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20×20 的Hilbert矩阵

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发表于 2024-12-31 16:54 |只看该作者 |倒序浏览
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[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]计算一个 [color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]20×2020×20[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)][color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]Hilbert矩阵[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]的行列式- @& u: v$ U; W4 f$ Z; }
上述代码用于计算一个 \(20 \times 20\) 的**Hilbert矩阵**的行列式,并测量这一计算所需的时间。让我们逐步分析这段代码:6 ^6 H! b: W6 r7 e& l: t
3 A! k( S0 P5 T! j1 q% y
### 代码分解4 ?+ w: F: o* p) ]; k9 P
1. **tic**:" q) h) T5 v4 p) {
   - `tic` 是 MATLAB 中的一个函数,用于开始计时。它会记录当前时间,以便随后使用 `toc` 计算经过的时间。
8 q7 M* `, d9 x3 l" K0 ~% a4 y# c) G0 }4 a/ Q" A
2. **A = sym(hilb(20));**:
4 @& V" d; Q4 }$ b4 u   - `hilb(20)` 创建一个 \(20 \times 20\) 的 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵是一种特殊的正定矩阵,其元素是由 \(1/(i + j - 1)\) 构成的,其中 \(i\) 和 \(j\) 是行和列的索引。举例来说,Hilbert 矩阵的形式如下:+ o' j$ G( R, f! ~4 {1 a( \
     \[2 F: P  ?. ~  q) H; w0 {
     H_{ij} = \frac{1}{i + j - 1}5 c; d" R1 [" i: T- W# r& I' o
     \]# \4 T  R. e# ^# D' h' J
   - `sym(...)` 是 MATLAB 中的一个函数,将输入转换为符号矩阵。这意味着矩阵的元素以符号形式表达,而不是数值形式。这对于数学计算、符号计算或需要提高计算精度的应用非常有用。9 [0 {, u3 ?# |- B+ A
   - 最终的 `A` 将是一个 \(20 \times 20\) 的符号 Hilbert 矩阵。3 N$ e7 L3 x7 s( Z# `

& A# ?* o/ T' W$ V3 t* ~4 f3. **det(A)**:
' ]7 |/ M8 h5 A3 T: m   - `det(A)` 计算矩阵 \(A\) 的行列式。行列式是一个标量值,可以提供有关矩阵性质的信息,例如其可逆性(如果行列式为零,矩阵不可逆)和几何意义(如体积缩放因子)。' B; o  `0 G9 r8 o3 \
   - 在此情况下,即便矩阵具有符号形式 `sym`,`det` 仍然可以计算其行列式。* G  c) {8 ?* d, l& v

/ e" k  }8 M, d  {) j4 R4. **toc**:/ o( b" I( Q8 Y+ \
   - `toc` 记录自 `tic` 开始以来的时间,并输出计算所耗费的时间。这让用户了解执行 `det(A)` 操作所需的总时间。
* R2 X6 \/ N5 j3 d8 d9 \' S7 I" I3 c/ E2 o5 S5 D$ p: ^8 T7 F
### 总体功能+ P* ]" q& d( A0 [
此代码片段的整体目的是计算一个 \(20 \times 20\) 的 **符号 Hilbert 矩阵**的行列式,并测量和输出此计算的耗时。这在数值分析、线性代数以及相关领域中是一个很常见的操作,因其涉及到高维矩阵的特性与计算效率。  M' E- Q* u* }, A9 f$ L8 j: [  a" K6 k
3 g' B  G# E9 i, `3 M
* a( O/ v& h0 a" |/ M$ U

0 N8 Q( ^1 _8 i0 o& A$ _3 o" s" E& x( i4 B% G

examp4_8.m

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