在线时间 1630 小时 最后登录 2024-1-29 注册时间 2017-5-16 听众数 82 收听数 1 能力 120 分 体力 557306 点 威望 12 点 阅读权限 255 积分 172565 相册 1 日志 0 记录 0 帖子 5313 主题 5273 精华 18 分享 0 好友 163
TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
6 A4 [. r; ?6 Z0 P2 \# @ 一、蒙特卡洛算法 ' k) P- u4 L: X; \# W
二、数据拟合 2 r1 t! t# e, q; q
三、数据插值 3 I. O( W3 D. G( C u
四、图论
! P; a/ x, h0 _ R9 e: I* V+ j0 l 1、最短路问题 " F% G6 E' L0 {7 e
(1)Dijkstra算法
+ y! ]( M) F$ f- p2 ~' A- ] (2)Floyd算法 ; C, t! u; B h+ F
1 R e( n# Q6 U' Y5 j
2 D0 v' U6 O% g- ?
1 a& B2 ]5 e- I* u3 C3 Q
- a4 j: w( g' f" u$ s 一、蒙特卡洛算法
8 Z" U& ?% x) C2 W$ [ 1、定义 ! M Y, Z' y7 j, T5 B& `
2 g! o$ `) h. \" w: H2 A q
% o) i4 d$ F) r 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。
/ ^7 U) y/ F6 i; w2 M9 E
+ Y, O G& Z' U
/ G! Q! h4 h3 Z0 T* n( \
E2 T0 d: U( Z& A8 Z 7 t# u0 ?/ C* k- T k& ]) Y! g4 O
2、适用范围
+ G3 D5 \' V7 x* G; ^8 f
( s" B% R8 u6 p+ T" |. c }+ Z
3 t' J6 A: S- q2 L' O 可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
* ]' c/ i' L+ H$ P
4 `7 x, `& B/ }: m " `: J, T7 w3 u. L2 }
2 @. G+ b8 s2 P
2 P X1 { {+ M% V; J5 Z
3、特点 & u1 W5 N$ A& a& ^+ F- t: R: D' H
4 A9 G* z$ A' c, Y : @* E1 N$ u! B! f4 {7 U: q; `
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。 w0 A: j2 r% r1 T* w9 }" F
% L1 n: L% n/ e! m 7 P) w: E+ m. }* P6 U
7 L$ `( N1 _# d! e( ?8 ?. v
7 a8 j: |* v8 |& |3 h0 h
4、举例
4 @* r/ R7 O1 F n- L
9 ~" T" D) k/ P& i, v, `8 A- y, E
* Y. ~) t% x/ G" i1 ? y = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。
) L( D" ^! F9 S0 Q0 J1 U, k
- v: _& `% n9 r) @+ g , D% T* j* ]: `* ^- }0 S
9 _& H0 e, C4 P5 i# W4 V' K% u- x
- `, i( F6 j% n. O& i- S1 i; Z7 n
(1)作图 2 h6 f% c5 ~+ Q3 W7 ?; z
0 W2 R$ D* s6 V
4 T+ M; L7 A. s Code:
- p$ Y4 L% l3 E$ P$ k" {' f8 C
U- v7 [0 ~: P7 @ `0 T0 w2 j* m
%作图
+ f' {2 I5 L$ x% k9 O& R3 p x = 0:0.25:12;
: L2 P8 j1 E, ?! I+ S y1 = x.^2;
/ [* h5 l8 e, T* q* Y3 r y2 = 12 - x;
& A: C* n/ ~' I+ v6 I plot(x, y1, x, y2) 7 J1 }& {( f5 L4 X" ?7 g
xlabel('x');ylabel('y');
1 g2 `# L6 x& u5 l! U/ z- i %产生图例
, T4 X. |( ]7 o3 L legend('y1=x^2', 'y2=12-x'); & h- e+ H7 `" H7 M8 U$ s
title('蒙特卡洛算法'); ' d7 `4 B& W- }: D- `9 E1 x
%图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
8 p% M) o7 L; ^0 E' t# ^ axis([0 15 0 15]);
) |$ P" Q! w4 W% z I text(3, 9, '交点'); ; E$ z2 Y4 I, S
%加上网格线
' {' I) i+ K# h# [* n! {+ U grid on 2 M4 V3 D0 q$ M% W
1
; W2 O0 W& c* j# A+ v 2 7 G7 p( g+ Q* \# w
3
3 A! G, S! b! h3 x 4 0 a1 `! A0 E$ ]$ { f0 r
5 2 w2 O1 ]6 R* p
6
5 w7 \4 B' z. ^ 7
- c! y6 \ |7 s4 I& t7 \% r 8
9 L4 q. ]4 j/ u8 d 9
+ U1 q; f! U' ?, U( |, Q 10 & _8 X7 k+ A3 f& g* P+ ?
11 2 R$ M5 O; l7 n* ^4 S9 p' R
12
1 P+ r' T, {* ^( R( _. k7 H8 _ 13
7 {# W1 S4 ?: K" p 14 F, q& J2 p2 b
3 i, {% K8 }6 W7 N2 k 0 W6 u( q( ]7 M. E
(2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
8 H6 [5 m7 E. G- C0 B* @ i9 W0 u2 c2 Z/ b v
% N$ ^8 A' h* _+ S/ ]& q( Y Code: , ?( D4 V8 c- f i; k7 i- u
, l7 o% `: D G, }" S0 y 5 c: ?- D0 }0 n
%蒙特卡洛算法的具体实现
, t( t J m$ g u %产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取 . r+ \# O# r/ Y2 n
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]); / A8 [+ u8 b+ K; J b! E. {
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
9 [( }8 k. d" i- c* @( S) U. | frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
2 Y( z, s+ j) X1 ?: N, u area = 12*9*frequency/10^7;
9 b' {- O: b8 x/ r disp(area); $ T( d+ p, W, t9 z' c
1
4 g& A% d: c: }" l3 U6 I 2 - x) q7 z0 V/ P% u
3
# C2 L3 u% v7 ]& p. n. ^5 Y 4 : `( @' O$ |: R1 p
5
. p$ I& _! G. F b8 F* e, Z 6
0 E+ M6 s$ T7 e# n5 U 7 7 W" X( j4 s$ S! Y, s
所求近似值: # P5 w3 y' t5 t$ k0 j ~
! @* M3 X' G2 l, B6 ?
+ X4 s3 [% a$ c( u
- {# V9 D; ]' D! o* T
) H# [) U+ C3 L Z/ k 0 q6 Z3 d, n: c3 n" g
% I5 S) [1 d$ p3 t+ Z- l2 Y1 X
参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
. ^5 ]0 _( W( z8 Z% m& o 4 v; k& Y6 Q' K4 G( d, H2 F. @
2 H" `' s8 v' l% {! |# d
" q: w T- V. k+ q+ H ^# V
" b9 m% a+ ]1 x: ? 3 U6 p9 A, y* D# i$ T
, b; P) b1 j" S) h& Y7 ^ 二、数据拟合 ( x# `, ~9 \9 z" j- P
1、定义 5 R- _. O6 C. `5 ~: Q
+ |; U: k8 s: r2 H: x1 r3 @, H
6 h0 R* n8 K2 q 已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
/ B2 \" f k; d1 j7 N 3 v7 e7 }/ O- n$ p
* z2 x% G' O2 R8 x0 p
+ Q( p$ x7 Z% E* t
6 |) I5 ^7 ?) k1 [9 i
2、常用方法
$ @2 |4 q5 y) p7 _: W; g / v. c9 u- P6 O" C: _- m9 N
9 a- L2 @8 k8 b0 k9 F6 s! X! b# L ^ 一般采用最小二乘法。 ! I/ R/ o$ R) ~5 X; [$ K8 K
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。
+ m$ G3 h# {+ j) C8 E $ U% w+ F" v+ n0 Z$ Q T. q+ a
5 D- W! j- x% t8 a( ?4 Z 3、举例
( Y- {- S7 \, v7 r' M
1 m4 K* g4 H* k, v
- ^" Y( v$ K6 M" u2 T0 u( ^% F (1) 数据如下: : Y `9 E2 Y' w
3 f" |- t7 \5 B& h6 k7 H
0 @; A5 V- j% t1 k 序号 x y z - C2 p8 J1 g, s. [
1 426.6279 0.066 2.897867 2 L0 w( U1 g1 V& Y# g1 z
2 465.325 0.123 1.621569
1 T& _8 x' B! g5 d4 H 3 504.0792 0.102 2.429227 ( U$ d: b4 ~. z
4 419.1864 0.057 3.50554
7 L T; v$ A% N& s7 l 5 464.2019 0.103 1.153921 $ K* P0 `: `* s/ a9 L! S
6 383.0993 0.057 2.297169 # C! D" x# v9 W% i2 t/ g: N
7 416.3144 0.049 3.058917
" U5 T& f" v% ~5 N1 S1 ^: N 8 464.2762 0.088 1.369858
5 L g0 q& W2 X* _/ f: i 9 453.0949 0.09 3.028741
) j- x! y9 @# i9 J2 X 10 376.9057 0.049 4.047241 , n, ]/ d# ~. o8 c5 r% c
11 409.0494 0.045 4.838143
0 ?3 e; q! x9 S; R( Y1 r t 12 449.4363 0.079 4.120973 + d; D& |! f. [. ~+ \
13 372.1432 0.041 3.604795 ; N2 }# J9 E& D/ d" u# R
14 389.0911 0.085 2.048922 9 T7 | ?. w4 V) C( `
15 446.7059 0.057 3.372603 3 ]. [# u @4 U x- |1 O1 @0 N
16 347.5848 0.03 4.643016 : Y" g) Q9 T5 c A/ {% |
17 379.3764 0.041 4.74171 2 l4 d1 h# `8 ?! y* R( Y
18 453.6719 0.082 1.841441 , |8 V6 A" o. r0 K
19 388.1694 0.051 2.293532
$ W* k$ _" `; w2 o5 ]8 {( a 20 444.9446 0.076 3.541803 9 u! E, \$ M' M7 E
21 437.4085 0.056 3.984765 4 `* a# n- r9 n0 c% B
22 408.9602 0.078 2.291967
% s5 }8 x7 i% q 23 393.7606 0.059 2.910391 ( y, x, E8 A" N9 A: L$ |
24 443.1192 0.063 3.080523 ) |7 j, z4 m; p0 o! L0 u& H
25 514.1963 0.153 1.314749
4 `- r9 w$ @- J/ K/ P$ G9 t 26 377.8119 0.041 3.967584 * ?3 H/ [) T- Q7 p$ ]4 K
27 421.5248 0.063 3.005718 / R! t9 |: ]6 r6 [. t/ U s ]: z
28 421.5248 0.063 3.005718
5 g2 m4 @$ A, S. E8 D 29 421.5248 0.063 3.005718 # _6 I4 T% f* E& z
30 421.5248 0.063 3.005718
; E c) F! {; S* [$ o5 _. T 31 421.5248 0.063 3.005718
8 {2 }0 C# j ^3 t2 `" ` 32 421.5248 0.063 3.005718 1 b, v8 L7 O6 m r; U
33 421.5248 0.063 3.005718
' [. I+ h8 O e! ?' X& v2 R; v 34 421.5248 0.063 3.005718
! N7 D! u, A) b1 n8 J: `( z+ D 35 421.5248 0.063 3.005718
$ G5 M; x# H* j 36 421.5248 0.063 3.005718
0 i( J2 a: K* Y" ~; } 37 416.1229 0.111 1.281646
1 t$ V k. d5 a0 V8 g6 ~8 o 38 369.019 0.04 2.861201 / P% S3 ? C1 M
39 362.2008 0.036 3.060995 $ f8 V7 s" b! L: O
40 417.1425 0.038 3.69532 % N J( u) a) E9 i# L7 q3 G. ~
1
0 D( {6 z3 U1 {8 T 2 . T# I2 z; z9 i# {1 G ~. }
3
" G) z% H* `& _0 F+ A 4
& m+ n5 r u' L( P 5 $ R# |6 w$ f+ ^* q2 W7 q7 q1 s; ^9 Z
6
; v2 u# C3 ?% t 7 2 n$ K# U( G. V7 }
8
6 p* A! X2 u8 V V. C 9
* W/ i; ^& o# d! ?4 ^ 10 ; Z* F8 D N8 N
11 % z0 z u9 x# n0 R
12 7 p7 N, | ]( C2 }
13
+ J, w, B3 W2 O# N8 C+ X2 w, ^ 14 # A0 {$ Q. y' Q2 i/ z% d# A
15
4 O4 [* u$ D- X+ ? 16 3 w3 J* a& W0 n: g5 l/ p; m
17
- y6 n0 z. Z2 j: ]1 d$ L 18 8 p0 f2 S; x6 Y }9 e, I
19
) k% z' w# e! p% H 20
" S Q; C6 \( p. r 21
2 R/ p; P6 R4 k) \ 22 % v5 J# o0 r5 N& G" |8 J
23
% _. U3 r7 M) S 24
9 A9 e/ v+ Y$ O" [" \2 B 25
5 Z4 a- F) y7 U, Z# x 26
: E) O8 [5 V# `" g% C 27 7 H8 D& f! a, I/ E. m2 l
28
; B& E6 o% l7 P# U* g 29
! J. t, M& [ h8 X5 L4 l 30
0 x* P3 e8 Y5 D n 31
4 E& }" _' _6 S: N' g+ T 32
6 O& W, N X5 a q0 ]- N. H 33
& c8 ]& c& m8 e$ F9 m 34 ) d: P, i6 n! Z8 E6 C5 v, p
35 0 a, }% \3 A4 \9 w
36 & a* J& M! c, U [) y' f, |
37 ; I8 x! ~5 k7 Q) H
38
' m9 `7 a ^/ {0 O# [! h, y 39
; j( Z7 ~; E1 E9 x4 H% i$ p$ r% N 40 4 k) O( T0 B1 b" _5 Z7 S
41 1 G) i. T, P* g3 \
0 H% K6 h; {* Y w: R' z
' Y1 B5 K5 | @4 F6 R8 Z (2) 方法一:使用MATLAB编写代码 7 s# c9 [* G! ^
1 B, j# F1 c* O" Z5 X" E
2 M, a& t) n+ g' r/ i4 I6 r
%读取表格
! {5 }3 {6 s! c8 [- g U/ E# c A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
- @) e# ]4 \9 e2 i# [! @ B = A;
8 U' Y; @& d9 B/ Y' ] [I, J] = size(B);
. }0 I+ L; |0 }& V8 \$ E 7 }6 Y. ?2 N' M6 R: m
%数据拟合
* w8 _ u4 Z4 k |( h8 ^3 s) a% w %x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行 ; D7 E! X2 _1 b5 Q4 {1 k
x = A(1, ; ; ~' D8 l K( R
y = A(2, ;
3 J( @( V* X2 V4 A6 B/ ~4 A %polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标 ( k; |% @2 k* K# @
%第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数 4 i* q. @7 T5 z& V
%返回值p中包含n+1个多项式系数 - [$ C7 x6 m, W( V O9 g
p = polyfit(x, y, 2);
v7 V' [9 C; f- F9 g6 j5 ]0 u disp(p); ( b; ]( U$ t/ C0 ~$ b) a
%下面是作图的代码 : ]: D3 l0 ^, l6 }+ @& o- u; N5 z
x1 = 300:10:600; " ~* h2 o. b; x' _$ g
%polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1
5 U( q) ?2 W7 M* ~5 M( d, c" @ {( ` y1 = polyval(p,x1); 2 e' N7 ~9 R( R) H; J; q( _8 X ]
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b'); 8 u5 V+ \/ t6 b
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x'); $ n4 k" M8 a7 X. X# x1 i0 Z0 z2 `
%figure(gcf); * M7 N" n$ F2 \- p$ Y+ A! I+ G& k0 p
1 A& ^" U, \: }9 r9 A4 [! h
2 4 }! q0 T5 d- ], f2 e
3
9 t) f% g5 V. L4 e 4
8 k4 |+ N) p) F6 b 5 $ ], u. _ l0 U- o
6
% T" q `0 e! @$ r5 O" O% i( Z' I 7 0 p. X. G5 E! L& j; G" d+ G
8
. L! R# m& R8 L& ], U1 J3 \ 9
; \9 D) B( n) b. Z( R7 b* V 10 , s+ B7 {) V5 T7 s" O
11
6 Z8 Y+ s1 [: O8 O* Y# f& w1 p5 k 12
: c+ d9 {8 C( B' p4 S 13
$ N t, o/ P" h7 i7 X6 C* |, ~ 14
! t. m& B! |% J" N! p5 O 15 8 H0 Y2 V2 Z5 _- b2 p
16
' ]( E# B& |0 H: n$ A) ]6 P 17
' l1 m2 D+ y8 u$ K: }1 L 18
6 ~) f9 ^0 y- f/ F X. _6 X) a) m 19
$ A# ^/ u: s7 l! ^ 20 3 c. R: d) u0 Q% J& Y1 `
21 . |; k: B7 @) y! T1 C+ R
; G+ {# Y6 [7 d* K2 Y8 Z! |. t* G * }/ c2 w/ F+ \' S% e: f+ E
(3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐)
2 r% f3 J, m! `2 a) ]& X/ L# B
, a$ | E$ O7 A0 z6 p% l / ?: D7 J: `8 U7 k; {
, ]. t- O# l+ x7 A/ M0 ^
% I4 j4 U1 Y f& } 将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包 . X, L0 K8 ?6 I1 p/ i
( ~) K _+ @3 R3 ] + W- U+ b+ V" h8 Q% r
$ a3 S. W+ |- O
1 F- W0 _& ?& v2 \! G 选择x、y变量
# ]) P9 D+ }4 M0 h3 P( u
5 x0 x6 A, I* w% I
6 W6 S' t# f+ E0 n 9 t C- z( n" x0 J6 Z
+ `$ e. l+ P; C; z" D! |3 ~
选择拟合方式和最高项次数 4 a6 }* m3 ]0 x' f5 Z" w6 q$ e
1 i2 \: R6 t. N8 A# w% A7 k2 k) K
* a3 J I- T% {. ?7 V) D
! q5 m; r5 k( Z
$ s" {# U- p. y" D/ p7 ]' B. c: u 得到拟合结果 % [- C2 @, Q! o- K% P# [4 |7 F( ?9 l
2 {6 ]4 \ z# A4 d 9 d5 A! c' b, h4 J
. y! g, h% i! b
2 X# i0 _8 \! P( L# y; h 使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。
% o0 J8 F* w9 p; [ + M7 ^( U1 p" r
$ O9 t7 _+ Z0 O$ c/ f: T " w2 g& {, G% \
/ T- N1 t6 u4 F6 i, w ' x# n2 g2 F; Z
( y. ^/ l. y& a1 u6 j
三、数据插值
/ e+ E5 `; S" l4 |, [- h 1、定义
" }5 X5 D, ~6 ]: F
8 K9 G% B1 v1 Y4 A" w9 p3 S + l$ F F* k. |
在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
' G6 [8 [3 N, b% p6 H - [( w" L6 G0 @* e4 E; R7 _
" Y; V$ Y$ r# g1 r! p6 ^
从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。 6 _/ Q- [. ]3 c% {) M7 X
/ q$ _, m( ]) L# X
. Y6 X2 e( V( t, c4 V
4 ?2 F. X8 D* Z E ) N! T" x/ T5 d# \
2、作用 9 Z5 v8 v5 }7 R' Z3 s3 s+ m% Z
$ t+ k4 U+ y G/ T2 ?6 H- R ! {4 |" B1 M& H" }- d5 p
插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
; R4 \- t+ I9 _8 r1 p% \ / v: r, w0 ?' Z4 I, E" I
* Y7 ^* |4 h* V, Y" I, Q
4 R* E H* m0 N( W# O2 I/ Y2 ~
% h# J: p" B4 _+ S$ b 3、举例 0 `6 Y6 ]3 Y/ H" \9 S
2 b$ p# h; T- S1 \
* n7 X0 I3 E) h$ I7 M) |7 L %years、service和wage是原始数据 2 Q" R$ X0 \ E; L, k8 W
years = 1950:10:1990; & w: {2 Q- u3 S, i2 M5 D/ Q2 H& Y
service = 10:10:30; , d* M) E9 \, U0 T
wage = [ 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072; 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505;153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; - c4 K! D- M# f* V
[X, Y] = meshgrid(years, service);
7 ~5 M0 ]. M/ h % % 三维曲线
) I! q, X' P% U7 t1 A- E @5 R % plot3(X, Y, wage) + O2 I0 W& Q1 [0 o0 e1 S( W
% 三维曲面
& w% ~; i- `6 A+ A2 ^; r% W figure
) F" E$ d# k1 b8 r% B& m; X surf(X, Y, wage)
5 q. [# _5 C o* E %interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果 7 K; ^4 o; E A# N$ \3 D h
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
* e& U J3 F/ X! p 1
+ a8 ~+ F: W7 [! ^( @: c* U" @' N 2 7 a* K' s: ^7 ]9 x" P V
3
$ d0 R9 N5 N6 l8 y2 ] 4 + u0 ?) C7 z O f& ] `4 v. h
5 8 y+ R* u; B/ l6 h* T% d' N1 v5 `
6
, r7 P0 `' m% g0 W* h: U2 A 7 / |4 C) \) V& d! V+ M
8
: S- f" O+ D4 l& @7 Z8 R+ x 9
- H/ m# k$ c( E0 {; l1 B! s 10 ! s" U, x) F8 {3 L: ^% y7 q
11 3 G& _) F( s, W1 K8 w& I- O
12
/ U& d( V% E" Q1 K* Q ; g9 m$ R* U+ y, N" V/ M2 J
3 {( {: E- l3 i( ~8 J
+ u5 K! }% t* i! L* L, F
5 D2 `1 A" _, s: F- X 可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合
5 Q/ C' w2 K- v" W/ Z3 J ( O2 k& y" K8 R: j6 g
3 p1 ^. L& f; i/ {3 k, { $ ]3 g- z" j: M! m1 f: t
0 P; F5 D% J' e1 T/ Z8 y$ A3 c. A 7 ^' v6 H' k! \0 d, h: J
# B1 b0 q/ ?) R- z# X
四、图论
* X$ \5 g8 \, d+ }9 }/ c3 S 1、最短路问题 9 Y8 S& g% w5 C: B( R
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。 ) ]; z$ Y! L( G0 M2 l/ d6 {7 ^
$ G7 b2 E9 c9 F3 X6 `- R' `' P
& u% i& V7 X2 Q: B: g( h 例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法) 3 n) q- X" I6 j1 K) O" Q
! Z! M3 E& R! g" p3 K2 `* J
; h w, T) O! v 具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
# f* }$ L/ }8 y- f
) x1 a* ~2 B! v8 P
( W/ S3 W+ J, H' J3 s' X " U( y/ q4 {$ J X. W' r
! j W: h; ?$ q! V; ]; X) u2 G
(1)Dijkstra算法 # x2 }: `# ~3 X( e4 @: j' r- g
先给出一个无向图
1 @6 w/ P, d1 h6 S2 `5 P* M$ S8 a3 {
% o9 y5 B, k C0 t$ |/ H. L0 D, m
# s& f3 v- N2 Q2 P, t! y
( y! {1 x! c" D: c- {1 V4 f " W% ~' e M8 `
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
# M# K, h) ^5 V L, H. c& V& G! j
: D! w$ m! p+ G( q& ]( s + [+ @& o' ^* D5 p
2 s# y3 r1 U, q# u$ ~+ f$ ^, m+ j% [ 4 s& b0 {1 H9 B6 M- R: V& E
0 F* r- }- C# a: `) q 0 l. ]! q+ J5 J _6 {# i
代码模板:
, b/ L1 l7 `5 N' Q9 s 6 B6 F8 X: n0 o4 e. F
3 e& ~* u$ j$ q7 v. p$ G
#include<iostream> 8 v0 } x6 ^" z
#include<cstdio> : b( D2 T/ y+ B: x/ G
#include<cstdlib>
! P! g2 x8 F, n$ n+ Z6 | #include<cmath> ' B. a/ k# d7 N! M) h! J
#include<cstring>
( k5 H6 T; | f( V4 R2 P #include<algorithm> 9 t, O" }. S/ L* l% z/ L: `& l& ]2 k
#include<vector>
: D# N5 T# f6 A. T+ x/ V #include<fstream> & `, L$ o. E8 d7 u# T
using namespace std; 3 a* g/ x, \3 Q( w' F9 x' A
2 C$ ^! a5 k. ?7 V+ W3 r5 A
const int maxnum = 100;
0 D0 P; X6 h3 F; s& G const int maxint = 2147483647; , j: A) F6 i( L8 W( d' G$ l5 v
int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
. q- ~& A$ H" k: j int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点 9 c; p8 w: j% M+ I2 b; g
int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度 . d3 [6 p# P; h: f+ V
int n, line; // n表示图的结点数,line表示路径个数
0 C7 a+ O0 ]1 O" M" S void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
: a( A" E/ n4 B) @# o7 _ {
2 \6 F( R; p0 P* E6 i3 w# s0 K& |6 O bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
9 @/ ^ v$ _7 H5 O; U+ A for(int i=1; i<=n; ++i) Q; D2 h1 Y5 K b2 B ]
{ 5 {4 o; L" O; u( T4 T' C/ p- T3 D
dist = c[v]; ! ~0 ?' t; J2 K, P
s = 0; // 初始都未用过该点 # X( I9 Q9 n4 V0 p
if(dist == maxint) 0 c! p+ `- p" m$ I
prev = 0; & q" g/ z, p9 d4 _& ~" p7 l3 c
else 7 P7 i* s1 y0 v5 Q
prev = v; & w1 S: D4 v, E: L; Y
}
4 @% b3 ^) s" H7 X- n dist[v] = 0; : c6 B1 \7 m m. w0 j& o# L0 z y
s[v] = 1;
. |0 n+ W8 \4 Z" t 1 N9 H" a) E! `# j% U
// 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中 8 W2 G( j- a5 o+ n$ F. e
// 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
O+ n8 M+ d z; [3 | T for(int i=2; i<=n; ++i) 1 e7 z+ g# K( w9 l9 m. N
{
* {8 _, h- t+ C int tmp = maxint; * V5 m( W# A3 i \
int u = v; ) N, A3 m/ \$ N: ]" z! [
// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 0 z! P9 {4 ~' ] z
for(int j=1; j<=n; ++j) 9 m9 M' ~1 n# I+ g7 O4 j* O
if((!s[j]) && dist[j]<tmp) ) I9 ~$ ~: T# ?' J' y( e
{
/ |* g! Y0 @* q2 _- x4 p" p7 v% ] u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
: x+ C7 m! }2 E7 L4 X tmp = dist[j];
, N- e9 W% G0 s& J } . J* M( `; m: _: }4 c1 |
s = 1; // 表示u点已存入S集合中
; F( D9 i, `1 R6 E* f5 N
# \/ k3 R. S6 |8 y7 b, v // 更新dist $ Q# [+ M% @8 i+ L6 b1 g9 f: P
for(int j=1; j<=n; ++j)
, x$ v/ p( d; N) \, _& o7 u if((!s[j]) && c[j]<maxint)
7 q2 z, P7 C4 ^# X g# z5 w {
; O5 z8 j3 o5 G1 S7 u int newdist = dist + c[j]; % ^# l7 _4 m& H) O. V: K" L x
if(newdist < dist[j]) ' A) o& d5 V& i$ V0 a$ p* W5 Z
{ # q2 Z5 s3 |7 s& S, N' A
dist[j] = newdist; 7 g3 z! t/ |0 L9 ~8 z9 `
prev[j] = u; ( N0 k4 T: R" A+ W5 U
} 7 g% k* x" Y( a4 V+ X* H
} * H# M- {9 \$ }1 h. b$ }
}
: s& v3 `# z+ x( C3 h } , T' p& ~: u% g% a
void searchPath(int *prev,int v, int u) 0 l& r/ Y- `6 b) s! N" j
{
: t j8 e. |7 y' o* D* r6 i2 A int que[maxnum];
, D2 Y$ c8 { d: R- k1 L int tot = 1;
) ^1 _, C/ q8 M! Q7 t: w2 d) i que[tot] = u;
2 c, N2 M- ^8 d6 Y tot++;
2 Z' _4 {% G9 F int tmp = prev;
' Z; j6 i$ E; R/ V0 X$ g4 V3 u while(tmp != v) * y- r8 d9 y ]! r
{
6 {! g- _, D2 J2 o4 F# ~ que[tot] = tmp; 4 E* x- E4 u- O! T l, o
tot++;
9 g6 Y# E) r! j# |8 b. E tmp = prev[tmp];
8 d: q' J) w6 H. ~8 s, A; V* P/ b* e } - Q& Z% W2 j- U6 }3 H5 N
que[tot] = v;
& e$ s0 ~! m8 \' a/ c/ J$ T) S for(int i=tot; i>=1; --i) , Z# n) Y- S3 j7 {9 N+ s) f+ r
if(i != 1) % ]% p" ~1 n- v4 V( [
cout << que << " -> "; , Q. Z1 O+ ~0 J
else - A; {: E" U; o( J+ `3 L
cout << que << endl;
" h+ V/ U( D+ Q% [8 R- B! V& n } ; [2 d; D' Z' W" E/ L& \
; r( P9 D' ~% D* q
int main()
' i. J& r2 n/ y0 f/ U {
' `/ [, ~- V5 H2 G. o! ? //freopen("input.txt", "r", stdin); * J2 j# E G5 V6 |3 g6 [* T
// 各数组都从下标1开始 $ G1 f+ j: N1 z$ g8 |9 |0 s* p* P3 f
// 输入结点数
2 R8 M" q" Y6 H* U8 ^: p' T3 I' M3 T cin >> n; 4 A; ^3 U9 v% g5 B# R
// 输入路径数 6 @, w# I! J9 N4 b0 x
cin >> line;
2 r {0 l- b/ H" n4 ?8 j% J' l2 d int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
! R2 w7 y) V% K6 R9 A, r8 M5 | // 初始化c[][]为maxint
5 U6 f4 J5 |4 a# c v, Z for(int i=1; i<=n; ++i)
( Q( [5 J$ X$ A d for(int j=1; j<=n; ++j)
M4 A$ u7 Z p2 y- m; q c[j] = maxint; W1 ~' Q- X' _9 F
for(int i=1; i<=line; ++i)
, g/ X$ s2 X V9 U* B4 t- A {
5 P6 C8 s: Z) }( h4 `/ O& j# J1 r cin >> p >> q >> len;
/ W0 q+ r# m6 O, A( ~4 q9 u- N if(len < c[p][q]) // 有重边
1 K5 Y; W& A, ^! h { 8 Q5 f3 H8 Z& F. ?
c[p][q] = len; // p指向q # Q) x7 k! [! t+ a4 v
c[q][p] = len; // q指向p,这样表示无向图 3 P, Y5 B; f0 o0 E+ X/ F
}
/ s2 T/ [* b8 C0 V+ n7 c } 4 R8 ^/ M& q5 R9 y& p j) {+ P
for(int i=1; i<=n; ++i)
; {' t& Z h- N7 N7 p dist = maxint; # y J' V7 Z. U s1 n' I
for(int i=1; i<=n; ++i) 0 \" }9 W+ R* r; B' @2 g& c9 M
{
6 ^) G- T8 x) k0 ~1 H) h( Z6 @ for(int j=1; j<=n; ++j) 1 W5 p$ M& k& {" T8 d) J2 C8 s7 `
printf("%-16d", c[j]);
o5 J( g9 E+ T/ e/ V$ ?, U printf("\n"); " f/ H, z. o+ X! P
}
; f/ Q1 a( X2 ^5 { Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法 ijkstra(n, x, dist, prev, c); 其中x=1,2,3,4,...,n
1 u" e. S; d, j$ m 7 f2 u! S; s$ T
// for(int i=1; i<=n; ++i) //dist存储了源点到其他点的距离情况
( g- T# z# L" u5 h/ Z6 T* [ // {
3 V* m. W2 ], Y3 y // printf("%-16d", dist); . c1 v+ s! q' o$ Z" S: L+ M
// } 3 L$ w1 ]& X1 D% b' p8 l
printf("\n"); ( Q) s. N* y @% t( [5 x
// 最短路径长度
" s& N# {# }1 R5 m P cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; d P9 k2 X1 t8 X0 L8 |' ]" _, Z" K
// 路径 M+ R& N: G: n* a( _1 S0 D9 x6 o
cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
% s: N$ V+ R+ q& t- e/ G% A searchPath(prev, 1, n);
, ~' ]% z( b8 g4 X- F* ]1 i return 0;
, H; c! t8 z8 `$ [$ Q8 w9 @ }
4 I$ V4 a9 q% U. _ 7 d7 `4 O7 N& l- R$ M7 z% O
# p" A4 }6 J% [ /*
9 x: c7 B& W0 r" g i- G3 L 输入数据:
, D( A4 Q* S5 X 5
2 x0 |/ ?% V/ @' v9 r 7
! |* G* f" T6 O; x 1 2 10 5 g% e3 e+ s+ p
1 4 30
8 U5 _7 S$ ]9 v$ |* K- V+ u 1 5 100
0 c4 T8 o) X5 Q7 _% \ 2 3 50
1 w5 h5 c( t: { 3 5 10
, K) ^5 ?% U5 ]' F 4 3 20
! l, L9 V; _& p( j" V 4 5 60 % w9 l; [) E. }: y, c$ I) A$ E
输出数据:
; H7 c( I A' M* V7 `, ?( r 999999 10 999999 30 100
7 l1 y- I, G) [0 I6 { 10 999999 50 999999 999999
6 _1 |% h. j" b+ ~8 j0 z6 D 999999 50 999999 20 10 5 O! D* r! o8 s7 Q
30 999999 20 999999 60
) z! _" W7 {3 `, W! j* v7 [ 100 999999 10 60 999999 $ H) G6 F& u9 a' y1 t8 g
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60 # [" y( e& @5 H9 H
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5 T Q5 `/ K" Q/ F5 k! `+ E/ T
*/
1 u9 a0 s4 d# G2 v/ d# m 1 ! s7 a& f6 Z6 H5 \, x1 F7 l7 v
2 ; q: _2 j- V. p* o
3 1 L( G d g4 G/ |8 }
4 3 _! |4 H5 o6 d" ?7 T
5
3 D( ?6 R Y f1 c1 F 6 4 u2 n& _0 n/ w8 @3 w- I; `3 R
7
& d* h& d0 L7 O: a9 T3 r: y 8
) J* H. ~8 x* W0 x 9
" y0 y `' \: U5 P' ^ 10 % l0 Z. L" K, H# @) y5 g* |( Y
11
?/ y! ]0 b" O# O) g 12 3 }0 E! U7 B! s( x/ v9 [
13 % f2 u8 ?' Y' u; m* o5 S& B! U+ l, I
14
7 t4 K& Y+ \/ F 15 : f- v# V6 g8 B3 V( O- ]& C. `
16
4 w6 {! ~8 X& x* s# \' s7 ~ 17 ) }+ L" q1 Z" ]2 l x
18 0 e5 P0 Y0 F y
19
" D6 r' A% v; ?7 P2 }( x 20 $ }) J+ ^- Y, @) b4 G
21 + e# U& J' ]# M8 v6 [
22 ( y1 F* T L/ A7 x% D- w o
23 5 _- q: `4 ?4 F3 }& [( q5 j
24
: L, [" n! I8 A$ M+ }! R) I2 R3 w C 25 1 ~& J+ {' \/ N7 [- P
26 , k& X5 N2 c% O7 H& r. \5 F
27 ! k. `0 a1 G" p3 `" h
28
: z+ L* B, M- t- u0 D 29
G4 `- Y) x) c' h: H- z# O 30
) j" e- J# O3 R4 k 31 8 B2 C1 i- I. B: p" y
32
: |* y1 Z! ~* T8 D1 z$ M 33
# B8 J/ p0 i& S% r1 F 34
" x, z! T0 R: {4 t* G, q5 Q i 35 2 ?; M+ n3 Z% G$ i. Q4 Z; _8 M/ q8 v
36
4 c) L: I$ R" u1 A 37 & e# d( w: c7 O3 H
38 8 w" c/ u2 v, `2 f" p' A
39 4 v$ T5 _/ G$ ~4 S8 m1 U/ g
40
, v3 q) t9 n/ y9 |$ E7 r 41 ( m4 T' m1 q- [' h x
42
4 ]$ X% g0 G6 I3 g& K 43
" t; ]# g7 |' Y3 \9 y0 u 44
0 [" B( T0 b4 u# l* x7 _3 S 45
& W7 B3 } z6 S4 _+ R0 }) b5 d 46
# p0 ~/ f% k# m y3 I 47 : ^5 v7 Q! F$ k7 w* M. y! y' c
48
; F5 G+ @$ x T( q8 ~2 A7 H. J 49
( L+ s2 r: r: B& b* k 50 8 c: K6 h: }9 B* Y& F
51 2 l w1 p S8 C+ ^) ]) s
52 $ q& i& _) D% r+ N
53
2 R& [" O$ {/ o+ Q0 b' i7 S# p 54 0 t L/ h Z A9 D7 K
55 3 |, W1 e: ~$ I7 q
56 4 f7 H% W( R4 R* S" d
57
# S) R: ]6 ^ r3 W6 e4 J 58 M( s( t% d# [" O0 @
59
, N3 j9 m3 @# O4 S* Q 60 ' f6 H; Q2 ^& X, l0 a3 E& C
61
9 _+ h1 a9 C' _; P: U' ` 62
3 Z7 y s! K% J% Z: b 63 - n- z5 \* W; k2 e; S# x) N
64
6 U3 z3 V7 O* u 65
) _+ l7 z. H; Y 66 ) @" d6 ^; D* c. K2 H% o8 p# Z, w
67 ( y: R7 `# \* i5 d
68 ! G0 j. z" `8 W% s+ T4 d8 B* H
69
7 X" J. M# A" j0 r) g4 V' t8 C 70 , ]8 y [6 b$ `- W) I0 W
71 % T5 T+ d" S6 @1 ]' [) w
72
& I" a! S; C, Z4 `+ m A 73 ) W$ w; X1 |' v( j
74
" Z5 F: [/ \. t4 [7 J+ m- j+ E 75
% ~3 z+ r* \% ~* z& B9 P 76 7 S* J6 V7 j7 l8 ?
77 2 V l7 H/ q2 P D/ r- T* Y
78 " n0 s( f7 Y# F1 }4 Z/ A
79
3 W* T8 K) T0 J( d0 w 80
$ \8 @( C: @9 `3 W8 l) o& p 81 2 w6 x* q. P- D0 A9 d( s
82 . @9 d# l* S( }- R; Y
83 . r6 ]2 l1 J0 t
84 " T$ ~. f' W) n. g% H
85 4 \7 ?1 y/ {( r0 s' i; O3 y
86
9 t; x4 z0 ^& a3 V0 s2 [ y 87 # Q* F/ t3 w; K D
88
3 F2 q9 r2 K# ^ 89 % l% p0 v/ W& a4 [2 p. l0 n
90 5 e1 A( o1 y2 @+ o, W( F
91
8 c1 W* Q: R1 X6 t4 A, f7 N, e 92
6 M* [% U: N# C- s6 W4 ]/ F# ~ 93
8 v. J Q' d* u( F9 G% x0 X 94
" ?0 W3 C' O1 D, w 95
) ^1 V" L9 }: w: W6 s 96
; i, `/ |5 U2 L3 y5 z" ] s 97
, ~! O, ]. t0 C U! ]6 f 98 # [- ?* k: L. u9 H
99 , l# v' p" _7 ?/ F
100
# S# _ C8 q; A6 x' A, Z' O 101 $ ?* |, q/ t. L
102 . h, b3 o8 \8 u% M1 E4 |
103 9 N$ \- q, y1 x6 R( c: b
104
7 b3 w: j" ^8 X8 r" t! T/ `# | 105
* }+ }0 C6 u; k3 S 106 0 W3 R: i6 _* Q2 [. @7 q
107
7 ^1 {9 _) {0 M: f; @9 m# D 108
9 j0 W! e5 p% u 109 % e" T- s0 M |: Q5 |
110 ( g$ U, }" ]1 ]
111 2 V/ l/ {- z# e2 F
112 , l o& F3 w8 Y" S" [( h
113
$ Q& C/ S! }, j& n+ ?* b 114
3 D& j! m% y% `3 G0 ?; N 115
' S7 d+ s0 t, G, e) W, I/ D 116
9 F( p3 N1 h7 I/ h: [ 117 : \9 X3 f! V: }/ ?/ D/ S
118
) [6 o# T3 x, L 119
- j. O% H4 Q" a) ~' A$ P 120 ' z0 x( x# a6 `+ z* b
121 ( x4 r# m! s+ ]* Y+ r
122 3 i' \; [8 h5 A( q: d5 ]$ n+ U
123
' |# W! X0 U, D2 h$ u+ ? 124
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(2)Floyd算法 0 [9 X- Q' G' T" N
#include<iostream> 7 P6 H6 B2 ^# N4 m! }
#include<cstdio> 4 y& ?0 f9 W% y1 H. n. W' O
#include<cstdlib>
) J0 e3 q# O# @, Z; b #include<cmath> 4 B$ X+ B3 F) M' H! ?6 T2 m" I
#include<cstring> 2 E2 }1 j" r2 H. t, e' ~9 T; @
#include<algorithm> 3 c0 n9 g) `- _0 U3 k5 y6 n
#include<vector>
: k, C* N9 D% c! P$ F #include<fstream> 1 V; v+ }4 z% J7 \9 r* Q* a
using namespace std;
' n; M$ C# ~2 P6 U! L( Q; N7 l 6 Q# w1 G f: Y) g' L9 n( {# Z1 r
//设点与点之间的距离均为double型
3 S |( }/ t& I' _4 _6 w8 L( E double INFTY=2147483647;
9 Z/ S- y+ ?5 r r! { const int MAX=1000; / A' L ], {5 o) G% g* u" b
double dis[MAX][MAX];
& ?* z4 g, x* S1 P% }9 c double a[MAX][MAX];
4 B% P: b- k3 | int path[MAX][MAX];
3 q: v% I7 g/ Q7 L int n,m; //结点个数
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void Floyd()
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