[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

6 T; D) g: l, p! \（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
  s3 [  \0 E- ~6 d0 K5 B* o7 a（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
6 R, V5 X' J0 C( {（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
: c# v2 z" j' F5 @. ^6 S5 ]& ]
. {2 M; p" n; g6 V5 |5 c* o数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

Lehmann
: H  }% x6 `2 p4 ?另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
: y+ ~; i# Y0 G7 G, p
（1） 选择一个小于p的随机数a。
) y& e5 v+ W: |（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
+ l, U  d$ R4 e! p5 N（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
, ]  s5 i: T  [  }7 m8 ]
同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
5 N/ B( U/ i" F1 m
Rabin-Miller
# c7 g+ n/ w3 F# k# j4 l# ~, O+ D这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
1 o, o1 g  e" a+ P/ J5 i
- ~. H8 g! L! O5 e. J（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
$ d9 B# h$ d$ i9 o, B（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
/ n8 w; ^$ Z2 d* m! C（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
$ B5 y, Q* w, F5 ?) m（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
- v# i& [  |" U' E7 A（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
3 {( l# J4 p* ?  o6 b
# Y% l( ?) E3 s& r6 o这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
' n5 d6 K; o3 C, D2 h
# [; ]$ f; z- G7 e) a& `" i实际考虑：
7 f* O7 p( N% y2 y! Y3 l在实际算法，产生素数是很快的。
( |6 \' Y+ ]' i
（1） 产生一个n-位的随机数p
0 j: N) T% C( f$ f（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。
/ c- ~: R3 u3 a0 l# _9 Z8 S

% X, h+ y6 }) l2 l% ~9 e在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
$ g+ _( _! k, K/ w24.0秒产生一个512位的素数
6 X' i! g3 x- \6 L* c2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数