[请教]一道数学分析习题

helloyupp

0 {) A9 q% |+ v8 c' O
设f(x)在R上有定义，且
) v9 U6 A( y/ y' @* [
5 n$ S' O5 g+ G  b* o
（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
7 `2 ?+ ^# n; y7 W
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
5 E) z$ @* }/ I1 i+ ?5 Q
: n; `- v$ D8 A解：记y=f（x） .. ………………1
3 Q/ W1 {% A6 O$ `则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
2 i3 @- U/ U8 k* C
5 z, e, i" O) G8 q# J* P6 h/ e+ lf（x）=y……..3
2 g1 e7 ?% y2 V6 D, E$ P0 Cf（y）=x………4
: [% {; S9 T% p& b6 V9 I( H" g( u/ D
若x=y，则有f（x）=x
" d9 @$ G; }( g& C4 f0 H% y4 E/ v
* q- {( X  V) X+ p2 t若x不等于y，则
; w6 d8 B1 o. x8 H- W9 D4 B1 u6 A+ [/ h
由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
  n$ h* t9 q8 W5 f6 z1 N) w+ w
) A( }. J- t# V/ i+ T斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

- h& z7 A9 M5 O+ g) u6 e所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv

2 `+ A$ D& S2 \/ _
/ N9 d" Z' h( {3 B4 d8 c    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
7 j* r! n) w3 ]' y; rx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
( P+ v& }) f, g) Z1 U& O5 F\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
) i1 J0 |1 a, ^* {! Y5 B5 h7 j6 p* E也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

3 t# r+ U4 b) w9 B6 J0 g; T4 X(1)有可数个.
' C6 i* Z# P: }+ f. e5 O& ~* F, g- d
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

; ~  g2 u: {% Y) y; p$ v! q
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


    先看看