[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
) q! b6 n! F: M7 [6 }Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

" J. Y; i8 z( q7 c6 @8 w* J（1） 选择一个小于p的随机数a。
* I! y& z' d) s1 ]0 w（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
/ ^0 i: o( ^( H6 C1 C% Q* _! U（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
* ~- M. o  f  x& N  N; I（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

, M) c# W+ D2 ~数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

Lehmann
/ X( e+ u2 v1 {- K另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

3 x$ ?& U0 Z5 O7 n（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
* Y) S6 H& R+ _+ y: A（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
& X- X2 q" Z) ]- w（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
- C- c* E- p* X! w# L: r! N, |# |
Rabin-Miller
6 V9 ^2 g: P) B7 P; D5 a7 d* Z% z& \这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
8 E! ]- G; O4 f7 o6 V8 w* U（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
- q. c+ S3 k# f' O3 a# @（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

, f8 m* O+ d& w* S! ^这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

" q, F% V# Q; B# S! v  s' M实际考虑：
: k: `/ Z# @& Q& M9 \. ]1 @在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


5 [  x9 m9 D/ o( \在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
9 |) H! t2 D9 i24.0秒产生一个512位的素数
4 l/ r3 b' E  ~( b" N, v. `2分钟产生一个768位的素数
2 w* Q$ C5 b) y$ Q6 Q, c. A5.1分钟产生一个1024位的素数