[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

3 w/ {* W% h8 s3 r2 n, E% F- J数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
$ n& z( u" c! H: M, S% i! E
% R+ {( n) j. h- S8 a  W2 MLehmann
. z! h* _$ l7 X7 u  d( q8 X- |另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
4 F3 \: O4 |8 p/ x% I  ~（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

Rabin-Miller
" f5 M* m% Q- ]6 @$ S8 ?这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

: D7 W% t. n8 p3 {) z. f首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
! {& O, T6 v7 W5 O4 L1 l' p
# Z/ x2 A/ Z4 E+ D0 ?+ |* i（1） 选择一个小于p的随机数a。
5 m0 b, I4 k) C6 J) n: J（2） 设j=0且z=a^m mod p
/ ?- J4 k8 X; c  l1 a! a（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
6 a1 F- j+ y$ g（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
+ |; r1 |* w: M0 Z- {# P* Q4 v（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。
' v! q/ a: I$ O; e5 q7 n2 j
5 h* x$ O6 h7 b" U（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


5 L2 Z5 N- P8 C- G在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
: _6 ?9 M/ P  |% B1 S2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数