在线时间 1630 小时 最后登录 2024-1-29 注册时间 2017-5-16 听众数 82 收听数 1 能力 120 分 体力 557521 点 威望 12 点 阅读权限 255 积分 172629 相册 1 日志 0 记录 0 帖子 5313 主题 5273 精华 18 分享 0 好友 163
TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组 : 2018美赛大象算法课程
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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总 ; l3 d: n5 d5 \* `) x; O% i
一、蒙特卡洛算法 , o8 d0 O; ^) S+ y9 U& g- E0 `
二、数据拟合
9 F& }9 c c/ B! f4 I- A( k! S# { 三、数据插值
& ] J+ T& w. @- ?$ C. @* ?# K 四、图论
9 ]0 Z) N! H4 `! R3 N 1、最短路问题
4 c# N$ S, a7 `* y0 D# ` (1)Dijkstra算法
9 Y2 J! P) U ]" o7 q (2)Floyd算法
4 |1 h [# T4 @, o- L9 F* B, k & L0 E6 l( x2 x/ ~( x
: H! V- J# W' ~8 s+ _/ f
8 L$ e3 N9 | r: }+ a7 g! x/ P
- ]& j+ D$ I) {6 M9 R
一、蒙特卡洛算法
) Z( I( i! l6 \ 1、定义
% @& t$ l; C- U, V1 q' w 6 F( Q. V$ \& a! k4 f
, b. E* f. P6 I. j! x; e6 X- }7 ]1 A 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。 - e H3 j# x- ^, ?& ~
0 o8 q, o/ a: l# E
% f3 ?) a1 _9 T& ?* D( @0 Y
8 j3 J& n/ }" {) O8 c/ v # E! ^% t' X* Y. j- [! x/ D
2、适用范围
- n* n+ O! F8 a2 Z ) |8 D8 L; f4 T5 `( m A
) ?: B6 f, H) ]$ z
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。 " G/ J- `/ J0 J) @; v, m- U7 b
& d( r h0 h4 c0 u( z9 a
4 p8 k2 k2 I- ] A
9 w3 `. w1 K& E5 {7 v" G 1 J6 }7 r% G* ]* k
3、特点
) V! I) Y; ]" ^* V( W- R% D4 G
" |9 Y. h1 R: b, E% W
6 \) R" c0 J! c% Y# v 蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。
1 h0 P% w0 k' h( T% Y; k; ^; C- m$ P - d" e$ y* _9 y! [
& R& V4 R4 w3 @+ c 7 e! u( L1 G/ q X7 h3 ]+ {
% a& c/ N, j o! y9 q& V+ F 4、举例
( i8 E- [) s S" W M3 C
4 N x1 ?: Q& _7 g
) C7 j8 M, ]* u0 ^$ n# q y = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。 ' F ^ Q# h: a2 ~" F6 [) R; m
$ g6 E- V3 R, {3 k
+ F! O) t2 z7 K6 l3 { 0 Y, x. n. K6 F
" c6 u2 t5 R, g1 ?
(1)作图 7 g6 L+ B- W# J4 L( B: l
9 p$ x7 w$ r& q, g9 K3 ]
* [) q/ `1 o @- q0 H, r
Code: * G: q& p8 Z1 I4 Q8 U' v
' W; a1 t/ {8 j9 ` , A* ~1 Q% c/ X+ G* ?/ R4 W2 K+ L: c
%作图
9 Q5 h8 q* s+ |. H1 I8 E& k" T# ? x = 0:0.25:12; 8 ^$ z5 a3 r6 ]. E; _! r L$ _2 |+ ]
y1 = x.^2; 6 F$ g7 U( K' Y8 G( l
y2 = 12 - x; & ?& t( Y5 s9 I0 q$ v3 A8 j
plot(x, y1, x, y2)
& h& c! X! i1 X+ ]6 j% G xlabel('x');ylabel('y');
& z8 X& n7 Y) ]) V %产生图例
3 m4 w2 D, r+ I legend('y1=x^2', 'y2=12-x'); % F2 l" i: Q+ N3 u- n/ M
title('蒙特卡洛算法');
7 {2 T, }, s+ L4 r %图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
! ~/ z4 x, P2 x7 q i axis([0 15 0 15]); " f4 m4 ]( K7 p! O) w/ g- V
text(3, 9, '交点'); 7 V# ~" ^7 I& \) e; V: B% {
%加上网格线 - G7 K* s. A; i% T
grid on 7 P+ ~# ?! a( U
1 : |! k' L& Q6 X. @; ^
2 , m/ r* P. v9 b
3 . X) s; {, ~2 g" s5 n
4 2 n: X2 }* s: _, G/ B
5
' y- l2 \5 o. L- n2 a 6
* l" ?6 t9 R7 Y% S7 ]- F* e 7
- S+ \: b B' X3 T/ D3 F' e 8
! L6 g8 ]9 Y+ L! q/ b0 R% o, U 9 7 }% f2 o. N' ]: \8 h' u/ s+ k
10
1 l6 |# u% \$ n3 @+ D 11
! v' `2 K) s' p5 G 12
! \" o# N3 g* Q/ e6 x8 e: t 13 ( l! A$ x+ o7 g( M9 r- T
14 4 ]7 o" O) B B9 E8 x6 t
- V4 G1 \- J. w( q* H1 X
/ o6 ]1 @ R1 z: R9 x! v# {8 \ (2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。 7 L& c0 j d/ A( |0 h
( I3 e3 p! o! R/ o; S, I% [# k% J
( {) F! C! g7 { Code: 5 d) f B8 }2 f* I
' ~6 ? X8 b; G B
! Z6 t4 j, U5 F- g! f( U) V3 _+ a! D %蒙特卡洛算法的具体实现 ! K6 d! Y8 W6 f+ J+ i
%产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取 $ d2 C: p% A1 s& ^ e8 }, v
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
# L0 U! S3 ^! P- Y9 [2 w3 G( G6 U y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
# S" Q2 {0 T" O; _' A( a: v frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3); 0 w9 i8 C ~ j, Z3 y
area = 12*9*frequency/10^7; # W4 @4 F3 M5 N
disp(area); 7 b3 A! \2 N5 A( K& C
1 + V* [ ^# A1 K2 D5 {7 i
2 1 x. J* I7 l: L. Q! v7 V+ | |
3 $ P, N1 f; G0 p8 {4 S
4 , l' T! [7 p1 t; H3 @1 X2 z* \
5
% v; N& g& V; K1 O: Z 6
0 S3 v0 V ]- e8 q, j 7
9 K! H+ `3 j- G- f 所求近似值:
2 a/ J7 T) B4 L6 F8 z ; o+ X @' ` I* g- | ?* d
% l, f" R. `) e
2 j8 B) h/ m% A9 w
( Q# @* @, X& J+ v; F
# ^) s- A9 {. v0 k" u: R6 V# z 3 L- s0 G% K+ W& c, |( V" Z" @
参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898 - ?/ c7 F/ D: f0 W! Y4 I
0 |6 Z- M, g% m: Z! P
% D; H4 R: V/ m+ @. q0 c) _" C
5 t/ z) h u- b6 l. c
* `. T+ s' z8 [ H6 ?4 j
5 G& i! `+ W+ R; n* i/ h
+ O0 `7 o) l# `: H 二、数据拟合
6 A" e$ m% U m6 n. Q0 p9 p 1、定义 * y& z! D9 F% \7 x/ o% ?
) |- E+ j- S5 A6 U4 @5 A: F
2 L" n8 U$ E- `, W 已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。 ]1 v: ?7 q+ A$ h& G
" x6 i0 t' K# N/ @" f6 P! i3 o
# E0 ~3 C! Z9 m' D: i
# K: t% B6 l- a0 r0 ~- y& B
n6 @( f* } g# N. ? 2、常用方法 ( x O3 m+ m# E# m
& i# F8 j8 o I" u6 z: ~6 l# h . u' [/ t# m; P4 T5 `
一般采用最小二乘法。
, y) b4 g- n5 k4 L" o 拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。 " z; e3 H8 d% [$ M8 T, m2 H8 m
7 G4 a5 `3 m3 C. r4 o; B
6 A: Z% ~. z0 n 3、举例 $ E: Q& Q% h1 n+ D
9 h$ v# Y& {" y) w% s; ]; O, l3 r5 } # m8 ~$ g3 w# }2 ~( e3 A1 ~
(1) 数据如下:
6 t0 E6 R4 n A/ M% q6 z) d! S - ]7 ^" g5 M" x2 A& I( M
. |' T; j7 J& J0 N& b4 E
序号 x y z
, u+ ~5 G E. c* [$ Z* e6 i) w 1 426.6279 0.066 2.897867 $ {( d$ N, E+ C8 H
2 465.325 0.123 1.621569
; D; {9 I: A9 B& g- ] 3 504.0792 0.102 2.429227 & v6 |2 T) T' i5 j, Z
4 419.1864 0.057 3.50554
8 D8 @; y0 z4 d2 \, {4 U& \) S 5 464.2019 0.103 1.153921 % X+ N9 w+ ? [ O6 l+ r
6 383.0993 0.057 2.297169 a7 [+ ^& @2 ]( q! I' l
7 416.3144 0.049 3.058917
& I( \ K! g* @$ m* w 8 464.2762 0.088 1.369858 ) b5 p5 `( Q# L. v3 M+ I2 c
9 453.0949 0.09 3.028741 % {* H, a' _: m( ^7 o; X5 o1 L
10 376.9057 0.049 4.047241 ) k/ m0 i6 ^# R: W9 V
11 409.0494 0.045 4.838143 0 }0 W% f. ~9 N0 Q! }: T
12 449.4363 0.079 4.120973
' Q' k) L* s, E8 H1 S& o- w" u& W 13 372.1432 0.041 3.604795
! M+ V: Q# o9 ]9 |! X7 Z: z9 B. o 14 389.0911 0.085 2.048922 * e) R1 {3 t0 a% t
15 446.7059 0.057 3.372603 5 x+ ~5 g* ^8 n# B3 z) P0 g
16 347.5848 0.03 4.643016 7 a) \! Z6 o+ v$ }
17 379.3764 0.041 4.74171 5 ^2 k: f( ?8 {* ^/ |
18 453.6719 0.082 1.841441
; c' M4 Y: N/ b* J/ M8 L 19 388.1694 0.051 2.293532
' K5 B$ V/ Y& J4 z0 `3 n' T 20 444.9446 0.076 3.541803
! O$ R9 p: q: T# D6 j, G 21 437.4085 0.056 3.984765 2 E" f# u$ i0 U. I' R% O- \
22 408.9602 0.078 2.291967 4 s6 q1 A8 Q% {% V
23 393.7606 0.059 2.910391
7 ~% O# J, L8 [2 J 24 443.1192 0.063 3.080523 5 K: z6 f0 r1 b6 Z& X( W
25 514.1963 0.153 1.314749 2 ?& x: v6 K- T W6 i
26 377.8119 0.041 3.967584
; f7 j! I! b$ Q( `3 Y# [ 27 421.5248 0.063 3.005718 5 i: P4 U" ]- R& _2 T
28 421.5248 0.063 3.005718 ) ~: K1 t, p+ J* Q3 T2 ~
29 421.5248 0.063 3.005718
% o: g# `, x4 x 30 421.5248 0.063 3.005718 0 @. g0 V% `% v1 b# e/ A7 W8 _
31 421.5248 0.063 3.005718 - {- K9 G4 h- O1 D# Q3 m7 b
32 421.5248 0.063 3.005718
e3 D+ S0 m) ]$ U0 p 33 421.5248 0.063 3.005718 ; e0 C s, X3 j! l R
34 421.5248 0.063 3.005718 * N5 g3 N* m3 h7 ]# U( g
35 421.5248 0.063 3.005718
/ B) G$ V+ l5 U$ {% K 36 421.5248 0.063 3.005718
: M8 ?+ Q& g6 D$ E 37 416.1229 0.111 1.281646 / B& u+ [- E' Z0 }# r6 f! _/ h
38 369.019 0.04 2.861201
3 b( ?* `* s6 m, O* j, ?5 B 39 362.2008 0.036 3.060995 - U" @7 O3 P. X) r
40 417.1425 0.038 3.69532
2 v2 \: n; Z# ]0 S/ k. d% t 1
7 @# E/ I( x. {9 l' l- b 2
* d# x c- P' @! g) j" j" ~5 X8 @ 3
" K. ]0 s+ E8 w5 }# `& T: y; ^ 4 - K4 V% W/ X5 z- b
5 # B* d8 a, b: Y2 P$ q; F
6 8 e5 R7 ?0 [4 G8 t6 ?$ S! w9 P
7 + M" U9 |- ] q5 n: D) F
8
' C2 w0 j0 U0 ^7 [- j+ @6 i. L8 y) i 9
5 q( T( i2 N- |# {) t2 U" F 10
6 V) R, H# k# A2 i& R* i6 ? 11 9 w z& |/ I' A6 U& I" r
12 # n) }- \8 l, E* F% o1 x) g- p' ?
13 * \4 g3 i! R8 ^3 A! K% e0 p
14 8 G+ Y: o1 M$ m1 q
15 7 d+ x! A# H2 Q6 n/ x
16 8 p y! o( ^8 c% Z1 n
17
) }; t* p1 \" L1 Q* z* z: F 18 8 A# ~3 `0 ^1 E [$ R& |* ]5 j
19
! U$ D3 W5 E* m* b3 p- ?9 H4 p* P 20 ; u& Q! D' p8 J8 y8 A; l" C
21
# Q9 q7 f I- `# g0 s# O$ D- Y 22 7 g e9 O3 f! l: J
23
- a& o$ E. {- R0 B3 {1 l0 z; f& Y 24
3 g, m; H1 u8 p. j; D 25
4 t0 B( D A" j: v A 26
7 A0 {% P8 K$ z/ E/ ~ 27 % e( _! N& b0 k7 |0 m8 n
28
" \# s% L$ c5 G5 _+ b- n 29 ! f4 \! n1 | i9 X
30
6 d+ e) ?9 m+ B# ]5 E 31
8 c2 D' K9 [3 Z6 [+ K1 F$ O 32 ) ~, P+ }! m0 X
33 + x6 ?- Y( y Q0 I# \- X; k
34 / c1 X1 V- s7 r& O
35
; M% \2 n8 s3 S4 H+ G; k 36
2 c+ A1 L Q* \) K3 ]3 ]9 U' Z 37 " C: C: q1 f8 k! L: `: ^
38 % n; D; Z( U8 e0 g5 D
39
6 U1 E3 V9 h0 p& M2 m7 R5 q 40
# j" ?, `" d% S! a" u1 U+ i+ D 41
+ E; t6 V" T; A% Q5 J
* _& d# `/ X; ~- \9 Y
, M' a+ K$ z) w- Y, B* Q (2) 方法一:使用MATLAB编写代码 $ t0 P7 y% |/ a, m6 K1 E
, Y; I1 K; D, V9 I
* w" x$ F' r! z. N7 D+ r %读取表格
# n. q6 o& u- m. j; f5 x& T A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2'); b1 z) n3 x5 X7 `0 w. v
B = A;
" D: j, i5 `2 c# \ [I, J] = size(B); 0 b9 b: f9 |* s5 ?$ Y! Z
1 \9 o, d3 @6 }# r5 Q- b %数据拟合
6 w$ @$ p o% {( N% Y6 ] %x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行 3 F" D: e) }' q/ Q
x = A(1, ;
6 G9 I) V7 i( } y = A(2, ; ! o% D2 A z7 m' [
%polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标 & |; j4 Q% @8 v6 I
%第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数 ( |; q7 [9 p. ^: X
%返回值p中包含n+1个多项式系数 , N; H# B" C& {7 H
p = polyfit(x, y, 2); ) X" A' K, R, `+ t2 n/ d
disp(p); 1 i' T8 Q# @" l1 _2 w4 Z8 |
%下面是作图的代码
- w8 t& i: Z0 f s$ K9 L x1 = 300:10:600;
3 f, ~4 |- e: F8 t- ?* b %polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1 ( h0 V1 w z* I. a( _
y1 = polyval(p,x1); % H0 u! t- Y2 S1 ?
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
" u6 q: t- @$ M+ M/ y6 m$ w %plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x'); 2 u5 M: d( M' j
%figure(gcf); $ V7 s3 V+ o& v% l$ `
1 # k8 q; m" i# G/ c0 m! c. f
2 2 E. F' X4 w2 t. ?$ s c
3
5 W3 O: u$ }8 k2 y n8 G2 U 4
+ _2 ^! p- `6 h3 u1 S! ] 5
& `* _- C) \5 ?% v0 W; [ 6 # d# T, t% Y9 {- |) w
7 9 E, e9 d1 C2 u; P/ N
8 " Z$ ~5 h" J: U; X
9 ; _5 `5 x+ Q9 E' ]( V8 |+ u
10
3 K! E" C) `6 o" b 11
9 l9 J% z! g" e6 y s i4 o 12
* R4 c9 z6 s1 S. S2 o 13 ' k2 X! b' Y/ w, I6 k9 a
14
; f" _# I" {! b( r9 E' s: v4 o 15 8 V' \2 g0 |2 r* j
16 6 d- |$ s4 q+ ^) N5 D
17
+ f1 G8 d5 A+ J' _4 k& F 18
: B/ P0 }. w! Y, G, n( R 19
9 i t5 P7 Q a# u% f: i4 p 20
. O! ]% Z$ i. k" \5 i/ \ t* | 21
: g' b, c% y" P9 o% _7 S% a
6 b$ a' L) ~4 M8 p1 u) A0 P . k- D. M& o( h. R9 ~, ]
(3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐) ! b* E2 U8 ^: t c2 j
; h6 R4 A; a* {6 b7 H8 l
- y/ |5 ?5 W2 e* a6 V2 ?
" D1 [* u5 U! F- |' [+ ]4 R
% e: ~* b% }& I! t- i0 y, w 将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
) @! Y* ^' `7 d8 r' \" X ' D, V: N- I3 o `- v& j0 s
/ F/ P3 `6 w4 G5 A v' O
- d# C0 |* P. A L; Z
4 X7 e) K$ a, A8 O. C5 \5 x 选择x、y变量 f" u: V. f3 Y3 S1 ]4 c+ @
0 ~) O& D9 Q4 s g% `) b# B" @) t4 [* W
1 Y& k; b; G) x! d; }/ c" B# Y 6 b$ j1 g( u, {$ w: r: |
0 q+ f, r3 {3 N) [$ f. Z 选择拟合方式和最高项次数
& U: o) L1 `+ q `
: u2 f; N; B' R* w+ W$ ?
6 d0 g' X/ n, e1 E \8 ~+ x. s) q9 c6 } o; q# P; p) M$ Z4 E7 B
5 D! p8 Y0 G- @6 Z! F5 g0 {
得到拟合结果
/ W; p1 `+ s! r* x* |1 g# j
2 J: w5 u$ p+ ]- E% M
- {0 @* H; R$ g# |5 C3 ~
$ W( U# @" @' ?* H# ? $ R/ f4 L B! O* s" V1 `& f7 I4 Q \2 ?4 G
使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。 5 s7 v4 t3 q$ ~2 }, M, X. y
- N5 [5 {- o: E + L8 t1 B# y" |% W
- ~' w2 j9 y! W. H( a @6 ]/ c! N0 ~
# s2 N0 A) N, Q U+ K9 e
( S) T" J/ S$ B
6 n0 e: P& ~3 @% x2 L% t* b 三、数据插值
, i. }' ?7 b- u6 m) t! q 1、定义 1 x% v* e; `* l v
) Z. s& q5 O9 ^& e
1 p2 k0 D0 {1 D4 B/ _ {: b2 c 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。 ( I- s" t# {) O5 S
- ~* i. ^* R5 _2 s; Q
3 D4 e7 v: @) T+ [! P* k |" I 从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。
7 p$ H& E9 W4 ]2 C# o9 O. d 0 t- u7 p# @( C. ?
; }$ ]+ [% \8 T
+ ~/ x; K9 n( [; R, y1 q9 @
" L/ I9 p3 y: |3 O" H 2、作用 7 L( b+ f+ R0 U$ e% k% O5 u
' n8 U# q& U' r0 p* g: L+ a
3 e) `- Y0 A9 K o
插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
$ g. _; T8 e6 L# ~
% Q; b! u$ M# n; m Y" g5 n; a7 N9 ^
. f/ r0 ^' \* t2 G
1 c% e6 S" I% i8 ]& X' R 3、举例 9 n2 x8 ^+ h& G# M: f+ D, [
3 S4 K% I! d3 g* E- C 1 I% i6 {3 B& a7 F& J5 ]
%years、service和wage是原始数据
8 ^! Q$ H* m$ t+ u1 ?, m years = 1950:10:1990;
. j4 e6 t% w8 y& f) [0 t1 i+ U, O service = 10:10:30;
$ o% s/ H8 ^8 c* m- o- X, J wage = [ 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072; 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505;153.706 426.730 249.633 120.281 598.243];
" W4 A) T$ g, I. w. V6 |$ W [X, Y] = meshgrid(years, service); $ d+ ?$ F2 G6 ]8 f
% % 三维曲线 % d, c2 [' S1 @; T2 f1 }
% plot3(X, Y, wage) / O3 u" X o( d8 ]& S: Q
% 三维曲面 * r9 |2 ]/ F. t i1 l
figure L' H6 K# w8 C6 ^% K
surf(X, Y, wage)
" R' f! n4 L' B& @; G: `6 s, \9 ~ %interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果
% w9 D/ a7 Q' \ ^1 U w = interp2(service,years,wage,15,1975);
3 l/ @7 [- [3 p& t, r6 \ 1 , @0 A( Q3 L0 ^: o2 X% z
2 9 u) F m* g6 N3 Y
3 5 n& K, U5 M' J2 ]: j
4 3 F2 |% v2 L0 Z! G1 g
5
3 z, @# u8 \0 R; `& K 6
6 u" Z9 B. n) f. J6 R ? 7 ( y& Q' Q6 a+ n
8
/ A, l4 j6 i- h6 i* f9 L+ V 9
9 q: z3 ]* O, p 10
2 }% a. Q$ H1 N" B, C 11 2 r7 ?0 |5 Z G( Z; q3 ?, ~3 s
12
6 U( R# a0 f$ C3 O 5 g( Z! q: X# D _. m0 d1 c
5 g4 u5 g) i$ K0 Y
! h9 l5 h8 F7 U3 I9 p5 Z; ] " O, O& ]% I6 {5 m6 z/ l
可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合
, {- p1 L- l# T; V& _# I8 |8 x
; b+ G6 z: w+ A# ]# N
. e; e h" P0 H9 {$ ]5 m
- A) x+ @* T* p5 o; j
* L6 m2 s$ K* x7 q1 @8 @
`5 S1 X% s% Y; M 6 w+ `, p) f3 e3 d
四、图论 ' X) X) n0 D+ Y0 m) ?5 m
1、最短路问题
. _$ L) \! u. b4 `. }6 O$ v 最短路问题就是选择一条距离最短的路线。 # d0 w- m! l, ]% i
! U% e& L# C% A' L " ]* S) e+ q& M# S0 `! v
例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法)
1 J7 e0 ?6 d( r; J8 }, v, Z
1 t" x; X4 }( R. W. H( ?2 i2 Y / h9 ?4 v, |" P7 g$ R& h# ]6 }
具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法 ; H4 `. N' ^, Y5 Q2 ~
) M0 D' d9 @, x6 i/ @& T( x1 P : V% a% y/ C" J- \" S( Y7 Z: O
. J' h0 h. B/ o
+ _5 l& L) C( m7 w (1)Dijkstra算法 X& H5 d# z# z0 L. E# k4 _
先给出一个无向图
. ]: x B! B8 W) P 4 |- `. s& T; k) o; l5 A5 D$ Z" h
( o' r- L. }/ y0 @4 O . e7 G! x- e6 U9 N& G
9 G5 m! `' [* n( D 用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下 ! y8 u1 b* b+ \& d3 |( \3 m
3 t: n$ A& G5 U6 y( ~- W
1 T% V( a' ]/ h
7 Q$ Z% P+ s+ G2 v# t g
5 a2 @5 Y/ G1 p) B: b
1 o/ I+ P& h$ B8 n j/ o! F3 b9 j& Z
" F! s K# z* S; P. x7 L' F 代码模板:
" E$ b+ F/ P& J# q" C. V0 W1 }4 z
* n: w' S- X$ Q
9 h. t- U q0 p* ^ #include<iostream>
/ O6 f9 J% N# {3 G, \* m #include<cstdio>
8 d. d0 E2 c/ z8 @' Y" A$ x; K #include<cstdlib> k+ j. |0 R/ p2 s# ?7 r" L' U$ D7 ~
#include<cmath>
$ A' W+ u2 y& N1 u+ p; z. n; z #include<cstring>
5 A, c& X2 Q D+ N% e: r* a #include<algorithm> 2 W- V! p7 c4 l
#include<vector>
G3 h& R3 o2 i' B1 Q" y #include<fstream> 6 r5 d) y/ e: W
using namespace std; 5 I! ~ n3 u: A8 r' z4 }
! k; ^1 H5 x# Y+ t, W
const int maxnum = 100;
0 I7 I2 \' U( z/ b$ H, r const int maxint = 2147483647; % j. X, U( d# } h# }% \3 ], f* t
int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
& O3 d v5 h9 O, Z3 h' O int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
( f) @$ T( N) R+ S9 K1 G7 b1 C int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
3 {) N: q; D' q0 ` L3 I1 } int n, line; // n表示图的结点数,line表示路径个数 1 W0 }6 k* m1 n7 a
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
' C' y7 ^% {( n2 e {
) c' V* i, i- p bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中 " @* W6 Z( N }
for(int i=1; i<=n; ++i) , t" n4 r! b. e# o( e
{
3 `; a- @. o1 L# {& Q/ g3 ~ dist = c[v];
" J. @6 C5 ^+ q) S% v s = 0; // 初始都未用过该点
" y$ ^, U- [. a! T# } if(dist == maxint) 2 O% M3 f, o9 Q3 g% b: F
prev = 0;
! z0 z" T" P3 f* c else : e: G' @5 b' h. G
prev = v; ) Y- F7 X; f. m: G2 X* @/ B8 Y( D
}
+ H$ O0 G' b3 Z) o9 O dist[v] = 0; . T, y) b5 ?) ~! |4 H0 |" c
s[v] = 1; ( H% J; _' E% C( r* Q x
) R3 O t2 j. v, H& | // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中 # |' }- v) E. V% w9 @
// 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
8 r3 [( k5 ^1 B( B for(int i=2; i<=n; ++i) . _9 c9 | B$ v" P( _
{ 3 Q$ ?' D" I$ V2 Y6 X
int tmp = maxint;
2 _% o% Q! c& }) T6 Q6 |1 E7 x( ^+ ] int u = v;
1 ^( U' N( ]' _2 W- b8 F$ m // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 ] {+ l6 C+ @) d
for(int j=1; j<=n; ++j)
6 F& A4 { a7 O! k- w8 j) J, h if((!s[j]) && dist[j]<tmp) 5 ^. s; _/ @6 f6 C" n
{ o( Z7 \* F9 o) Y/ t! ?
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
5 I% ]& ]& U% g- ^: x4 F tmp = dist[j];
/ N: E9 I$ F) n4 T }
1 S9 o p: B1 G s = 1; // 表示u点已存入S集合中
n% ~) A7 f/ s! b% t3 E5 x) ?
2 Z5 U2 ~7 H% B/ P! i: i/ H // 更新dist
9 i" |, ~8 \9 M. r% j1 P$ Q6 |4 p for(int j=1; j<=n; ++j) 8 B0 R6 t8 M. i2 ?; K! b6 Z
if((!s[j]) && c[j]<maxint) 6 {& ]* \, n [0 w
{ & T' V/ i" a1 L4 h, @5 { K/ n
int newdist = dist + c[j];
; F0 S! H! S+ x# a if(newdist < dist[j])
( \; k# a1 @7 M) a# Z: v& ? { " C V; Y) R9 F6 l! }$ U
dist[j] = newdist; " _5 _) Y" _0 F3 u. g% D) E
prev[j] = u;
: u" f) x0 v1 Z" w# E2 ? }
8 n- A9 b% {2 F2 k }
7 s% G( o: r$ l) O" X o p } a$ \! ?* }3 v3 V: o
} " S0 p4 s# D, s
void searchPath(int *prev,int v, int u) % F3 H9 E* u# E; ?8 t: d& m/ h) D
{ 1 k- ?6 h& w7 x: E7 h: B
int que[maxnum]; ; I& i1 ?! X( A, D( F
int tot = 1; & L0 F8 ]4 e7 f; e0 E) H
que[tot] = u; $ [' r0 k: ^2 y$ Q# h) K% _4 x- q/ H
tot++;
0 e. u6 b4 R% ~" O$ F, u int tmp = prev; ) W: P5 d) O& L
while(tmp != v) ' h# q: o4 ], ~( a5 v5 f( L7 z
{
% K. s6 v% G) R. I% M que[tot] = tmp; 8 _' V3 V# E2 ?7 e% E v. d
tot++; . n0 J/ F; m: S, s# S! @
tmp = prev[tmp];
/ S d9 T$ l/ | } ( S$ F0 e" e3 j% s8 g* L
que[tot] = v;
/ z: f, ?0 k. ]+ w7 E& X for(int i=tot; i>=1; --i) ' N0 J4 u! K4 \- x
if(i != 1)
8 {8 x8 n0 g3 M G: x7 S cout << que << " -> "; 2 @7 Q( X7 j6 X9 U$ p' h# \
else " t& Q4 U( @5 Z+ F9 j: }( u f
cout << que << endl; 6 h# g2 I" w. `( A4 ^9 v' {2 G) N
}
* D$ y0 h, z- y' [5 B / R8 m; e9 G) Y. e; s6 n# w
int main() * |+ R# d) S, T6 S
{ T$ C, g% V8 T0 v+ N
//freopen("input.txt", "r", stdin); $ t, c; ?1 [& f
// 各数组都从下标1开始 2 ^6 X/ Q- s6 ~
// 输入结点数 ; k/ h, g$ n; {% P/ E$ R% q
cin >> n;
3 ]: }, N. H7 o$ E( I // 输入路径数 % @- \6 _; R2 J. P
cin >> line; , i. a+ Z% \" }
int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度 8 }7 [0 d. S0 G2 d1 N7 h# P2 x) W/ l8 H
// 初始化c[][]为maxint 6 v3 J5 X( Z, E3 `. t
for(int i=1; i<=n; ++i) 5 N9 a. v% K- f' N# d, j8 ]
for(int j=1; j<=n; ++j) ! P/ G9 M' a: s" `+ x% i* }# t
c[j] = maxint;
0 \( L& O# x/ G% q% |/ E for(int i=1; i<=line; ++i)
) S( q9 B# \) ^2 k { % c1 y3 E. m6 {( G- F' N
cin >> p >> q >> len; 9 v p7 j# e! ]3 F
if(len < c[p][q]) // 有重边
& U( x9 B/ b/ W5 F+ \ { 3 s" q1 N1 z( P
c[p][q] = len; // p指向q
# g; G# e/ u* u& {" \+ [/ |% v8 k c[q][p] = len; // q指向p,这样表示无向图 % A' B" j/ w) P/ p7 d* V
} # c- r5 @" s1 Q( I% a7 H
}
1 D2 b) l4 `7 f+ V" T2 h; h- L for(int i=1; i<=n; ++i)
' N3 f$ h# v. L1 `; g/ o& k4 @ dist = maxint; 5 r8 ^: z B0 j- U# H( S+ q
for(int i=1; i<=n; ++i) ; E' r. ~ t) B- w8 [; z
{
" `+ @8 j. F7 M; A- ?0 B$ i for(int j=1; j<=n; ++j)
6 z* |/ U. \; @" y. ] printf("%-16d", c[j]);
2 }, ~: l/ \0 j9 I7 B5 e printf("\n");
$ j/ v& ~" z) q }
: X( B1 |! B( n9 r' y Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法 ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n & r% }, U. d4 z/ y
+ F2 Y, {. p+ Z% w) x
// for(int i=1; i<=n; ++i) //dist存储了源点到其他点的距离情况
& s9 W" _' d( M // { 0 W+ k2 q/ J% ~9 \- j( p& ~
// printf("%-16d", dist);
1 Y' E4 I9 z6 m+ f% | I: ] // } # s0 x. \, J1 k7 g1 L x O; O
printf("\n");
4 o/ R5 O( T/ i5 U1 K8 q4 ~ // 最短路径长度
' B, i% T" I. V U- ~ cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
, {+ K- G! c( w0 }, n% S3 h // 路径
. I4 S4 r. q& d7 P m+ f3 T cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
) o P7 Y( N9 Z. z: _ searchPath(prev, 1, n); % P4 U* O& Z( a; Y+ S% B7 Q
return 0;
! ]1 B, U9 l) x) u4 ^& Q Z# y }
3 a* f7 ^5 _7 _% \4 T7 E( F
" t# N9 o" O p* c 6 {. l+ ~1 g1 X, S
/* ; Y; ?2 o" h7 C* I2 U
输入数据:
! u% n2 K0 g) _& p. \/ [( r0 C% ~ 5 / _) P; g4 Y) g, O0 S
7
a* G1 n4 R$ C 1 2 10
# O9 b Z W8 z* K 1 4 30 7 B" K/ @( U; `' k! y, K1 R
1 5 100 - J8 `1 `; `0 b0 g5 e0 t0 c
2 3 50 % ?8 e6 T) i( v% ]
3 5 10
, \. F; {2 C, t2 Q% }" g/ M1 { 4 3 20 # M) ^+ ]6 p, O6 f$ M$ }
4 5 60
. ^ r; H: b! T 输出数据:
1 G, I. \/ ~# b 999999 10 999999 30 100 % i- y# |( Y$ b, C
10 999999 50 999999 999999 * H- p7 a3 P8 }+ _( i* T
999999 50 999999 20 10 ( `5 J# c- B& e* Q( D! J" T
30 999999 20 999999 60 4 y# S$ G' E* B0 U& y1 I2 }7 F
100 999999 10 60 999999
7 C, {/ X6 J/ K: Z* m$ W/ N 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60 . F( W- Q/ ^% ?/ g. J+ ]
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
p f6 C( H+ l: F4 E) B2 B */
4 n a; {7 V; ]: g 1
; j$ H" { e2 { 2
# x5 G8 ~. k1 W4 k1 s: ^; c* N 3 " z8 {" m2 I; q- h5 b
4
2 G& S4 o" ^0 M6 I+ i4 R& l6 |2 a 5 . s: ?6 f6 J" |6 o7 H
6 + j; Q/ ~ U; V9 A3 L: S5 E% l6 X
7 6 P# m$ ~3 F, H% O& e4 W5 k
8
/ y# L% S$ `' [) h1 {% v, E 9 8 F4 V) J2 u2 I$ @( B
10
6 ~: a" j) Y6 q4 i. M* G0 n* ^ 11
: F H1 Y _# c: |8 p 12 ! C9 v! _6 N+ u/ U
13 . j& K$ {4 X. Z5 c# B, h+ l7 l' V
14 5 C4 O! _1 Q. T
15 0 L* f1 C) d G7 q3 k
16
7 m( T; G8 h# A1 o" Z4 O 17
3 O3 f" O& u" T1 u! A 18
0 a/ h% C% Z1 e6 M 19 / J4 ]' L6 g) c, r
20
: u0 c' E; C& C2 n4 G1 X 21 & Q, s# D& C7 \' @ @0 B
22 0 t6 H8 f2 ]* y/ k H2 L
23 6 C8 [# Y6 t. f2 O) H) M' C
24 9 \4 q$ _( h+ j- P9 g' y
25
. r5 _2 F) h5 K3 ~, K! t 26
& Y; Q/ O7 Z6 g) c' C3 e 27 $ \1 M A, t ^+ E# R1 G
28
g+ P$ B7 n; v& W q. C 29 9 f$ |3 |7 a5 o2 A0 C+ n' c
30 9 J9 F9 e: \. u' @' h ~- z
31
. f/ L/ m: b) r8 @5 k3 ] 32 o* s: o, v7 ^0 O& m
33
& m1 _# T! ?$ \* ]0 O4 @4 y2 V, ] 34
9 [7 N Z& A' S; g" ^! V 35 ; L. {8 t4 e, m) E" E4 V4 q
36
! Y( E# O. {/ q4 z$ |% M; [) [ 37
+ A) y& ?0 ]5 J" a V 38
: S3 n' f0 N$ F, j3 S 39 " ]( H# n- l1 V0 t. O' V2 Y
40
w& J$ w+ X# y$ a0 g8 ^ 41
6 G6 j: I- X+ c* @ 42
% y5 O% r5 B# g' u( R2 M 43 2 N Y2 K) O7 c( i) U0 ^$ m( c
44
! H! l- }1 L K! O0 G( D 45 # p1 R8 _" v6 @9 ]
46
$ D4 l, R; ?8 o2 V 47
9 p; Z3 f/ [ I4 N4 h 48 ' I) u# P+ U, r
49
9 }/ H- B: r& |2 E 50
5 l2 Q6 W% B& e% z/ n/ K& H, E, X, n 51 ) j+ h( c& L6 H8 `
52
_- G: H X" u' O 53
% V* v* y# S% A2 f/ e0 ] 54 & X+ U9 {! E$ l1 l
55 7 k- w K. o3 v3 y- p& }4 d0 f
56
5 B: w* t' W/ d7 j 57 : o5 p! B% m9 X. F5 ]" x
58 ! t( z: s. E4 U0 R' m
59
5 l% L$ u8 ]9 i G 60
0 [5 C9 \) i' H; M" o, n 61 3 `& F+ N, E4 o) P9 J! I
62
9 k; v9 U5 F+ l; P! U 63
6 ]' V* ~# H- I( F 64 , s1 i# [8 m; i% a
65
/ X. q( C0 D$ {5 x9 R- k! ? 66 4 h |8 e6 c3 E* K5 X5 c
67 . b) g: V% x" k
68 % X+ ~6 }- q6 @% r6 [
69
2 k# D7 J# h' X 70
D, y A( }7 F8 ^ 71
# E+ S: P3 e( s4 `0 u 72 # p; i% \" l& [2 u+ `
73 - m# S! B! T: ]5 B
74 5 b# C9 j, c& J; _: N
75
$ D; F& n! B' { 76
' w) ]. L/ O" f! ?6 S# _$ O 77 # O5 j3 R8 G: {% Q' M0 ~
78 - R0 _0 a( k& O5 k1 D; I
79
! V2 B. w6 r7 s, N* N4 f 80 1 ~: e8 [1 c6 R4 M9 H5 J5 m% s
81 ( ]2 \ |3 i! z' f
82 & `+ ]7 N- {* s6 }- L
83
! X4 O/ W4 J( u$ L 84
w/ _* C7 j# g, [/ x- H 85
" t# Q% W" U# o+ A, _5 F( v 86
9 @" v) x S7 O) I' q 87 1 d& V+ _4 m' U/ l
88 ) q/ X6 J: ]5 }( u
89 % H. R7 y8 a0 \3 l) Q% L7 N3 Z, a
90 2 ^, D' _; S' S) ~0 K: u* m
91
" ~) C \6 d: ^$ Y 92
8 g, {" T# F: p8 f2 T 93 3 h1 \7 @& @5 J( e0 G7 z1 i4 u
94 9 r+ a+ j( k8 p( C% s) T8 Z6 T8 s! `; N
95 9 H2 [8 @- d$ P8 {4 I
96 6 x# z: s2 K5 B- F/ Z) }2 P
97 " S$ Q2 b( L+ `9 k! B% C
98 0 N- x) L' d- p8 F5 }! R; T
99 . U) r9 [! b1 d" O6 t& ?
100
' [$ L5 h$ m) O6 n$ i, T0 o; T 101
( Y' R' f ?, R. d4 k) V 102 * [- |, \( d5 f$ w
103
7 \7 d3 l# \# ]* r 104 . k% u+ w; Y0 b" Y8 O
105
3 u7 V3 X$ P3 C0 v 106
: c* w. V1 [1 i; h, \7 |% S 107
6 ?7 {5 @$ i' B! V7 x( r# S0 F 108 1 `6 f& p u; L! V, ]0 n- v: a3 w* O6 A
109
! k% s0 ~9 a8 U" D, |* L% Z 110 ( P2 v1 s T$ ?2 Z! D- p+ G+ e% H
111 1 v7 A4 G; v) @6 S& s
112
6 V# n/ a4 X% V" r" O 113
0 k9 Q" G' m2 F$ h. S) B' E 114
6 }9 U5 i% Z8 ^5 k 115
4 g5 i8 d' [+ x$ }' L1 { 116 " f* X. I3 p2 u& W& C
117
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(2)Floyd算法
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#include<cmath> 9 [3 W( k. {! E% s7 }( m, o
#include<cstring>
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#include<vector> 7 s9 K' Z' v) R; Q
#include<fstream>
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' j& _! L$ `8 K) Q1 F* Y
% C( ^& i ^0 x- a9 y //设点与点之间的距离均为double型 ! ^. \5 B3 n( R" y0 W) }
double INFTY=2147483647;
& i" K+ @$ y- M) W( l* M0 r3 [ const int MAX=1000;
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3 l: n* c- f& Q- c9 T, ] double a[MAX][MAX]; 6 C5 W; v& c; l. u! _9 `
int path[MAX][MAX]; & O U5 ~1 ~' |5 e6 }
int n,m; //结点个数
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. ?9 E9 q6 f4 g5 T7 k% K0 D" [9 t* a {
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. r4 {, Z% Q) b4 x+ [1 Y {
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} 9 g. W" r' d4 v
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5 K( _1 M8 b7 c } 9 y" R5 v; ]( D$ B7 Y
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