谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
) X7 J/ j# }* ]) }$ s* R6 {" \& S
& @! s. [' L# ]8 W% `0 s' @1 N从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
! H) e& u( |9 E8 e; S! X" b了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
最好地说明这个问题：

How could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
did more than 20 years pass before the properties of
7 M2 e0 {  Z. |, r. Ythe Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
1 h, @& R5 S' V: D  garithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

$ A1 ~  i1 J& g2 ~, H' A既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
6 }, f$ }) t# U9 a1 k院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
0 k" j  S: I3 p% l+ k只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
3 m5 A& A6 _- c4 [+ }# N前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
4 E7 e0 M: J0 k0 P6 h
/ R7 q  t9 T3 z5 @. ~. Q! \侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
- C) ~8 O# j* Dhttp://www.acm.caltech.edu/~hou/

  f$ a8 @& G! P( [$ h, o鄂维南（Princeton大学）
1 S# }! T. b; T# B1 q+ i- `北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
4 n3 d6 J$ O6 Z, B7 lhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
% A) C+ `& T9 `. C' l4 [# W
包刚（Michigan州立大学）
  y2 _$ u3 s, Z2 g& H8 Q吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
4 |. _5 F8 z! B( H: j# R# `http://www.mth.msu.edu/~bao/
  J$ I0 H  w6 L7 o6 x5 g* w
金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
9 X) x' }; |, c. p动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/
1 l& B; f" @/ u' m
& Z( S" A9 U$ I汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
5 n/ Z3 _, \+ I1 T. e7 @; n9 chttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown大学）
) H) @9 E/ P' \% R( H  Q中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
# z7 ^$ W# d- R' S  a
5 w6 }5 t2 B# W) U3 P$ n" i& x" c. B( e陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

许进超（Pennsylvania州立大学）
4 U, h9 u( |& T7 D0 Q& ]( m% i北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/
2 i/ j0 g4 w: L4 Q. C
7 v" e2 M% F8 Z9 [袁亚湘
# V0 H, ]) w8 |/ f9 D- t中科院，研究方向为非线性最优化
. O7 [* c( G) z( F8 s/ C6 nhttp://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
# j$ V) S( d; j* l2 b
张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
! ^$ H2 h9 `. f6 d5 m0 e2 D- Q模拟、移动网格法等
( V- i8 c$ `7 chttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
- Y; k+ g. Z2 c( E' a
陈志明（中科院）
5 ]8 L2 S& C/ l5 l研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
- h& D* C' \1 E+ }是颇有裨益的。
( s7 L) ^, J" y. D0 E* ?理论：
4 T$ w* u( i# v- C6 L3 ~6 a8 V2 i最好的基本是
; {* P3 f6 @) @4 d* ^6 hMathematics of Computation
5 G8 W: `8 N& T- Y3 S! G& F* Q) bNumerische Mathematik
% A8 h% L& S0 @/ {* c8 WSIAM Journal on Numerical Analysis
7 k4 v: v2 F  ^7 g7 n# dSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
/ b, a; N( L7 ]" N6 H2 _较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
+ ?* b' p3 W7 j6 B+ K  S/ GAdvances in Computational Mathematics
' J% |3 D  P. W- o7 fInverse Problems
$ M& Z5 B$ Y; h9 ?3 _/ l
. _& P' ~  h  X. H; |还有应用性质的杂志：
- E4 J9 \! ~& p/ I/ L2 ?8 ?Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
4 h, ^( c6 F: Z$ m+ S/ oInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
' {  N! {1 [7 }" O1 [5 bComputational Mechanics
% j5 J, R. ^5 f还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
5 D+ T9 P3 R' ]/ }Computational Chemistry，Computational Material Sciences
4 e# k, R/ N5 F也可以浏览。
' f' Q/ L" s3 `: R
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
& Q* X- ?# r8 S' w0 @了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
+ N& Q9 d+ g5 r. {8 }- ?1 U5 V3 P非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
" }# z, A& L3 S! H, |& t/ ^stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
% L4 ?% Y& x7 i- X等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
. \! ~% M' n# F3 X1 v( ?. u
) c, D! G, t% h. A- P5 J% E另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
: f( v, s/ b! V) V& D章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
9 J# U2 q2 W+ F* K: P/ z2 \% l+ D
. H5 ~3 _# p( V3 P作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
, e& {/ |( Z2 m% A1 _称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
# `4 C% l! F% r, g法、有限元法、边界元法和谱方法。

" _, p: Y) b! g有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
: B! M1 \) D% B" H有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
) f- K) i$ Y0 D+ @+ E主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
! D" b$ |' J7 c; T4 k外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。
0 Y2 {8 ^$ F; l  U1 P5 i. h
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
9 g1 p5 l! Z3 q  f# i% a. H1 n& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
9 O# P' Q1 w1 m6 b3 j/ G郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
/ w7 h% F# E  Q- R9 ]不知道能不能再学校里找到。
" I7 c; M3 {0 J. t# d) r
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
/ p* T" u" X# V5 xAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
* _, I! I( p3 o' {! _. P' v; b/ K《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
2 F# U- n; k4 }, {0 ~在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
- r, v5 F- n% `! e: `/ ^$ A8 T西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
4 T+ L4 f; c' N% u5 }( d性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
7 b( a0 r: A7 o# ^5 N0 o7 j# i8 ~也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

1 Q. r1 ^: {+ ]7 Z计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
7 n+ ~  k" e3 e4 k/ L7 R- W体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
+ r- `$ }1 j  p8 N+ a有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
: e8 Z0 N# N* F7 S. y1 L: r1 l, ]: f
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
$ Z# N: O* A, R" p; f; `6 D面的网址注册
9 Z) y9 P% k/ `! N5 Hhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
, y7 G* n' ~  b! H1 i6 ]* d英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net
( y: y2 D1 i9 o* S
9 u3 p# n6 R4 {  `3 M1 x

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
& q, G2 V& P1 S都有中译本的。
3 p$ E2 x5 w/ |. r8 O2 y2 g
- c1 m. R3 {3 z4 R/ y接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
0 e/ N- y3 p; N向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。

6 M) d; q$ k3 ~, N国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
- U, i( b( J8 s1 p- O0 d& wKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
6 \, S9 Q7 A' X2 i3 k+ b的大家。
' V" ^  d- S& ]5 I. ?
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
9 a, i% S* y( c2 Y很有启发的。现在的经典是Golub和
* v0 D& R8 x/ `9 K/ i9 q1 m) t$ ?, I4 jvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
! `/ J+ `" n  C《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
$ X0 V7 y& _! ?; TAlgebra》，Trefethen & Bau 的
! L* ]- ^" w" B* f, ^《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
4 {; F- _2 M; b6 v% Y, [# I' mSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
6 O7 W3 D! L% |4 {: x（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
2 G7 z: F8 r6 [) ^$ W% P书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。

& K3 ?* {# E2 S! z& X8 O, ~LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
/ R8 ?9 q/ K) P2 n5 Cand Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
" Z* v  H$ I  [1 H。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

# @8 v1 v9 l$ m6 G- F7 o" l% u4 b3 t他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。

& o4 e" b& F5 C. o; Z- y9 ~1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
% E3 T3 d, u* L, c2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
! e. }& M# Y9 Y  U3 ~) q$ q+ {5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6 O4 M/ m2 t; {8 `  n6. Courant (1943) finite element methods for PDE
0 A4 v# Q, Q0 a5 k$ [7 g3 ]7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
; p4 h% k& N- i! R  G9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
8 I$ {( q# `5 D. [; ^: _11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
7 u/ y7 E( Q9 |2 [13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
% }9 Y' V8 h7 ~1 s. N
. }  @2 k& {* \他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
* t$ T# v4 G0 ^7 Xage: 34), and by how short an influential ** can be
$ @& L, W# C' j(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
. x. S. [; r( M) |! {; L都还是很有希望的，呵呵。
; f6 v4 ~+ x( d' Y1 Q

1 \7 U9 m" s/ y8 f1 x$ K反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
1 \* J6 i/ W( I$ x2 w
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

' k% l* V+ f) r/ ]) `- pProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
/ X/ q: X; L" h5 s
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
- n* j, E* z# F0 j8 a' N7 t8 e
7 f% G2 `" T/ s7 a- d+ [; s杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
" o# X! u' h2 {  Z. Y0 [( X
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
" f, s) h; ?  j; G1 `& |
' O  ~+ n, `7 F6 `* p3 _Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
/ c$ _- A. [+ F/ r/ l$ n
+ Q) [+ t) ^+ A在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

& X# s8 s& @+ N4 q的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
% I( @. [/ `% R9 a& `# L& T
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
0 h: {: N; R9 Z5 \! j
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
  ?  X' f0 e1 ]  k, F. y6 `5 U
- `4 ]9 l9 w5 M% F7 w反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
8 C; s, o9 X& x8 n' H
5 E# j3 A0 M1 w/ r3 G据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
( G& u7 D0 n% Y: e- y9 U
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

4 T& i4 }+ p- L) J+ O! e/ f水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
! }6 N, y2 w8 G$ e; a
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

! \/ i5 d+ B* y% m& {平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
9 H" f- u1 y7 C6 W
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
/ B' p) q2 a; f) p4 T
, _$ G, O, |1 i$ ^* @1 ^的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

" l) U0 L% ?% {个综述和展望，值得参考。
% S! k7 o8 w3 U* s6 ]' B
3 e: T: N, H$ `  x反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
4 N+ }  d$ o+ e' hIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
9 ^2 F5 Y3 c" n# m' t. P8 R校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
6 q: P3 e8 ~+ P$ s是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
" i' R; h- |8 N7 l; A' \6 gregularization for Fredholm equation of the first kind》
/ q0 f7 K1 D' A: }. J* P- Y8 _# K是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
( ~# y/ f5 l& a/ j0 Dto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
" C/ \6 u7 q+ c4 p' b《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
) R$ B5 [5 w& o6 w9 u2 g# p$ ~0 }8 I  l作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
. D0 T+ H, ^! ^  H" _- ^+ G# p! ^《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
& c- r! |+ S! x2 j: z+ kIll-posed Problems》应该也是不错的。
$ U1 d. k. F  S( _3 a
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
: {) F  {! [1 {# O! @5 H《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
7 W6 D2 J& b- I书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
' F4 W, d+ b9 C5 I化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
# u1 X) e9 e8 F6 R/ u& TVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
了。
5 s  ~# K7 c! d1 F6 r
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
0 [# g% h% B+ Z1 ~& V
计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
0 E9 y9 z4 p: t5 W/ I% l科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
$ d2 C7 u+ l* c% X4 j中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
( \% X* T1 u$ U+ i' A
# \2 R/ {. K7 \: r& u$ E7 p一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
" j3 l' }5 v0 q8 w4 _4 L3 t是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
+ C( ^% ~* w8 c3 |2 ~# q3 X你看了吗

! Z& e/ v' S( Z% J; H+ A
回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊