* q3 S17
: K6 ]8 H. r: i8 W3 N" L% n. e18
0 n1 |8 W# h6 j; W5 F( Q. e19
% _0 P, i! j6 R, B3 _+ M20
21
22
23
: b9 k( |; ^  ^24
25
  g& ~/ C3 J' Z' B& T26
27
# ?/ @3 F' S+ J5 O' d; {28
29
1 c9 n: f2 V, x; g30
7 e5 ^0 }( _3 y; M& H31
32
33
/ G  s2 Y! E8 U* {34
35
36
$ _% P1 O7 l7 w7 _37
38
, B5 B3 N& D6 V4 C  x39
40
41
7 @( T6 a1 ^: |  g4 Z42
  M& ]7 H* @7 D43
44
. ~* g+ y3 M% m$ m9 F45
46
/ E- B% L1 a. @2 S47
48
0 \" D6 H# [6 \8 a7 N; m) K49
50
3 t3 K& Z. P$ |7 z3 _' B7 v' {. a7 d51
( H5 B+ M7 {+ n, d. ?' V1 D: t52
0 ^; ]5 ^, W5 O2 {53
- ?) Y! q# X7 o7 _6 {  ?54
1 q: A* I) E) d) S: h2 f% E55
" [( U. R1 }5 E. }8 C8 T  q+ Q; g56
57
58
59
60
61
2 i+ ?/ Q- o0 D- i# J/ P8 C% s62
63
64
65
* d# Y! \6 F8 q* Y66
& S' X! x  c( @67
" z8 e# g9 T& X' }$ f68
+ P1 e3 V# k6 X$ H1 X! m' V69
70
71
5 N$ ?* `; m; X/ s. V1 L72
73
74
) q! y1 L) L5 ~" [+ [% ~: @, V75
76
8 q1 P8 `! r; e77
78
( X2 [2 Z9 x$ {79
) f8 Q6 E+ u6 T- Z% M+ Q3 z: j* ~80
81
* ~7 M. P$ u% l( Y$ W82
4 Q# o2 j' U) j83
* K( [. X1 i" t6 i7 Z+ t6 {. S: F84
85
- i/ t% b) h7 I2 a6 G86
87
88
: z* L, j, _, }0 T89
8 P( u! W6 z4 _  F  `: O6 s' M( y90
91
! V6 E. F7 c: p9 F' y: f) B92
93
6 |: x6 i: B0 q1 F4 X94
! D: f4 E' `6 d2 ^5 Y& h+ [95
& V/ c  o+ u3 b6 j- d9 O3 c96
+ p1 T  _4 p% }( Q0 h6 x# Z" w97
98
1 i' Q3 h, k1 S6 i99
' A8 y; Y; ~) c: @1 f5 L100
# }, {7 d4 c& Q% d( {* Y101
102
, K" z0 X: i( {+ J7 C. }' I8 ]& ^% g103
104
105
* |4 J2 k- u& t4 a$ J106
107
108
109
110
6 q. Q3 G0 L/ v$ \# M  T' _111
# s: v9 s5 N- V+ \* t112
9 Y/ e0 N5 D9 ?$ j$ u& ]113
114
115
116
  g! }' l1 Z' j( |, U117
118
8 M6 D" M0 J) I/ D' m* ?119
/ `3 T* M8 @, R8 A, N120
121
: R+ i+ f0 _9 l: d122
123
124
6 o: L5 a/ f& S; H# m125
2 W! q0 K# A! h, V$ N( ~4 [  M6 c126
127
128
' L& m) a& A1 n0 x129
$ e) S( s6 b6 l! A; |130
/ o/ h, s1 Q4 K& L  D/ a. P131
132
133
3 Y" P5 S% Q( _% f134
135
" \% M8 w, o5 Z) u1 x7 N2 A136
137
138
3 b* S4 u4 L2 Z% h* V139
- Q2 D" E7 p& b9 l140
0 O5 n6 B2 @+ D1 [141
+ U3 N9 K. y: E: u; B$ S. l# w$ i4 l  n142
143
2 }7 R' z( Y8 ?2 ]% i" b. ~& S144
* [9 W1 x7 L/ j* G/ O( V" P145
146

% E+ \; l" ?2 y. M/ P4 {6 \
1 {* T" F$ P+ e  e  Z% m1 o（2）Floyd算法
  e! p$ r, H/ j4 n, X- b. c, q+ C#include<iostream>  
% }0 M' G3 K- j2 \. }; Q7 V3 Z) X/ ~#include<cstdio>  
0 x1 n& |' i: x, U+ s8 H* O#include<cstdlib>  
+ ?- O: G9 j7 G# T#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
7 m( q0 h+ C1 |8 E4 r  b4 G2 Rusing namespace std;  
  
% G" ^: p1 ~6 p0 w+ ~2 m//设点与点之间的距离均为double型  
, J$ Y& C4 Q) n* X9 U! {double INFTY=2147483647;  
' K) \. w- G& i- \4 Iconst int MAX=1000;  
! u# B  @/ b! q$ F% l) G1 `double dis[MAX][MAX];  
/ q) C' N4 Z( w8 Y  Wdouble a[MAX][MAX];  
8 b2 o- s/ N( u" v  ?: |& qint path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
! E1 d, {9 Y: O  
3 P3 e3 o- z- ^$ G9 }6 C. D" c2 [void Floyd()  
$ Z. T5 i1 L9 U: H3 K6 k3 o: ~{  
. ?  K- V: N* ]    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
8 c+ D' v8 v2 O- @! o9 U7 l- r            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
3 h9 G9 ?' }6 I7 k                path[j]=i;  
; O! O6 V- y% H/ b% y9 W* c            }  
            else  
                path[j]=-1;  
        }  
! j( r- y' E3 w' x9 i' D9 q9 Q. C    }  
# J8 o, C, _& t& Y6 [  
    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
+ P; H+ u' n$ @9 T6 b. r, t                {  
' g2 ^8 R' a9 g# D                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
0 X: t, \" M$ [6 I; T- T                }  
8 t1 e) x  j" `. ]3 s            }  
) m5 U. Q( m. \& h0 H/ h        }  
( o7 n* _3 v6 T) i& ]  J- M- i' W    }  
}  
4 C( H% ]2 \- t2 f1 v4 K  
; C  c, z% I' m7 U$ [! `( sint main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
; ^! r& r6 H) f, S  I* I4 F    for(int i=1;i<=n;i++)  
& G- b! G4 ]$ l8 D" Q! q0 D; R( ]    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
% E# r" f5 m, d4 Z* s, `       {  
7 f. U4 c7 o! D            if(i==j)  
                a[j]=0;  
            else  
                a[j]=INFTY;  
- {9 t6 S4 k" z; s9 f, p" I       }  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
$ f. \, q: v3 V% [; U2 \    {  
) L8 T* f# s' _5 H1 M& I% x        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
5 z' X! m6 W% W; _9 Y7 T    Floyd();  
+ m8 k4 z5 |' ^9 V5 |. O+ w$ z1 ~    for(int i=1;i<=n;i++)  
8 y4 ]7 a  |: Y    {  
( I. B5 j; s7 G1 v       for(int j=1;j<=n;j++)  
1 F: i3 T% P9 b       {  
* j$ X& a( t# S; K9 }            printf("%-12lf",dis[j]);  
, @) w: r7 I" z. l3 b       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
3 k" \+ p% L, u2 h}  
. H  c7 j' y2 w. T; ~; F7 _6 M( u1
' C4 J* J  Z! N, K; I  J5 t9 x2
3
4
5
6
1 {* g. P9 c) l7
8
9
! F' N2 Q0 F/ R! _6 \10
) U. z7 ?; ~( F0 q- x# v9 o/ V11
; w: L  U$ M/ s0 P: G1 \$ b12
13
14
15
4 j* m3 C+ `- o- V16
, X* R$ ]4 H7 x; b( F) Q' e5 ?$ [17
18
19
20
3 c& x6 X; ?  W: L/ \21
7 K# x) W4 [  P& G+ Q; z5 K22
& W: Z. V5 m$ |23
24
: s/ |! m8 H: e25
26
27
4 S' {, H& N" D& V% X8 k28
29
30
31
/ @5 w& e* i& w# O32
33
34
35
36
37
38
+ [- X; L% d4 f5 p$ i39
40
- Z) v8 Q/ B$ G4 \% k41
, L8 }2 x# h" P3 ^42
4 Z# v3 _* _1 z5 f/ n2 ^2 Q43
( z3 B6 N1 E5 p2 J7 @) t! D1 E: D44
45
46
47
48
49
50
1 ^; ~- }4 K+ x& b% a7 @: `. w51
9 f7 T/ K0 D/ i2 q7 a52
53
54
/ I/ _$ j3 C% Y# h* P55
56
6 [+ K9 Y/ u/ F  o0 a$ u57
58
59
! o  t3 J$ J& E; S  F60
1 j8 ~% R% _6 q4 n) u+ T7 H' m61
62
( k% m) z" [) u6 p2 F, Q) Z2 i5 T7 J63
; o1 F  V4 ]0 B% \6 B8 @9 B( ?9 I64
65
66
67
68
) @$ u" i' D& e" D69
$ D5 i! \) Q+ w) L70
8 c* N# n6 u- \' z% I71
! K( b; e' Z9 d5 v1 g72
73
74
75
76
* W7 T. v5 ~' `* c0 v5 }# q3 }77
8 H  Z; X* W  \( t, e! ?% ]9 Q8 q2 @78
+ X" B; N( g, d- J1 Q1 X2 v- x" ?# I79
8 k; x9 s- K# u+ x$ u$ F3 l/ [1 Q7 F80
81
& R6 O# Y9 D; `& b82
' C' }6 k. W# b* Q7 F2 F83


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# y; M- d& X+ Z/ c* G! P
& W6 P+ O3 x. m  q, e5 Y
7 d6 W: z6 H( @9 A