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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

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杨利霞        

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    发表于 2021-12-25 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
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    【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
    6 A4 [. r; ?6 Z0 P2 \# @一、蒙特卡洛算法' k) P- u4 L: X; \# W
    二、数据拟合2 r1 t! t# e, q; q
    三、数据插值3 I. O( W3 D. G( C  u
    四、图论
    ! P; a/ x, h0 _  R9 e: I* V+ j0 l1、最短路问题" F% G6 E' L0 {7 e
    (1)Dijkstra算法
    + y! ]( M) F$ f- p2 ~' A- ](2)Floyd算法; C, t! u; B  h+ F
    1 R  e( n# Q6 U' Y5 j

    2 D0 v' U6 O% g- ?
    1 a& B2 ]5 e- I* u3 C3 Q

    - a4 j: w( g' f" u$ s一、蒙特卡洛算法
    8 Z" U& ?% x) C2 W$ [1、定义! M  Y, Z' y7 j, T5 B& `

    2 g! o$ `) h. \" w: H2 A  q

    % o) i4 d$ F) r蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。
    / ^7 U) y/ F6 i; w2 M9 E
    + Y, O  G& Z' U

    / G! Q! h4 h3 Z0 T* n( \
      E2 T0 d: U( Z& A8 Z
    7 t# u0 ?/ C* k- T  k& ]) Y! g4 O
    2、适用范围
    + G3 D5 \' V7 x* G; ^8 f
    ( s" B% R8 u6 p+ T" |. c  }+ Z

    3 t' J6 A: S- q2 L' O可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
    * ]' c/ i' L+ H$ P
    4 `7 x, `& B/ }: m
    " `: J, T7 w3 u. L2 }
    2 @. G+ b8 s2 P
    2 P  X1 {  {+ M% V; J5 Z
    3、特点& u1 W5 N$ A& a& ^+ F- t: R: D' H

    4 A9 G* z$ A' c, Y
    : @* E1 N$ u! B! f4 {7 U: q; `
    蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。  w0 A: j2 r% r1 T* w9 }" F

    % L1 n: L% n/ e! m
    7 P) w: E+ m. }* P6 U
    7 L$ `( N1 _# d! e( ?8 ?. v
    7 a8 j: |* v8 |& |3 h0 h
    4、举例
    4 @* r/ R7 O1 F  n- L
    9 ~" T" D) k/ P& i, v, `8 A- y, E

    * Y. ~) t% x/ G" i1 ?y = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。
    ) L( D" ^! F9 S0 Q0 J1 U, k
    - v: _& `% n9 r) @+ g
    , D% T* j* ]: `* ^- }0 S
    9 _& H0 e, C4 P5 i# W4 V' K% u- x
    - `, i( F6 j% n. O& i- S1 i; Z7 n
    (1)作图2 h6 f% c5 ~+ Q3 W7 ?; z
    0 W2 R$ D* s6 V

    4 T+ M; L7 A. sCode:
    - p$ Y4 L% l3 E$ P$ k" {' f8 C
      U- v7 [0 ~: P7 @
      `0 T0 w2 j* m
    %作图
    + f' {2 I5 L$ x% k9 O& R3 px = 0:0.25:12;
    : L2 P8 j1 E, ?! I+ Sy1 = x.^2;
    / [* h5 l8 e, T* q* Y3 ry2 = 12 - x;
    & A: C* n/ ~' I+ v6 Iplot(x, y1, x, y2)7 J1 }& {( f5 L4 X" ?7 g
    xlabel('x');ylabel('y');
    1 g2 `# L6 x& u5 l! U/ z- i%产生图例
    , T4 X. |( ]7 o3 Llegend('y1=x^2', 'y2=12-x');& h- e+ H7 `" H7 M8 U$ s
    title('蒙特卡洛算法');' d7 `4 B& W- }: D- `9 E1 x
    %图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
    8 p% M) o7 L; ^0 E' t# ^axis([0 15 0 15]);
    ) |$ P" Q! w4 W% z  Itext(3, 9, '交点');; E$ z2 Y4 I, S
    %加上网格线
    ' {' I) i+ K# h# [* n! {+ Ugrid on2 M4 V3 D0 q$ M% W
    1
    ; W2 O0 W& c* j# A+ v27 G7 p( g+ Q* \# w
    3
    3 A! G, S! b! h3 x40 a1 `! A0 E$ ]$ {  f0 r
    52 w2 O1 ]6 R* p
    6
    5 w7 \4 B' z. ^7
    - c! y6 \  |7 s4 I& t7 \% r8
    9 L4 q. ]4 j/ u8 d9
    + U1 q; f! U' ?, U( |, Q10& _8 X7 k+ A3 f& g* P+ ?
    112 R$ M5 O; l7 n* ^4 S9 p' R
    12
    1 P+ r' T, {* ^( R( _. k7 H8 _13
    7 {# W1 S4 ?: K" p14  F, q& J2 p2 b

    3 i, {% K8 }6 W7 N2 k
    0 W6 u( q( ]7 M. E
    (2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
    8 H6 [5 m7 E. G- C0 B* @  i9 W0 u2 c2 Z/ b  v

    % N$ ^8 A' h* _+ S/ ]& q( YCode:, ?( D4 V8 c- f  i; k7 i- u

    , l7 o% `: D  G, }" S0 y
    5 c: ?- D0 }0 n
    %蒙特卡洛算法的具体实现
    , t( t  J  m$ g  u%产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取. r+ \# O# r/ Y2 n
    x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);/ A8 [+ u8 b+ K; J  b! E. {
    y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
    9 [( }8 k. d" i- c* @( S) U. |frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
    2 Y( z, s+ j) X1 ?: N, uarea = 12*9*frequency/10^7;
    9 b' {- O: b8 x/ rdisp(area);$ T( d+ p, W, t9 z' c
    1
    4 g& A% d: c: }" l3 U6 I2- x) q7 z0 V/ P% u
    3
    # C2 L3 u% v7 ]& p. n. ^5 Y4: `( @' O$ |: R1 p
    5
    . p$ I& _! G. F  b8 F* e, Z6
    0 E+ M6 s$ T7 e# n5 U77 W" X( j4 s$ S! Y, s
    所求近似值:# P5 w3 y' t5 t$ k0 j  ~

    ! @* M3 X' G2 l, B6 ?

    + X4 s3 [% a$ c( u
    - {# V9 D; ]' D! o* T

    ) H# [) U+ C3 L  Z/ k0 q6 Z3 d, n: c3 n" g
    % I5 S) [1 d$ p3 t+ Z- l2 Y1 X
    参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
    . ^5 ]0 _( W( z8 Z% m& o4 v; k& Y6 Q' K4 G( d, H2 F. @

    2 H" `' s8 v' l% {! |# d
    " q: w  T- V. k+ q+ H  ^# V

    " b9 m% a+ ]1 x: ?3 U6 p9 A, y* D# i$ T

    , b; P) b1 j" S) h& Y7 ^二、数据拟合( x# `, ~9 \9 z" j- P
    1、定义5 R- _. O6 C. `5 ~: Q
    + |; U: k8 s: r2 H: x1 r3 @, H

    6 h0 R* n8 K2 q已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
    / B2 \" f  k; d1 j7 N3 v7 e7 }/ O- n$ p
    * z2 x% G' O2 R8 x0 p
    + Q( p$ x7 Z% E* t
    6 |) I5 ^7 ?) k1 [9 i
    2、常用方法
    $ @2 |4 q5 y) p7 _: W; g/ v. c9 u- P6 O" C: _- m9 N

    9 a- L2 @8 k8 b0 k9 F6 s! X! b# L  ^一般采用最小二乘法。! I/ R/ o$ R) ~5 X; [$ K8 K
    拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。
    + m$ G3 h# {+ j) C8 E$ U% w+ F" v+ n0 Z$ Q  T. q+ a

    5 D- W! j- x% t8 a( ?4 Z3、举例
    ( Y- {- S7 \, v7 r' M
    1 m4 K* g4 H* k, v

    - ^" Y( v$ K6 M" u2 T0 u( ^% F(1) 数据如下:: Y  `9 E2 Y' w

    3 f" |- t7 \5 B& h6 k7 H

    0 @; A5 V- j% t1 k   序号         x         y       z- C2 p8 J1 g, s. [
            1        426.6279        0.066        2.8978672 L0 w( U1 g1 V& Y# g1 z
            2        465.325            0.123   1.621569
    1 T& _8 x' B! g5 d4 H        3        504.0792        0.102        2.429227( U$ d: b4 ~. z
            4        419.1864        0.057        3.50554
    7 L  T; v$ A% N& s7 l        5        464.2019        0.103        1.153921$ K* P0 `: `* s/ a9 L! S
            6        383.0993        0.057        2.297169# C! D" x# v9 W% i2 t/ g: N
            7        416.3144        0.049        3.058917
    " U5 T& f" v% ~5 N1 S1 ^: N        8        464.2762        0.088        1.369858
    5 L  g0 q& W2 X* _/ f: i        9        453.0949        0.09        3.028741
    ) j- x! y9 @# i9 J2 X        10        376.9057        0.049        4.047241, n, ]/ d# ~. o8 c5 r% c
            11        409.0494        0.045        4.838143
    0 ?3 e; q! x9 S; R( Y1 r  t        12        449.4363        0.079        4.120973+ d; D& |! f. [. ~+ \
            13        372.1432        0.041        3.604795; N2 }# J9 E& D/ d" u# R
            14        389.0911        0.085        2.0489229 T7 |  ?. w4 V) C( `
            15        446.7059        0.057        3.3726033 ]. [# u  @4 U  x- |1 O1 @0 N
            16        347.5848        0.03        4.643016: Y" g) Q9 T5 c  A/ {% |
            17        379.3764        0.041        4.741712 l4 d1 h# `8 ?! y* R( Y
            18        453.6719        0.082        1.841441, |8 V6 A" o. r0 K
            19        388.1694        0.051        2.293532
    $ W* k$ _" `; w2 o5 ]8 {( a        20        444.9446        0.076        3.5418039 u! E, \$ M' M7 E
            21        437.4085        0.056        3.9847654 `* a# n- r9 n0 c% B
            22        408.9602        0.078        2.291967
    % s5 }8 x7 i% q        23        393.7606        0.059        2.910391( y, x, E8 A" N9 A: L$ |
            24        443.1192        0.063        3.080523) |7 j, z4 m; p0 o! L0 u& H
            25        514.1963        0.153        1.314749
    4 `- r9 w$ @- J/ K/ P$ G9 t        26        377.8119        0.041        3.967584* ?3 H/ [) T- Q7 p$ ]4 K
            27        421.5248        0.063        3.005718/ R! t9 |: ]6 r6 [. t/ U  s  ]: z
            28        421.5248        0.063        3.005718
    5 g2 m4 @$ A, S. E8 D        29        421.5248        0.063        3.005718# _6 I4 T% f* E& z
            30        421.5248        0.063        3.005718
    ; E  c) F! {; S* [$ o5 _. T        31        421.5248        0.063        3.005718
    8 {2 }0 C# j  ^3 t2 `" `        32        421.5248        0.063        3.0057181 b, v8 L7 O6 m  r; U
            33        421.5248        0.063        3.005718
    ' [. I+ h8 O  e! ?' X& v2 R; v        34        421.5248        0.063        3.005718
    ! N7 D! u, A) b1 n8 J: `( z+ D        35        421.5248        0.063        3.005718
    $ G5 M; x# H* j        36        421.5248        0.063        3.005718
    0 i( J2 a: K* Y" ~; }        37        416.1229        0.111        1.281646
    1 t$ V  k. d5 a0 V8 g6 ~8 o        38        369.019            0.04        2.861201/ P% S3 ?  C1 M
            39        362.2008        0.036        3.060995$ f8 V7 s" b! L: O
            40        417.1425        0.038        3.69532% N  J( u) a) E9 i# L7 q3 G. ~
    1
    0 D( {6 z3 U1 {8 T2. T# I2 z; z9 i# {1 G  ~. }
    3
    " G) z% H* `& _0 F+ A4
    & m+ n5 r  u' L( P5$ R# |6 w$ f+ ^* q2 W7 q7 q1 s; ^9 Z
    6
    ; v2 u# C3 ?% t72 n$ K# U( G. V7 }
    8
    6 p* A! X2 u8 V  V. C9
    * W/ i; ^& o# d! ?4 ^10; Z* F8 D  N8 N
    11% z0 z  u9 x# n0 R
    127 p7 N, |  ]( C2 }
    13
    + J, w, B3 W2 O# N8 C+ X2 w, ^14# A0 {$ Q. y' Q2 i/ z% d# A
    15
    4 O4 [* u$ D- X+ ?163 w3 J* a& W0 n: g5 l/ p; m
    17
    - y6 n0 z. Z2 j: ]1 d$ L188 p0 f2 S; x6 Y  }9 e, I
    19
    ) k% z' w# e! p% H20
    " S  Q; C6 \( p. r21
    2 R/ p; P6 R4 k) \22% v5 J# o0 r5 N& G" |8 J
    23
    % _. U3 r7 M) S24
    9 A9 e/ v+ Y$ O" [" \2 B25
    5 Z4 a- F) y7 U, Z# x26
    : E) O8 [5 V# `" g% C277 H8 D& f! a, I/ E. m2 l
    28
    ; B& E6 o% l7 P# U* g29
    ! J. t, M& [  h8 X5 L4 l30
    0 x* P3 e8 Y5 D  n31
    4 E& }" _' _6 S: N' g+ T32
    6 O& W, N  X5 a  q0 ]- N. H33
    & c8 ]& c& m8 e$ F9 m34) d: P, i6 n! Z8 E6 C5 v, p
    350 a, }% \3 A4 \9 w
    36& a* J& M! c, U  [) y' f, |
    37; I8 x! ~5 k7 Q) H
    38
    ' m9 `7 a  ^/ {0 O# [! h, y39
    ; j( Z7 ~; E1 E9 x4 H% i$ p$ r% N404 k) O( T0 B1 b" _5 Z7 S
    411 G) i. T, P* g3 \
    0 H% K6 h; {* Y  w: R' z

    ' Y1 B5 K5 |  @4 F6 R8 Z(2) 方法一:使用MATLAB编写代码7 s# c9 [* G! ^
    1 B, j# F1 c* O" Z5 X" E
    2 M, a& t) n+ g' r/ i4 I6 r
    %读取表格
    ! {5 }3 {6 s! c8 [- g  U/ E# cA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
    - @) e# ]4 \9 e2 i# [! @B = A;
    8 U' Y; @& d9 B/ Y' ][I, J] = size(B);
    . }0 I+ L; |0 }& V8 \$ E 7 }6 Y. ?2 N' M6 R: m
    %数据拟合
    * w8 _  u4 Z4 k  |( h8 ^3 s) a% w%x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行; D7 E! X2 _1 b5 Q4 {1 k
    x = A(1,;; ~' D8 l  K( R
    y = A(2,;
    3 J( @( V* X2 V4 A6 B/ ~4 A%polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标( k; |% @2 k* K# @
    %第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数4 i* q. @7 T5 z& V
    %返回值p中包含n+1个多项式系数- [$ C7 x6 m, W( V  O9 g
    p = polyfit(x, y, 2);
      v7 V' [9 C; f- F9 g6 j5 ]0 udisp(p);( b; ]( U$ t/ C0 ~$ b) a
    %下面是作图的代码: ]: D3 l0 ^, l6 }+ @& o- u; N5 z
    x1 = 300:10:600;" ~* h2 o. b; x' _$ g
    %polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1
    5 U( q) ?2 W7 M* ~5 M( d, c" @  {( `y1 = polyval(p,x1);2 e' N7 ~9 R( R) H; J; q( _8 X  ]
    plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');8 u5 V+ \/ t6 b
    %plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');$ n4 k" M8 a7 X. X# x1 i0 Z0 z2 `
    %figure(gcf);* M7 N" n$ F2 \- p$ Y+ A! I+ G& k0 p
    1  A& ^" U, \: }9 r9 A4 [! h
    24 }! q0 T5 d- ], f2 e
    3
    9 t) f% g5 V. L4 e4
    8 k4 |+ N) p) F6 b5$ ], u. _  l0 U- o
    6
    % T" q  `0 e! @$ r5 O" O% i( Z' I70 p. X. G5 E! L& j; G" d+ G
    8
    . L! R# m& R8 L& ], U1 J3 \9
    ; \9 D) B( n) b. Z( R7 b* V10, s+ B7 {) V5 T7 s" O
    11
    6 Z8 Y+ s1 [: O8 O* Y# f& w1 p5 k12
    : c+ d9 {8 C( B' p4 S13
    $ N  t, o/ P" h7 i7 X6 C* |, ~14
    ! t. m& B! |% J" N! p5 O158 H0 Y2 V2 Z5 _- b2 p
    16
    ' ]( E# B& |0 H: n$ A) ]6 P17
    ' l1 m2 D+ y8 u$ K: }1 L18
    6 ~) f9 ^0 y- f/ F  X. _6 X) a) m19
    $ A# ^/ u: s7 l! ^203 c. R: d) u0 Q% J& Y1 `
    21. |; k: B7 @) y! T1 C+ R

    ; G+ {# Y6 [7 d* K2 Y8 Z! |. t* G
    * }/ c2 w/ F+ \' S% e: f+ E
    (3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐)
    2 r% f3 J, m! `2 a) ]& X/ L# B
    , a$ |  E$ O7 A0 z6 p% l
    / ?: D7 J: `8 U7 k; {
    , ]. t- O# l+ x7 A/ M0 ^

    % I4 j4 U1 Y  f& }将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包. X, L0 K8 ?6 I1 p/ i

    ( ~) K  _+ @3 R3 ]
    + W- U+ b+ V" h8 Q% r

    $ a3 S. W+ |- O

    1 F- W0 _& ?& v2 \! G选择x、y变量
    # ]) P9 D+ }4 M0 h3 P( u
    5 x0 x6 A, I* w% I

    6 W6 S' t# f+ E0 n9 t  C- z( n" x0 J6 Z
    + `$ e. l+ P; C; z" D! |3 ~
    选择拟合方式和最高项次数4 a6 }* m3 ]0 x' f5 Z" w6 q$ e
    1 i2 \: R6 t. N8 A# w% A7 k2 k) K
    * a3 J  I- T% {. ?7 V) D
    ! q5 m; r5 k( Z

    $ s" {# U- p. y" D/ p7 ]' B. c: u得到拟合结果% [- C2 @, Q! o- K% P# [4 |7 F( ?9 l

    2 {6 ]4 \  z# A4 d
    9 d5 A! c' b, h4 J

    . y! g, h% i! b

    2 X# i0 _8 \! P( L# y; h使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。
    % o0 J8 F* w9 p; [+ M7 ^( U1 p" r

    $ O9 t7 _+ Z0 O$ c/ f: T" w2 g& {, G% \

    / T- N1 t6 u4 F6 i, w' x# n2 g2 F; Z
    ( y. ^/ l. y& a1 u6 j
    三、数据插值
    / e+ E5 `; S" l4 |, [- h1、定义
    " }5 X5 D, ~6 ]: F
    8 K9 G% B1 v1 Y4 A" w9 p3 S
    + l$ F  F* k. |
    在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
    ' G6 [8 [3 N, b% p6 H- [( w" L6 G0 @* e4 E; R7 _
    " Y; V$ Y$ r# g1 r! p6 ^
    从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。6 _/ Q- [. ]3 c% {) M7 X
    / q$ _, m( ]) L# X

    . Y6 X2 e( V( t, c4 V
    4 ?2 F. X8 D* Z  E
    ) N! T" x/ T5 d# \
    2、作用9 Z5 v8 v5 }7 R' Z3 s3 s+ m% Z

    $ t+ k4 U+ y  G/ T2 ?6 H- R
    ! {4 |" B1 M& H" }- d5 p
    插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
    ; R4 \- t+ I9 _8 r1 p% \/ v: r, w0 ?' Z4 I, E" I

    * Y7 ^* |4 h* V, Y" I, Q
    4 R* E  H* m0 N( W# O2 I/ Y2 ~

    % h# J: p" B4 _+ S$ b3、举例0 `6 Y6 ]3 Y/ H" \9 S
    2 b$ p# h; T- S1 \

    * n7 X0 I3 E) h$ I7 M) |7 L%years、service和wage是原始数据2 Q" R$ X0 \  E; L, k8 W
    years = 1950:10:1990;& w: {2 Q- u3 S, i2 M5 D/ Q2 H& Y
    service = 10:10:30;, d* M) E9 \, U0 T
    wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];- c4 K! D- M# f* V
    [X, Y] = meshgrid(years, service);
    7 ~5 M0 ]. M/ h% % 三维曲线
    ) I! q, X' P% U7 t1 A- E  @5 R% plot3(X, Y, wage)+ O2 I0 W& Q1 [0 o0 e1 S( W
    % 三维曲面
    & w% ~; i- `6 A+ A2 ^; r% Wfigure
    ) F" E$ d# k1 b8 r% B& m; Xsurf(X, Y, wage)
    5 q. [# _5 C  o* E%interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果7 K; ^4 o; E  A# N$ \3 D  h
    w = interp2(service,years,wage,15,1975);
    * e& U  J3 F/ X! p1
    + a8 ~+ F: W7 [! ^( @: c* U" @' N27 a* K' s: ^7 ]9 x" P  V
    3
    $ d0 R9 N5 N6 l8 y2 ]4+ u0 ?) C7 z  O  f& ]  `4 v. h
    58 y+ R* u; B/ l6 h* T% d' N1 v5 `
    6
    , r7 P0 `' m% g0 W* h: U2 A7/ |4 C) \) V& d! V+ M
    8
    : S- f" O+ D4 l& @7 Z8 R+ x9
    - H/ m# k$ c( E0 {; l1 B! s10! s" U, x) F8 {3 L: ^% y7 q
    113 G& _) F( s, W1 K8 w& I- O
    12
    / U& d( V% E" Q1 K* Q; g9 m$ R* U+ y, N" V/ M2 J

    3 {( {: E- l3 i( ~8 J
    + u5 K! }% t* i! L* L, F

    5 D2 `1 A" _, s: F- X可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合
    5 Q/ C' w2 K- v" W/ Z3 J( O2 k& y" K8 R: j6 g

    3 p1 ^. L& f; i/ {3 k, {$ ]3 g- z" j: M! m1 f: t

    0 P; F5 D% J' e1 T/ Z8 y$ A3 c. A7 ^' v6 H' k! \0 d, h: J
    # B1 b0 q/ ?) R- z# X
    四、图论
    * X$ \5 g8 \, d+ }9 }/ c3 S1、最短路问题9 Y8 S& g% w5 C: B( R
    最短路问题就是选择一条距离最短的路线。) ]; z$ Y! L( G0 M2 l/ d6 {7 ^

    $ G7 b2 E9 c9 F3 X6 `- R' `' P

    & u% i& V7 X2 Q: B: g( h例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法)3 n) q- X" I6 j1 K) O" Q

    ! Z! M3 E& R! g" p3 K2 `* J

    ; h  w, T) O! v具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
    # f* }$ L/ }8 y- f
    ) x1 a* ~2 B! v8 P

    ( W/ S3 W+ J, H' J3 s' X" U( y/ q4 {$ J  X. W' r
    ! j  W: h; ?$ q! V; ]; X) u2 G
    (1)Dijkstra算法# x2 }: `# ~3 X( e4 @: j' r- g
    先给出一个无向图
    1 @6 w/ P, d1 h6 S2 `5 P* M$ S8 a3 {
    % o9 y5 B, k  C0 t$ |/ H. L0 D, m

    # s& f3 v- N2 Q2 P, t! y
    ( y! {1 x! c" D: c- {1 V4 f
    " W% ~' e  M8 `
    用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
    # M# K, h) ^5 V  L, H. c& V& G! j
    : D! w$ m! p+ G( q& ]( s
    + [+ @& o' ^* D5 p

    2 s# y3 r1 U, q# u$ ~+ f$ ^, m+ j% [
    4 s& b0 {1 H9 B6 M- R: V& E

    0 F* r- }- C# a: `) q
    0 l. ]! q+ J5 J  _6 {# i
    代码模板:
    , b/ L1 l7 `5 N' Q9 s6 B6 F8 X: n0 o4 e. F
    3 e& ~* u$ j$ q7 v. p$ G
    #include<iostream>  8 v0 }  x6 ^" z
    #include<cstdio>  : b( D2 T/ y+ B: x/ G
    #include<cstdlib>  
    ! P! g2 x8 F, n$ n+ Z6 |#include<cmath>  ' B. a/ k# d7 N! M) h! J
    #include<cstring>  
    ( k5 H6 T; |  f( V4 R2 P#include<algorithm>  9 t, O" }. S/ L* l% z/ L: `& l& ]2 k
    #include<vector>  
    : D# N5 T# f6 A. T+ x/ V#include<fstream>  & `, L$ o. E8 d7 u# T
    using namespace std;  3 a* g/ x, \3 Q( w' F9 x' A
      2 C$ ^! a5 k. ?7 V+ W3 r5 A
    const int maxnum = 100;  
    0 D0 P; X6 h3 F; s& Gconst int maxint = 2147483647;  , j: A) F6 i( L8 W( d' G$ l5 v
    int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
    . q- ~& A$ H" k: jint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  9 c; p8 w: j% M+ I2 b; g
    int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  . d3 [6 p# P; h: f+ V
    int n, line;             // n表示图的结点数,line表示路径个数  
    0 C7 a+ O0 ]1 O" M" Svoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
    : a( A" E/ n4 B) @# o7 _{  
    2 \6 F( R; p0 P* E6 i3 w# s0 K& |6 O    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    9 @/ ^  v$ _7 H5 O; U+ A    for(int i=1; i<=n; ++i)    Q; D2 h1 Y5 K  b2 B  ]
        {  5 {4 o; L" O; u( T4 T' C/ p- T3 D
            dist = c[v];  ! ~0 ?' t; J2 K, P
            s = 0;     // 初始都未用过该点  # X( I9 Q9 n4 V0 p
            if(dist == maxint)  0 c! p+ `- p" m$ I
                prev = 0;  & q" g/ z, p9 d4 _& ~" p7 l3 c
            else  7 P7 i* s1 y0 v5 Q
                prev = v;  & w1 S: D4 v, E: L; Y
        }  
    4 @% b3 ^) s" H7 X- n    dist[v] = 0;  : c6 B1 \7 m  m. w0 j& o# L0 z  y
        s[v] = 1;  
    . |0 n+ W8 \4 Z" t  1 N9 H" a) E! `# j% U
        // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中  8 W2 G( j- a5 o+ n$ F. e
        // 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
      O+ n8 M+ d  z; [3 |  T    for(int i=2; i<=n; ++i)  1 e7 z+ g# K( w9 l9 m. N
        {  
    * {8 _, h- t+ C        int tmp = maxint;  * V5 m( W# A3 i  \
            int u = v;  ) N, A3 m/ \$ N: ]" z! [
            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  0 z! P9 {4 ~' ]  z
            for(int j=1; j<=n; ++j)  9 m9 M' ~1 n# I+ g7 O4 j* O
                if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  ) I9 ~$ ~: T# ?' J' y( e
                {  
    / |* g! Y0 @* q2 _- x4 p" p7 v% ]                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
    : x+ C7 m! }2 E7 L4 X                tmp = dist[j];  
    , N- e9 W% G0 s& J            }  . J* M( `; m: _: }4 c1 |
            s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
    ; F( D9 i, `1 R6 E* f5 N  
    # \/ k3 R. S6 |8 y7 b, v        // 更新dist  $ Q# [+ M% @8 i+ L6 b1 g9 f: P
            for(int j=1; j<=n; ++j)  
    , x$ v/ p( d; N) \, _& o7 u            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
    7 q2 z, P7 C4 ^# X  g# z5 w            {  
    ; O5 z8 j3 o5 G1 S7 u                int newdist = dist + c[j];  % ^# l7 _4 m& H) O. V: K" L  x
                    if(newdist < dist[j])  ' A) o& d5 V& i$ V0 a$ p* W5 Z
                    {  # q2 Z5 s3 |7 s& S, N' A
                        dist[j] = newdist;  7 g3 z! t/ |0 L9 ~8 z9 `
                        prev[j] = u;  ( N0 k4 T: R" A+ W5 U
                    }  7 g% k* x" Y( a4 V+ X* H
                }  * H# M- {9 \$ }1 h. b$ }
        }  
    : s& v3 `# z+ x( C3 h}  , T' p& ~: u% g% a
    void searchPath(int *prev,int v, int u)  0 l& r/ Y- `6 b) s! N" j
    {  
    : t  j8 e. |7 y' o* D* r6 i2 A    int que[maxnum];  
    , D2 Y$ c8 {  d: R- k1 L    int tot = 1;  
    ) ^1 _, C/ q8 M! Q7 t: w2 d) i    que[tot] = u;  
    2 c, N2 M- ^8 d6 Y    tot++;  
    2 Z' _4 {% G9 F    int tmp = prev;  
    ' Z; j6 i$ E; R/ V0 X$ g4 V3 u    while(tmp != v)  * y- r8 d9 y  ]! r
        {  
    6 {! g- _, D2 J2 o4 F# ~        que[tot] = tmp;  4 E* x- E4 u- O! T  l, o
            tot++;  
    9 g6 Y# E) r! j# |8 b. E        tmp = prev[tmp];  
    8 d: q' J) w6 H. ~8 s, A; V* P/ b* e    }  - Q& Z% W2 j- U6 }3 H5 N
        que[tot] = v;  
    & e$ s0 ~! m8 \' a/ c/ J$ T) S    for(int i=tot; i>=1; --i)  , Z# n) Y- S3 j7 {9 N+ s) f+ r
            if(i != 1)  % ]% p" ~1 n- v4 V( [
                cout << que << " -> ";  , Q. Z1 O+ ~0 J
            else  - A; {: E" U; o( J+ `3 L
                cout << que << endl;  
    " h+ V/ U( D+ Q% [8 R- B! V& n}  ; [2 d; D' Z' W" E/ L& \
      ; r( P9 D' ~% D* q
    int main()  
    ' i. J& r2 n/ y0 f/ U{  
    ' `/ [, ~- V5 H2 G. o! ?    //freopen("input.txt", "r", stdin);  * J2 j# E  G5 V6 |3 g6 [* T
        // 各数组都从下标1开始  $ G1 f+ j: N1 z$ g8 |9 |0 s* p* P3 f
        // 输入结点数  
    2 R8 M" q" Y6 H* U8 ^: p' T3 I' M3 T    cin >> n;  4 A; ^3 U9 v% g5 B# R
        // 输入路径数  6 @, w# I! J9 N4 b0 x
        cin >> line;  
    2 r  {0 l- b/ H" n4 ?8 j% J' l2 d    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    ! R2 w7 y) V% K6 R9 A, r8 M5 |    // 初始化c[][]为maxint  
    5 U6 f4 J5 |4 a# c  v, Z    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    ( Q( [5 J$ X$ A  d        for(int j=1; j<=n; ++j)  
      M4 A$ u7 Z  p2 y- m; q            c[j] = maxint;    W1 ~' Q- X' _9 F
        for(int i=1; i<=line; ++i)  
    , g/ X$ s2 X  V9 U* B4 t- A    {  
    5 P6 C8 s: Z) }( h4 `/ O& j# J1 r        cin >> p >> q >> len;  
    / W0 q+ r# m6 O, A( ~4 q9 u- N        if(len < c[p][q])       // 有重边  
    1 K5 Y; W& A, ^! h        {  8 Q5 f3 H8 Z& F. ?
                c[p][q] = len;      // p指向q  # Q) x7 k! [! t+ a4 v
                c[q][p] = len;      // q指向p,这样表示无向图  3 P, Y5 B; f0 o0 E+ X/ F
            }  
    / s2 T/ [* b8 C0 V+ n7 c    }  4 R8 ^/ M& q5 R9 y& p  j) {+ P
       for(int i=1; i<=n; ++i)  
    ; {' t& Z  h- N7 N7 p        dist = maxint;  # y  J' V7 Z. U  s1 n' I
        for(int i=1; i<=n; ++i)  0 \" }9 W+ R* r; B' @2 g& c9 M
        {  
    6 ^) G- T8 x) k0 ~1 H) h( Z6 @        for(int j=1; j<=n; ++j)  1 W5 p$ M& k& {" T8 d) J2 C8 s7 `
                printf("%-16d", c[j]);  
      o5 J( g9 E+ T/ e/ V$ ?, U        printf("\n");  " f/ H, z. o+ X! P
        }  
    ; f/ Q1 a( X2 ^5 {    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
    1 u" e. S; d, j$ m  7 f2 u! S; s$ T
    //    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
    ( g- T# z# L" u5 h/ Z6 T* [//    {  
    3 V* m. W2 ], Y3 y//        printf("%-16d", dist);  . c1 v+ s! q' o$ Z" S: L+ M
    //    }  3 L$ w1 ]& X1 D% b' p8 l
        printf("\n");  ( Q) s. N* y  @% t( [5 x
         // 最短路径长度  
    " s& N# {# }1 R5 m  P    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;    d  P9 k2 X1 t8 X0 L8 |' ]" _, Z" K
         // 路径    M+ R& N: G: n* a( _1 S0 D9 x6 o
        cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    % s: N$ V+ R+ q& t- e/ G% A    searchPath(prev, 1, n);  
    , ~' ]% z( b8 g4 X- F* ]1 i    return 0;  
    , H; c! t8 z8 `$ [$ Q8 w9 @}  
    4 I$ V4 a9 q% U. _  7 d7 `4 O7 N& l- R$ M7 z% O
      
    # p" A4 }6 J% [/*
    9 x: c7 B& W0 r" g  i- G3 L输入数据:
    , D( A4 Q* S5 X 5
    2 x0 |/ ?% V/ @' v9 r 7
    ! |* G* f" T6 O; x 1 2 10 5 g% e3 e+ s+ p
    1 4 30
    8 U5 _7 S$ ]9 v$ |* K- V+ u 1 5 100
    0 c4 T8 o) X5 Q7 _% \ 2 3 50
    1 w5 h5 c( t: { 3 5 10
    , K) ^5 ?% U5 ]' F 4 3 20
    ! l, L9 V; _& p( j" V 4 5 60 % w9 l; [) E. }: y, c$ I) A$ E
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    #include<cstdio>  4 y& ?0 f9 W% y1 H. n. W' O
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    ) J0 e3 q# O# @, Z; b#include<cmath>  4 B$ X+ B3 F) M' H! ?6 T2 m" I
    #include<cstring>  2 E2 }1 j" r2 H. t, e' ~9 T; @
    #include<algorithm>  3 c0 n9 g) `- _0 U3 k5 y6 n
    #include<vector>  
    : k, C* N9 D% c! P$ F#include<fstream>  1 V; v+ }4 z% J7 \9 r* Q* a
    using namespace std;  
    ' n; M$ C# ~2 P6 U! L( Q; N7 l  6 Q# w1 G  f: Y) g' L9 n( {# Z1 r
    //设点与点之间的距离均为double型  
    3 S  |( }/ t& I' _4 _6 w8 L( Edouble INFTY=2147483647;  
    9 Z/ S- y+ ?5 r  r! {const int MAX=1000;  / A' L  ], {5 o) G% g* u" b
    double dis[MAX][MAX];  
    & ?* z4 g, x* S1 P% }9 cdouble a[MAX][MAX];  
    4 B% P: b- k3 |int path[MAX][MAX];  
    3 q: v% I7 g/ Q7 Lint n,m; //结点个数  
      R4 R: ~7 d1 r# r1 Y% q3 c/ S  7 i- I9 V2 @  d7 ?0 e
    void Floyd()  
    1 h' k9 g# G# \+ J* p6 n{  
    9 n& D) v. e" H    int i,j,k;  . X  d2 B( y& A+ }
        for(i=1;i<=n;i++)  - A# @9 h5 f  T3 N5 U
        {  
    ; {; R4 H1 H2 y        for(j=1;j<=n;j++)  
    + v/ T5 a0 t& ~$ i7 r3 w, f        {  
    & r! w; s9 ^# ]3 z" ]; Z+ y: u            dis[j]=a[j];  : S$ `1 D, b0 {  |
                if(i!=j&&a[j]<INFTY)  5 [1 i0 T8 d8 Z$ [  J; n
                {  / ?; ~% D$ u# G8 Q4 w0 k
                    path[j]=i;  : [. {0 |- F7 n
                }  4 d% F% s4 I  q' i! M$ i
                else  6 v9 G9 @  R$ n: t! b
                    path[j]=-1;  
    & I1 C: G: D  V4 k  n) }        }  
    0 v$ l  y3 y! N. ]$ ]  o) W    }  
    ) k# y. k# ^" A+ v8 O# H7 P- n  : G3 l# ]) |: A$ b1 u, j9 S: j
        for(k=1;k<=n;k++)  + K7 B# b3 ~  @5 O) B
        {  
    2 j3 m9 u  n9 M! f2 W1 N        for(i=1;i<=n;i++)  
    $ X, [0 @+ l7 \. c" l        {  ! Z% z* v) z; A  p
                for(j=1;j<=n;j++)  * f, N  z2 N+ c+ f$ {! o1 q- l  H& Z
                {  
    8 N: f, W1 B+ U+ \* ?$ X- ^. b                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
    * o7 }& {1 b  S3 x  l" ~6 `$ c/ N7 z                {  
    . v) V2 M% u/ u6 V                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
    + l4 I+ K$ L+ L& J# m                    path[j]=path[k][j];  , e/ ?; |1 E7 v
                    }  
    ' ~6 F5 ]  p5 R/ j5 h- {            }  ( q; I3 v+ n$ s- [- B
            }  
    & n% Z2 S. U! P1 B! C3 c; m1 I    }  ! W% \, X" _4 F+ ~6 s" f
    }  
    ( ~" s$ g% t2 b, Y7 |5 j7 w  # q+ T" y) \. a. i/ D* [
    int main()  
    : ]; B' W( Q- e: t{  
    / l% L* J9 r) z% @4 ?3 [3 {    //freopen("datain.txt","r",stdin);  1 r: f! e& Z1 }$ g1 J
        int beg,enda;  ) o! j$ [1 Y1 p
        double dist;  / w1 J2 d% _$ ]5 S9 E
        scanf("%d%d",&n,&m);  
    ' A( N# `& Z4 A! E    for(int i=1;i<=n;i++)  7 F6 l* t, M* q2 [) w8 P
        {  1 v' h9 N; l2 m  A, g
           for(int j=1;j<=n;j++)  ' D, m7 F: }2 \. D4 G( \: g
           {  * @% ~+ v3 c( \" @7 c
                if(i==j)  7 W1 Q) v" `. ~) J1 q3 |
                    a[j]=0;  5 G$ Q3 f: E- [% O
                else  
    $ x- V9 m5 B' s4 H2 `                a[j]=INFTY;  
    ' I( z" C9 _  |2 s$ P3 g       }  
    ( w( L3 ~/ ^. C0 B& N* S) E    }  5 Y: W3 ~' e* H% M6 W. n3 S5 K
        for(int i=1;i<=m;i++)  , u: U  G1 U$ [; C1 P& C& U/ t
        {  
    4 }9 h3 t$ M$ A* q8 o; O& q  R* f' N        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
    + Y# D8 I. q) e        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  : S5 l& N6 Z( U* M+ l0 Z1 ?
        }  2 v6 J, k* x1 Y$ R6 |; _
        Floyd();  % k3 U, z4 f- O. t" h
        for(int i=1;i<=n;i++)  ( e, ^: u# x  s( o" _
        {  9 x# r+ k, \  D; k
           for(int j=1;j<=n;j++)  
    * L7 r5 ~) d' A  E* W# q       {  : C8 r6 d; G; S- S/ l- f
                printf("%-12lf",dis[j]);  ' b9 V% K! C- [
           }  7 L' b$ C6 z7 G5 x( q
           printf("\n");  
    * H, b& Y; v6 a# x3 ?- G7 B    }  ' U' [4 H4 C6 ~" S4 e, g
        return 0;  
    1 z- o" ?$ P/ [  @}  6 k' b5 R6 ^  E3 s% ^
    11 r! }, c9 X0 t9 c
    2, I/ w$ Q* n5 |+ z9 ~( P5 y+ o
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    ; R7 P) q1 l' Q版权声明:本文为CSDN博主「跑起来要带风!」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。: h4 a: q) D$ |0 ^
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