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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 1 w% @# y+ a: ?% R" b$ m: `: Z3 o, s6 l图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出+ k6 [+ X2 h6 l$ w) D 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 % L2 ~1 T, w& l* Z5 E f/ t8 {因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有/ f! s7 O' l9 `6 i# F$ ] 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就7 H# N5 _# K- I, e$ @ 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算- f$ M3 L# [6 r& s 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 7 P) h7 h- s7 C括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要! k$ n6 n) `6 `& c! G% S0 W 贡献。! Y0 _2 ]3 i3 T& B- j2 [. J1 e

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像8 x/ V5 p: z; P8 W" K' \2 A ' W7 V5 o$ X G! Y 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： , i, x& j* Y2 T8 C　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……* _3 \; D5 M9 \+ Z" e2 s2 f 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 * u/ }4 |4 o5 X# m* ~ }他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 & p/ T& q2 Q* z$ W兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三- A" w3 h% K8 [2 M 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 5 D: z: c, z" O, Z) W0 T7 |; S! R一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的$ \9 v( |( \; K0 n. u 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密! c) m' B& O; @" K, M 切的联系。 ; w w1 J) V I& ^: t: O8 j 8 Y, x3 t- P) ], n9 ^( }　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘$ U' t' Y0 v3 e) i 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。. E4 @+ ~. M: [8 i" ^ 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 6 `: P9 G0 N# d, a% X4 R! B& g0 v为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 1 T, T2 B& Q4 z3 n A& M g3 |; l这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏6 {7 y# c0 o, `) i# e; s9 W# h 大自然的造化。 i2 x1 `$ X' n 2 l4 B6 c* C1 R; p* |, L 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 - e5 \/ `" a. {% U0 p% r9 p到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒- i/ l' C/ H ~6 l 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 4 A1 v; }2 ?$ {0 n& O0 i从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向8 r9 v. q6 G) ?6 P2 d0 W& x' K 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 8 }6 e4 K3 n) ]! U1 [6 g& I" [种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个8 \5 ~# C; K) H/ e& K6 W k R 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的' t+ |) w2 S% y- R# j

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部/ Q7 ^; E/ P; L. h8 h& j- k （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 4 ^) B3 S T+ {* ?21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 8 _; ~0 Y+ T \ l4 B+ W( K

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部! [" e2 ? Y+ Z4 v 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让$ c; J+ f7 c R 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点3 A& y/ z# ]* G3 h$ h 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心$ m3 O# I# z4 G1 N* T1 g 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管9 x' v$ O2 ^( r0 K/ S5 a" f+ h6 L, P 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契7 s+ O7 Z$ Z6 d9 ?2 U3 K 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 % {, j& c+ K* `) T( D5 W# a

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 6 p5 w0 n1 c8 I0 G8 S5 \8 R0 ?7 H! y! B Q 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自0 T1 V/ |2 Q) ?6 L- @3 a# m" Z 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 9 _2 p0 N. e! r: [' f! D& A: g" ~能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 9 h+ j8 P/ ]8 F1 R, U太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对/ F% a+ p* p4 f, Q 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程0 ` R W+ f; D) ?- { 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出, `4 r4 O, [6 V0 T 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 , r0 w; t9 c5 \) g+ f; D应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360* Y0 j: M1 R0 `! i* b$ d6 ` d 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定% d+ Z8 f: n) h3 _ 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 - U" x5 K3 c9 y; x4 J9 w% ^能达到89，甚至144条。 1 @8 V# y( J' m/ y, Z5 u2 _/ \7 U+ f! J$ u, ~ 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 7 U) q$ r Z; \/ m8 t7 S官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 8 T: Q- |# y" f5 { r# i你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， - j* a+ n% Y" D5 Y: [也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中4 B, i7 T, _4 ?# m0 T" Q" k. y 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 ; M9 A3 U) s- n( w& z来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。