[请教]一道数学分析习题

helloyupp

! c# B! J7 l: u; Y1 s) i
设f(x)在R上有定义，且

* X0 ~! B9 T& m0 d* X6 z4 u: O
' _/ D5 J" L4 j9 @+ L0 X& o' y（1）这种函数有几个？
9 q9 L; F; y: A6 A* J4 p8 }（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
6 w7 ~! Q5 L9 s1 P& N. g" n
; V, V- }  e7 c* [2 e" hps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
- r0 }* y6 a  x9 f6 ?
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
/ O  ^7 r1 y" q! ?2 m
0 J1 H0 C. N2 G由1，2 两式有

! j5 T( v0 t* K# i  M' nf（x）=y……..3
  M0 Q) k5 C/ ?: `) `/ Xf（y）=x………4
' W7 ]1 i$ f- G9 S- ^$ h
0 \! k- |% Y: E4 ]+ y若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则
+ t9 o/ M# w! d3 ]; @1 m, d
7 t2 B7 A( o, `6 R6 Z1 R由3，4两式得

3 _0 V9 M, {5 O) U( K* T【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
8 j* @7 [1 d  N- S6 z. d7 ^: f9 E# S
  z! {# H4 U/ I8 x- {斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
, e7 C/ q5 p5 d9 n* z$ t. }' }( I

    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
2 J; s9 G" c" {f(x)=\left\{\begin{matrix}
& x6 A. B# I/ \- _0 ^x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
2 K& \9 S& m% p/ u& `  s斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
& G  h0 W, g2 x. t, q3 [
" N) F/ r) E  n' N, ~5 u3 N(1)有可数个.

& n" Z; U4 q3 m0 r9 b0 ]: W(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


; L9 F; C+ k0 r* p% S    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
# y1 r( I- ?4 u; Y0 c1 e# m" X

    先看看