5 R5 R/ ~7 R: m+ k: a从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 2 V w+ u$ j# J; i; b8 [9 R# f2 z了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 + S( T2 n1 J! j# y; h8 `4 p) {$ B) W最好地说明这个问题： 4 O5 z. G8 A& j6 Z- ~! k/ g- ? ( T. @) {! k. b, ^, z _4 Y$ OHow could someone as brilliant as von Neumann think / y0 v) E5 e& J& d3 ^: `8 Shard about a subject as mundane as triangular factoriz2 d- `& d" `9 k3 S8 v
-ation of an invertible matrix and not perceive that, 8 y) _8 v ?, g, }/ l4 F9 R9 |# Nwith suitable pivoting, the results are impressively' e/ P1 S: }8 W W( p' J
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on( S6 K! a4 s% G# N. g4 ]: d0 Z5 t: K
experience, concentration on the inverse rather than on , r* F) x4 M$ V5 f3 Nthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate. 5 [. i% K$ Z" G& F4 ~Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a ' t/ D' z) D- ?; q5 F1 G) X& KLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem4 F' m6 C7 L! o5 n- o' v- p" j
for at least two years after the appearance of QR? Why. q$ M1 L& k/ l, j; u& J* D# ?
did more than 20 years pass before the properties of9 g3 X9 B8 W0 j/ ^! \0 D
the Lanczos algorithm were understood? I believe that ! g+ u4 p; [* C: G. m ^the explanation must involve the impediments to7 X; a: v, y$ W7 C: s& \* D
comprehension of the effects of finite-precision) l: o) e d3 G- s, ^
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) # u/ t$ s a; r" c' k( k $ \% [ g1 f5 W# v3 a既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所, a+ p4 B2 N( \: p9 o; G
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 6 S* E; r; C% f5 i院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 % b3 ~* N/ k$ q( C9 O/ Q T0 F, u' O只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当7 _; d; \# b6 l. w" ]6 J' l
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 1 M% c& o: i+ E) u/ j 9 h" |& o$ V; R% e! g侯一钊（加州理工） / y6 d3 `8 w& d2 ^% N5 Q研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流/ _$ @" C; Z v ]5 B3 R7 v http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 6 O3 U$ h l+ w' L) A8 w- A. ~- X/ a4 p1 _- B" ]6 B
鄂维南（Princeton大学） 5 G: L6 k" U% ?北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 , R) Z+ B1 X( _2 z! v4 I& O; Dhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm / y9 r0 i4 o h
- O( d! o5 o. s$ N: t7 d( J4 f7 w陈志明（中科院）$ {5 c: n) |" G% q1 y0 E
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法; \# a' E, p/ e) W http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html * ~$ p8 r. a- z4 A- t# L' j; a; z
) R! c$ i- i! u5 b1 @# J
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 6 G! M- w6 J8 f/ b) Z+ M$ O) J8 J" `! W b( g
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许% Y" `! f, u8 k2 F' b
是颇有裨益的。 + f; ]. @$ a; s$ V理论： " f5 q- e9 | r/ }. B最好的基本是; o/ t% Q6 K; A6 ]2 _& j
Mathematics of Computation : G& N* S0 O9 C3 F% L. r4 F* VNumerische Mathematik, e+ u, _2 `4 W# K
SIAM Journal on Numerical Analysis # ]: ~) L6 y4 FSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications* R, x7 t$ R# S( W. X* u+ |
SIAM Journal on Scientific Computing& A+ L% D& o( C* N
较好的有：8 M- i7 f, [; s$ t1 Y- `; l
BIT5 L: a% ]0 i. t2 f* H. W" J1 o% Y. b
IMA Journal of Numerical Analysis* W4 h% @5 U9 S# P8 b% R
Advances in Computational Mathematics9 A) m! T; D2 u4 E: d7 g
Inverse Problems, A! @1 u0 W8 ^ J$ ?
: K3 g$ ~! V, c; l) I; F" s9 i) G( j
还有应用性质的杂志： : v* _1 l' N: Z& q+ gJournal of Computational Physics. T. I w7 j) P0 ?! |& S6 ?
International Journal for Numerical Methods in Engineering 1 p" e% W6 B& L3 a# vComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering : }8 b/ |! B* |, s- h+ `International Journal for Numerical Methods in Fluids7 ^2 L" S7 g% i, ~3 w
Computers and Fluids 6 E/ c# |* A6 g& g5 EComputational Mechanics 0 N8 |+ k; s7 b- b/ I% u7 [还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of e+ P- \8 v3 nComputational Chemistry，Computational Material Sciences" Z0 B1 [7 k B9 X
也可以浏览。$ K$ E6 Y! Q5 m0 a3 j
, ^ z" w, D; F
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 2 d: m! |3 g4 e3 O* h' G6 O5 a了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 2 {. D2 f# L# }4 @5 _" o5 d学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出9 t. L8 A- Q8 o
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法" g& C2 L) @9 ^' n
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 : X# |5 p6 t- o; w7 U" ^的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy g# a |# r) y, C" q" E S
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 . c! B6 ~! l% ^/ Z等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我9 h7 [0 ?, k0 u) |# F' E
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。2 v. V+ S% [) v) O
) s* X$ H; P6 I
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 ! F3 [5 d0 {* \章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或8 z# P+ V" s5 |, t, k: r7 F' \
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 # _7 a1 W4 z) {! V* S( {! @. n计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。 , @' }1 ?$ H8 U+ M1 z+ `: F ' B2 }' f S, F! @1 |作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以9 Q$ v6 f8 F' k$ Z
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。- A- h: v) S! C) l6 Z% K) y8 Q
% K$ o9 d4 {; m! P" Z+ M3 w- C" `& K微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 / c5 i6 H$ C3 n! C& Z法、有限元法、边界元法和谱方法。2 |* y9 i2 h# @; c e
, l% p4 s6 G" W- C1 e$ K
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程# d( C$ J# B' g/ z' Z; k' t
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。 9 r* A2 `% Q% M% t; y: \5 V2 }. hRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value ! I3 {2 N3 C) K2 I) nProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本6 c7 t4 r! ?1 a/ F. r- @% B5 `; J
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很9 w( }. i5 x4 i: J, V$ o: T
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的* P. }% [' F* O) z
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另) Y+ o( M2 B5 O' |
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律: b# E7 P* c/ |; a7 F9 r
数值方法方面非常出色的著作。8 C5 |8 r( c. U$ A# u3 u
7 w* p& {( L0 C( x) p有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method% I+ j6 z# u9 J" @
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner" U3 [: e% v4 {' Y
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element 5 S* C. R u; IMethod》据说也是不错的。% A) {! T1 G* r
+ w9 g9 v9 D2 `6 {0 c5 T谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 g- c0 w* m1 e, A# ^* X郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods O5 t) w* x* z
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有 & C" b; l' `7 t' c! I Q很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ / n7 f4 j" r. d6 [7 U% O2 m$ @* `. n）. z- ^: n, X \5 K2 t. q
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的! I' T1 d8 l7 Q( n
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还, H$ W9 u: I M, e
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过2 O ~7 S; x9 ]6 o/ m6 U: e
不知道能不能再学校里找到。 6 x! t \ z+ D. J" e) r2 k3 N / U: j H% o. [8 ^除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可# d ]. ]& W7 g& N: G2 r
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。) H a$ q% Y% Z& ^" A
2 @! N; z! }. c G+ p
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional 8 X6 k' ~ W# `' x6 r- Q \' KAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 4 X4 x n( ]0 p《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 . r) I0 g- n+ l5 W) `经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理; _0 A* M6 J- D: {5 b! _
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东) ]" t- {0 O$ c) F1 y, e
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 1 n4 x6 ]2 A' U5 {这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 ( q$ j# k4 w( ~5 u8 m. C出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 ( h5 |- G% U* G i! U- O3 K9 d性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面% F$ y' J/ R6 {) l
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。4 f5 H. |' }* I% |% m4 l U4 W
& s' G6 ~8 m3 h% l
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流2 m; L) L/ \" n' Q3 ` E, {% ^) n
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 ; F/ J: \1 C- p6 @有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。1 }+ I: ?$ G3 }# x! R
6 d% _' `1 P; y+ R最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 7 H' g+ t0 _( Z0 R: X; _计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 0 I# a J1 W" J7 w9 y6 w! f5 o面的网址注册 ' |0 Y; v/ r; y6 [$ i4 G% qhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html ; [$ U2 k/ [' { G' u英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册. R. n. l" k6 W( k http://www.netlib.org/na-net , u8 y& ]9 H0 n8 j3 @0 D8 C
8 s% `! |! L5 ^
# k8 h( ~! E2 y: u( I
; n" y/ M, t' e# g0 e- r/ N; f
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我5 _' g) e; E+ v: n2 D3 B2 d
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆3 h$ z k$ ?- P$ p3 g- _
都有中译本的。 T. m0 b9 A0 _
" @( ]+ i; {6 Q
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师# D2 c9 b. `6 E) `7 c# E& x6 P
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐" h0 H* R1 a; g8 F- ], v7 Q& `
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方$ y+ `; `) A& g$ E5 M
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面2 o9 P) Z$ s$ p1 x) A+ F. z
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列 + B2 e- _" c3 @1 } @. e. D0 N出来。 ' |* q3 a9 G6 |- B: b8 W 7 f: ^4 a8 T+ |/ E$ ?. h国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 4 O: F# S. b8 m( z! o( xKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,5 N: s/ J' Q( q3 x& J$ R3 W$ h
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面$ D1 T% Y8 \; R" g! X- Y1 }
的大家。 3 W$ p3 Q+ z$ y y( [( l$ A/ ]' l+ g" B矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The" u3 t g/ }; t1 m9 [) }1 J
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 * O* `. C/ l$ h* E. Y0 S n人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， Q+ e! p1 i* b8 \; k$ V: [3 H/ I系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是4 Q6 q9 b+ F9 r$ }
很有启发的。现在的经典是Golub和 8 g; h/ @+ z [$ w! {) P! A- y4 Gvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，$ V/ f% X. K% `9 q2 G, v; n! x/ }# Z
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上2 ?4 `. H: y0 Z4 [+ e
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear 8 ]: i, m" z9 d2 j% hAlgebra》，Trefethen & Bau 的 ( Y! `- \) S( n《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef; |% y8 ?2 {& g2 X# Y* b/ \
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 6 j# D4 R7 _. R' O* |# y& \- j4 N和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， 5 G8 Z% C" M$ i+ V写的挺有意思的，在他的主页 ?3 z/ z) d4 g9 D7 ^
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/） " Y( |$ m. ?1 g, I# [. z) E9 s& i: j上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 : [: j, ^$ s$ G+ h5 p书，《The theory of matrices in numerical analysis》% Z1 ]* k/ O7 a9 I1 s$ F! B- c
(有中译本，系里中英文版的都有)。 3 B' X. T) X3 }1 _( @, Q, H0 I7 H3 ~" v3 h
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，4 h, x2 v/ G9 e/ T0 O9 b7 a
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，& m( z) t [$ N! C; E
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference - p. [# S6 m6 u s/ R- ?* kand Spectral methods》（在他的主页上可以0 V7 B) C# T( I6 U ]6 L# H
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）+ e& h. q5 l6 ^, P
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 4 g! s; T( m2 u" B7 d, d- @0 \- a) B2 d( v) I) c, u
他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 . ^2 m, g% B2 J, Q- M6 W* R典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 0 W0 W; L- Q6 Q% [献，也许对大家有点启发。7 r" m- Y& V+ W; X* f8 q
0 ]. `7 Z( ?5 ?. U* x
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform : M u5 _. h4 g; N2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE# |* L. P, V3 j$ ~# }
3. Householder (1958) QR factorization of matrices, T) F" ^0 ]! n: O. i6 ]
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas7 w7 @7 G' {9 f/ U m8 B2 Y
5. de Boor (1972) calculations with B-splines 2 @" R0 u# |" J# a% n2 `6. Courant (1943) finite element methods for PDE. _6 O# x) Z) L% u
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 8 s% m5 J( I" s9 R) g8. Brandt (1977) multigrid algorithms2 m' {! T2 M/ B9 L- w9 N
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration6 h" C: ?' ^8 S8 s
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 3 _' C% b5 b* ^9 h& G11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE ( F, C; L. l" `4 O+ P12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. 7 X3 I. \$ q5 @ L2 B5 F5 Y13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles' H% ?$ @( o* Q0 r' w' }
; v$ u$ u, Z# V U) r* M
他的remark也很有意思，We were struck by how young many 9 X" F* p) I- P& f d$ {of the authors were when they wrote these **s (average $ D9 F# D) j0 Q; D; S7 L! Hage: 34), and by how short an influential ** can be & d( B8 D2 f' O- H2 }* {- q(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家: {' j) D1 f$ l0 ^& {6 B
都还是很有希望的，呵呵。+ _2 \2 I+ J3 o+ V
) @ e' p6 ^" D# O% ^) F$ {+ p
* L3 E0 B% o1 {$ M M
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下- y8 z5 x/ n) d
# K0 W8 B B" X3 ^几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed % }( z( e1 X: K7 Q 9 _( h) J1 T( q/ k9 Q+ mProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前4 u' J6 `! I) X+ {
% f8 o& M; }# g+ J% k0 ^叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂' }& U# b; e/ F; B: w k5 N# t
5 q( ^/ J- G, c: C3 g2 V; b4 i
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的 / D. E2 D# y6 [+ G) u& j7 f2 n8 Z* a! L, n2 n( U2 N2 H
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical1 N; e* @8 b# ^8 \) ]/ a
$ E6 B# x( d1 QAnalysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM9 j* l# l3 x+ j2 F( J% N
" j, B' R3 `' o6 b* J$ y/ QJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on $ u2 b# S$ ]. A5 s ) M* M8 Q5 u6 c5 V0 D0 aScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。 2 B/ h* K8 g [9 ?. H" `1 }4 ~. l; D, |) o$ Z; ~0 p
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 : y/ V& l6 ^7 ]! [! Q5 c. j# { : m6 M( s! ?0 X) s F1 r题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好5 `: M6 d9 ~; M" Z7 Z, S
i' d* J2 F: ^6 z/ g) Y
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他 % b: {6 O* Q0 g) l$ \# Q$ _ S3 c$ g& l$ f. o& X4 j
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW3 j! n/ X1 H: M s* u3 `3 h
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-1-23 09:06
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