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自我介绍 hi,我是mzszrj,我是一名大三的学生,专业是数学与应用数学。希望与大家一起成长,请多多指教。
虽然不是我写的,但我觉得很好,希望与大家分享。以下的内容转自校内:) o4 {2 i. E" P, F) o
4 e ?5 f& V2 `2 H0 Q 从计算数学的字面来看,应该与计算机有密切的联系,也强调
7 M! d; {# y& t9 s 了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
) g9 G3 B& Q2 n. Y+ O- \, B) S 最好地说明这个问题:
" l9 {% v* E! |& W: \ R& |7 g$ H% O + C5 }' d8 O, e/ P) g
How could someone as brilliant as von Neumann think
0 i5 C7 B+ z+ w$ Y* i, C hard about a subject as mundane as triangular factoriz6 [/ [! t* _: k; L( K
-ation of an invertible matrix and not perceive that,* v1 V/ I, P0 o9 B
with suitable pivoting, the results are impressively
4 w0 _ ^1 X' j4 ^) \ good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
6 y( j6 P4 G& P, j6 a2 b( r5 G experience, concentration on the inverse rather than on
: J. q9 v( c- M* w# p" I, W! n the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.3 {4 } Z$ z2 i, a
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a6 Q* q0 g* Q7 I2 s
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
! p, Q( E+ g0 c& Q* i6 ` for at least two years after the appearance of QR? Why
/ H# n- p- |' B! c8 Q did more than 20 years pass before the properties of9 Y+ [0 e' O; P/ C- J& @
the Lanczos algorithm were understood? I believe that/ }" d& Y& h; K: l1 b
the explanation must involve the impediments to
, o8 j0 o9 J" {8 G comprehension of the effects of finite-precision7 o9 K4 b! S- C% _0 }; ?: {# k1 l
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf )
" g6 c4 x9 t6 G9 H
# P I- f2 i* r7 P% M7 e 既然是计算数学专业的学生,就不能对自己领域内的专家不有所3 u K, Y! D# U: V4 k: [1 |
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
" g$ z- }% s5 g' e- z7 v' c 院士独立于西方,创立了有限元方法,而后又提出辛算法。这里3 P% N4 V8 v6 g3 w$ w' E
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家,因为他们代表了当3 N2 H) q0 W2 J2 z- W$ A q
前计算数学的研究热点,也反映华人对计算数学的发展的贡献。
L- g6 B7 } y8 F
z, n2 x4 T& X+ C S 侯一钊(加州理工)
% Z6 r% I3 W6 | k 研究方向:计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
- ]# s: H T: M$ j4 m http://www.acm.caltech.edu/~hou/ - T' Y! K d$ A) a' j- c8 g/ F3 ^
( E* S6 t8 s' k/ O/ I( }, B U( p 鄂维南(Princeton大学)
* O! l) N) ]- \) Y. o" k 北京大学长江学者,研究方向:多尺度计算与模拟
3 S8 O _) u8 ^. I. i http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
2 Z8 z, V1 [/ ]" O+ h M
$ `, R/ j+ l9 |5 h! \ 包刚(Michigan州立大学)
& o' e( c/ }2 {( ~: q+ n$ ` 吉林大学长江学者,研究方向:光学与电磁场中的计算等 M; A& h6 m8 y) ?0 ?$ J2 [9 {
http://www.mth.msu.edu/~bao/
; T/ s% _' I& e$ p5 X; I) X8 B
9 R! X3 D0 ]% B) n; k6 ^- p 金石(Wisconsin大学), T" J8 P! R0 x/ D1 x
清华大学长江学者,研究方向:双曲守恒律、计算流体力学、. g( w1 o( L) }
动力学理论等
6 J7 P3 V$ @! ?& C http://www.math.wisc.edu/~jin/
( \& ^: E- l3 C/ `+ G 3 u+ v0 Z( G0 C, G
汤涛(香港浸会大学)
b+ @$ [- W) l4 s 中科院,研究方向:移动网格法等
6 H, S% \( f6 D1 d$ v http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
% C" Q0 V7 g0 e. F1 j0 r2 w# K @8 r0 d2 @ _; l7 L
舒其望(Brown大学)
) E" f0 C! G% v' T' ^3 o; q% { 中科大长江学者,研究方向:计算流体力学、谱方法) |! E) Y$ k# q4 R) W4 r
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
( g3 `0 D) F8 |7 w1 P; {0 I$ O$ O" y0 K : h+ y! C1 b' a( f8 P3 v6 t) j
陈汉夫(香港中文大学)
- ?8 e$ O E7 j8 V: } 研究方向:数值线性代数
) b+ ~' ?; s% y- a% o0 q% Y http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
0 @9 {% q! q9 C! Y. R" j 8 }6 [9 e1 }" ~2 V! c1 N1 H
许进超(Pennsylvania州立大学)
. e" I- I9 k8 Y4 @+ ] 北京大学长江学者,研究方向:有限元、多重网格法
# Y( E% Q/ z4 @4 O0 y( x http://www.math.psu.edu/xu/ 2 n( m3 B0 e6 ]
! A a8 h2 }: y3 T8 K
袁亚湘7 B( Y% {& t" n: I4 ?* Y
中科院,研究方向为非线性最优化( M/ o+ c) ]: b7 m2 D+ F* Q4 n/ a
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ & l% \1 m* h; A9 Z* |: J7 ]
?- l5 T& ]8 `# t, z7 } f% O 张平文(北京大学)4 _7 J! \2 z. {4 K0 ?
北京大学长江学者,研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
! p0 h7 t1 A$ s) z 模拟、移动网格法等" m! K; G9 N4 R' i5 Y) @2 \# [) y
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 9 V) L4 m( L# v
4 Y8 ?* \/ z: X$ J: v& G
陈志明(中科院)
1 q2 N1 |0 V% m4 g0 M7 U 研究方向:科学计算与数值分析,主要为有限元法
1 |9 w: B: I2 k+ c http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
+ b8 p0 H( f9 V* N
5 w# R5 @2 u& q* j& Y9 Z/ N- Z 其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出9 I4 ]4 L$ _ V+ ?5 o5 o
) o* y: S# T9 S) a1 v& F+ ^7 D
作为计算数学专业的学生,经常阅读本专业中的主要杂志也许
8 N5 @, t7 k* T 是颇有裨益的。9 a5 F; V- U. r5 e1 u* Y( g
理论:, e+ b0 B: ?( o2 { S; n T- p, {2 m
最好的基本是+ A% _. Z) @/ L9 v
Mathematics of Computation
; A% i0 M9 g, f7 z& N$ I# H Numerische Mathematik
/ n2 U6 W! C/ {2 \ SIAM Journal on Numerical Analysis% U0 X* g1 o$ c% q) k, R2 i
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
/ W- m2 a/ C6 b) y9 b7 P* Y( w SIAM Journal on Scientific Computing
2 m9 o) u6 a; ]$ Z5 A, N* d 较好的有:
% K% w1 G$ T. t) h- @ BIT
1 F6 ~0 Q# l: f5 \( }: P+ j IMA Journal of Numerical Analysis
$ k! y% v. |! e3 @ A Advances in Computational Mathematics
' G' F7 w4 [. _1 W4 O% f" p, Y' x Inverse Problems5 F4 g& C$ S7 J2 o" _- P5 ]
* U. R8 q3 ^8 M, y! p, z
还有应用性质的杂志:! h8 a6 \4 M4 b8 B# U
Journal of Computational Physics, B4 u6 Z% i* X
International Journal for Numerical Methods in Engineering) ^% X* B) I% x0 E! a! g. s
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
8 I+ n2 z% W/ ]1 o& z International Journal for Numerical Methods in Fluids- X8 k$ U: ^' q, b, H" \ a
Computers and Fluids2 F* |+ q+ X, k; y! J4 m
Computational Mechanics) ^5 f0 m" t/ @5 Y
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊:Journal of
# u' Q0 J. f7 D7 j7 v ] Computational Chemistry,Computational Material Sciences* L7 u- m7 M. U/ @
也可以浏览。
5 t F6 O, U7 W. v5 e' s& U
: d* E3 d6 ?! k 但是作为入门来说,大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握4 J0 h) z; A; [4 D! `1 ]. J
了解、把握一个领域,因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大, @) l9 _0 q6 x& N) k i* T
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
" m9 B0 D, E5 Z3 h 版一本,作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法' N, [" G q( x3 w
非常热门,05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写- A& J8 ?0 L2 Z7 R
的Level Set Method in Image Science。其他论题有:entropy$ A% U3 w$ R9 n# k
stability (Tadmor E),radial basis function (Buhmann MD)等$ z. ^$ [1 C3 Z1 s
等。该出版物我们学校没有订,不过可以从网上可以找到不少。我
8 p0 \# r! `# [ 这里大概也有二三十篇,可以提供上载。
" d2 \/ t$ g1 @' o c# d9 ~
$ d3 z4 r$ I, B0 t; N* m9 y 另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
( ?7 D* X" G- v& a2 s8 J 章关于计算数学的内容的,经常从实际问题引伸出计算的问题,或
7 l0 c; C9 E' { N$ M 者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于& a! l& Z8 _: n) l/ Y
计算的有意思的短文,不妨浏览浏览。! f$ E- W: d' R
# V. N# y* N6 _7 C, q: g 作为数学系的学生,无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
" x8 ~5 W. e# e& m/ f6 O 称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
- f, J6 v& `) p! l/ m ; S' X( X4 W0 L6 c4 o
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
& S; t8 X. {! f 法、有限元法、边界元法和谱方法。8 O$ {/ a$ ]' S
& e* u3 u8 X- W! [8 f1 K 有限差分法想法最为简单,比较容易理解。李荣华的那本《微分方程' K: g4 v6 ~, L, Q6 I
数值解》就介绍了最基本的东西:收敛性、相容性和稳定性。
3 b$ z# ?4 K) F+ E# B Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
- X( Q z: M- c5 H% [3 G4 x Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本5 P2 s+ `. p: i f8 r
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
# @" n/ F. n8 U( h# p 有意思,介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
9 j K! p t2 G4 c* t( T 主页(http://www.amath.washington.edu/~rjl/ )上下载,他的另
6 v/ G K5 _" }- p 外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
7 Y# Y5 f+ U+ x( V8 \ 数值方法方面非常出色的著作。' R" d! R! `3 w7 }/ J, _$ z
& Y( h9 j/ o, `4 Y 有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
, X* ]6 T. i1 ?/ f9 \ for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材,另外Brenner4 k, B- @1 y7 X0 g7 m& K" ~. j7 D' a
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
; p3 M7 |, I N! u5 F8 \ Method》据说也是不错的。! g4 \5 \; \ |! ^5 C" v- ]+ k
8 W- E; w& W1 f E
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的! P/ x- j# {" t$ S- @0 y
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作,他的《Spectral Methods
/ O, M- R5 f8 e) C% Q and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
x) e; k, M+ ^+ A7 y 很出色的工作,他的一个讲义可从他的主页(http://www.math.purdue.edu/~shen/ # {/ G+ \9 x4 N9 Y& D$ T
)
" `( [* y; t5 }" G; W+ U+ s 上下载,同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
+ ?8 r& X I$ x9 r8 t* F: k, P+ V" W 入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》,其他的还$ K# A' I. H$ g6 k
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》,不过8 a( q9 g9 T3 T
不知道能不能再学校里找到。
) Y4 Z+ ?4 Z) S! \. [- N
" R/ D/ d/ ]4 M* Q& @8 O6 T 除了上面这些方法之外,还有近年来比较热门的无网格方法,这些可
, D- l q& C( O1 f) h 以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社,2003,50¥)。/ A" l; j! y6 R1 d- V
5 Z$ L# A3 a2 I- P, K* y J3 X
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
+ R2 C- \" g* F/ x$ @/ ~/ k Analysis》(有中译本:吉田耕作,《泛函分析》)或者Rudin的
/ n Y2 }4 P# R2 G% h; h 《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的,但是也是非常
) m ^- E8 D/ h; Z# d 经典的书,可能当字典比较合适。但是,泛函分析里面重要的定理! n3 k! M4 g3 Q: H8 e$ S" Y$ E
在计算里面并不见得特别有用,所以我们要甄别那些可能有用的东
$ x8 @9 d; b) Q2 I$ g0 _) f 西,Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
4 r/ U+ L0 a/ Q0 U7 l 这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由,如Holder不等式的导
$ J/ ?; k' S7 Q 出,也有泛函分析在计算数学中的应用,比如Kantorovich迭代收敛& I- y3 z9 T- o( E. a! C ], i2 t
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用,里面
! g D& Z! c _1 B- u 也有一些应用于数值计算的例子,比如Lax等价定理,值得读一下。
% a6 z z5 n: X1 B5 M . [( v1 b5 L9 A1 @1 Y9 }
计算数学还有其他许多重要的分枝,如矩阵计算、反问题、计算流
0 F; M. n$ c; `4 j1 d/ N 体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少,这里也没, K+ N$ x" N3 G* J
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
! h" R1 I, u; G5 N, X0 s$ l% [7 f5 A 7 M7 T8 @' y# E, N# L' p! o' t
最后补充一句,订阅mailing list也是不错的,可以迅速获得关于0 R; X1 x* @( J6 c
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM,可在下
, k9 j5 k* z# ^' d8 x 面的网址注册8 @6 @% R# k! o
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 7 M5 y4 w) N2 V, M. v2 ^+ W/ F3 w
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" P. S, y/ [- f7 i- t# W http://www.netlib.org/na-net 1 O8 z$ ]; a5 e- {
/ d2 y: K0 n: T5 ^" S $ |0 }2 K$ z% r- B# x! M$ X
! I- A2 ~) t/ r3 z. ^, i3 p
先订正一个错误:Sawyer的那本书的题目我0 L$ E3 {+ B; z4 V
记错了,应该叫《数值泛函分析初览》,系资料室和图书馆& h* s! h* V+ K, F( b; E+ g1 X6 M& _
都有中译本的。
& F4 h. E, X8 e: }* u% v
+ F" {+ n! @8 F( e2 N 接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
3 c9 y6 M( x0 N: W( W% N& B# O8 { 在这方面有很出色的工作,中科院的白中治,北京大学的徐
* r* l/ ?3 V- \% }, N! c4 ^ 树方,复旦的魏益民和曹志浩,澳门大学的金小庆都是这方5 c9 ~# Y. d) r$ [
向的,还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面" ]- s( K5 @& J% @' ?
有很突出的工作,可惜我基本上没什么涉略,这里也不能列' z2 S. v0 r8 |( Q- w
出来。
- O( {( ?8 \, h1 J 3 y' o: i4 ?$ J' G
国外的大牛有Golub,很多这个方向的大家都是他的学生。
& Z. x2 e3 z# W+ z Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,2 ]% U) t. y4 t2 a: z
Higham,这个名单可以列的很长,这些人是矩阵计算方面) I! J e8 }* V+ ~+ Q
的大家。
: q- I) }# x# V0 @ 7 H) b, ?3 c: ^, ~
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The: t) v! O5 T8 b& u7 j+ I
Algebraic Eigenvalue Problem》(有中译本,石钟慈等
1 a+ m+ j3 N. o. v' k- ` 人译,《代数特征值问题》,科学出版社,学校图书馆有,
; B- c. _* y; U( b7 ? 系里有英文版的)。这本书虽然老,但是据说读一下还是
* e- ^8 v) r" q$ U 很有启发的。现在的经典是Golub和
5 n( E5 |1 n" R4 G van Loan的《Matrix Computation》(有中译本,袁亚湘译,& i4 ]/ S$ M" b. I# C
《矩阵计算》,科学出版社),英文版的电子版可以在网上 ?) U' `/ D; [# Y
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
' b( q9 \+ A2 B7 U) [ Algebra》,Trefethen & Bau 的
, Y: M# W/ _1 S2 I/ R 《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
' w- {# f0 b) r q* z9 r Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》$ t; d, q0 f0 i
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》,3 j" D% L" Z0 }" \; f8 @7 w2 w
写的挺有意思的,在他的主页' V6 ?+ R+ V" h3 K
(http://www-users.cs.umn.edu/~saad/ )
# p$ r: Y4 Z7 `3 J' U# j! k 上可以down。说到矩阵计算,还得提到Householder的一本老
, d# s5 Z ~! r* k 书,《The theory of matrices in numerical analysis》1 s$ d( P( R' W
(有中译本,系里中英文版的都有)。# J) ~* A; b7 X9 x
: w" ^ \8 ]& J. N) O+ w) e# ~
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授,他写的每一本书都很经典,2 ~/ X/ q3 l9 u) s8 W9 v D
前面已经到过他的几本书了,《Spectral Method in Matlab》,
# f9 ?8 T4 W8 R6 N* B+ l 《Numerical Linear Algebra》,还有《Finite Difference
$ g+ e6 ~: M1 Y! S, I3 M( {4 ] and Spectral methods》(在他的主页上可以 e g: e, y% @9 k! V/ X( f
down,http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/ )
( U, y' q. F* Z( B 。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
- n$ ~, X4 E, P, W. N* q
0 U& N& @3 Y# F' @- S 他在Cornell大学任教时,曾上过一门课,就是阅读数值计算的经+ e5 r( V7 p0 q* X% V( C
典文献。为此他写过一个短文,列举了数值计算中的十三篇经典文4 M, ?7 X% g+ v, U1 q
献,也许对大家有点启发。
1 Z5 L, H8 k2 P6 m8 C
; m+ k* E1 @2 F `& ~2 Q 1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
: U i6 H. u2 Q$ V: l3 H# L/ N" c 2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE e4 i0 [, D t* D) P0 X
3. Householder (1958) QR factorization of matrices9 t* b& Y( S7 O7 X9 L
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas+ C: p0 K. C, n
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
( \# z5 u" `3 a+ ~ [ 6. Courant (1943) finite element methods for PDE
5 }9 F! h8 ~, I/ b& l) Z! q; b 7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition9 J% Y5 a& E6 F
8. Brandt (1977) multigrid algorithms( g# c& o w5 R- W
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
; E+ T& r1 Y7 |2 S+ C( S 10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates$ @ q2 N2 z' ~5 O0 H. A
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE# x0 W+ @3 {( P) j* i" v: q0 B
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
6 w \* }. b& J: r 13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
8 G( w# j5 f: b! \* f ~/ g
( V( u# n$ c& Q1 `7 A 他的remark也很有意思,We were struck by how young many4 v: z- c* n5 b9 G0 ?
of the authors were when they wrote these **s (average( S! V4 e2 l( z0 m3 c3 n! M
age: 34), and by how short an influential ** can be6 l! I8 [# P5 H9 Y; \
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
, c& o4 ^: ^# A+ e2 S# d9 R3 d 都还是很有希望的,呵呵。
3 m2 I/ z: K6 c L: ]! p& w& | / Q$ K! q7 J. j+ p9 m
) S4 |" m# v3 t* G( F
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
. C% f0 f$ J7 m$ A: x" i: _4 h * ]8 l* z' \# c
几本杂志:Inverse Problems,Journal of Inverse and Ill-posed
/ d$ g' B0 W" M, J' t
. v# v/ m7 o5 g' Q% _9 P5 _* g Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
/ }) T# q9 X0 T5 V
; B% D1 Z: d5 w" [* b9 Y 叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好,第二本杂( |$ M6 e& ^5 Y. A$ T Z/ Q
, K: B P( _! c5 o+ o w+ i* E8 _
志上面有很多苏联人的工作,第三本偏向于应用。在很多高档次的/ x; s( M. ?7 I* ]+ k1 w0 _6 C
: Y1 W6 }( I6 t0 o0 M4 K 杂志中都有反问题方面的文章,比如SIAM Journal on Numerical
T# }' w+ Q6 @) r5 x, Z% x
$ Z" h: o( u6 a) Q' G! R5 `0 p Analysis,SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM( Q4 F# A+ c: }9 V1 ?6 u6 }
T, X5 C l- V: B5 a" r
Journal on Matrix Analysis and Applications,SIAM Journal on1 B4 ]3 ]* C1 J' @" k
9 |4 a3 L5 n6 q X0 q
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
6 ]' ?" F: g: b1 i: g * v9 r' R1 f T( {, @. H6 T
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师,他在反问+ |( W6 v7 L5 R9 u- @& S
T; I, w. F6 y8 @# B9 ?2 } 题的理论估计方面有不少工作,南京大学的金其年老师也有不少好% r# x* G. Z, w+ {+ K
8 V) Z7 M \" A& U8 J1 ] 的结果(很年轻!),哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他
, u8 H `$ `! t3 j2 m1 j
. K# a8 d) Q e1 w4 y- y% s 们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HW2 `, a4 _7 @" A! L3 M% X4 P
/ q! d0 h$ |0 q' ~! \
Engl(澳大利亚),Yamamoto(日本), Kress(德国), Martin4 o) e/ g0 ?$ u/ o, C$ T$ j; w& l
0 f; L A: \( }2 l/ u; g# G
Hanke(德国), Isakov(美国)等。9 X7 r/ o6 J3 z% T8 Q2 c! f, V- o6 O
/ @7 h y: k" N# B* I6 m2 y
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密,往往需要根& V9 I1 U* W v8 G
# z( j' T( x$ I( N
据问题的特点设计专门的算法,这也是反问题的难点所在。很多应0 J R$ Z* X2 X$ w5 ?) M D
$ i( _) |8 s- J0 @
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。0 Q: X! h" C2 Z% h2 c9 o( \ J
3 n; w" @+ t5 V( n( U1 ` Y( j* f
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学. _ x6 G! X, d- W
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
6 }9 ^+ K: B$ v5 q, ? 1 h) T) A+ m4 F0 r8 z4 B/ p
题,但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
( K" |* |+ u3 a y" `' B
# `. ]8 F" X" a* U8 h& N' S 平集方法应用于反问题(发表在Inverse Problems上),在国际上
+ f7 m1 ?9 ?0 D& Z: N: R7 A
0 e* ~: Q% E9 o; s' n 有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
& e! E2 Y- t% b$ E: L" T 2 S8 `" k, j, i& R8 z5 |
的小组作研究,并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一% \" f% y% u! E* d
6 [0 A6 j ^$ f) Y4 u. ^5 `: B 个综述和展望,值得参考。1 y- Q' H3 V& E( n( O) I5 U! j9 D
3 h. Q+ R' y0 V$ M! G8 \ 反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of" J: Y, K3 B& y" G \
Ill-posed Problems》(有中译本,《不适定问题的解法》,学# U4 K* A3 f) E7 D. {6 s n. H/ c
校里有,英文版的系里有)。现在反问题反面每篇重要的文章基7 R9 N8 b6 W B0 d% ]
本上都要引用这本书。这本书比较抽象,算法方面有所涉及,但
4 {( K7 h" w& X4 \( J* Z 是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
( P' _1 N- Q4 t7 y& z- v- B6 ? 题理论方面的书,还写过一本算法方面的书,可惜书名我已经忘
" ]3 e: k' x; [- Y* M 记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
; ^. J5 \* s( u regularization for Fredholm equation of the first kind》1 T) O* O7 [% E# h6 t
是比较好的入门书,这本书比较薄,也比较容易读懂。读了这本9 e X Y9 o5 D4 G
书之后,阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的5 o- S$ W$ d6 X' l/ D' d
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
& k2 b# j1 A7 Z, q# n2 O to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
1 ^( Y% G! o5 t/ N9 } 的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的; x; \6 W! m3 t
《Regularization of Inverse Problems》广受好评,应该可以
& F) P5 H. E. m4 y( e 作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多,如Isakov的, u5 u! u0 o$ N, p3 v
《Inverse problems for partial differential equations》,
/ K% N" ?- ~$ u: |* Y6 o Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
# _5 g" R. X. \. O6 [ Ill-posed Problems》应该也是不错的。/ n2 g f5 q5 ~" P9 w5 ]! L
& O, q* A/ S/ V' V$ N0 o 在反问题的数值算法方面的书籍不多,只有Hansen的《Rank-0 ?: q" d5 R2 K; a% J
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的 |2 k: X# v7 F5 \
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
+ ]$ s# r, p6 Z0 h1 F- |/ o G; A3 e) v 书都是非常棒的,要求的基础基本上类似,对矩阵计算的基
0 F' q8 W" Y" c2 z1 C2 i' U* S 本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同,Hansen的书容易阅 n' n" Q* R `4 r& |" G
读,所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
; r) r! D* n8 g 化,涉及的范围也稍微广一点,比如说很重要的Total
7 u4 ]# I* \. C Variation regularization在Hansen的书里就不讨论,但是" M+ E3 C" D& g
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该3 [ c9 K, l+ n8 t
也有很大的参考价值,可惜我没办法搞到,所以也没法评论( m' h+ l! c8 _5 p J) G
了。 @+ O/ Q5 I2 P
/ \4 L+ Y3 G6 i& b+ o5 S1 R 反问题的reading list 可以在下面的链接中找到:
* f; [7 n5 f8 {) O( o: N http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
/ E M- m4 h6 ]3 l& ^5 x! ]7 E : k2 ]- ?* [ T' H W3 H7 ?
计算的热点似乎有两个特点:5 E' i7 ]$ A9 F& s* ^
一个是与具体的应用结合形成新的学科,比如说计算流体力学、
3 u, W5 `9 k; S 计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
4 ]2 w" a9 d& l9 L1 \& e" b 科的发展做出贡献,也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
* T! H: Q# Y) z& n! l) L& K) h/ Z 种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
/ K1 p& y2 D! o8 h# B5 M, s 中的一个热点,可以参考鄂维南老师的评论文章。! S4 ^4 O3 d8 `9 J9 b5 W
P* F& @5 j8 L& A- p
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
- _0 { Q9 @! o' a2 U: y, q 分方程数值解法,拓扑引出的continuation method。其缘由可能
- v8 E. \. K. [( i W4 v/ S6 J O6 t 是基于某种物理上的考虑,但是可以通过引入新的数学工具来解决。9 d" v+ X M, p
这也应该是一个值得注意的地方。
zan