[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：

' s2 c# S' {6 @) X$ v4 \+ M5 q3 i( [0 _（1） 选择一个小于p的随机数a。
4 r: n7 s1 r$ t（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
9 F7 ?8 T! o6 w（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
# v7 k3 R. M2 l& E（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%

0 b  w! v6 _+ p1 u$ A0 c* l数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

& J# f3 L& E& Y' s! f# n5 ELehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
" h  S6 i4 d% }0 L5 m9 W9 q9 {
) v5 W. h% x3 c! F（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
- F! d$ l0 E( `* u（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

; R3 M( }0 p9 s) ^同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

Rabin-Miller
) T/ ?1 w! Q8 r7 C' u' I. f这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。

首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

) U: P, P# P. l; {, P: e) F（1） 选择一个小于p的随机数a。
! e$ L# o, t( k# {9 Y4 e, l( p（2） 设j=0且z=a^m mod p
  A) P' U: w) T9 p' z（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
6 R3 g5 i' S8 A% Z; \8 t- q（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
8 I% H7 ?/ b- L. H( ]7 o3 P（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
6 V1 q" r, s0 t1 a. ?( s+ V5 z（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

0 Z  @9 X( e! e这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
2 V# G/ C3 K7 X; |6 e: U
  T9 i6 p4 o# e* T( g实际考虑：
/ v' U0 Z0 r  l4 u, H( L  d在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
! G7 t( K! J5 c（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
. T  \  R' ]+ D9 a（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

: X$ n0 f1 n; ~% S
7 P! b5 g& w. X  L4 i在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
& h  M1 V$ N3 i! T% U24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
& r: }3 _$ T9 K4 H5.1分钟产生一个1024位的素数