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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 - J1 ]) o% T' C8 D图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 # ]' h3 ]8 f$ g' V的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来8 u6 t4 K8 ^+ x8 a& f 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 ( a! k0 d, O7 g他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就8 D1 `! ^% q ~1 L V 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 B1 W! L; x% S5 q0 t 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包( M" N" y& C4 M! q3 ?/ B 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要. I0 j C; A% j: b1 K% M 贡献。 & E. j" U' {9 a

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 $ _" Y; Y! P. U) [) h/ \ p' {9 G8 l* ^, V C6 P# i6 y　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：" j! c9 Z# @ {$ i1 @. O9 T- Z 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 9 |9 i, G# T1 R从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 0 Q7 d& L! `) ]3 h' x他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 # B, z" _5 g7 w; i. [: H兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三, ?6 t& E5 Q" Q: I1 o9 z 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，1 S8 T3 C* O3 {) f" n6 m 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 1 \% ?# p. G8 |+ |. N* r兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 G$ f6 U' S5 y: V5 `6 z) P切的联系。 1 c7 g* J- \+ o& _1 e$ B* v/ |6 {3 F' y) ^) m1 Y# }9 {$ U 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘3 s: L9 j$ c5 G# @6 v 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。, f$ ^( [) g6 @. v6 u) f' K7 w 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了* l0 ], G. |' y% F! O1 x& r: E. h 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在8 f9 q6 N. K7 o0 i$ Z( V$ v 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏3 Z, g+ N4 U0 k3 u 大自然的造化。, @% s' u5 @5 F( ^1 f' f. R * c+ f" P3 X% L, n; _ 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不! ]$ j8 c& D) y3 F$ G& Q 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒4 [4 w0 d# B! v% Y) D 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 * f. v1 Z; `4 x$ B6 ?) w0 I从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ! |0 q* U% ]1 ]1 W( Y0 g( [9 g的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 5 H; @. x. m7 W0 m) b种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个. _! [7 v: h% H& t+ d 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的6 h( | M8 M/ t

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 7 K/ ^. x7 u- r. n) Z; T（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 ( M8 K6 G1 C6 N$ f3 N, i& ^: ]( ?21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 . S7 X- Q" D9 z; z0 D

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部8 v, x: M7 ?- s3 M' L2 r. I 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让9 o! D. r' j/ X 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点. w, X$ y, k" j6 E0 |9 Y( B 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心$ c* V# j3 b/ A+ W* a* z& q 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管9 C1 z( ~6 C+ z5 {, a+ O1 ~4 l4 V 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 + x- G/ O# A" A! }. p( @( e序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 ( h' Z. G- W! f+ R T8 Y# ?) n5 S

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）$ B9 L4 H7 t8 ]$ r3 V+ J# W2 g 1 u8 v, Q9 ^- f0 l- E! z7 w　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自* R. b5 ^8 a+ [+ u( s& w% v 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它2 H2 |7 f$ x' B6 M, z0 t: N3 r5 s 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 ! {% w" r: U) v9 |7 G太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对# L" g: ^ y4 q- r/ ? 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 6 V; r. P3 {+ H% I& G1 U! c6 ^: v, R中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 2 {* O+ r( x" G$ M @+ L: i来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度7 }% \* p8 x' J: a) \ 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 + Y5 j5 D3 k3 g0 d度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定+ D/ n* D: J6 `/ Q9 E 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 4 q, K" u# B3 I' D能达到89，甚至144条。 : p; ^: ^8 R$ O+ R' Y# ]8 M, a" \2 |6 T D' |. y% P 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器) O$ M0 r, U5 q( F7 H 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， : A/ f- {' D2 x) P你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，& Y6 A2 f' F/ a* D K! | 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 $ m$ c4 S9 h' V$ u [( c5 k/ c5 G心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出8 z) Z- V; w8 L7 e, b( w0 ? 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。