作者:数疯菌
+ o1 I. w8 g& f* d9 P( Q(引:其实满足这样条件的矩阵A的转置 为马尔可夫矩阵,它有性质为:(1) 是其最大的特征值。(2)其余特征值的绝对值小于1.(3) 也是马尔可夫矩阵,且每个元素非负,每列元素和为1,读者可以查找马尔可夫矩阵英文原文献)证明:首先, ,将第2,3,...n列全部加到第一列,得到: : Y% \9 w# M8 t; p7 N i% H: g( @* y0 R
,第一列提出( ),则有: , ^/ U3 ~7 t! I6 W+ b `6 f( k
,则每行元素相加,有: , 所以 每行元素和为1,由数学归纳法,易得: 的每行元素和为1.又因为 ,则有 .假如 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 成立,当k充分大时,上述等式右边向量中元素趋于无穷大,但左边不会趋于无穷大,所以, 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 时,等式 不成立,所以假设错误,故而 。 由上题,可以得到推论:若一个矩阵每行和为一个定值K,则这个矩阵必有一个特征值为K。 数疯菌对这个题作出改编: 证明: 令A= ![]() 即: , i,j=1,2,...n; ,q=1,2,...n;则 推出: 则有: ,i=1,2,...n;设M=max{ },则推出: ,即有: ,因为要对任意的 都成立,所以 ,i=1,2,...n;欢迎大家关注数疯菌知乎号和微信公众号:数院经典题,数疯菌将在这两个平台分享数学总结和好题分析。
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