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谈谈计算数学(转自校内)

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hi,我是mzszrj,我是一名大三的学生,专业是数学与应用数学。希望与大家一起成长,请多多指教。
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发表于 2010-1-23 09:06 |只看该作者 |倒序浏览
|招呼Ta 关注Ta
虽然不是我写的,但我觉得很好,希望与大家分享。以下的内容转自校内:% o: ?0 ~; w( }3 y5 P8 V) _7 v3 R5 s

5 R5 R/ ~7 R: m+ k: a从计算数学的字面来看,应该与计算机有密切的联系,也强调
2 V  w+ u$ j# J; i; b8 [9 R# f2 z了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
+ S( T2 n1 J! j# y; h8 `4 p) {$ B) W最好地说明这个问题:
4 O5 z. G8 A& j6 Z- ~! k/ g- ?
( T. @) {! k. b, ^, z  _4 Y$ OHow could someone as brilliant as von Neumann think
/ y0 v) E5 e& J& d3 ^: `8 Shard about a subject as mundane as triangular factoriz2 d- `& d" `9 k3 S8 v
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
8 y) _8 v  ?, g, }/ l4 F9 R9 |# Nwith suitable pivoting, the results are impressively' e/ P1 S: }8 W  W( p' J
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on( S6 K! a4 s% G# N. g4 ]: d0 Z5 t: K
experience, concentration on the inverse rather than on
, r* F) x4 M$ V5 f3 Nthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
5 [. i% K$ Z" G& F4 ~Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
' t/ D' z) D- ?; q5 F1 G) X& KLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem4 F' m6 C7 L! o5 n- o' v- p" j
for at least two years after the appearance of QR? Why. q$ M1 L& k/ l, j; u& J* D# ?
did more than 20 years pass before the properties of9 g3 X9 B8 W0 j/ ^! \0 D
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
! g+ u4 p; [* C: G. m  ^the explanation must involve the impediments to7 X; a: v, y$ W7 C: s& \* D
comprehension of the effects of finite-precision) l: o) e  d3 G- s, ^
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)
# u/ t$ s  a; r" c' k( k
$ \% [  g1 f5 W# v3 a既然是计算数学专业的学生,就不能对自己领域内的专家不有所, a+ p4 B2 N( \: p9 o; G
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
6 S* E; r; C% f5 i院士独立于西方,创立了有限元方法,而后又提出辛算法。这里
% b3 ~* N/ k$ q( C9 O/ Q  T0 F, u' O只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家,因为他们代表了当7 _; d; \# b6 l. w" ]6 J' l
前计算数学的研究热点,也反映华人对计算数学的发展的贡献。
1 M% c& o: i+ E) u/ j
9 h" |& o$ V; R% e! g侯一钊(加州理工)
/ y6 d3 `8 w& d2 ^% N5 Q研究方向:计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流/ _$ @" C; Z  v  ]5 B3 R7 v
http://www.acm.caltech.edu/~hou/
6 O3 U$ h  l+ w' L) A8 w- A. ~- X/ a4 p1 _- B" ]6 B
鄂维南(Princeton大学)
5 G: L6 k" U% ?北京大学长江学者,研究方向:多尺度计算与模拟
, R) Z+ B1 X( _2 z! v4 I& O; Dhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm / y9 r0 i4 o  h

7 z( a" Y3 K" p& b) j$ q2 y包刚(Michigan州立大学)8 C& T% _  M, l& G4 Q- F6 S8 [- @
吉林大学长江学者,研究方向:光学与电磁场中的计算等1 I: b1 d, y$ x1 z4 k; @
http://www.mth.msu.edu/~bao/ 4 e/ S9 V7 K1 q

" U8 W  u- e" E( I0 d金石(Wisconsin大学)
0 r* X0 t6 A5 b% x% @" p清华大学长江学者,研究方向:双曲守恒律、计算流体力学、7 G/ T7 L9 X2 f: d
动力学理论等' c& h4 h: O+ f- A: Z3 ]) ?7 K- @
http://www.math.wisc.edu/~jin/
, g3 m3 F! }; V9 {0 Q2 r+ h! g
5 d6 n- b7 {- m, ~- \9 R汤涛(香港浸会大学)
4 r7 Y1 k- N/ y# t3 V中科院,研究方向:移动网格法等+ {( }0 w9 K( y3 R6 X: i- v7 f
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
' H6 {% [+ T" {( j* |
, V% L" ?9 \. I" ~2 Y9 ~舒其望(Brown大学)
7 Z. D1 w& ~5 Y6 g! _, P2 N  g中科大长江学者,研究方向:计算流体力学、谱方法
, {& G2 U/ B0 X( J8 b% I6 `http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
  U9 l7 {3 j. m& g# y3 @, C
) i9 v# [4 p4 @# [陈汉夫(香港中文大学)
2 f9 k* W1 d9 C4 Z' u/ e. u研究方向:数值线性代数8 c5 s4 @$ E2 Q! `6 ^6 h7 J
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ + \) {! k2 F& q  }* h' F! H" v
1 G4 F3 ?# Y# f  c7 n
许进超(Pennsylvania州立大学)
- k$ L! I5 j7 ]/ _0 l北京大学长江学者,研究方向:有限元、多重网格法
6 x7 f1 J2 Z& ?# E+ Hhttp://www.math.psu.edu/xu/ , g9 K+ R: y& ?1 u  A; s( w& {
( t* p2 w: }- f* r" W/ D
袁亚湘% x3 y+ K* n! L! d1 F
中科院,研究方向为非线性最优化5 h6 ^8 p" C6 ~) Z4 k
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
6 P4 t1 e: B( |1 g5 r$ s
$ A2 F% z  I. b张平文(北京大学)
6 F8 v! j/ l  }" _6 C2 Y北京大学长江学者,研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与7 A; P- ?# x/ I9 J; E
模拟、移动网格法等
% F9 D8 |8 z( [2 e) jhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 0 ]2 S  z% j6 b% W/ A# V1 L+ M

- O( d! o5 o. s$ N: t7 d( J4 f7 w陈志明(中科院)$ {5 c: n) |" G% q1 y0 E
研究方向:科学计算与数值分析,主要为有限元法; \# a' E, p/ e) W
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html * ~$ p8 r. a- z4 A- t# L' j; a; z
) R! c$ i- i! u5 b1 @# J
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
6 G! M- w6 J8 f/ b) Z+ M$ O) J8 J" `! W  b( g
作为计算数学专业的学生,经常阅读本专业中的主要杂志也许% Y" `! f, u8 k2 F' b
是颇有裨益的。
+ f; ]. @$ a; s$ V理论:
" f5 q- e9 |  r/ }. B最好的基本是; o/ t% Q6 K; A6 ]2 _& j
Mathematics of Computation
: G& N* S0 O9 C3 F% L. r4 F* VNumerische Mathematik, e+ u, _2 `4 W# K
SIAM Journal on Numerical Analysis
# ]: ~) L6 y4 FSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications* R, x7 t$ R# S( W. X* u+ |
SIAM Journal on Scientific Computing& A+ L% D& o( C* N
较好的有:8 M- i7 f, [; s$ t1 Y- `; l
BIT5 L: a% ]0 i. t2 f* H. W" J1 o% Y. b
IMA Journal of Numerical Analysis* W4 h% @5 U9 S# P8 b% R
Advances in Computational Mathematics9 A) m! T; D2 u4 E: d7 g
Inverse Problems, A! @1 u0 W8 ^  J$ ?
: K3 g$ ~! V, c; l) I; F" s9 i) G( j
还有应用性质的杂志:
: v* _1 l' N: Z& q+ gJournal of Computational Physics. T. I  w7 j) P0 ?! |& S6 ?
International Journal for Numerical Methods in Engineering
1 p" e% W6 B& L3 a# vComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
: }8 b/ |! B* |, s- h+ `International Journal for Numerical Methods in Fluids7 ^2 L" S7 g% i, ~3 w
Computers and Fluids
6 E/ c# |* A6 g& g5 EComputational Mechanics
0 N8 |+ k; s7 b- b/ I% u7 [还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊:Journal of
  e+ P- \8 v3 nComputational Chemistry,Computational Material Sciences" Z0 B1 [7 k  B9 X
也可以浏览。$ K$ E6 Y! Q5 m0 a3 j
, ^  z" w, D; F
但是作为入门来说,大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
2 d: m! |3 g4 e3 O* h' G6 O5 a了解、把握一个领域,因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
2 {. D2 f# L# }4 @5 _" o5 d学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出9 t. L8 A- Q8 o
版一本,作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法" g& C2 L) @9 ^' n
非常热门,05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
: X# |5 p6 t- o; w7 U" ^的Level Set Method in Image Science。其他论题有:entropy  g# a  |# r) y, C" q" E  S
stability (Tadmor E),radial basis function (Buhmann MD)等
. c! B6 ~! l% ^/ Z等。该出版物我们学校没有订,不过可以从网上可以找到不少。我9 h7 [0 ?, k0 u) |# F' E
这里大概也有二三十篇,可以提供上载。2 v. V+ S% [) v) O
) s* X$ H; P6 I
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
! F3 [5 d0 {* \章关于计算数学的内容的,经常从实际问题引伸出计算的问题,或8 z# P+ V" s5 |, t, k: r7 F' \
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
# _7 a1 W4 z) {! V* S( {! @. n计算的有意思的短文,不妨浏览浏览。
, @' }1 ?$ H8 U+ M1 z+ `: F
' B2 }' f  S, F! @1 |作为数学系的学生,无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以9 Q$ v6 f8 F' k$ Z
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。- A- h: v) S! C) l6 Z% K) y8 Q

% K$ o9 d4 {; m! P" Z+ M3 w- C" `& K微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
/ c5 i6 H$ C3 n! C& Z法、有限元法、边界元法和谱方法。2 |* y9 i2 h# @; c  e
, l% p4 s6 G" W- C1 e$ K
有限差分法想法最为简单,比较容易理解。李荣华的那本《微分方程# d( C$ J# B' g/ z' Z; k' t
数值解》就介绍了最基本的东西:收敛性、相容性和稳定性。
9 r* A2 `% Q% M% t; y: \5 V2 }. hRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
! I3 {2 N3 C) K2 I) nProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本6 c7 t4 r! ?1 a/ F. r- @% B5 `; J
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很9 w( }. i5 x4 i: J, V$ o: T
有意思,介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的* P. }% [' F* O) z
主页(http://www.amath.washington.edu/~rjl/)上下载,他的另) Y+ o( M2 B5 O' |
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律: b# E7 P* c/ |; a7 F9 r
数值方法方面非常出色的著作。8 C5 |8 r( c. U$ A# u3 u

7 w* p& {( L0 C( x) p有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method% I+ j6 z# u9 J" @
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材,另外Brenner" U3 [: e% v4 {' Y
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
5 S* C. R  u; IMethod》据说也是不错的。% A) {! T1 G* r

+ w9 g9 v9 D2 `6 {0 c5 T谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
  g- c0 w* m1 e, A# ^* X郭本瑜教授在这方面做过很好的工作,他的《Spectral Methods  O5 t) w* x* z
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
& C" b; l' `7 t' c! I  Q很出色的工作,他的一个讲义可从他的主页(http://www.math.purdue.edu/~shen/
/ n7 f4 j" r. d6 [7 U% O2 m$ @* `. n. z- ^: n, X  \5 K2 t. q
上下载,同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的! I' T1 d8 l7 Q( n
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》,其他的还, H$ W9 u: I  M, e
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》,不过2 O  ~7 S; x9 ]6 o/ m6 U: e
不知道能不能再学校里找到。
6 x! t  \  z+ D. J" e) r2 k3 N
/ U: j  H% o. [8 ^除了上面这些方法之外,还有近年来比较热门的无网格方法,这些可# d  ]. ]& W7 g& N: G2 r
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社,2003,50¥)。) H  a$ q% Y% Z& ^" A
2 @! N; z! }. c  G+ p
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
8 X6 k' ~  W# `' x6 r- Q  \' KAnalysis》(有中译本:吉田耕作,《泛函分析》)或者Rudin的
4 X4 x  n( ]0 p《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的,但是也是非常
. r) I0 g- n+ l5 W) `经典的书,可能当字典比较合适。但是,泛函分析里面重要的定理; _0 A* M6 J- D: {5 b! _
在计算里面并不见得特别有用,所以我们要甄别那些可能有用的东) ]" t- {0 O$ c) F1 y, e
西,Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
1 n4 x6 ]2 A' U5 {这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由,如Holder不等式的导
( q$ j# k4 w( ~5 u8 m. C出,也有泛函分析在计算数学中的应用,比如Kantorovich迭代收敛
( h5 |- G% U* G  i! U- O3 K9 d性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用,里面% F$ y' J/ R6 {) l
也有一些应用于数值计算的例子,比如Lax等价定理,值得读一下。4 f5 H. |' }* I% |% m4 l  U4 W
& s' G6 ~8 m3 h% l
计算数学还有其他许多重要的分枝,如矩阵计算、反问题、计算流2 m; L) L/ \" n' Q3 `  E, {% ^) n
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少,这里也没
; F/ J: \1 C- p6 @有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。1 }+ I: ?$ G3 }# x! R

6 d% _' `1 P; y+ R最后补充一句,订阅mailing list也是不错的,可以迅速获得关于
7 H' g+ t0 _( Z0 R: X; _计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM,可在下
0 I# a  J1 W" J7 w9 y6 w! f5 o面的网址注册
' |0 Y; v/ r; y6 [$ i4 G% qhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
; [$ U2 k/ [' {  G' u英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest,可在下面的网址注册. R. n. l" k6 W( k
http://www.netlib.org/na-net , u8 y& ]9 H0 n8 j3 @0 D8 C
8 s% `! |! L5 ^
# k8 h( ~! E2 y: u( I
; n" y/ M, t' e# g0 e- r/ N; f
先订正一个错误:Sawyer的那本书的题目我5 _' g) e; E+ v: n2 D3 B2 d
记错了,应该叫《数值泛函分析初览》,系资料室和图书馆3 h$ z  k$ ?- P$ p3 g- _
都有中译本的。  T. m0 b9 A0 _
" @( ]+ i; {6 Q
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师# D2 c9 b. `6 E) `7 c# E& x6 P
在这方面有很出色的工作,中科院的白中治,北京大学的徐" h0 H* R1 a; g8 F- ], v7 Q& `
树方,复旦的魏益民和曹志浩,澳门大学的金小庆都是这方$ y+ `; `) A& g$ E5 M
向的,还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面2 o9 P) Z$ s$ p1 x) A+ F. z
有很突出的工作,可惜我基本上没什么涉略,这里也不能列
+ B2 e- _" c3 @1 }  @. e. D0 N出来。
' |* q3 a9 G6 |- B: b8 W
7 f: ^4 a8 T+ |/ E$ ?. h国外的大牛有Golub,很多这个方向的大家都是他的学生。
4 O: F# S. b8 m( z! o( xKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,5 N: s/ J' Q( q3 x& J$ R3 W$ h
Higham,这个名单可以列的很长,这些人是矩阵计算方面$ D1 T% Y8 \; R" g! X- Y1 }
的大家。
3 W$ p3 Q+ z$ y
  y( [( l$ A/ ]' l+ g" B矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The" u3 t  g/ }; t1 m9 [) }1 J
Algebraic Eigenvalue Problem》(有中译本,石钟慈等
* O* `. C/ l$ h* E. Y0 S  n人译,《代数特征值问题》,科学出版社,学校图书馆有,
  Q+ e! p1 i* b8 \; k$ V: [3 H/ I系里有英文版的)。这本书虽然老,但是据说读一下还是4 Q6 q9 b+ F9 r$ }
很有启发的。现在的经典是Golub和
8 g; h/ @+ z  [$ w! {) P! A- y4 Gvan Loan的《Matrix Computation》(有中译本,袁亚湘译,$ V/ f% X. K% `9 q2 G, v; n! x/ }# Z
《矩阵计算》,科学出版社),英文版的电子版可以在网上2 ?4 `. H: y0 Z4 [+ e
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
8 ]: i, m" z9 d2 j% hAlgebra》,Trefethen & Bau 的
( Y! `- \) S( n《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef; |% y8 ?2 {& g2 X# Y* b/ \
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
6 j# D4 R7 _. R' O* |# y& \- j4 N和《Numerical methods for large eigenvalue problems》,
5 G8 Z% C" M$ i+ V写的挺有意思的,在他的主页  ?3 z/ z) d4 g9 D7 ^
http://www-users.cs.umn.edu/~saad/
" Y( |$ m. ?1 g, I# [. z) E9 s& i: j上可以down。说到矩阵计算,还得提到Householder的一本老
: [: j, ^$ s$ G+ h5 p书,《The theory of matrices in numerical analysis》% Z1 ]* k/ O7 a9 I1 s$ F! B- c
(有中译本,系里中英文版的都有)。
3 B' X. T) X3 }1 _( @, Q, H0 I7 H3 ~" v3 h
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授,他写的每一本书都很经典,4 h, x2 v/ G9 e/ T0 O9 b7 a
前面已经到过他的几本书了,《Spectral Method in Matlab》,& m( z) t  [$ N! C; E
《Numerical Linear Algebra》,还有《Finite Difference
- p. [# S6 m6 u  s/ R- ?* kand Spectral methods》(在他的主页上可以0 V7 B) C# T( I6 U  ]6 L# H
down,http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/+ e& h. q5 l6 ^, P
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
4 g! s; T( m2 u" B7 d, d- @0 \- a) B2 d( v) I) c, u
他在Cornell大学任教时,曾上过一门课,就是阅读数值计算的经
. ^2 m, g% B2 J, Q- M6 W* R典文献。为此他写过一个短文,列举了数值计算中的十三篇经典文
0 W0 W; L- Q6 Q% [献,也许对大家有点启发。7 r" m- Y& V+ W; X* f8 q
0 ]. `7 Z( ?5 ?. U* x
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
: M  u5 _. h4 g; N2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE# |* L. P, V3 j$ ~# }
3. Householder (1958) QR factorization of matrices, T) F" ^0 ]! n: O. i6 ]
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas7 w7 @7 G' {9 f/ U  m8 B2 Y
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
2 @" R0 u# |" J# a% n2 `6. Courant (1943) finite element methods for PDE. _6 O# x) Z) L% u
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8 s% m5 J( I" s9 R) g8. Brandt (1977) multigrid algorithms2 m' {! T2 M/ B9 L- w9 N
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration6 h" C: ?' ^8 S8 s
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
3 _' C% b5 b* ^9 h& G11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
( F, C; L. l" `4 O+ P12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
7 X3 I. \$ q5 @  L2 B5 F5 Y13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles' H% ?$ @( o* Q0 r' w' }
; v$ u$ u, Z# V  U) r* M
他的remark也很有意思,We were struck by how young many
9 X" F* p) I- P& f  d$ {of the authors were when they wrote these **s (average
$ D9 F# D) j0 Q; D; S7 L! Hage: 34), and by how short an influential ** can be
& d( B8 D2 f' O- H2 }* {- q(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家: {' j) D1 f$ l0 ^& {6 B
都还是很有希望的,呵呵。+ _2 \2 I+ J3 o+ V
) @  e' p6 ^" D# O% ^) F$ {+ p
* L3 E0 B% o1 {$ M  M
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下- y8 z5 x/ n) d

# K0 W8 B  B" X3 ^几本杂志:Inverse Problems,Journal of Inverse and Ill-posed
% }( z( e1 X: K7 Q
9 _( h) J1 T( q/ k9 Q+ mProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前4 u' J6 `! I) X+ {

% f8 o& M; }# g+ J% k0 ^叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好,第二本杂' }& U# b; e/ F; B: w  k5 N# t
5 q( ^/ J- G, c: C3 g2 V; b4 i
志上面有很多苏联人的工作,第三本偏向于应用。在很多高档次的
/ D. E2 D# y6 [+ G) u& j7 f2 n8 Z* a! L, n2 n( U2 N2 H
杂志中都有反问题方面的文章,比如SIAM Journal on Numerical1 N; e* @8 b# ^8 \) ]/ a

$ E6 B# x( d1 QAnalysis,SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM9 j* l# l3 x+ j2 F( J% N

" j, B' R3 `' o6 b* J$ y/ QJournal on Matrix Analysis and Applications,SIAM Journal on
$ u2 b# S$ ]. A5 s
) M* M8 Q5 u6 c5 V0 D0 aScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
2 B/ h* K8 g  [9 ?. H" `1 }4 ~. l; D, |) o$ Z; ~0 p
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师,他在反问
: y/ V& l6 ^7 ]! [! Q5 c. j# {
: m6 M( s! ?0 X) s  F1 r题的理论估计方面有不少工作,南京大学的金其年老师也有不少好5 `: M6 d9 ~; M" Z7 Z, S
  i' d* J2 F: ^6 z/ g) Y
的结果(很年轻!),哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他
% b: {6 O* Q0 g) l$ \# Q$ _  S3 c$ g& l$ f. o& X4 j
们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HW3 j! n/ X1 H: M  s* u3 `3 h

$ J+ ?! j7 T0 NEngl(澳大利亚),Yamamoto(日本), Kress(德国), Martin# h9 C7 F" p: G3 ]& @5 P

- d3 Q% ?5 G$ hHanke(德国), Isakov(美国)等。* F  k# P' ?7 c4 V6 }+ n

7 g! l8 p# y- S  F9 y' Q0 ?7 ~反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密,往往需要根
& H3 P' ^( H. ?5 M/ B' u0 v( L1 ~7 x
据问题的特点设计专门的算法,这也是反问题的难点所在。很多应
: @* H4 |* {; s( @) @6 R
5 T" m/ U, m  _$ Q0 j! b/ @用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
4 O  K' B% a9 g, }7 y, z& n4 a4 h/ L1 A$ D! b% s" \
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学" r6 \. W( K$ K0 P% J/ S& Q( W9 _- z
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问) Z! Q; K: Q6 ^
. p. \; x# V7 S' I/ s% D
题,但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
+ m9 ?) s& e3 u% u/ p' S# a+ [6 T9 V3 D& B- J
平集方法应用于反问题(发表在Inverse Problems上),在国际上& Y$ g% E: p1 B
8 I, x2 \! V6 q/ V6 m
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
$ I: `- X, W  a! B
' N. I8 f( g* ~, U8 k的小组作研究,并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一4 }1 l) N4 p% l9 ~+ f4 D1 N8 n
5 |! O1 B  a& m, C( A
个综述和展望,值得参考。
- b8 n. s5 z8 K" o: K- k0 \+ o* A6 o
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
2 e1 H3 A6 D3 x- g) j" H9 qIll-posed Problems》(有中译本,《不适定问题的解法》,学# d+ o) D( ]3 x4 _+ N' p0 ~
校里有,英文版的系里有)。现在反问题反面每篇重要的文章基
5 ~' G; [+ p) L# h- Y本上都要引用这本书。这本书比较抽象,算法方面有所涉及,但
( R& b  b, b1 P是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问0 d, C" T  Q% Y5 I( V, P
题理论方面的书,还写过一本算法方面的书,可惜书名我已经忘* {8 _& |% B( w& r& N" @7 l1 D
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov  }9 F( o+ O! k2 M+ o
regularization for Fredholm equation of the first kind》9 C- i) m# r( V6 A) y+ P6 z
是比较好的入门书,这本书比较薄,也比较容易读懂。读了这本
7 b/ Y; K# F5 O. {' D书之后,阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的3 R2 B5 u/ a% w2 U- S
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
, l# v6 A% k9 R/ g% F0 q: uto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错4 G) V9 w$ x8 b) e. G3 M
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的) _: ^4 d: }& L. N
《Regularization of Inverse Problems》广受好评,应该可以8 j; H% ]* ^$ L' w, {
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多,如Isakov的* O1 }4 m( X  f- B' \7 i
《Inverse problems for partial differential equations》,
2 p: ]9 S. p3 X  hMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
, t! c6 W, n: S/ Z' q. K4 D1 xIll-posed Problems》应该也是不错的。
3 r5 n/ d/ J  o( g4 l. }4 Z; b2 ~9 C( V: J/ C# U
在反问题的数值算法方面的书籍不多,只有Hansen的《Rank-
) h% \! X/ C7 K" [$ L' ndeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的4 X( p& X& {3 I
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
- m1 a$ G' o7 j9 H1 y8 P  K$ }- b书都是非常棒的,要求的基础基本上类似,对矩阵计算的基
8 g. n  p7 T" `+ h; k9 [+ N本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同,Hansen的书容易阅
, z9 V% t* |0 ]# j读,所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学  D% C/ d. G) j) T0 {9 i8 I4 P+ |
化,涉及的范围也稍微广一点,比如说很重要的Total7 b1 d" j8 J) R( j0 e6 p4 ^
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论,但是$ ^/ n7 V# ~1 `5 H+ k" P, \
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
8 O8 b: h6 m4 j( Y也有很大的参考价值,可惜我没办法搞到,所以也没法评论& I2 v* m! Z( |' q! R5 ?
了。* Z7 e% b1 d; C$ ^

3 o( b) Q9 l% _! \- T/ c! ?反问题的reading list 可以在下面的链接中找到:3 K' S1 p: U9 |* m$ U; x/ \
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html 8 H0 F6 V7 J/ [9 ^
+ f% g7 W8 c% A" t
计算的热点似乎有两个特点:
8 z0 P. K: c0 V0 p7 r0 }+ N" P一个是与具体的应用结合形成新的学科,比如说计算流体力学、
" f' F: |8 q: I' `* q! B* Z/ s/ [计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
8 H5 c# {0 M. [科的发展做出贡献,也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三0 u+ R$ H. u6 K9 F5 n
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
0 K6 y3 t6 }* J中的一个热点,可以参考鄂维南老师的评论文章。
$ p& D3 R( r, `9 |( d9 Y
& y# j$ M, }6 h$ U一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
+ C/ Y# d/ l! [* i* L8 [分方程数值解法,拓扑引出的continuation method。其缘由可能" |& C; j# D, \7 z3 x# _1 h
是基于某种物理上的考虑,但是可以通过引入新的数学工具来解决。
$ N+ _4 ], J* ]2 f# }* v) m这也应该是一个值得注意的地方。
zan
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