[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
0 O, o' O' u2 n6 \" _Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
" f( E, Q9 v2 b( ^) |! M
# Q- n" Z& ]0 F" ~+ D（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
7 h8 o' e4 m, b& q! }9 W5 r" ~& {" I（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
+ c/ O* @1 @3 m: B（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
- o! P6 `2 Z, i' |5 K% f（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
* w3 o5 M$ Q2 q' Z. V
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

# j6 y# b* G6 ^9 N' F- x! W& mLehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：

（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
" t5 D! v" R* O- z# g
: E- Q9 y2 j& S同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
- Q4 f3 ?: V* [* D2 \: U
9 b9 Z, o5 J7 I- F' JRabin-Miller
( V2 j' T7 }7 `; F! d% W. @这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
4 s" y- V5 A9 ]; M6 W: W
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

（1） 选择一个小于p的随机数a。
7 y" L1 N. Y% x! V（2） 设j=0且z=a^m mod p
$ u9 L4 g, A, P  W$ P$ q: @（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
- T4 f$ }) J7 Y( E4 E（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
* D: z4 O" k% d' E8 X
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。

8 j2 g) H; q% ~5 `( a* Z实际考虑：
. y1 ?. Z2 x( U6 l0 Z: d在实际算法，产生素数是很快的。

6 w) V7 P) ]' H0 H$ M' J; `' }2 y" x; n（1） 产生一个n-位的随机数p
" H/ c3 D( p7 `2 n6 h（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
: r3 s) h( X: x* C6 J（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
0 S& s% |; Z! `) E  i（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。


& ]+ o4 M) Q0 F4 s1 \2 I$ h9 L在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
$ s0 x7 S9 }7 l  @! ]24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数