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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 5 ]# I) d5 ~1 V3 R图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出. Q, e. T0 P9 x- V9 E* j9 y, _+ N 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 . W7 R9 z& g& E$ y: Y因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 6 A7 i3 b1 g5 c* G9 p! H I他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 k; a) d" E! R, H3 w% m 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 3 c. ^; O/ D% f7 {8 T4 i) i+ @$ z盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 5 m9 N0 w# v5 F6 F( P4 D括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 ( H' A$ S0 D. A0 r: m. O+ m贡献。' O% y I4 K; f

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像2 N2 q5 `) f8 S6 P9 `. j P * D2 E3 u. p6 b0 l3 a 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：& w1 ~# p5 @" g$ e1 \& D 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……. i. u7 H' x. W" f 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在8 {7 S6 ~3 i% K0 Y 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对/ c2 }1 U `5 z. k _/ f; P6 h, }6 F 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 ) Y T% n7 b0 v* d个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， # D& T/ R) f( Y: A9 K7 T一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 % E+ u& f3 `- D( a+ W兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密% x! u) O P# w: F$ z" [+ p# w 切的联系。0 c9 N( |3 A7 g& b# n2 U / E6 r. B! ~' P. { k! ^ 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 5 M0 U1 H5 }* `# T, }' V书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。" K @9 d7 z7 ^8 c& Z& f; C4 m$ U 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 * S# d+ j F' ?2 m为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 9 H$ g" S3 S( e" n这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏& d5 f; s" w; @3 W7 E7 A 大自然的造化。8 C' i- G' v6 ~ 1 r) v9 X/ ]( P2 o( O 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不! m3 ~) v& [. K; s6 N$ O/ w8 A+ b2 _. P 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 . O3 f, W1 x; _. ` C7 g草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 e0 l: Y9 K8 v5 E' Z从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向" o2 P8 U3 p2 v0 M 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一- M. L( N' l8 _$ N! U* ^3 s* `8 j+ o6 _# C 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 ; u# i N8 r$ D2 x1 U/ r% n7 o图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的/ X! @) c2 e+ w! f, _6 C' y# k" @

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ; J" `, K" t ~/ y（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 ; v/ F% r# ~# X' B8 N21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 2 o4 O/ s& p1 _0 T* z0 k

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 + I- h3 }1 [$ s7 @! s/ q　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 6 H6 V+ p g) y9 o1 Z8 [人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 : i# ^4 {2 r9 @9 Y* d4 O# `击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 0 z2 P' G; w, B/ ^, R; Y菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管3 z4 G3 r/ o& A& F6 H Z 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 $ v" s+ G* c( n' i6 n) L序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。' X9 ~8 z9 N& F( o

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 3 ]. Q+ n7 P7 T6 Q4 [1 R; |8 h& H" M& d' d6 b 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 ; m# J7 @0 u3 V- ]4 p然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 ) t5 Q/ y4 @) Z$ H- O. C能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了9 n% n" O0 Y6 V: I4 ]& d0 g 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对8 K& C d Z* p 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程* f. X* t7 [- l* ~4 X 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出! Z9 \( s9 ~5 i* ?1 B$ |- @ 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 4 Z8 q0 k2 z) O7 P- J* y: W应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 8 c- _8 b7 m- j1 R& y( S度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定0 J% K1 b- t: t6 d% j; G 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 # ^! [& h$ |9 {能达到89，甚至144条。. v- {9 |5 ?/ g4 i8 ^ : y/ s6 b" E+ O1 ]( W　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 , z( o7 j4 `, m1 ^* t% h' c7 T! k官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，5 ~: @ h; T& u* X% l6 j 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， & W& b( ]1 D7 O; a! J/ M也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 ) ]* [4 D7 X1 Z1 ~' }' y心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出; l( C) b) v( Q 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。