[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
1 o' J" l: C* p（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
8 j* X0 l" d  |& L2 A（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

Lehmann
& X5 S$ F, p  r5 [另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
$ b; N  k" Y9 I5 z& e' k" I
$ b$ K0 s% r7 }3 o$ y% d. u（1） 选择一个小于p的随机数a。
+ j  b4 i- G) j（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
4 @) ?; \/ A7 _3 B0 x: n  m  B（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

* C1 V8 D2 A* x. d& R4 F# B$ x0 R2 n同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

, P  o) g# w' \/ h" C- d* {Rabin-Miller
8 X& F0 I& V' H3 c; H! K这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

# o. c  r5 z6 q3 v: ?0 i首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
8 _+ h3 r: Z' w, s2 m
（1） 选择一个小于p的随机数a。
- R# a/ i. Z  ~0 |+ c# f! c9 n( H（2） 设j=0且z=a^m mod p
7 l- J# Z% g2 N（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
( w  |1 T( M" F- G, o（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
9 l  O0 S4 k: ^: t# W, @1 T4 @- W
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

; a* C% a2 F0 [; M& a& H实际考虑：
. r- k$ E% k9 Q* k2 o) \9 H* l在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
, L3 ^$ }, |, V2 {( o, L# A（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
* M1 v  T6 L. c5 t# O% Y0 e（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

4 G, N4 `( S+ ^5 l" \( ?$ q
3 h: r* E9 \0 L# W% w* H在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
0 C! i8 ~+ i! J2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数