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20×20 的Hilbert矩阵

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发表于 2024-12-31 16:54 |只看该作者 |倒序浏览
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[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]计算一个 [color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]20×2020×20[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)][color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]Hilbert矩阵[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]的行列式
# u/ K1 g1 Y# R* S# @7 G% p! B上述代码用于计算一个 \(20 \times 20\) 的**Hilbert矩阵**的行列式,并测量这一计算所需的时间。让我们逐步分析这段代码:
9 G" d1 [3 t* B" n0 B7 u
! n) I# N" `; I+ e& r1 [( D! o### 代码分解0 j, r) ~# X+ m
1. **tic**:
& Y5 T8 d. o' n" Q+ q   - `tic` 是 MATLAB 中的一个函数,用于开始计时。它会记录当前时间,以便随后使用 `toc` 计算经过的时间。
7 v5 u" q  ~, l! j4 {2 D
8 E- p. X& |8 U, B( x6 P/ X, c) h2. **A = sym(hilb(20));**:
, N3 ]9 C, y: }7 R% `# F   - `hilb(20)` 创建一个 \(20 \times 20\) 的 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵是一种特殊的正定矩阵,其元素是由 \(1/(i + j - 1)\) 构成的,其中 \(i\) 和 \(j\) 是行和列的索引。举例来说,Hilbert 矩阵的形式如下:
: j7 k! f2 p  o2 p1 {8 V3 U     \[
8 Q6 l9 B6 A5 ]! I+ J' O0 g     H_{ij} = \frac{1}{i + j - 1}
1 K* ~+ J9 R" q; ?) ^2 d     \]
8 u/ {5 q/ E9 q! n9 w   - `sym(...)` 是 MATLAB 中的一个函数,将输入转换为符号矩阵。这意味着矩阵的元素以符号形式表达,而不是数值形式。这对于数学计算、符号计算或需要提高计算精度的应用非常有用。
9 ~& Z6 D+ \, u& w   - 最终的 `A` 将是一个 \(20 \times 20\) 的符号 Hilbert 矩阵。
% H8 s) [" [& m7 F( L$ F; n0 ~( B2 c: w
3. **det(A)**:
1 L1 j8 w) w0 X& Q   - `det(A)` 计算矩阵 \(A\) 的行列式。行列式是一个标量值,可以提供有关矩阵性质的信息,例如其可逆性(如果行列式为零,矩阵不可逆)和几何意义(如体积缩放因子)。5 x+ \" e& U2 Y% f) n, V& y
   - 在此情况下,即便矩阵具有符号形式 `sym`,`det` 仍然可以计算其行列式。
& ]9 _* U7 q0 b" M& s9 {# E! z7 L+ r' A2 s& I" ?0 X1 Z. ^
4. **toc**:7 ]' j# h7 ?2 [' z, G0 r# P
   - `toc` 记录自 `tic` 开始以来的时间,并输出计算所耗费的时间。这让用户了解执行 `det(A)` 操作所需的总时间。
" {& w: u0 G' j! X/ b" P, S$ E. W* @5 c0 i7 d7 \( s0 r! S  U6 ?+ E
### 总体功能
* @+ Q9 Z' \1 n) }3 L) P7 w此代码片段的整体目的是计算一个 \(20 \times 20\) 的 **符号 Hilbert 矩阵**的行列式,并测量和输出此计算的耗时。这在数值分析、线性代数以及相关领域中是一个很常见的操作,因其涉及到高维矩阵的特性与计算效率。1 H) G- W8 B2 e5 F' v

9 \2 {' [6 k% n1 r+ E; F. \9 Q+ C9 @. I6 s/ a1 `& Z* S

2 {0 g" l8 g& ~0 Z( B1 M& K* e4 f9 v9 }7 }% F

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