[请教]一道数学分析习题

helloyupp

) H# ?/ ]) a  O9 r$ e0 d! @设f(x)在R上有定义，且
3 d% @& N1 A: I2 w

（1）这种函数有几个？
+ w! e9 _+ h9 r, ~! s（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
$ @6 X) a# @5 O2 k* \
7 i" [2 c! v+ t( U: h- ^ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

! Y# P+ b9 T) l: Q解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
% k. d" ?" s: b+ P9 d
& a' \( k, L& R, u. b; O由1，2 两式有

, d' c+ w. J! M5 Tf（x）=y……..3
f（y）=x………4

" s  x! S% Z. c' ?* p. e; J若x=y，则有f（x）=x

$ f0 a8 O# O" x3 S$ w" f' V若x不等于y，则

" D) u# Q) Z6 G# ?1 o3 s由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
% n2 U- z# P8 Q6 d* O: U/ _$ O2 X也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
& b* i7 T, |6 }$ p8 G5 ~+ X/ ?
2 q. R: T' A2 `- h6 ~1 h) U斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
4 ~: p( [4 G& H% s6 u; z) I

6 _5 C3 b, D/ G5 z% B( d    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
' g  v7 B# R) D; p5 _6 J% H% Vx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
! |. B; W$ u0 D% j8 \6 m% J$ [6 j( _斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
! K( c$ c) s; L* ]由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.
9 \5 v* V! z: L/ P
: D9 ~. M' H* I/ }(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

4 R2 F$ Y) s; K8 H/ C+ s
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
/ }  ^8 n2 _9 B

    先看看