谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

: N% z8 a1 F2 G从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
+ e' Q, d: M6 ~) \0 J了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
+ S' l$ I# @# a5 `4 C最好地说明这个问题：

How could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
! O' S* S, `3 n6 ^5 M' R) E* ygood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
+ D  @9 \- y, V9 j5 u; othe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
6 m" l# c% Z" _: T% Y  ?. NWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
; y( y0 z( K9 i$ idid more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
& q$ r1 H1 q& _0 Athe explanation must involve the impediments to
, n+ ^% S# q  ~4 s+ C2 X; {comprehension of the effects of finite-precision
  C: p& t8 V- l+ J& M2 Garithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

. h/ F; ?) L9 F8 @3 W既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
; y7 L9 r9 R8 ~, K; b% n了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
- h' b& E. p! Q0 i( f
侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
8 t6 ^: k' M5 Y5 N" a6 G- H7 \http://www.acm.caltech.edu/~hou/
+ P, Q$ K' a& h# R
& E" x. g: K) x3 Q鄂维南（Princeton大学）
+ i( o3 G. r. {0 ?# J. m3 |北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
7 N% `, G4 |9 l. `http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
& V# P& F# P+ q! a5 Whttp://www.mth.msu.edu/~bao/
: g" f: W" @. o4 c6 }8 [" f( Z
金石(Wisconsin大学)
0 s2 P+ l! b+ u) ^7 G6 D3 W清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
% ^6 G0 r( h" q8 t动力学理论等
, W+ `+ K) X$ C. [http://www.math.wisc.edu/~jin/
" A, Q  M: u1 o% w$ D# N( u2 j
汤涛（香港浸会大学）
* }- \: Q4 f& y. I; r: g" ?8 c$ L中科院，研究方向：移动网格法等
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
! Q" d0 l& c3 ^/ d4 Y1 n
2 O. s+ n, t, ?1 D9 Y& ], o舒其望（Brown大学）
9 y  U/ S7 G$ Q* \中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
! z7 E! P/ H5 k, B" G
陈汉夫（香港中文大学）
" E) j2 ]3 `% }1 F: h: Y9 m研究方向：数值线性代数
, D  t4 r  p0 y& B( Vhttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
* r/ f1 l: i* R% n1 E0 Q
许进超（Pennsylvania州立大学）
! A' {# S$ J) ]0 S% F北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/

3 K7 k  R& |; V( w袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

张平文（北京大学）
4 i) H% a9 \& F; \4 l北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
' y* p3 O1 F6 r5 [+ t/ Q- g模拟、移动网格法等
% ?4 C: C6 h# c# vhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
. u6 ^2 g4 C" B3 Y$ b, {- e% G
6 a$ J. u" t5 G7 `" x0 w陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

2 r0 b& n- O9 n1 k1 |其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

% n5 g6 I1 F6 m* L) P2 c# S/ N作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
是颇有裨益的。
理论：
6 O' c7 h9 G% D0 M最好的基本是
6 ^5 r0 ~/ s/ mMathematics of Computation
Numerische Mathematik
  F1 D. b7 K4 U$ J. _) DSIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
BIT
. O( N( i! j6 V1 y, UIMA Journal of Numerical Analysis
' V, X: @+ E& R: E- ^! ~# qAdvances in Computational Mathematics
Inverse Problems
! {4 }" b5 Z* b+ @+ P- p$ b# |- q
! X, `1 c, r+ O; ]4 _还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
7 m' \4 o* u, r5 _7 mInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
9 i7 ^$ n1 y$ J0 ZComputational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
) g) b3 L2 o3 v0 T. zComputational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
$ \% ?* e- B* |; a学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
$ D! d$ w5 [: K" _* ?) G' {. }非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
; s5 z4 y; |3 }这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
/ ^" A/ Z* A7 S; C( ?; [
, e: u3 v, ]  V. Q, I' b另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
" d7 [; T7 P. x# H章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
( T: f' _' \) B& g0 f者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
8 y7 \, i( O5 j6 G; X; l' |2 }, r( Q计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
: l' s  o  N# b) h: `4 t" r$ E
( V2 ~! I7 I$ r) G# }8 Z$ n作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
9 L: E3 @% w) q  K+ `5 X3 r0 t3 h称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
3 ], K1 a5 I) i
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
/ C( x0 \3 A) J6 p0 kRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
% F- D; x+ p2 j0 k/ n) H2 `0 xProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
& X2 |: u% l& T  v: c7 c《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
0 r4 e+ F4 Z6 R8 O外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。
) o& `) l. r) |' P5 l3 y. }2 n+ M
+ H" ?+ Q  c4 ~4 a$ b$ Z, }; ?有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
' j! T, J4 r* l9 W" X5 q/ G/ @for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
) J9 }) }6 Z1 t; J( Q9 k
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
: V7 S" l8 Q6 f8 C( J* g不知道能不能再学校里找到。
9 f' H$ L) P# C0 }  u% y8 i
3 r7 ?( b6 A, m5 F除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
0 C" i- |, X( m
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
; p' J2 v0 Z$ R* o- P1 ZAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
4 N0 b! D! G  v3 g& K5 n. z$ f* J在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
5 q; g# T) n" q" T$ Z3 Y! A这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
5 s. p3 \: Y# x2 i/ ~也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

  [3 z5 Z7 N% ~# b# O5 a2 O: f/ b最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
/ ?7 w4 M7 A: s% D* G: Q* k面的网址注册
4 H. k# N/ V, m5 vhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net



( M- ]3 E" Z& t先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
9 ?, S5 M$ m, R* r" h/ n记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
; t2 `$ p! q3 D+ d  T* p! N" W& K
" E5 T% t8 R9 H. z; W接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
; s* [& N: X) {% k6 F树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
0 N: \! a3 k" N( W+ |) G出来。

; c, f: c: t: X' d/ t国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。
% }6 O; \$ y) z! i5 z
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
/ d# A7 n- S- }: r% b6 c  C9 @人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
5 }: |" V/ I& C  T0 T很有启发的。现在的经典是Golub和
8 t8 D' V( M5 M0 A: ovan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
' v0 v  f3 ~" Y9 q2 z' w& e《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
- w! I# V+ y7 n1 p( M2 [找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
& s# o+ Z' v0 k- a" N$ Y! |" I  IAlgebra》，Trefethen & Bau 的
9 w1 R0 {0 m; c, f# {5 y2 n《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
2 Z2 P& l; p3 \/ l# P2 ?' I  E% vSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
9 m% r" c: e2 Z6 G3 t' |+ `( O（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
3 E. W+ b, e0 d7 a! I  I, w2 T# F* t书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。
0 s7 a' ?( M! D+ K; N% K- Z
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
2 x; E3 G% m* S9 C+ z0 V: x《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
8 t1 `$ l3 P/ c6 p5 ?) ^& `and Spectral methods》（在他的主页上可以
, f, ?0 [% I. bdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
8 _2 K1 {  J0 ~1 z: Q& r2 q( I  b典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
6 d; o4 N: W( l- F& b" a* `! C献，也许对大家有点启发。

1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
0 g) x) G6 p- l5 g8 _$ H) L/ }5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
" ]' k' N; k6 Q+ Y! t% t11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
0 U4 s5 C2 g2 |! D  I: R12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
- h# ?1 M. z/ s( ~* c9 ]. C7 p
他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
2 _* h! u& d- E% z" iage: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
" F3 z' O! N2 H" d, I$ P" U9 v都还是很有希望的，呵呵。
3 k. l% a7 q3 v1 p0 k

反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

" w2 y. `$ i( m' @% _' D几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

" z2 R% n2 X! g9 c/ I3 \Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
& r( i1 F) L& H
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
& U5 z' d4 w4 T+ H
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
; C9 w+ q- y% e; }, v2 `5 l" a
9 ]9 n5 ^* g. Z& K% }Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
8 F# v/ r# O! O5 k
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
( O2 ^3 w9 H8 D5 n
  }5 T$ }" A1 Y# r4 ~* [在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

( ~  |1 r  q+ [/ H% Z题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
9 A4 ]6 o2 G, M+ O1 G, v! u# h
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他

4 I4 `% E! b7 q4 g2 {们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
" E7 ?3 Z( E( ]9 \
6 y6 Z% t2 Z. e% f( M& gEngl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
0 o; [" E1 h# ]+ ^9 ^
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
6 Y+ k1 @; n- w8 \' x/ x
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
4 T- y+ O$ c& T% n; m, F' X
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
- Q" k( P: @, Q1 `
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

$ `/ O$ s) {0 K1 d" w. z题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

# U- ^) _1 e% ~+ @平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

* q% x+ S. b4 y% T# x9 I$ C有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

% C4 E; z$ e& V7 s9 D' |的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

个综述和展望，值得参考。
9 R+ c7 K1 y3 n. ?$ }. e  a3 ]: r0 }
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
! \. p1 B! E6 k' HIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
( x1 I$ m0 @$ q本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
) |9 m+ t. I9 P7 c+ E是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
6 n; ?" V# @: K5 ?& kregularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
- u0 B) v+ }: o( {书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
* N4 V4 Y9 V" ], z《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
* j9 v( J0 ^8 M9 Q" V* M8 @的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
3 E; }+ o. ]" S3 _7 N; Y  ~, N5 B' ]《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。

4 k( w' l- N# N! d在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
' `, o* D2 Q# s* v: \: ddeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
6 k% N, }5 Y9 \  D& d《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
% w* B% Q& d- b$ ^' N书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
( q! y! ~& `% \' v# \1 N# v读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
/ N6 H, R2 g0 Q* O' F, c化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
: V. k, `8 d$ t9 Z8 \也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
# y, Y; k! j$ j4 `; K0 ]了。

反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
! n* s# W7 |6 o  L- E9 N. J7 y4 lhttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
; ~* H! t$ V; C' U$ S( V0 V" d
计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
6 q7 s$ g, C) L7 R3 \' S. Q5 J; p) u7 \$ a中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
( W5 W3 ~* X& w
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
6 C' p. c0 M7 z1 z, p7 C# A! P* H你看了吗

6 c' _2 h6 b8 S0 a6 O
回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊