查看: 11196|回复: 4

[转帖]斐波那契螺旋

字体大小: 正常放大

god

206 主题	2 听众	882 积分

升级 70.5%

该用户从未签到

电梯直达

1^#

发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 6 }! g2 ~% b5 s# [1 q! l1 _; V图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 4 x4 |7 P# o X的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 4 M' l) x6 `. j1 d" P; U因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 $ u! z# \ o* G/ {他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 : X: B d& A1 A+ |( {是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 r" Z0 p1 r3 \( _* m5 k+ m盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 $ c0 p/ L( n4 q" a% b括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 1 s0 v5 V* L h1 L; _( i, G贡献。& ?, m* W/ a$ @

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 ' }% W, I/ W9 Z6 Q# k/ X! k1 R+ t6 S! u" ~$ w( O 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：8 L: @% E, X0 i0 v4 S) p 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……2 n5 ?8 M7 J$ y 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在6 k; {9 V$ {" L! p, @8 _/ H: z8 b 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 # [! Y( m' B4 j9 I3 |4 X兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三3 o$ T0 S) R' r1 z 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 0 [* b/ T, X' L8 c0 `" `& T一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的/ f' V" u+ @% u( Z5 Y 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 7 o8 I" V5 T" _( c! T; G切的联系。5 Y9 j. h3 z1 B 7 G/ ~. ?( T+ b# P: h: F 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘& u+ v, s3 h" c6 r) S6 H, ?+ ? 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 * d6 S8 `! n& p+ ], Z2 a但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 7 A! d5 _2 _2 \. [. u0 c* ?为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在( N+ L: ]8 |1 B! s! x: L$ ? 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏" `' O3 n/ H) t w3 P: h# D 大自然的造化。 % v4 @' {) ]- j8 c- s8 ~2 N; Y2 s+ u; K8 b1 z4 d 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 ' R& H0 |8 A/ B$ P到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 4 f) V" e0 K9 h& D) W e. e9 m, o草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ' T0 n0 B/ l* u: D4 u8 N从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向$ c; x' B6 K- r% | 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一2 t- N* A: q% d' B0 m T) A 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个: V h- r7 w. [: ?; p 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的1 [( F* E2 u+ y3 t5 H" y1 H5 q

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部: Q* y/ U( P( ^: z7 s （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 7 @4 Y2 w5 g( W) M5 [21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 2 c% _* N2 M2 J1 y

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部! R7 b9 ^% O6 r 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让& V& O3 B+ @" N& @ P 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 9 T4 h9 X" \4 t5 E( N/ c9 H: M# p击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心' q" w$ }% a9 T' Y( u9 R, A 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 ' E/ m5 k8 Y" H) E1 W1 w这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契: M- s7 r, Q5 v$ S2 m- w2 J/ y 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 1 y' k& }6 i# [" B

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）3 j, o! Y$ V6 i Y* \ 6 ~) ~! `5 ~% k% b/ a　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自1 v# f* L+ Z# H! B 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 6 ~; Y9 I, Z- U能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了- j6 Y' `0 q+ M# M6 p9 B1 Q! F e1 v 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 9 x; R: q1 Z$ E" j3 c- ~9 [) Z于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程# |8 A6 [/ x# {5 N% S7 i8 s3 P 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 % |: t+ i: R, F+ F$ @' f' |来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 3 Z$ ~) L( t+ I* a) |$ q) O) Z应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360$ p- T1 q" J, j# @ 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 % V# v1 f! a' ?6 I了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 : u, I- ~4 j6 p6 M; |2 n/ k2 g能达到89，甚至144条。 . T, k9 Q/ D y 4 J0 O. k5 K1 Q& T. E( H$ C　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 5 k4 | E* H" ?3 j官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，7 e) D5 `, u# |8 e 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，: @+ \2 j5 `. `0 E 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中3 h" Q1 j$ ~( e. X 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出2 h8 x; c( Y- r* [4 i2 ]4 q, S. N 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。