谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
. k9 e1 `* e. D, o! ~4 |+ Y# M" |
! ?( }9 ~: _7 u+ T2 e8 H. Q从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
- B) ?: c) v* R了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
9 l: [( p9 Z# R$ [最好地说明这个问题：

8 m0 A- b2 \- \7 j2 T1 ZHow could someone as brilliant as von Neumann think
. ?* c! J1 f' Xhard about a subject as mundane as triangular factoriz
0 g) P2 m0 q  m+ f) B. G6 B' m-ation of an invertible matrix and not perceive that,
  p. Z! C" X5 |! Ywith suitable pivoting, the results are impressively
, V. l% m+ t0 h6 ~* G* J1 F$ c: Q8 {good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
) L+ Q. d2 c+ x8 f# eexperience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
8 p4 z! V; _1 [, K7 _& ~Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
did more than 20 years pass before the properties of
% j! _# T9 Q+ `) _2 athe Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)
$ n- X. s9 _' D/ h
# b" C* c' k* K5 Q  {8 d既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
  E# u# D' w0 N6 \7 D9 o$ D' z了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
8 O- V6 J  F2 D6 L# Z前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
. T2 K' @$ ]- O2 R2 `/ `
侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
http://www.acm.caltech.edu/~hou/

2 w7 U7 W8 p) l8 i鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
" E- I6 l/ D$ x3 |8 {, fhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

' [9 n: j3 J+ h! K包刚（Michigan州立大学）
5 K$ B, i' a7 F% L吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
  v- t& Z( E% e4 p' v9 A- M! \7 \http://www.mth.msu.edu/~bao/
/ S- B" }! P- {1 v: a
% ?2 g8 j/ I! Z2 U! W7 B5 y金石(Wisconsin大学)
5 v! L& U) p3 J1 X& _1 x清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
% _1 C+ C7 c. S8 [/ r" Whttp://www.math.wisc.edu/~jin/
' T: Z2 W1 S; a+ C
汤涛（香港浸会大学）
' G* y- i. m* r* \/ v( j+ n9 a# F中科院，研究方向：移动网格法等
- w; N5 q+ \* g, C, R( q+ shttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
% W' G2 D  A7 q: P
5 U8 l# `- _0 j! `陈汉夫（香港中文大学）
: ^2 |2 d+ @+ d+ n8 N. {研究方向：数值线性代数
9 L' T, `0 ^! e! lhttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

许进超（Pennsylvania州立大学）
9 l7 n8 x+ Q; v  V9 W北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
: P1 r. d. A5 ]3 Q% F4 Rhttp://www.math.psu.edu/xu/

' }3 I+ k6 S+ v) h" x6 i5 E袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
* ^3 M& G$ M6 p- ?http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

6 v; m" f5 Z; h  W张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
5 I! Y: H& \# s3 G* R8 shttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
! a9 w) \3 U. N  A9 m. y
陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

, A& [1 ]5 }: m. U: C其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
& E: l% y  u2 M1 R! X" e6 }/ h& E
4 X4 T4 @2 P6 F7 o8 V$ u作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
, L$ d' X: z2 B9 Q" d7 `, ^是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
Mathematics of Computation
' Q* u5 @) Q1 M* pNumerische Mathematik
3 j# P; x5 e5 \* @& j& x' z2 eSIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
+ Z7 R' A) J  s; k6 N较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
Advances in Computational Mathematics
. }! l5 @8 L" L, T: Z+ E+ rInverse Problems

3 L/ [4 b& |$ N' w6 F: I8 ~& s还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
" d, S! J5 H$ F+ `5 l1 c. cComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
$ p' T6 q) z1 ^9 j" s, RInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
Computational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
! b3 f; q) T& t4 N) m也可以浏览。
) T! J8 ], K5 Y" S/ o  v9 U& }" W
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
8 J0 V% |' Q7 r2 j8 o; x0 H1 `了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
7 v# \* W8 K7 \( ~版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
* {4 W- ?' P( i, G' t的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
: Z  H0 e' r0 {3 h: l; l6 ~stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
& Y- T( O* \% e/ ?" Z8 W; ^# {5 m* C+ I这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
- ^1 S; {( j6 t/ ?
, m( }% ]# k7 N  P另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
' T( D% m& [% f2 d5 f) Q章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
: z) K- x' T: E% v& C6 d计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

6 `/ l7 w# f) Q0 l% a8 ?6 q作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
4 d' h5 l# C8 D7 b8 P3 F' \8 N# O称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

% G, I* B% j) a' `$ K7 _2 S: ^1 k微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
" o5 p; `6 N- H5 }9 c$ w+ ^* V' H6 s
* @* y4 I2 i. V% @: n有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
$ y% \( H7 R; ?9 l6 h+ W4 J" |数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
4 a, e5 `1 ?5 E5 T: CProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
1 }( ^. A$ Z! ~8 t; j' u主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
5 a, N# M# V& g5 l& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
$ Y# X" C9 Q% c
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
% q  k" E: S3 x+ n+ r0 t' b7 @4 {很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
4 A% b8 i4 E/ W) M" V上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
# q7 |$ ^4 K% ?& F: `不知道能不能再学校里找到。

  V  I8 U3 L1 u! k- v除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
1 {$ H) ?7 T/ g: S以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
/ h: G0 ]/ n% u2 }. S) w
/ t) d5 D8 b! G# l! t& a计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
9 }% \- E& W+ c* e8 a- BAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
6 v& h& N8 e0 ?《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
; f5 n: ]* ]# J; c# C在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
. \+ g8 \2 Q# u* j0 q! I! l+ h西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
7 c6 l& F8 e& {# ~7 n5 ?4 v也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
; m9 E7 c8 P6 Z" z7 o
* D# D( L0 `/ N; T+ K计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
! V5 A3 N" J+ S0 V  J& e体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
1 G; j6 G! s7 I5 J2 Z2 @有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

9 K) V5 p3 v' \: }! J0 H最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
( ?, n0 j" A( ]计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
2 ?. V% b2 i; X' L) |4 c8 ?http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net
) R  \1 \$ Q( f$ U! w
3 O, x  k* u3 ]0 _) L7 ]  @: X

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
$ ~" g5 X: V- Y' ?; ~记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
& v$ A) _8 X8 j- f& b+ {  c5 v
& E( n( M8 s7 t6 A( d) W. w  c- h. r) }接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
8 F  `8 Q* e8 a9 w. S7 k) J树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
' ]) E9 U4 f/ r' ~. V出来。
- B; |8 L& @- {; i3 L
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。
. D; l4 G6 C3 D" x  N- Q; s
$ V" T+ q9 P6 o矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
5 L% W3 o6 j# d- n- p+ a人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
  H' s2 J1 D! i系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
$ j+ q! e) n8 T  i2 l) d很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
: r( ]* c& x6 J9 A3 V6 O- t( H+ ?" S找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
2 V) _' q0 M7 b' `- w" P2 FSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
% d, u% U. x( c- {- \' B0 P8 Q5 X和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
0 J) `  j/ k6 M7 ~5 f+ ^（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
0 W& S3 q. q" c( x+ w/ Q+ k上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
( L, x7 j+ u8 z1 W" w' E(有中译本，系里中英文版的都有)。

LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
8 c& \& q! g+ G$ V前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
: m6 R) n; j# W+ q6 R4 cand Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
8 [7 ~3 F7 R9 j0 a- N) {. F
: |: l9 @' s' q& V4 m他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。
& C4 y" c- C3 i+ E, E! {4 \3 I
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
+ p* d- J* l. i# r) r2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
, N) E0 n  u' [- k4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
0 V! j7 G- f- c( P7 q# x6. Courant (1943) finite element methods for PDE
& ]. i/ j1 o, S" W  l. J; P* h7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
/ ^8 r! T( y: U* j8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
4 g9 [9 t9 Y, p) Q) b  S11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
7 ]: s# v4 U$ C7 r( D$ {! V6 V
. L! R+ Z5 V* H' X  G! i" x1 i他的remark也很有意思，We were struck by how young many
$ I7 y  }% z: Y$ d' c4 s+ W! ?# Vof the authors were when they wrote these **s (average
; D. D4 Z0 q5 nage: 34), and by how short an influential ** can be
7 p) V) L% L& ?(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。


反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

# D3 I% A# e+ C& ^! X9 j2 p- P) V3 X几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
* t! w& w$ q# y: K& s+ B
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

& z9 b/ j: b/ t& {0 W+ bAnalysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
$ m. L* I# J7 t* W* t9 ^: }$ U: {. Z
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
" O- ~5 Z& u. d1 q
! g' D5 C: S* vEngl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。

反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

9 ?/ O7 \) L  y! l8 ?  ^据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
2 \# w- k" o$ q; ~: Z8 S
/ e: f9 O# O6 [$ Z2 E" Q题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
# m6 I  m1 P3 Q
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
1 E1 X/ z! E1 W! C8 _$ B
的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

& R7 J3 C5 q# f$ p- R- E个综述和展望，值得参考。

反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
# ~0 N' w5 m. |# b3 Q$ l6 [) qIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
% _- ?5 p+ Q* ~+ z' o7 P/ R本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
  [% J& p9 u$ a8 Y3 C" P( x. x题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
2 H# \. L! G! p0 M# Y0 E  R0 [2 V记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
% b# r7 \- ]' O2 F0 O6 dregularization for Fredholm equation of the first kind》
/ e  l" C4 N- t7 q$ o是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
2 O+ Y) k, I$ n, |/ O/ a- ]书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
& M6 a4 C* b. c4 x( Y& ]# I' Yto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
; D+ {3 f* Y' g% A" M2 Q; q《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
" p6 d5 C3 u3 d- y3 U3 |  `《Inverse problems for partial differential equations》，
/ e, A- d: B3 m+ a7 A7 @Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
; }* U% A) M/ ]  a8 l9 kIll-posed Problems》应该也是不错的。
/ I, J9 q, I# p" |. i+ [
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
' u. h* h( ^" W' G+ s; k4 a/ |《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
+ W9 H. K+ s; k# N书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
, u3 M0 m3 V" N0 e4 b4 h化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
& ~1 y# y$ _' H; s4 [, `Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
  n# h+ n3 x/ k$ F, W( vVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
# y  {/ O8 a" R也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
& ]) ^  A, u8 {了。

4 w3 n0 Z8 }0 }; U' r# ^& b5 y# n反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

计算的热点似乎有两个特点：
% j5 E5 E& S: M% A( d& c/ O9 @) S* z/ i一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
5 _6 @$ T; C( [种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
6 Z8 w8 s, i# }) n2 ^% T! T; L
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
. u4 G' F  \7 i. ^1 d, W( L这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
你看了吗


回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊