[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
+ u( w" e2 e- O1 Y4 RRobert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

* y+ y4 j3 K, J  A（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
2 c9 z6 h2 t# A（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
. g, h' A  q+ z% `! J: ~1 p$ y（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
  n# [1 D- _. r: G: v- k0 |  m（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
$ e- z5 v1 s, ^7 e* e; `& I! t
Lehmann
7 J% p" G- D: C5 G另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

1 a* h. W# Z' `2 r, c0 e+ V$ X（1） 选择一个小于p的随机数a。
! {- z4 [# \# p) j& l# ^（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
/ N8 x# t- S4 E- H3 e- ?（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
2 A. U: ^' }! m. H; Z  ?  M4 x（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

7 R0 n4 h; I& J' r8 S/ ~1 sRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
, _6 h6 `5 c. D6 \$ N; ?
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
' Q6 R, G; _- M. }: Y  l
（1） 选择一个小于p的随机数a。
+ p# H8 a  l, e& b) E（2） 设j=0且z=a^m mod p
+ X# M) A, r4 K2 @) m( ~（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
9 h% i% w  l; m1 H' R( G6 v3 W5 F  D（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
  {& }  a2 D! h! B（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
8 V$ x9 ^+ a2 X6 q7 F$ M
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
7 J, S# O/ [4 D) M; p$ M
实际考虑：
9 |) t  p# a' m2 \7 B% b: Y在实际算法，产生素数是很快的。
4 l3 {- A9 b9 V
（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。
, L9 l' N. L- J$ _

' ?9 e& m+ |  ^- _4 [- c" {在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
7 E7 z4 I8 V! b2 S24.0秒产生一个512位的素数
. e; Q3 b* z2 y& n7 c2 S2分钟产生一个768位的素数
+ @: \% D: ~/ p! a: n% @. t5.1分钟产生一个1024位的素数