[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且
5 E) B: K5 t" g& u9 w9 }

（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
9 i9 }  w5 `1 `3 r  X* l/ i# c
) c( ^* A) n3 S1 T, `0 w- _$ {& Ups:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

6 N+ j8 K/ J' t1 Q  t( x解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
% s8 s& v: p: v3 F% ~' ]/ Y
, w* b; ^3 S7 m) f" U9 lf（x）=y……..3
$ x* \# W  p* cf（y）=x………4
: d4 p0 h4 H8 y% I5 h/ u
1 |' v2 x% h, \8 Z# i若x=y，则有f（x）=x
, l* }% e  z2 a  N& G
$ X2 I% L) v+ H9 M. m$ v2 K若x不等于y，则
0 M, V, |" U' P0 W5 n7 ]
. z& l# @* h1 t, v由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

; R! i9 o) u! j# x斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
( s  G2 H  E9 U# [
' ?4 K$ `% g5 Z7 z所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
- P. B9 ~) z& W! B7 Q8 P5 }

, K9 K. c8 i" T  F+ q    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
- A/ e# m8 _; a3 e: Bx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
" ]6 Q- k1 S. I- |\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
( q& K1 G9 e  Z9 F+ K也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
+ H" R2 w1 G4 X& G+ l斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
3 ^& h8 p9 }8 _# g
; t/ c8 `7 E" W5 K$ j$ }$ [(1)有可数个.
6 b4 `, t2 E  _; }
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
) |9 a6 ~9 @; u2 g
+ g2 W# _. Z, g9 ]+ p' ]/ ]
+ _+ O' L! C2 ^" B; ^4 N% b0 W    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
  G" p& J$ w! q* o8 y0 Y
% l  Z4 F. \2 x0 t& D
    先看看