[请教]一道数学分析习题

helloyupp

# j0 @; S  M2 k& t# ^+ n' K设f(x)在R上有定义，且

; ?! ^5 ~- B2 G1 n" [5 L
: a% i! H; W# ^/ @( K5 h（1）这种函数有几个？
, H% R. J( E: l/ b（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
: Q4 X9 Q* Z# g8 o: z3 ~, Q5 I" U
! d5 Z. P% L) E1 M* [ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
. N3 \: w/ u) n! K+ w
解：记y=f（x） .. ………………1
9 S+ L! N$ E3 N; f2 m则有f（f（x））=f（y）=x ………2
  L3 J: m" h/ A: P9 @  s
1 Q* Q+ ^/ o1 ^由1，2 两式有

4 M8 H  f7 o! D3 B/ n# E( A7 mf（x）=y……..3
. F7 A( ?) j9 v3 I# Xf（y）=x………4
0 t- I5 A. }) ^9 R9 F/ F+ Z
5 z6 k( d% y  k若x=y，则有f（x）=x
) w8 k( x% b$ `3 q% I! s, r
若x不等于y，则

1 B5 c0 u" p% V1 h由3，4两式得
4 Z" O( m2 w) d3 y- F, |
# E* J5 r  A( T2 A: X【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
2 A0 `: u, r3 z  f) f
0 B2 ~! u: A9 a, A# s0 _斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
" I% L. E0 t: d; F9 _' E
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


4 p7 b# P" H' b6 m0 N! _5 h    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
. t3 ?" U& \) u( l0 k8 B* o+ Bf(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
% P! \9 v4 K  C9 @# _斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
" o  o$ E! l7 K) O由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


    先看看