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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

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杨利霞        

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    网络挑战赛参赛者

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    发表于 2021-12-25 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
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    【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总; l3 d: n5 d5 \* `) x; O% i
    一、蒙特卡洛算法, o8 d0 O; ^) S+ y9 U& g- E0 `
    二、数据拟合
    9 F& }9 c  c/ B! f4 I- A( k! S# {三、数据插值
    & ]  J+ T& w. @- ?$ C. @* ?# K四、图论
    9 ]0 Z) N! H4 `! R3 N1、最短路问题
    4 c# N$ S, a7 `* y0 D# `(1)Dijkstra算法
    9 Y2 J! P) U  ]" o7 q(2)Floyd算法
    4 |1 h  [# T4 @, o- L9 F* B, k& L0 E6 l( x2 x/ ~( x
    : H! V- J# W' ~8 s+ _/ f
    8 L$ e3 N9 |  r: }+ a7 g! x/ P
    - ]& j+ D$ I) {6 M9 R
    一、蒙特卡洛算法
    ) Z( I( i! l6 \1、定义
    % @& t$ l; C- U, V1 q' w6 F( Q. V$ \& a! k4 f

    , b. E* f. P6 I. j! x; e6 X- }7 ]1 A蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。- e  H3 j# x- ^, ?& ~
    0 o8 q, o/ a: l# E
    % f3 ?) a1 _9 T& ?* D( @0 Y

    8 j3 J& n/ }" {) O8 c/ v
    # E! ^% t' X* Y. j- [! x/ D
    2、适用范围
    - n* n+ O! F8 a2 Z) |8 D8 L; f4 T5 `( m  A
    ) ?: B6 f, H) ]$ z
    可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。" G/ J- `/ J0 J) @; v, m- U7 b
    & d( r  h0 h4 c0 u( z9 a
    4 p8 k2 k2 I- ]  A

    9 w3 `. w1 K& E5 {7 v" G
    1 J6 }7 r% G* ]* k
    3、特点
    ) V! I) Y; ]" ^* V( W- R% D4 G
    " |9 Y. h1 R: b, E% W

    6 \) R" c0 J! c% Y# v蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。
    1 h0 P% w0 k' h( T% Y; k; ^; C- m$ P- d" e$ y* _9 y! [

    & R& V4 R4 w3 @+ c7 e! u( L1 G/ q  X7 h3 ]+ {

    % a& c/ N, j  o! y9 q& V+ F4、举例
    ( i8 E- [) s  S" W  M3 C
    4 N  x1 ?: Q& _7 g

    ) C7 j8 M, ]* u0 ^$ n# qy = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。' F  ^  Q# h: a2 ~" F6 [) R; m
    $ g6 E- V3 R, {3 k

    + F! O) t2 z7 K6 l3 {0 Y, x. n. K6 F
    " c6 u2 t5 R, g1 ?
    (1)作图7 g6 L+ B- W# J4 L( B: l
    9 p$ x7 w$ r& q, g9 K3 ]
    * [) q/ `1 o  @- q0 H, r
    Code:* G: q& p8 Z1 I4 Q8 U' v

    ' W; a1 t/ {8 j9 `
    , A* ~1 Q% c/ X+ G* ?/ R4 W2 K+ L: c
    %作图
    9 Q5 h8 q* s+ |. H1 I8 E& k" T# ?x = 0:0.25:12;8 ^$ z5 a3 r6 ]. E; _! r  L$ _2 |+ ]
    y1 = x.^2;6 F$ g7 U( K' Y8 G( l
    y2 = 12 - x;& ?& t( Y5 s9 I0 q$ v3 A8 j
    plot(x, y1, x, y2)
    & h& c! X! i1 X+ ]6 j% Gxlabel('x');ylabel('y');
    & z8 X& n7 Y) ]) V%产生图例
    3 m4 w2 D, r+ Ilegend('y1=x^2', 'y2=12-x');% F2 l" i: Q+ N3 u- n/ M
    title('蒙特卡洛算法');
    7 {2 T, }, s+ L4 r%图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
    ! ~/ z4 x, P2 x7 q  iaxis([0 15 0 15]);" f4 m4 ]( K7 p! O) w/ g- V
    text(3, 9, '交点');7 V# ~" ^7 I& \) e; V: B% {
    %加上网格线- G7 K* s. A; i% T
    grid on7 P+ ~# ?! a( U
    1: |! k' L& Q6 X. @; ^
    2, m/ r* P. v9 b
    3. X) s; {, ~2 g" s5 n
    42 n: X2 }* s: _, G/ B
    5
    ' y- l2 \5 o. L- n2 a6
    * l" ?6 t9 R7 Y% S7 ]- F* e7
    - S+ \: b  B' X3 T/ D3 F' e8
    ! L6 g8 ]9 Y+ L! q/ b0 R% o, U97 }% f2 o. N' ]: \8 h' u/ s+ k
    10
    1 l6 |# u% \$ n3 @+ D11
    ! v' `2 K) s' p5 G12
    ! \" o# N3 g* Q/ e6 x8 e: t13( l! A$ x+ o7 g( M9 r- T
    144 ]7 o" O) B  B9 E8 x6 t
    - V4 G1 \- J. w( q* H1 X

    / o6 ]1 @  R1 z: R9 x! v# {8 \(2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。7 L& c0 j  d/ A( |0 h
    ( I3 e3 p! o! R/ o; S, I% [# k% J

    ( {) F! C! g7 {Code:5 d) f  B8 }2 f* I

    ' ~6 ?  X8 b; G  B

    ! Z6 t4 j, U5 F- g! f( U) V3 _+ a! D%蒙特卡洛算法的具体实现! K6 d! Y8 W6 f+ J+ i
    %产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取$ d2 C: p% A1 s& ^  e8 }, v
    x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
    # L0 U! S3 ^! P- Y9 [2 w3 G( G6 Uy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
    # S" Q2 {0 T" O; _' A( a: vfrequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);0 w9 i8 C  ~  j, Z3 y
    area = 12*9*frequency/10^7;# W4 @4 F3 M5 N
    disp(area);7 b3 A! \2 N5 A( K& C
    1+ V* [  ^# A1 K2 D5 {7 i
    21 x. J* I7 l: L. Q! v7 V+ |  |
    3$ P, N1 f; G0 p8 {4 S
    4, l' T! [7 p1 t; H3 @1 X2 z* \
    5
    % v; N& g& V; K1 O: Z6
    0 S3 v0 V  ]- e8 q, j7
    9 K! H+ `3 j- G- f所求近似值:
    2 a/ J7 T) B4 L6 F8 z; o+ X  @' `  I* g- |  ?* d

    % l, f" R. `) e
    2 j8 B) h/ m% A9 w

    ( Q# @* @, X& J+ v; F
    # ^) s- A9 {. v0 k" u: R6 V# z
    3 L- s0 G% K+ W& c, |( V" Z" @
    参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898- ?/ c7 F/ D: f0 W! Y4 I
    0 |6 Z- M, g% m: Z! P

    % D; H4 R: V/ m+ @. q0 c) _" C
    5 t/ z) h  u- b6 l. c

    * `. T+ s' z8 [  H6 ?4 j
    5 G& i! `+ W+ R; n* i/ h

    + O0 `7 o) l# `: H二、数据拟合
    6 A" e$ m% U  m6 n. Q0 p9 p1、定义* y& z! D9 F% \7 x/ o% ?

    ) |- E+ j- S5 A6 U4 @5 A: F

    2 L" n8 U$ E- `, W已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。  ]1 v: ?7 q+ A$ h& G
    " x6 i0 t' K# N/ @" f6 P! i3 o
    # E0 ~3 C! Z9 m' D: i
    # K: t% B6 l- a0 r0 ~- y& B

      n6 @( f* }  g# N. ?2、常用方法( x  O3 m+ m# E# m

    & i# F8 j8 o  I" u6 z: ~6 l# h
    . u' [/ t# m; P4 T5 `
    一般采用最小二乘法。
    , y) b4 g- n5 k4 L" o拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。" z; e3 H8 d% [$ M8 T, m2 H8 m
    7 G4 a5 `3 m3 C. r4 o; B

    6 A: Z% ~. z0 n3、举例$ E: Q& Q% h1 n+ D

    9 h$ v# Y& {" y) w% s; ]; O, l3 r5 }
    # m8 ~$ g3 w# }2 ~( e3 A1 ~
    (1) 数据如下:
    6 t0 E6 R4 n  A/ M% q6 z) d! S- ]7 ^" g5 M" x2 A& I( M
    . |' T; j7 J& J0 N& b4 E
       序号         x         y       z
    , u+ ~5 G  E. c* [$ Z* e6 i) w        1        426.6279        0.066        2.897867$ {( d$ N, E+ C8 H
            2        465.325            0.123   1.621569
    ; D; {9 I: A9 B& g- ]        3        504.0792        0.102        2.429227& v6 |2 T) T' i5 j, Z
            4        419.1864        0.057        3.50554
    8 D8 @; y0 z4 d2 \, {4 U& \) S        5        464.2019        0.103        1.153921% X+ N9 w+ ?  [  O6 l+ r
            6        383.0993        0.057        2.297169  a7 [+ ^& @2 ]( q! I' l
            7        416.3144        0.049        3.058917
    & I( \  K! g* @$ m* w        8        464.2762        0.088        1.369858) b5 p5 `( Q# L. v3 M+ I2 c
            9        453.0949        0.09        3.028741% {* H, a' _: m( ^7 o; X5 o1 L
            10        376.9057        0.049        4.047241) k/ m0 i6 ^# R: W9 V
            11        409.0494        0.045        4.8381430 }0 W% f. ~9 N0 Q! }: T
            12        449.4363        0.079        4.120973
    ' Q' k) L* s, E8 H1 S& o- w" u& W        13        372.1432        0.041        3.604795
    ! M+ V: Q# o9 ]9 |! X7 Z: z9 B. o        14        389.0911        0.085        2.048922* e) R1 {3 t0 a% t
            15        446.7059        0.057        3.3726035 x+ ~5 g* ^8 n# B3 z) P0 g
            16        347.5848        0.03        4.6430167 a) \! Z6 o+ v$ }
            17        379.3764        0.041        4.741715 ^2 k: f( ?8 {* ^/ |
            18        453.6719        0.082        1.841441
    ; c' M4 Y: N/ b* J/ M8 L        19        388.1694        0.051        2.293532
    ' K5 B$ V/ Y& J4 z0 `3 n' T        20        444.9446        0.076        3.541803
    ! O$ R9 p: q: T# D6 j, G        21        437.4085        0.056        3.9847652 E" f# u$ i0 U. I' R% O- \
            22        408.9602        0.078        2.2919674 s6 q1 A8 Q% {% V
            23        393.7606        0.059        2.910391
    7 ~% O# J, L8 [2 J        24        443.1192        0.063        3.0805235 K: z6 f0 r1 b6 Z& X( W
            25        514.1963        0.153        1.3147492 ?& x: v6 K- T  W6 i
            26        377.8119        0.041        3.967584
    ; f7 j! I! b$ Q( `3 Y# [        27        421.5248        0.063        3.0057185 i: P4 U" ]- R& _2 T
            28        421.5248        0.063        3.005718) ~: K1 t, p+ J* Q3 T2 ~
            29        421.5248        0.063        3.005718
    % o: g# `, x4 x        30        421.5248        0.063        3.0057180 @. g0 V% `% v1 b# e/ A7 W8 _
            31        421.5248        0.063        3.005718- {- K9 G4 h- O1 D# Q3 m7 b
            32        421.5248        0.063        3.005718
      e3 D+ S0 m) ]$ U0 p        33        421.5248        0.063        3.005718; e0 C  s, X3 j! l  R
            34        421.5248        0.063        3.005718* N5 g3 N* m3 h7 ]# U( g
            35        421.5248        0.063        3.005718
    / B) G$ V+ l5 U$ {% K        36        421.5248        0.063        3.005718
    : M8 ?+ Q& g6 D$ E        37        416.1229        0.111        1.281646/ B& u+ [- E' Z0 }# r6 f! _/ h
            38        369.019            0.04        2.861201
    3 b( ?* `* s6 m, O* j, ?5 B        39        362.2008        0.036        3.060995- U" @7 O3 P. X) r
            40        417.1425        0.038        3.69532
    2 v2 \: n; Z# ]0 S/ k. d% t1
    7 @# E/ I( x. {9 l' l- b2
    * d# x  c- P' @! g) j" j" ~5 X8 @3
    " K. ]0 s+ E8 w5 }# `& T: y; ^4- K4 V% W/ X5 z- b
    5# B* d8 a, b: Y2 P$ q; F
    68 e5 R7 ?0 [4 G8 t6 ?$ S! w9 P
    7+ M" U9 |- ]  q5 n: D) F
    8
    ' C2 w0 j0 U0 ^7 [- j+ @6 i. L8 y) i9
    5 q( T( i2 N- |# {) t2 U" F10
    6 V) R, H# k# A2 i& R* i6 ?119 w  z& |/ I' A6 U& I" r
    12# n) }- \8 l, E* F% o1 x) g- p' ?
    13* \4 g3 i! R8 ^3 A! K% e0 p
    148 G+ Y: o1 M$ m1 q
    157 d+ x! A# H2 Q6 n/ x
    168 p  y! o( ^8 c% Z1 n
    17
    ) }; t* p1 \" L1 Q* z* z: F188 A# ~3 `0 ^1 E  [$ R& |* ]5 j
    19
    ! U$ D3 W5 E* m* b3 p- ?9 H4 p* P20; u& Q! D' p8 J8 y8 A; l" C
    21
    # Q9 q7 f  I- `# g0 s# O$ D- Y227 g  e9 O3 f! l: J
    23
    - a& o$ E. {- R0 B3 {1 l0 z; f& Y24
    3 g, m; H1 u8 p. j; D25
    4 t0 B( D  A" j: v  A26
    7 A0 {% P8 K$ z/ E/ ~27% e( _! N& b0 k7 |0 m8 n
    28
    " \# s% L$ c5 G5 _+ b- n29! f4 \! n1 |  i9 X
    30
    6 d+ e) ?9 m+ B# ]5 E31
    8 c2 D' K9 [3 Z6 [+ K1 F$ O32) ~, P+ }! m0 X
    33+ x6 ?- Y( y  Q0 I# \- X; k
    34/ c1 X1 V- s7 r& O
    35
    ; M% \2 n8 s3 S4 H+ G; k36
    2 c+ A1 L  Q* \) K3 ]3 ]9 U' Z37" C: C: q1 f8 k! L: `: ^
    38% n; D; Z( U8 e0 g5 D
    39
    6 U1 E3 V9 h0 p& M2 m7 R5 q40
    # j" ?, `" d% S! a" u1 U+ i+ D41
    + E; t6 V" T; A% Q5 J
    * _& d# `/ X; ~- \9 Y

    , M' a+ K$ z) w- Y, B* Q(2) 方法一:使用MATLAB编写代码$ t0 P7 y% |/ a, m6 K1 E
    , Y; I1 K; D, V9 I

    * w" x$ F' r! z. N7 D+ r%读取表格
    # n. q6 o& u- m. j; f5 x& TA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');  b1 z) n3 x5 X7 `0 w. v
    B = A;
    " D: j, i5 `2 c# \[I, J] = size(B);0 b9 b: f9 |* s5 ?$ Y! Z

    1 \9 o, d3 @6 }# r5 Q- b%数据拟合
    6 w$ @$ p  o% {( N% Y6 ]%x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行3 F" D: e) }' q/ Q
    x = A(1,;
    6 G9 I) V7 i( }y = A(2,;! o% D2 A  z7 m' [
    %polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标& |; j4 Q% @8 v6 I
    %第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数( |; q7 [9 p. ^: X
    %返回值p中包含n+1个多项式系数, N; H# B" C& {7 H
    p = polyfit(x, y, 2);) X" A' K, R, `+ t2 n/ d
    disp(p);1 i' T8 Q# @" l1 _2 w4 Z8 |
    %下面是作图的代码
    - w8 t& i: Z0 f  s$ K9 Lx1 = 300:10:600;
    3 f, ~4 |- e: F8 t- ?* b%polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1( h0 V1 w  z* I. a( _
    y1 = polyval(p,x1);% H0 u! t- Y2 S1 ?
    plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
    " u6 q: t- @$ M+ M/ y6 m$ w%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');2 u5 M: d( M' j
    %figure(gcf);$ V7 s3 V+ o& v% l$ `
    1# k8 q; m" i# G/ c0 m! c. f
    22 E. F' X4 w2 t. ?$ s  c
    3
    5 W3 O: u$ }8 k2 y  n8 G2 U4
    + _2 ^! p- `6 h3 u1 S! ]5
    & `* _- C) \5 ?% v0 W; [6# d# T, t% Y9 {- |) w
    79 E, e9 d1 C2 u; P/ N
    8" Z$ ~5 h" J: U; X
    9; _5 `5 x+ Q9 E' ]( V8 |+ u
    10
    3 K! E" C) `6 o" b11
    9 l9 J% z! g" e6 y  s  i4 o12
    * R4 c9 z6 s1 S. S2 o13' k2 X! b' Y/ w, I6 k9 a
    14
    ; f" _# I" {! b( r9 E' s: v4 o158 V' \2 g0 |2 r* j
    166 d- |$ s4 q+ ^) N5 D
    17
    + f1 G8 d5 A+ J' _4 k& F18
    : B/ P0 }. w! Y, G, n( R19
    9 i  t5 P7 Q  a# u% f: i4 p20
    . O! ]% Z$ i. k" \5 i/ \  t* |21
    : g' b, c% y" P9 o% _7 S% a
    6 b$ a' L) ~4 M8 p1 u) A0 P
    . k- D. M& o( h. R9 ~, ]
    (3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐)! b* E2 U8 ^: t  c2 j

    ; h6 R4 A; a* {6 b7 H8 l

    - y/ |5 ?5 W2 e* a6 V2 ?
    " D1 [* u5 U! F- |' [+ ]4 R

    % e: ~* b% }& I! t- i0 y, w将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
    ) @! Y* ^' `7 d8 r' \" X' D, V: N- I3 o  `- v& j0 s
    / F/ P3 `6 w4 G5 A  v' O
    - d# C0 |* P. A  L; Z

    4 X7 e) K$ a, A8 O. C5 \5 x选择x、y变量  f" u: V. f3 Y3 S1 ]4 c+ @
    0 ~) O& D9 Q4 s  g% `) b# B" @) t4 [* W

    1 Y& k; b; G) x! d; }/ c" B# Y6 b$ j1 g( u, {$ w: r: |

    0 q+ f, r3 {3 N) [$ f. Z选择拟合方式和最高项次数
    & U: o) L1 `+ q  `
    : u2 f; N; B' R* w+ W$ ?

    6 d0 g' X/ n, e1 E  \8 ~+ x. s) q9 c6 }  o; q# P; p) M$ Z4 E7 B
    5 D! p8 Y0 G- @6 Z! F5 g0 {
    得到拟合结果
    / W; p1 `+ s! r* x* |1 g# j
    2 J: w5 u$ p+ ]- E% M

    - {0 @* H; R$ g# |5 C3 ~
    $ W( U# @" @' ?* H# ?
    $ R/ f4 L  B! O* s" V1 `& f7 I4 Q  \2 ?4 G
    使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。5 s7 v4 t3 q$ ~2 }, M, X. y

    - N5 [5 {- o: E
    + L8 t1 B# y" |% W
    - ~' w2 j9 y! W. H( a  @6 ]/ c! N0 ~

    # s2 N0 A) N, Q  U+ K9 e
    ( S) T" J/ S$ B

    6 n0 e: P& ~3 @% x2 L% t* b三、数据插值
    , i. }' ?7 b- u6 m) t! q1、定义1 x% v* e; `* l  v

    ) Z. s& q5 O9 ^& e

    1 p2 k0 D0 {1 D4 B/ _  {: b2 c在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。( I- s" t# {) O5 S
    - ~* i. ^* R5 _2 s; Q

    3 D4 e7 v: @) T+ [! P* k  |" I从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。
    7 p$ H& E9 W4 ]2 C# o9 O. d0 t- u7 p# @( C. ?

    ; }$ ]+ [% \8 T
    + ~/ x; K9 n( [; R, y1 q9 @

    " L/ I9 p3 y: |3 O" H2、作用7 L( b+ f+ R0 U$ e% k% O5 u
    ' n8 U# q& U' r0 p* g: L+ a
    3 e) `- Y0 A9 K  o
    插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
    $ g. _; T8 e6 L# ~
    % Q; b! u$ M# n; m
      Y" g5 n; a7 N9 ^

    . f/ r0 ^' \* t2 G

    1 c% e6 S" I% i8 ]& X' R3、举例9 n2 x8 ^+ h& G# M: f+ D, [

    3 S4 K% I! d3 g* E- C
    1 I% i6 {3 B& a7 F& J5 ]
    %years、service和wage是原始数据
    8 ^! Q$ H* m$ t+ u1 ?, myears = 1950:10:1990;
    . j4 e6 t% w8 y& f) [0 t1 i+ U, Oservice = 10:10:30;
    $ o% s/ H8 ^8 c* m- o- X, Jwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
    " W4 A) T$ g, I. w. V6 |$ W[X, Y] = meshgrid(years, service);$ d+ ?$ F2 G6 ]8 f
    % % 三维曲线% d, c2 [' S1 @; T2 f1 }
    % plot3(X, Y, wage)/ O3 u" X  o( d8 ]& S: Q
    % 三维曲面* r9 |2 ]/ F. t  i1 l
    figure  L' H6 K# w8 C6 ^% K
    surf(X, Y, wage)
    " R' f! n4 L' B& @; G: `6 s, \9 ~%interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果
    % w9 D/ a7 Q' \  ^1 Uw = interp2(service,years,wage,15,1975);
    3 l/ @7 [- [3 p& t, r6 \1, @0 A( Q3 L0 ^: o2 X% z
    29 u) F  m* g6 N3 Y
    35 n& K, U5 M' J2 ]: j
    43 F2 |% v2 L0 Z! G1 g
    5
    3 z, @# u8 \0 R; `& K6
    6 u" Z9 B. n) f. J6 R  ?7( y& Q' Q6 a+ n
    8
    / A, l4 j6 i- h6 i* f9 L+ V9
    9 q: z3 ]* O, p10
    2 }% a. Q$ H1 N" B, C112 r7 ?0 |5 Z  G( Z; q3 ?, ~3 s
    12
    6 U( R# a0 f$ C3 O5 g( Z! q: X# D  _. m0 d1 c

    5 g4 u5 g) i$ K0 Y
    ! h9 l5 h8 F7 U3 I9 p5 Z; ]
    " O, O& ]% I6 {5 m6 z/ l
    可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合
    , {- p1 L- l# T; V& _# I8 |8 x
    ; b+ G6 z: w+ A# ]# N

    . e; e  h" P0 H9 {$ ]5 m
    - A) x+ @* T* p5 o; j

    * L6 m2 s$ K* x7 q1 @8 @
      `5 S1 X% s% Y; M
    6 w+ `, p) f3 e3 d
    四、图论' X) X) n0 D+ Y0 m) ?5 m
    1、最短路问题
    . _$ L) \! u. b4 `. }6 O$ v最短路问题就是选择一条距离最短的路线。# d0 w- m! l, ]% i

    ! U% e& L# C% A' L
    " ]* S) e+ q& M# S0 `! v
    例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法)
    1 J7 e0 ?6 d( r; J8 }, v, Z
    1 t" x; X4 }( R. W. H( ?2 i2 Y
    / h9 ?4 v, |" P7 g$ R& h# ]6 }
    具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法; H4 `. N' ^, Y5 Q2 ~

    ) M0 D' d9 @, x6 i/ @& T( x1 P
    : V% a% y/ C" J- \" S( Y7 Z: O

    . J' h0 h. B/ o

    + _5 l& L) C( m7 w(1)Dijkstra算法  X& H5 d# z# z0 L. E# k4 _
    先给出一个无向图
    . ]: x  B! B8 W) P4 |- `. s& T; k) o; l5 A5 D$ Z" h

    ( o' r- L. }/ y0 @4 O. e7 G! x- e6 U9 N& G

    9 G5 m! `' [* n( D用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下! y8 u1 b* b+ \& d3 |( \3 m
    3 t: n$ A& G5 U6 y( ~- W
    1 T% V( a' ]/ h

    7 Q$ Z% P+ s+ G2 v# t  g

    5 a2 @5 Y/ G1 p) B: b
    1 o/ I+ P& h$ B8 n  j/ o! F3 b9 j& Z

    " F! s  K# z* S; P. x7 L' F代码模板:
    " E$ b+ F/ P& J# q" C. V0 W1 }4 z
    * n: w' S- X$ Q

    9 h. t- U  q0 p* ^#include<iostream>  
    / O6 f9 J% N# {3 G, \* m#include<cstdio>  
    8 d. d0 E2 c/ z8 @' Y" A$ x; K#include<cstdlib>    k+ j. |0 R/ p2 s# ?7 r" L' U$ D7 ~
    #include<cmath>  
    $ A' W+ u2 y& N1 u+ p; z. n; z#include<cstring>  
    5 A, c& X2 Q  D+ N% e: r* a#include<algorithm>  2 W- V! p7 c4 l
    #include<vector>  
      G3 h& R3 o2 i' B1 Q" y#include<fstream>  6 r5 d) y/ e: W
    using namespace std;  5 I! ~  n3 u: A8 r' z4 }
      ! k; ^1 H5 x# Y+ t, W
    const int maxnum = 100;  
    0 I7 I2 \' U( z/ b$ H, rconst int maxint = 2147483647;  % j. X, U( d# }  h# }% \3 ], f* t
    int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
    & O3 d  v5 h9 O, Z3 h' Oint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
    ( f) @$ T( N) R+ S9 K1 G7 b1 Cint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
    3 {) N: q; D' q0 `  L3 I1 }int n, line;             // n表示图的结点数,line表示路径个数  1 W0 }6 k* m1 n7 a
    void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
    ' C' y7 ^% {( n2 e{  
    ) c' V* i, i- p    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  " @* W6 Z( N  }
        for(int i=1; i<=n; ++i)  , t" n4 r! b. e# o( e
        {  
    3 `; a- @. o1 L# {& Q/ g3 ~        dist = c[v];  
    " J. @6 C5 ^+ q) S% v        s = 0;     // 初始都未用过该点  
    " y$ ^, U- [. a! T# }        if(dist == maxint)  2 O% M3 f, o9 Q3 g% b: F
                prev = 0;  
    ! z0 z" T" P3 f* c        else  : e: G' @5 b' h. G
                prev = v;  ) Y- F7 X; f. m: G2 X* @/ B8 Y( D
        }  
    + H$ O0 G' b3 Z) o9 O    dist[v] = 0;  . T, y) b5 ?) ~! |4 H0 |" c
        s[v] = 1;  ( H% J; _' E% C( r* Q  x
      
    ) R3 O  t2 j. v, H& |    // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中  # |' }- v) E. V% w9 @
        // 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    8 r3 [( k5 ^1 B( B    for(int i=2; i<=n; ++i)  . _9 c9 |  B$ v" P( _
        {  3 Q$ ?' D" I$ V2 Y6 X
            int tmp = maxint;  
    2 _% o% Q! c& }) T6 Q6 |1 E7 x( ^+ ]        int u = v;  
    1 ^( U' N( ]' _2 W- b8 F$ m        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值    ]  {+ l6 C+ @) d
            for(int j=1; j<=n; ++j)  
    6 F& A4 {  a7 O! k- w8 j) J, h            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  5 ^. s; _/ @6 f6 C" n
                {    o( Z7 \* F9 o) Y/ t! ?
                    u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
    5 I% ]& ]& U% g- ^: x4 F                tmp = dist[j];  
    / N: E9 I$ F) n4 T            }  
    1 S9 o  p: B1 G        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
      n% ~) A7 f/ s! b% t3 E5 x) ?  
    2 Z5 U2 ~7 H% B/ P! i: i/ H        // 更新dist  
    9 i" |, ~8 \9 M. r% j1 P$ Q6 |4 p        for(int j=1; j<=n; ++j)  8 B0 R6 t8 M. i2 ?; K! b6 Z
                if((!s[j]) && c[j]<maxint)  6 {& ]* \, n  [0 w
                {  & T' V/ i" a1 L4 h, @5 {  K/ n
                    int newdist = dist + c[j];  
    ; F0 S! H! S+ x# a                if(newdist < dist[j])  
    ( \; k# a1 @7 M) a# Z: v& ?                {  " C  V; Y) R9 F6 l! }$ U
                        dist[j] = newdist;  " _5 _) Y" _0 F3 u. g% D) E
                        prev[j] = u;  
    : u" f) x0 v1 Z" w# E2 ?                }  
    8 n- A9 b% {2 F2 k            }  
    7 s% G( o: r$ l) O" X  o  p    }    a$ \! ?* }3 v3 V: o
    }  " S0 p4 s# D, s
    void searchPath(int *prev,int v, int u)  % F3 H9 E* u# E; ?8 t: d& m/ h) D
    {  1 k- ?6 h& w7 x: E7 h: B
        int que[maxnum];  ; I& i1 ?! X( A, D( F
        int tot = 1;  & L0 F8 ]4 e7 f; e0 E) H
        que[tot] = u;  $ [' r0 k: ^2 y$ Q# h) K% _4 x- q/ H
        tot++;  
    0 e. u6 b4 R% ~" O$ F, u    int tmp = prev;  ) W: P5 d) O& L
        while(tmp != v)  ' h# q: o4 ], ~( a5 v5 f( L7 z
        {  
    % K. s6 v% G) R. I% M        que[tot] = tmp;  8 _' V3 V# E2 ?7 e% E  v. d
            tot++;  . n0 J/ F; m: S, s# S! @
            tmp = prev[tmp];  
    / S  d9 T$ l/ |    }  ( S$ F0 e" e3 j% s8 g* L
        que[tot] = v;  
    / z: f, ?0 k. ]+ w7 E& X    for(int i=tot; i>=1; --i)  ' N0 J4 u! K4 \- x
            if(i != 1)  
    8 {8 x8 n0 g3 M  G: x7 S            cout << que << " -> ";  2 @7 Q( X7 j6 X9 U$ p' h# \
            else  " t& Q4 U( @5 Z+ F9 j: }( u  f
                cout << que << endl;  6 h# g2 I" w. `( A4 ^9 v' {2 G) N
    }  
    * D$ y0 h, z- y' [5 B  / R8 m; e9 G) Y. e; s6 n# w
    int main()  * |+ R# d) S, T6 S
    {    T$ C, g% V8 T0 v+ N
        //freopen("input.txt", "r", stdin);  $ t, c; ?1 [& f
        // 各数组都从下标1开始  2 ^6 X/ Q- s6 ~
        // 输入结点数  ; k/ h, g$ n; {% P/ E$ R% q
        cin >> n;  
    3 ]: }, N. H7 o$ E( I    // 输入路径数  % @- \6 _; R2 J. P
        cin >> line;  , i. a+ Z% \" }
        int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  8 }7 [0 d. S0 G2 d1 N7 h# P2 x) W/ l8 H
        // 初始化c[][]为maxint  6 v3 J5 X( Z, E3 `. t
        for(int i=1; i<=n; ++i)  5 N9 a. v% K- f' N# d, j8 ]
            for(int j=1; j<=n; ++j)  ! P/ G9 M' a: s" `+ x% i* }# t
                c[j] = maxint;  
    0 \( L& O# x/ G% q% |/ E    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    ) S( q9 B# \) ^2 k    {  % c1 y3 E. m6 {( G- F' N
            cin >> p >> q >> len;  9 v  p7 j# e! ]3 F
            if(len < c[p][q])       // 有重边  
    & U( x9 B/ b/ W5 F+ \        {  3 s" q1 N1 z( P
                c[p][q] = len;      // p指向q  
    # g; G# e/ u* u& {" \+ [/ |% v8 k            c[q][p] = len;      // q指向p,这样表示无向图  % A' B" j/ w) P/ p7 d* V
            }  # c- r5 @" s1 Q( I% a7 H
        }  
    1 D2 b) l4 `7 f+ V" T2 h; h- L   for(int i=1; i<=n; ++i)  
    ' N3 f$ h# v. L1 `; g/ o& k4 @        dist = maxint;  5 r8 ^: z  B0 j- U# H( S+ q
        for(int i=1; i<=n; ++i)  ; E' r. ~  t) B- w8 [; z
        {  
    " `+ @8 j. F7 M; A- ?0 B$ i        for(int j=1; j<=n; ++j)  
    6 z* |/ U. \; @" y. ]            printf("%-16d", c[j]);  
    2 }, ~: l/ \0 j9 I7 B5 e        printf("\n");  
    $ j/ v& ~" z) q    }  
    : X( B1 |! B( n9 r' y    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  & r% }, U. d4 z/ y
      + F2 Y, {. p+ Z% w) x
    //    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
    & s9 W" _' d( M//    {  0 W+ k2 q/ J% ~9 \- j( p& ~
    //        printf("%-16d", dist);  
    1 Y' E4 I9 z6 m+ f% |  I: ]//    }  # s0 x. \, J1 k7 g1 L  x  O; O
        printf("\n");  
    4 o/ R5 O( T/ i5 U1 K8 q4 ~     // 最短路径长度  
    ' B, i% T" I. V  U- ~    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
    , {+ K- G! c( w0 }, n% S3 h     // 路径  
    . I4 S4 r. q& d7 P  m+ f3 T    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    ) o  P7 Y( N9 Z. z: _    searchPath(prev, 1, n);  % P4 U* O& Z( a; Y+ S% B7 Q
        return 0;  
    ! ]1 B, U9 l) x) u4 ^& Q  Z# y}  
    3 a* f7 ^5 _7 _% \4 T7 E( F  
    " t# N9 o" O  p* c  6 {. l+ ~1 g1 X, S
    /* ; Y; ?2 o" h7 C* I2 U
    输入数据:
    ! u% n2 K0 g) _& p. \/ [( r0 C% ~ 5 / _) P; g4 Y) g, O0 S
    7
      a* G1 n4 R$ C 1 2 10
    # O9 b  Z  W8 z* K 1 4 30 7 B" K/ @( U; `' k! y, K1 R
    1 5 100 - J8 `1 `; `0 b0 g5 e0 t0 c
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    100 999999 10 60 999999
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    145 C4 O! _1 Q. T
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    16
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    20
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    220 t6 H8 f2 ]* y/ k  H2 L
    236 C8 [# Y6 t. f2 O) H) M' C
    249 \4 q$ _( h+ j- P9 g' y
    25
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    & Y; Q/ O7 Z6 g) c' C3 e27$ \1 M  A, t  ^+ E# R1 G
    28
      g+ P$ B7 n; v& W  q. C299 f$ |3 |7 a5 o2 A0 C+ n' c
    309 J9 F9 e: \. u' @' h  ~- z
    31
    . f/ L/ m: b) r8 @5 k3 ]32  o* s: o, v7 ^0 O& m
    33
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    9 [7 N  Z& A' S; g" ^! V35; L. {8 t4 e, m) E" E4 V4 q
    36
    ! Y( E# O. {/ q4 z$ |% M; [) [37
    + A) y& ?0 ]5 J" a  V38
    : S3 n' f0 N$ F, j3 S39" ]( H# n- l1 V0 t. O' V2 Y
    40
      w& J$ w+ X# y$ a0 g8 ^41
    6 G6 j: I- X+ c* @42
    % y5 O% r5 B# g' u( R2 M432 N  Y2 K) O7 c( i) U0 ^$ m( c
    44
    ! H! l- }1 L  K! O0 G( D45# p1 R8 _" v6 @9 ]
    46
    $ D4 l, R; ?8 o2 V47
    9 p; Z3 f/ [  I4 N4 h48' I) u# P+ U, r
    49
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    52
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    56
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    58! t( z: s. E4 U0 R' m
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    62
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    75
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    959 H2 [8 @- d$ P8 {4 I
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    ' [$ L5 h$ m) O6 n$ i, T0 o; T101
    ( Y' R' f  ?, R. d4 k) V102* [- |, \( d5 f$ w
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    3 u7 V3 X$ P3 C0 v106
    : c* w. V1 [1 i; h, \7 |% S107
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    ! k% s0 ~9 a8 U" D, |* L% Z110( P2 v1 s  T$ ?2 Z! D- p+ G+ e% H
    1111 v7 A4 G; v) @6 S& s
    112
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    0 k9 Q" G' m2 F$ h. S) B' E114
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    ' O8 N9 a4 v2 c1 H; f118
    9 Q$ `* J  O: _7 i  `1195 Y' F$ Y+ c" R( T/ d
    120
    . A0 k1 h' }6 R2 h7 ]" s1214 U0 ^. S& @# b( p
    122% k" _0 g/ a) S- u& M4 \8 H
    1237 S$ _1 Q* Y- B9 x, n! c; M/ ~
    124
    2 s5 v0 |" _9 \4 U3 e2 b1258 {9 l- h1 b: k" P# k' Z, s. ]) S
    126
    5 @. a, X' a' `127
    & L  C8 r5 w$ @. w( P0 z0 d128
    " |2 t& q) O! }. g2 C7 {129/ E6 h2 r" C+ E" [  d  A
    130
    ( G6 X& H) w& G# x  A: X4 G4 q131
    . u# m2 j- k/ H: }$ @8 \4 U132
    1 d8 T) N; K7 Y1 f1338 z8 k( v0 R' [3 w2 w6 a$ A
    134  E. a; j, r& b6 n
    135
    3 j% F0 E4 W8 P% D: d& @) W, E9 x5 Q136
    / I" @6 Y" `5 E$ s137
    ' p3 {) O+ F- L6 P: p* X* {1381 x1 i* Z7 @8 p
    139
    7 h" T- H0 w8 t. P. y% g9 R140
    + o: K' S/ h- I141  s, @/ F1 n9 u8 i  \2 u/ t
    142$ Y0 S( j5 A+ J& t/ K
    143
    8 z- p1 g, C/ t! X7 W7 {  f- b144. Z0 @6 v0 y! i
    145% Z6 ?9 y* \' m$ O8 o* `. R
    146
    * J  j5 k1 X+ v1 j0 e4 @( |! [/ }+ I+ c) @* Y6 B, h
    , |/ }/ x  ?$ u6 d. b' o6 R
    (2)Floyd算法
    " u0 A2 B: G. e0 d1 S# `! ?#include<iostream>  
    - m* Y/ V2 S# s#include<cstdio>  ; G; {! L; u( z
    #include<cstdlib>  4 {0 q" V. F2 a
    #include<cmath>  9 [3 W( k. {! E% s7 }( m, o
    #include<cstring>  
    4 ^% p* [+ p) P# ?6 U* m#include<algorithm>  0 g4 |* K" J, j$ b. L5 L
    #include<vector>  7 s9 K' Z' v) R; Q
    #include<fstream>  
    0 ~; r& u" O5 \2 Y. l6 uusing namespace std;  
    ' j& _! L$ `8 K) Q1 F* Y  
    % C( ^& i  ^0 x- a9 y//设点与点之间的距离均为double型  ! ^. \5 B3 n( R" y0 W) }
    double INFTY=2147483647;  
    & i" K+ @$ y- M) W( l* M0 r3 [const int MAX=1000;  
    0 {/ M. x& l" t4 b8 |5 ^: rdouble dis[MAX][MAX];  
    3 l: n* c- f& Q- c9 T, ]double a[MAX][MAX];  6 C5 W; v& c; l. u! _9 `
    int path[MAX][MAX];  & O  U5 ~1 ~' |5 e6 }
    int n,m; //结点个数  
    + v: T+ [- k1 a; N7 @+ k: ~/ o) Y! _  ' T3 y# I0 E4 g- F+ n+ y; n
    void Floyd()    x% A, z1 q/ r+ w. O1 K2 O' Q
    {  $ H* f5 g  H4 D5 G- \1 E
        int i,j,k;  
    , g& F- T; |3 z: I9 S6 V    for(i=1;i<=n;i++)  6 S) v! ]; o% E
        {  
    8 v7 P0 F8 Q4 c% ]5 I' y        for(j=1;j<=n;j++)  2 e; w: A; t" l$ u/ n! `
            {  4 w$ b  `1 o2 b* i$ N
                dis[j]=a[j];  ' E6 J- v! D1 t+ o3 |
                if(i!=j&&a[j]<INFTY)  8 Q9 S  B3 x6 O9 l
                {  
    $ ?% [! K2 T9 K! ?  }( c! i6 d                path[j]=i;  
    . f, b, E8 T# o9 I2 w            }  ) f6 T' v, k) G) m
                else  
    3 c/ D7 Y' [: n                path[j]=-1;  
    ' F* R: t2 V& k        }  
    7 n( R# F6 _5 e9 b, _    }  
    8 e0 M6 S- P7 M5 J1 p  9 t+ d. V( Y1 R7 N* I- n8 G9 ?
        for(k=1;k<=n;k++)  3 \+ z5 q: y$ Q" h& j8 ^
        {  0 U% L0 O$ E' [5 C: o9 D
            for(i=1;i<=n;i++)  
    ! a& T9 V) A4 R1 @: v/ k        {  
    2 U' |  e- s% ^8 j" q1 U0 r            for(j=1;j<=n;j++)  
    . ?9 E9 q6 f4 g5 T7 k% K0 D" [9 t* a            {  
    7 e6 r( e8 t+ O, u0 q                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
    . r4 {, Z% Q) b4 x+ [1 Y                {  
    6 {3 B9 d& L$ A$ d5 B( \                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  0 M( }& K# K. E! M% v
                        path[j]=path[k][j];  # X" [  g+ B- A7 P% V- T0 D
                    }  9 g. W" r' d4 v
                }  9 o( I7 V8 j% N1 L& ^
            }  
    & }) y4 b6 W6 l+ h$ Q9 Y    }  5 G, c! y# @6 D9 R& i! j9 d5 o
    }  
    * S! Q0 o! H! Q" P/ ~: W' i) ~4 i( p  0 C# f$ f2 C/ q4 T
    int main()  0 p3 f- O" I; q& ]9 r- y
    {  
    - G2 e( y" P$ V; F, u    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    0 U! B/ K9 E# D- W    int beg,enda;  + [( K2 E$ x! a1 V) i  w
        double dist;  
    $ f, x# E6 _9 d5 Z    scanf("%d%d",&n,&m);  
    / f: f5 {6 Z* X6 z, [; |    for(int i=1;i<=n;i++)  6 _& V( j; S3 D3 o
        {  
    6 r9 u. _$ w: S4 J( L2 d7 Z" Q       for(int j=1;j<=n;j++)  4 {) i8 ~& P+ I, ^
           {  
    * N: M- o1 k+ N, J; d5 \            if(i==j)  
    ; r# I7 t$ y" h3 ], l+ r' W                a[j]=0;  , e& p: t" I/ S8 E: F# K5 M" s
                else  
    6 v7 A0 j- A; y- s8 S                a[j]=INFTY;  
    5 K( _1 M8 b7 c       }  9 y" R5 v; ]( D$ B7 Y
        }  1 v. D6 ~6 K5 }$ a( q0 n
        for(int i=1;i<=m;i++)  
      W7 r7 d) o5 |3 g' r    {  4 y) x( l! Z1 m
            scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
    ) p+ i$ L; @) p% [  _# f        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  6 a3 K% m# |% N. W" S& c( E$ c: W
        }  * j0 {" ?, t9 j; O4 Y0 }# s
        Floyd();  ; Q! g% z9 {( N2 G" b
        for(int i=1;i<=n;i++)    m2 Z" v; b" T5 M  g% y% X
        {  
    ( ]% [! J2 p1 M9 J/ m       for(int j=1;j<=n;j++)  
    " q! J! p/ h# Z( e$ j1 k: d% u       {  
    / b9 W. I5 ~: O4 T; z1 Z/ D            printf("%-12lf",dis[j]);  
    & o2 o3 g! Y- m* U) q  o$ ?8 O0 n       }  # M$ r# a4 I8 w1 `; B. z: S5 D
           printf("\n");  
    # j. a; f3 ?0 C. y    }  
    6 n! l1 i0 U4 b; \1 K: k  h% @& z* b    return 0;    [* t) Y$ M8 W
    }  
    + W+ d: R* R9 S  ]; p! I. V7 M5 a1. c7 j6 M9 Y& U$ |+ _
    2
    ) {3 W1 X2 B1 E9 @" f0 \# r3, I9 \" a0 V5 V6 _. R
    4& O) ~' R  @) \; t. M, k- z3 e
    5
    ; W* F8 k) f+ f( H" [5 }/ g1 e, d6
    . }3 g! A( e8 d- p7
    9 d4 \. S/ F1 C8
    3 \$ |* z" Q5 k' U4 J9
    " L- ]" l$ z7 f% m- v6 ^* P10% ~" D0 [: K# x* p$ M- H
    11
    7 a! i# v- h: K( g) M5 ~" w- Y12
    ! I0 p- U6 A- v0 ]- {0 ^13
    1 h5 l5 F9 l5 F/ E9 A14
    ' ^. }) g( b% ^  ~. Q% d8 R5 Y# p15) y* a+ U- J' ?% a
    16& S$ x5 Y3 U" Y1 @$ \9 S3 H& q1 m: Y
    17. E1 f! t0 l! |* W  j4 `
    18" e) V2 P5 G4 w! `4 Z+ C* X7 L
    19% b0 @9 b" O$ e4 ^! R
    20
    ; I* E8 p- o! z21
    # x' _' B. I8 P& ^7 ^  x" M. _22
    : M$ Z, B/ R! E$ g- E23
    ! ~7 O$ @" X1 K( g  f- R24, C3 _- Y, l  ^6 C
    25
    " S9 \% I5 @$ V" e1 k. O26
    1 ?# e) L9 o& t. f0 m$ h/ {. H27$ {. N* D5 d. m/ u; |$ Z+ v( ]
    28
    % v- ~7 s7 w: G: Q$ E2 D& I29
    " s5 `0 M8 h: r2 \5 \30( P6 T: B. |7 C9 f4 S5 |! {
    310 x: M" z) ^( c) w$ x7 H
    32: i* G5 W, M: R% y- O* G
    33
    * ]  w5 H4 U, o7 h. b34' y0 t  a0 A0 G; n; N* \+ G
    35
    4 J0 M! y: |/ R7 d# g0 X* c! W8 l36
    ; i0 h; Z% _6 O9 A- Q0 g37
    2 a- P9 y, l& V5 ^6 H380 L: W0 o! r: q5 A. f
    39
    4 ]  ]; I- I* b0 P- x% \403 E2 E; _% P* B* Q  h9 @- B7 L$ f  ]- s" R
    41
    ; r6 U2 E& Y) }# C4 z426 ~8 [8 ~# T# O
    43
    8 D. P. [( E( u- y! j  n+ I44
    " a4 k# B1 ^  a, O, _45% b0 H: Q) N' {8 l7 ^& N6 ~5 N. [
    46- t$ E" `- g: ]1 H0 N. R# P, q( k
    47' R7 V% X9 _7 G6 @
    486 l8 W3 H+ B7 j, S
    49
    2 X6 Y) O: E& Y' o" m" ~  S50
    2 Q! V3 }2 h1 w4 i7 J) b51" z/ }, K& z4 t' C. @! v
    52
    . b& @$ I. H# v- d! e" U53# f4 [" v$ q$ o4 [, {' R3 n0 X
    54$ E4 o& ~' r* q) t, x
    55) m1 C1 J. q6 h
    56& `: f1 ?0 V; s( }' x) D: f8 _
    575 s: K% O) r* V& z: a3 T* |0 y
    58/ \# `; h& E3 ^
    59
    4 L7 S  Y4 B- E4 z6 B9 ]60
    - |& \) `  c4 l6 b: P) M1 a61
    2 {$ c' p# L8 s; e* I, I+ y62
    : A. O! X, Q, Q5 S* K* @63
    " v, ?8 @4 H+ L' n  Q) A  n64
    6 B) T+ M& ^& [65- r: _$ [9 ]: j; _, W
    66
    6 w  }. O6 I; G& S2 U67  Z* |* Z& {5 w' d* ~* p- Y
    68
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