[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且
! K& p& k8 R0 k

（1）这种函数有几个？
8 `; G" K/ r4 B- `# z3 q（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

( W  B# S/ F( |- T. g% w! P- U5 c解：记y=f（x） .. ………………1
. b8 [+ Q% b: f则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
  a1 L+ B) F: l6 ~0 u1 P
/ ]/ {7 w& U, U3 `1 e! e1 s" [1 Jf（x）=y……..3
f（y）=x………4
% @1 _! |! l0 S1 T
若x=y，则有f（x）=x
! P3 V: E& K* I, B0 W3 h% A
  r1 W5 i# r2 D1 _6 y. g若x不等于y，则
' p, \/ b3 i* P/ j! `5 o
由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
7 D0 v2 x6 D0 R也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
1 N! |0 P& f1 P$ A3 r& v# a8 I6 T
) t8 H  h& i3 O斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


7 U: M6 H5 j4 _2 N; w2 s    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
9 i" {$ Q( U* ~; w) t  ?+ _& Ux,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
, J8 U' I* V/ b' j6 R+ |6 q由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

! E/ v" p% x0 L) @( y  x: z% A+ H(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

  K  g6 z% c$ z7 K! x7 C
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
1 J  f# S5 U2 p; K9 u
5 D8 I$ F+ }, _. k$ p" E2 j
3 K) q, N8 J0 X3 ^0 ^5 ]* u; U6 p    先看看