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巴黎环岛设计(本队拙见)

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    发表于 2009-8-17 16:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    巴黎环岛车流控制模型
    摘要
    ; v- M" R' N) r$ b, v
    本文就巴黎凯旋门环岛的交通问题,建立了控制进入、环绕、流出此环岛车流量的红绿灯模型,目的是使环岛内交通顺畅,并且尽量让堵车时间短,堵车数量少。
    * I& l& }" m. P% m5 s; u) E* c) g    通过分析,发现环岛内的最大车流量为1000,波动范围为+200,还可根据车道宽度计算出每个路口的最大车流量。这两个因素对环岛交通有着很大影响。因此,主要考虑车流量和环岛内的车辆数目的影响。并设定,在建立模型时,环内车辆总数最好不超过1000辆。, M- Q+ I# q  L1 D& T8 D
    根据各时段车流量的多少,本文将车流分布为四种情况:高峰期、次高峰、一般情况、稀疏情况。再根据各时期的车流量,建立了环岛内车辆总数Q关于流入量与流出量的方程: 。通过随机模拟,得出环岛12个路口的车流量,并根据堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则,找出所有可能的红绿灯组合(前提是每个路口都有红绿灯),通过比较,得出最优化的组合(具体组合见模型建立与求解部分)。
    8 `3 F7 F( x& @3 x通过随机模拟,对于不同时期,得到不同最佳方案:# h7 o+ e1 k2 _* [/ x' n
    1.对于高峰期,将红绿灯时间分为四个阶段:1.编号为1 3 5 7 9 11 (见图一)的红灯亮,其余的绿灯亮,持续时间T1=65秒;2.红灯灭,所有绿灯亮,持续时间T2=27秒;3.编号为2 4 6 8 10 12 的红灯亮,其余绿灯亮,持续时间T3=65秒;4.绿灯全亮,持续时间T4=27秒。之后重复上述循环。红绿灯总周期为T=184秒。7 j' y3 P; r0 I5 u9 j9 n
    2.对于次高峰的方案,红绿灯组合与开关顺序与高峰期完全相同只是各时段持续时间不同:T1=T3=35秒,T2=T4=23秒。
    $ }7 _8 T5 p; p& Y0 o$ L3.对于一般情况和稀疏情况,红绿灯顺序为:在所有路口,先红灯亮,持续时间为T=30秒;之后绿灯亮,持续时间为T=50秒。之后,重复循环。. ^9 U7 e6 x* @$ U, V
    由以上方案来模拟计算一天内环岛内车流量Q,其值超过最大容量的平均概率不超过5.00%,较为理想科学,所以此方案可行性较高。
    8 ]- x- G& m& {2 p最后,对模型进行了改进与评价。5 _2 P, M: o+ |6 ]
    * ?, s9 E3 t% N1 y& r
    # D3 T" q) Q" X  }7 Q; j- S
    关键词:环岛车流控制 红绿灯控制 排列组合 随机模拟 等待时间 : y, m5 g2 l# V6 x5 J5 t

    2 m. o! b: ^- N# n4 A* G % s0 S' J! b) I5 {$ @5 `  ^- M

    5 _. _: {& J: o. S% g6 m7 F! t
    5 l7 Q* ]; G  |0 _2 g : F7 p! d$ W, N9 P% b# B" q- ?

    . x' U% q+ r. s! z/ ^
    一.问题的提出
    巴黎凯旋门环岛有12个路口,其中有2条主道,10条支道。在进入该环岛的道路入口处可以设计有一些信号灯,或其他标志来控制车辆的流通。即为环岛制定车流控制模型,要综合考虑各时刻的车流量,环岛内最大车流量,天气情况,工作日与周末情况等因素。8 K) P6 b; P( @  P% `7 l
        我们的目标是,根据已知的信息,建立控制环岛车流量的具体模型,并分析该模型的优劣与稳定情况。
    % H- w% B; Y9 H+ }+ D& M: B9 S
    $ M, Z5 [7 Q; H+ `4 ~
    1 环岛平面图
    6 @( W" P8 ?6 a
    * v% p! E7 N/ ]

    . y9 N9 `+ ]" D/ R6 a0 P! g: f
    : A: \3 N& d! u9 T" K1 ^6 H# `$ j# O. } 3 b! K& ?) o8 O8 p, V, V0 O/ a7 f5 v
    4 r/ i+ [& E, r; ~
    二.模型假设
    1.假设每个路口的进入车辆服从均匀分布(具体的分布情况见问题分析)。$ V3 t3 O' R% J$ y
    2.假设每个路口的离开车辆也服从均匀分布。. X7 K# w: p, D/ a! I
    3.假设每个路口都配置有红绿灯装置。, i. l2 J( W8 U
    4.假设环岛为单行道,只允许进入车辆沿着俯视逆时针方向行驶。, |& t8 _1 z: l0 O
    5.假设进入环岛的车辆最多只在环内行驶一圈,不能多次在环内循环。
    3 W* q: Q' E4 L# y/ \6.设环岛内与各路口处的车速为20km/h~ 30km/h5.6m/s~8.3m/s. i9 w# A# Z  B# B! ~% A
    7.假设只考虑正常情况下的交通,不考虑发生车祸和路面维修等意外情况。! Q, A/ G4 q$ w, H: ?. Y* q

    / L7 I+ U: Y* p4 K; n# K
    , X/ _1 b! `7 |3 g0 a7 P
    ( g# M; r. c% w4 R+ ]: J
    三.变量说明
    :环岛内半径。
    ! j- D9 X+ [4 w* C4 V4 M+ ?:环岛外半径。
    / t! s6 F: T& |/ w1 P:车底面积。. @* K# M  a3 X6 s) ]2 @+ Y! [
    :环岛路面面积。其值应该为两圆面积之差,
    6 l/ N7 i/ P7 X:环岛可容最大车辆数。 取整。
    4 t: z# u( q( I2 N! q:环岛内车辆总数。
    ; R, K$ d1 O" q0 m, s:环岛内车辆总数的当前值。& A: z+ {4 c5 H! O; |: L8 D  y0 v
    :各路口进入的车流量。(1<i<12
    5 t7 o- \% R0 J2 u$ B:各路口离开的车流量。(1<i<12
    8 U/ ]" q2 B' t6 f1 D% q' @- B- u+ A:逻辑控制变量,用于表示各路口的通堵情况。 =1表示通路,即绿灯亮; =0表示堵车,即红灯亮。(1<i<123 ~5 R# T$ b! V4 c+ O
      t2 l& U! g  n$ i' ~
    :表示所有路口的流出车流量。
    # m, i$ r. _# u  w5 y. B9 C3 f% R 6 S2 r) T2 L3 }( f  }
    :表示红绿灯持续时间,具体是红灯或绿灯,模型中会具体说明。& i, R& U5 _' [: }9 h8 r- a
    / t  v' O4 x6 q
    :为某种情况下的堵车数量,具体模型中会说明。
    $ I  a) C% q! _2 [6 U   k7 R  \7 H9 O8 R/ ^  s: i  \
    :车流密度,作为参考因素,将影响对车流量的模拟。2 l+ K: @- p4 {" u& j- Z
    + W- K& ]- N6 D% }7 ]

    7 M; _8 M' P0 M9 [! W; n4 E; S; Z; y$ M' k : V6 z2 y" H4 d9 u, i" T3 i6 y" F2 N8 s
    四.问题分析
    此问题属于交通流问题,我们在初步考虑这个问题时,参考了交通流模型的结构方程。我们认为影响环岛车流量的因素有很多:红绿灯,时刻(高峰期,平时等),天气情况,游客人数(虽然凯旋门游客时从地下进入凯旋门的,但是每个路口还是设置了人行道,所以游客的多少也会影响到车流速度,因而影响到车流量)。正常情况下我们不再考虑路面维修和车祸的影响。
    9 r  i4 J- ?, I/ B由上分析,我们需要做的是通过对交通流情况的模拟,找到最优化的红绿灯控制情况,从而达到车辆最优化控制的目的。0 d, A2 j/ T1 r9 k
    因此,我们将此问题归类为最优规划类问题。
    - Y, X6 ?0 E4 W$ u我们查找到了以下参数:) d* D' W, q' D, _) o# l
    凯旋门环岛每天平均车流量:110/天。
    . e% I& t! F& e& S8 T. u环岛外半径:80m* D9 G5 F# n+ n" R- L1 ^$ |8 M1 g
    环岛内半径:53m  p8 e  @6 F- \' j1 _3 S+ W1 D
    一般中型车的底座面积:(7~10m2
    5 W3 X9 f! y/ o9 c% Q1 T主道可以同时并行3~4辆车;支道可以同时并行1~2两车。8 A2 Z$ o6 r1 V9 `6 R
    8 {' Q/ E( i+ T& V& b- T0 ^
      S5 P5 ~9 U! L9 |/ _9 k
    4.1 环岛最大车容量:) B9 M' g" R1 \, ~! [: {
    由上面搜集的数据,我们可以计算出环岛最大车容量。
    - C( m- z$ J. |环岛内半径为 ,外半径为 ,车底面积为
    ' f& T5 l/ m2 k/ C, h. V则环岛路面面积应该为两圆面积之差:  w/ c1 i8 w# B( |3 V3 M4 s5 M. a' Z

    ; u3 T5 d# h4 T0 A1 T则环岛可容最大车辆数为:   (取整)
    0 l  p9 L" U+ l  [可得环岛最大可容车辆数目为: =1327(辆)。, C, h: }/ ~; `5 ^) a( G! l' t
    考虑到车之间应该有一定的间距,并且应保证环岛有一定的畅通,流畅性,我们设定环岛最大可容车辆数为N=1000(稍微超过1000也行,我们只要保证严格地不超过1200)7 i# s/ |5 d9 N# d

    * w1 |6 _4 E9 e# Y
    4 {1 j. M  K7 g) s( f  H# _4.2 各时段的车流情况
    4 p7 {( R1 r0 j8 M" Q
    ; ?0 A+ q' T& }- ~7 N工作日
    1 ~  y' W% m6 b; Z# Y5 `: ?
    时间分布2 \/ c; d" x/ w
    时期分布
    9 P' Y( [) K; E
    000~500
    3 ]. }9 i3 y1 v8 e; `
    稀疏情况
    9 O8 [4 V, Y1 X; j  h
    500~600
    - I0 g4 h  w* X; u
    一般情况
    7 s6 C( B  M! _" S* u
    600~730
    ( L& \  |7 D2 \0 C: A
    次高峰
    7 w+ E8 y) E, y! n8 C: \8 S2 y# ]  @$ k  }
    730~900
    $ X5 }/ H3 a3 q' N! M
    高峰期% @9 V! @) p& |: [  G1 C( J/ t
    900~1730
    % ], w6 Y- E* j6 ~/ |
    次高峰
    + Q: G% z$ O* O
    1730~1930
    / _# H0 e9 Q  E* j
    高峰期
    ! ^, _; b' E2 d
    1930~2100) Y4 ?3 f" \1 T6 ?; f9 n, f
    次高峰! M* y$ D6 j' y3 _
    2100~2300; n6 ]( W3 E+ x, a
    一般情况& z* c# v2 S7 y# l
    2300~2400. M3 v/ b9 l& U) R4 a1 W
    稀疏情况- I/ `( R- _9 c4 y7 ?

    + @: z- ~: J/ n2 C* L% P2 C 3 ?* I2 o; V0 ]/ j8 J) j" M. c8 X
    周末$ M7 S- T( m) x, @8 T. f
    时间分布
    ; N$ r& [3 H" d" R1 }; ~5 G7 [
    时期分布1 @* O1 Z4 q% [" w
    000~5009 d8 B  g2 N! c! |
    稀疏情况
    : ~# z& x( f% r6 ^
    500~600
    ) s( O; _: @0 N$ V: ^8 C( G
    一般情况) m+ I5 I- l' ~4 x5 T
    600~800
    8 _" a/ j5 V4 J+ |
    次高峰4 ^  J" _3 _* l: W6 o/ k! j
    800~1730
    # `: `7 K, C' R: ]* [; y2 f
    高峰期
    ' l. |+ e8 Z$ ^( }& `% T
    1730~2300
      a2 y9 P5 |" P. V! y
    次高峰
    ' t# Z/ c2 i- i$ O( J: E
    2300~0003 @2 j1 c3 M; p9 `, F1 A
    一般情况
    3 Z. H3 |% m" U" U0 r
    1

    ! J8 B  B1 p4 x/ |. h说明:
    2 l! D# ], J' T; d" G5 o( g& b在巴黎和法国其他主要城市,高峰时段的交通最为挤塞。法国每日的交通高峰时段是早上7时30分至9时及下午5时30分至7时30分的上下班时间。在星期五法国人一般都会外出旅游,所以交通高峰期会较平日来得更早,在下午4时起便开始阻塞,其中尤以离开巴黎的各条公路最为繁忙,而非高峰时段的交通一般非常顺畅。4 L5 Q5 f& }# s. ?5 y& _
    0 q  \% f: @3 x% G
    4.3 对于交通模型的假设与估计4 P* X5 ?8 m  o
    对于交通流模型: . o! B! T+ I* b# e9 T
    其中:q为车流量(即单位时间内通过的车辆数);
    3 j# W+ Q& _$ o1 z7 [+ O$ q5 r# m( b0 w

    0 W$ V9 f% ?3 O- \6 d+ @& ]
    为车流密度(单位路长的车辆数);7 e) w/ N9 a! r$ X% C. N* d
    2 k" H, m$ w: y+ [$ C6 m
    * Y+ Z  M! z, C2 o! L4 G* p

    & J, e$ A# o+ j- d/ x; \  s; y9 T
    为最大车流密度。3 S9 [: ]" V- f( [2 V% C, M

    0 ?9 w$ H, a6 h: k
    ( a- ]+ K& Y( M  t; {. V4 A0 t
    为最大车速(注意:车速时车流密度的函数, )。1 ^8 ?. F; B1 X) @7 O; Y* v1 L
    根据上面的方程,我们可以估计出每个路口不同阶段的车流量,这包括流入与流出。
    6 [6 c' g% J. w6 D5 P; V为了保证总塞车量最小,同时等车时间最短。我们针对不同时段对车流量进行了不同的划分:/ }2 {. N2 C/ |. O+ v/ Z1 w
    环岛内车辆总数Q
    . }" e& T3 e( c  _* _
       , J$ u. S2 n% j# Y- r! P3 a
    有红灯亮4 V# r* `$ v; v7 a; _
    无红灯亮
    0 z% J8 W; K9 A: {0 G& }  l

    ' [0 M, I, d) N- s! Y1 x" b

    ; ~- I2 r+ E/ _5 m
    ) T5 B" L( ^* x, r% `$ l

    7 T3 d1 S0 i  }: f: F) m5 I
    主道y1 X3 G$ m6 N' B
    支道y
    # g9 W4 ~( \' T" w- P# `! v
    主道w
    # D8 t2 S9 z9 Z% Q
    支道w
    : s$ H! f4 ]( x) o
    主道y, ~- X' S" \+ t2 `
    支道y+ C- b6 n% ^0 S5 C$ U8 g& `6 C
    主道w  y! W) `% k/ f* }! _
    支道w
    ; f) U5 ^4 a- V& w8 i5 v* h
    800~1000
    ) [( D" F* V! k/ Q$ M* g' q9 t; X
    高峰期' J, ~( [) ]5 R" |1 m  e! C) j
    3~4
    * X& U" k/ r6 h4 ?" Z8 a( y5 A
    1~2" L+ X) ^* @2 ]7 [  u
    0~4' i4 G7 e, ]& K0 `4 o
    0~2) n( j1 t+ B( b. O, t( b5 s; F8 G
    3~4
    1 S1 G3 g: H5 v* s/ _( T4 k
    1~2
    , \+ b* R2 v$ B8 m# e
    0~4
    9 W9 b* U& i7 g7 j0 k# x% |
    0~2# l/ K: X0 i& J) R; V: T
    500~8005 _- a9 b4 i. C8 T, m6 t
    次高峰
    , _- `8 F' m# S5 A5 W9 N5 ]
    2~4; e# }/ g- B5 n" [; _  N& u9 ^
    0~27 P5 Q6 b8 d" M
    0~4
    ; i  X# i' {- p6 k+ A6 m! t
    0~23 y5 K( c' s5 _# S; R& j# M
    2~4- U2 G4 A* a$ o% y" i! ~( r
    0~2
    + g7 H: @/ J5 T2 L
    0~2
    % y/ S' I$ H9 B$ D" O2 T0 W
    0~1% P, O! V/ a2 C: _
    200~500, g* {: l' ]% H' I
    一般情
    ( e. {4 I, T, _; d) d$ Q' w2 T( e# K
    1~2
    ( c7 H; M; R) ]  p; W
    0~2
    ' M- d6 E9 H% t; v8 _
    0~4
    & G4 z$ }" ^: ~
    0~2% G, ^+ m+ B1 N- x
    1~2% ^% f( U+ k4 d* o, e2 V
    0~2
    $ A9 }- ^1 a  v" ]: I% X
    0~2
    0 l3 z. s6 X" p7 n) Y9 H5 G: t
    0~18 G0 _9 }# B8 Z. l
    0~200
    0 i2 b6 C/ z% Z
    稀疏情 + _! r- K7 ]7 v- R5 U! l1 |1 i
    *% ~$ ?9 ]7 ~$ k
    *
    6 v6 h8 h( s* l( L+ d+ X
    *
    4 ]8 r0 h( a. [9 ^' W- I' c
    *
    , Y; V, L  `/ @# c) p
    *
    ' ]3 U' U# Z+ ^  Q+ J9 d. }
    *
    " f3 P" }0 E; |7 n8 r; ?
    *  v% t: L# \# _0 U8 H8 C
    *  Y, [3 a3 C! @2 n/ d8 Q( q) }( r
    2
    五.模型的建立和求解
    我们先设立一个逻辑控制变量 , F) ~8 ~" F4 v: B" n7 D6 Y
    对第il路口,当有车进入时, =1(即认为绿灯亮)。) ~1 M5 y( l, `( {8 R
                   当没有车进入时, =0(即认为绿灯灭)。
    : b0 B- [( \7 \  l, c* q5 a2 I# e又设 为第i个路口的车流量(辆/秒)。0 S! ?, [# `% s4 Q+ P9 F; ^6 h
    则我们可以列出下列等式:. |6 Z5 {( p  s
          根据:单位时间内,环路车流量的增量=流入的车流量—流出的车流量。3 ^% v3 ?3 [5 M. }& v

    ' ?6 {7 Z2 X: J, @. E( S

    - H8 P0 \1 V6 j  J
    ( n. t* C* @9 q5 y0 }. ldq表示单位时间内环路车流量的增量。/ f* g% O1 {2 F) x

    % ~+ l4 G9 G. v4 `6 b/ _+ K5 r1 C对于 以及 我们可以用rand模拟。  [6 P+ g2 h" P) N

    # f! h  Z& O; H: ]* L) ^因此,环岛内车辆总数Q满足:
    6 q% o# e% \0 k% ]6 I. k( j( `0 Y/ w1 F+ v# T* E: ], g
    注:
    $ X' V! T5 H- v由于 的组合有很多种,我们加入限定条件,即要保证等待时间最短(红灯亮的时间最短),以及等车数量最少。  G3 t. x. q' ?4 G2 J

    # r) d: S5 d" l1 q因为等待时间就是红灯亮的时间T,等车数量又与车速和等车时间有关。
    # Y$ g2 {/ m$ x 3 m* e' u2 \9 L( d* e
    为此,我们设立下列函数:" m6 a* T4 j& S& P: o' I

    $ D, {1 E7 \" r2 F  c4 K  Y9 `2 ^+ I8 a/ `

    1 I: g* x# \) }2 g' t2 {
    $ N! ~* B* g& Z( W& r5 J说明:; x$ e$ h& _6 [6 ]) J9 }
    为各路口的逻辑值(通为1,不通为00 J# `0 h, K4 L

    - B% [9 P1 W9 h+ m为第i个路口的车流量(辆/秒)
    3 h" j7 v4 t' ^* Q/ `$ a为循环中第一次亮红灯时的堵车量, 为第二次亮红灯时( 的对立面)的堵车辆。
    8 R. c; F! E# F1 H  M为总堵车辆。3 f8 f$ x, a9 ]  r! d; x
    . B2 H* N" |. N/ h" ^5 G7 Q
    上面的分析可能需用到下列参数值:' Q( n. _' J: X( L
    1.
    + w6 o& C% d* G) F
    每条路段上的最大车流量。
    : s- a; b9 t2 b7 B: p
    2.
    + H  _/ T7 s4 r; ]- n
    每天路段上的最大车流密度。
    - h; z; i4 O8 O2 }
    3.
    ; Z; o5 V& r5 S: K
    每条路口进入的车流量(辆/秒)。
    , w8 v2 G2 o9 A; {0 o: w
    4.9 C9 a7 E2 t0 x# v
    每条路口开出的车流量(辆/秒)。
    - Z, @  ~1 F( \! R
    . {* b$ }& [3 I9 V+ w! }
    通过模拟,我们将在不同的组合中找出最佳的红绿灯方案,并通过多次模拟,确定时间分配。
    + y* t2 o3 H1 e( t9 A
    2 ]- x6 g+ G/ \9 g - ?% s3 ]9 g- c& {
    一、对于高峰期时,我们对于下列组合进行了模拟(程序见附件):  }, F3 {: X. ]( [  h* ~
    红灯亮的个数(盏)
    8 }  c5 ~8 \; a9 Q0 o  k
    12
    5 r) }! n+ Y" `3 y0 k% z4 c. z
    11
    8 u' w6 {3 V0 P: D8 U5 ]
    10* x4 a! E) M9 p3 e6 J* S! Z) G
    9' H# H* @! ?2 l' _' b. M3 t3 p
    8
    # Q: M# e' q; f. K
    77 F0 U( o' v* I5 m
    6) M' t' Y7 E9 s( \" j
    55 ]0 X( `$ ]3 ?. a* \0 V5 o4 n
    4& b3 d* K! ~" V) O- E% P2 s3 F$ s# L
    3
    8 F; W6 j& U6 O, Z) l6 d4 ]9 ~
    2
    ' P6 P0 ^: s0 y" d2 O
    1
    ( A0 B$ h. P5 A: X
    0
    # R. s6 q9 _( S+ c
    平均最短等待时间(秒), B" t$ H, g9 T( V
    16" _0 q" c* Y. S" J3 [( l
    20  J1 o- o7 s, n: O, n. R
    221 @$ r( B7 _$ \- f8 t+ b1 q
    27/ @# n3 c: s7 C5 e
    30/ X: l2 {7 W; t# C8 l% M+ n
    42
    3 C. }: U3 \7 r( y# `9 i+ F
    70
    1 r) y) t' I( ]5 k( q5 Z' C
    154
    0 J# D! u$ `" O+ ^, @. Y& @& V9 j  @' u7 B
    Inf) I% n& s- V; v) {$ r
    (无穷大)! R- P, T- l4 `
    Inf% D3 u' f& n4 ]+ d8 `
    Inf3 u0 F* a/ A1 g$ V+ n3 B! }
    Inf
    3 z7 L/ V+ s9 r3 _) h" P8 A
    Inf
    5 ?+ l; ?* i& V. G* ?" y
    3
    注释:
    ) z. Z5 h. E% e6 Q对于红灯亮的盏数,我们可以有很多种组合方式,比如红灯亮1盏,可以是1~12编号中任何一个亮,但这些组合中总是有一种或多种为最优组合,这从我们程序结果可以看出。0 t1 W8 O' i" P0 r4 t

    2 K1 N3 v) @" r4 J- o0 e- F分析:
    . F# L$ ?2 r& i" D/ `4 S) p ) z! [. M! r) o% b: m7 Q( i
    0盏红灯亮:3 `& F. B, d+ z5 z
    此情况显然不合理,因为没有红灯就无法控制环岛总量。
    $ u, h$ r/ r3 Y6 y2 @ 2 d1 J0 _; x% ^2 l8 U, A
    1盏红灯亮:
    2 [; a7 w6 W$ v$ Y$ y对于此种情况,经过模拟发现不可能达到降低环岛车辆的目的,反而,环岛内将更加拥堵。(过程见程序)
    5 c3 w& c! j' v5 n8 L 0 Q; C$ }6 j! Y# u9 o8 u9 k
    2盏红灯亮:" I1 e# x% e- S3 u; L8 k; s
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。" f1 U/ L- C+ h  q

    $ y3 f" Z, Z+ W3盏红灯亮:
    4 H& G9 X# x+ ~* \8 N此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。) y/ h: d4 h+ [( h! Q8 W& ~
    / |5 F; q- D* b9 u* W6 d/ b
    4盏红灯亮:0 z  }' d- _1 E
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。4 d7 v' I" v0 \1 J( x0 L& ^

    / I- O" p9 q- x1 f$ P6 B% U+ ?由上分析说明,红灯至少应该亮五盏以上。9 M% h5 W) h: h5 q) I% u' L1 d# f" r
    0 w1 W- b5 `' q$ t1 m
    为此,我们排出一下组合:
    & k2 G$ s3 s/ P+ Y4 n5——73 t2 }: b) |4 y9 B
    此种组合方式下,可以分为:% P3 A3 k. R/ i6 N. a
    a.开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为144秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为48! A! a' y2 b3 I5 E& f- A
    此时,总塞车量为:
    ; c& r% H0 \* i  Z$ ]
    ; o1 V: a* }1 A+ |( s% H7 @2 ^3 eb. 开五盏红灯时(不包括主道)的等待时间为inf秒,故此情况不成立。 " F9 Z; e  I3 r5 Q: ^/ g

    # E/ A0 P& B' Y8 k6——6
    & E! \' g8 B- K( y( Q. }2 V  e此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为68秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为67(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于是模拟,不可避免的造成一定的差异)。
      w: a& b+ |% H  _此时,总塞车量为:  l% V5 L  l2 B# W* Z
    9 O1 P! L$ Q2 Q+ S

    % \2 r# i; k- K在保持堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则下:$ C" v6 Z5 Z1 s2 p/ O/ R% U
    只有选择6——6组合是最优的。, f: o8 x. d# G) j( o
    根据等概率原理,各条支道应看做概率上相同的路口,而两条大道也是等效的,因此,在模拟时,我们就可以人为地设定组合,只需保证总数按红灯亮的盏数分布即可。比如:对有6盏红灯亮,我们选定组合编号为:1 3 5 7 9 111为主道),此组合方式与2 4 6 8 10 12等效。
    + g8 H. ~* @5 T  y9 e6 Y  M6 S" r ; t. ~( n  n, \" t
    这时我们可以确定红绿灯的循环模式。7 f$ y; r: r2 ?5 h6 |9 Q3 J
    不妨设定,先使编号为1 3 5 7 9 11 的红灯亮,在经过T(T=68)后,打开所有绿灯(包括原来的绿灯),再等环岛内车辆上升至限定值后(经计算t=25),再打开另外路口6盏红灯,其编号为2 4 6 8 10 12。之后,重复上述循环。' G1 `" P. h; A$ y; A8 i$ w: }
    " G1 i3 S% C3 f, Z; M$ n1 o5 M7 l

    9 c1 C4 j* X3 P7 _" O2 {+ c) Z二、对次高峰,模拟结果如下(程序见附件):) |5 L! V4 E/ E2 f9 F! L
    亮红灯个数(盏)
    7 D# L" E- v8 Y3 x: W& \
    127 x  ]% @& q  l- q8 C: o% F
    11
    ; H0 v/ A, p" `2 S' N
    10) n) a1 ^: x2 U% B( D- }
    9$ A5 z1 {9 ~) g& a- K" j' o/ ?
    81 q, d& N' H4 N1 ^1 O3 C5 H+ Q' k
    7
    . I: t5 V  ^8 D
    69 e/ C+ q9 L" `# y( D  M* v
    5
    5 [  x  |* m: r2 ~
    46 c3 @9 b! U8 ~
    3; s2 B* p1 ?9 v8 Z/ a& i! J
    2
    / s! H% t$ F, T! i/ d
    1
    7 m# v$ C4 |: Q4 N
    0
    * R# [! w$ F$ j/ ]8 u3 \  R
    平均等待时间(秒)
    # a+ F0 L5 s% |' i! _
    24# N/ x! v' ]2 y- o8 K. K: j
    30
    / W- Q; P5 n2 S
    31
    ; \6 k2 H9 g$ C9 n1 S1 w/ L
    321 Y2 v4 a  ]1 g4 V' w% r4 B) y
    35" S) i8 u' n- ?6 o, K# M/ c3 d
    43
    $ o7 w* K1 M# }+ O" j' s" @
    57
    5 r' E7 W+ \6 N' ^# `9 N, k" K
    68
    4 E9 |& ^+ g0 T' ~2 F) T+ s
    96, F8 v# y- @1 H- [4 {) C* @2 D
    Inf# G0 V5 \! C( V" ^. s. n

    ' U# Q' \+ ~( X  Y, V! n! U. l
    Inf# M" j4 k4 M" B2 \. i  D
    Inf& H1 |+ _+ O- f3 K( H& E' M4 A
    Inf: Q  h# G3 Y' H  G8 E/ C0 ]
    4

    3 x# e2 U9 ]# ^  Z说明:+ n! M, m( {/ O: M" ~
    对于红灯数目小于4的情况,实际上有的模拟值满足要求,但由于等待时间太长(100秒),并且情况及其不稳定,多次出现inf,也就是不能达到降低车辆的效果,我们认为这些情况都不现实,均统一成inf类。
    ( g1 s$ P) ?: h& f. F ! Y2 i* s2 o6 U  b/ v7 t; W
    由上分析说明:红灯至少应该亮四盏以上。3 A  a! b1 N) B) o& O; y

    1 q# |  j+ C' P1 n+ v为此,我们排出下列组合:  Z: s( @# j" q
    4
    ——4——4( U. H5 Q, {5 L! u# b
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外4盏红灯(编号为2 6 7 8)的等待时间为77秒,开最后剩下的4盏红灯(9 10 11 12)的等待时间为147秒。
    & j/ D# i/ {9 E9 |此时,总塞车量为:9 v4 g# P9 J" o

      f" |1 S! r7 }' v4——8# t% \4 r( B0 v( l" k- C7 f4 d
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外8盏红灯(编号为2 6 7 8 9 10 11 12)的等待时间为39秒。0 c. _4 P& e5 j
    此时,总塞车量为:5 _# k) N; L" h' j5 X% @
    * s9 N: I$ p4 I
    - J  k$ H# d4 P' k0 t
    5——75 G9 P3 {% l2 R: x  o# s% M6 P* J
    开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为58秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为45
    7 D! }* V* y. ^* u此时,总塞车量为:
    : E# x/ d" g3 r  D$ j
    " L: G% }4 H$ K / I( p/ G- `( q9 |, d  i& u3 ^
    6——65 \& P* m1 ^2 A7 {
    此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为50秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为50(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于时模拟,不可避免的造成一定的差异)。
    , K$ ?2 t. @# ~4 B% {, e- e此时,总塞车量为:8 ^" Y* Z( [) b2 ]8 z
    3 h1 s( ]2 x, ]3 |( L
    / c5 ~3 x0 O0 E' B* j3 ?: x+ M( z2 a
    由上可知:
    9 \! w& Z; W. M% Q6 S! R对于高峰期和次高峰期都应该选取6——6的组合,并且将两条主道分配到不同的组合中。3 {* U1 L' h1 ^; h* W- ]
    : [% \8 B0 q9 P4 {. ^( H

    . W, {4 L- c- T, F" I0 I0 b9 B说明:(为什么选取组合时两条大道不能同时选取?)- Z/ F- ^! Z7 l8 _
    下面只针对高峰期说明:0 l6 p# C! X  m8 q+ K+ J, {
    对于高峰期同时选取两条大道的情况:
    5 X) t8 g3 P3 m  k- `8 f" H3 w5 o2盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。$ t) y$ w1 ^) C9 w* i$ R
    3盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。3 F( }% O( [; P3 w' p% n8 q/ s/ I
    4盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=158秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。
    ; u0 O  k; r, j) M  g# _5盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=101秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。& ^. u  A9 [0 a% G( P/ B" a
    6盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=63秒。# [+ D+ ~# ?4 d) P, H6 S
    7盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=50秒。
    % }/ \% I6 g* m3 z9 ^8盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=45秒。- U, k4 A- Q6 s6 s7 p9 K
    9盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=35秒。
      j6 D, S8 M, @  G% V9 [10盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=30秒。, Q7 {2 H6 j& i

    ( @8 R4 C' y. n% Z3 c同样地,考虑到我们设计的算法,对于高峰期,不可能不选取某一条大道,所以我们只需考虑对称选取,即组合时尽可能的将大道分配在不同组合中。
    0 Y3 D1 r4 R4 S3 V; |3 M2盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间多次出现T=inf,说明此种情况不可能大道降低车辆的目的。
    $ R7 g' ^6 d, c! b( R/ g$ e1 T3盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间T=96秒,但也多次出现inf的情况,因此不考虑此种情形。' g7 P" D7 \/ u  V& o
    4盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间/ [* T- L8 S' o
    T=65秒,但也有很大的几率出现inf的现象,也不考虑。
    9 |6 I0 f% |4 E5盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间: l3 g+ [, K" O. T5 O! P
    T=45秒。
    3 V- k8 x) z4 \2 E( ]; y6盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    % N/ ?% N+ N0 ], D1 oT=35秒。1 c* F3 u, t, B( p# w
    7盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    ) \7 m, \9 y% {T=31秒。3 }: t" K3 X) J& E
    8盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    # Q8 Y8 M! {  K+ H" sT=27秒。+ k3 P' J, |2 M5 @& n3 u
    9盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间7 g  ~6 Y9 B* F0 j: g4 g* `5 U
    T=25秒。; o2 H; l( N' i: {4 ^
    10盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间=23秒。
    % P, Y+ O2 F: v% w
    ! k, h3 q% P5 z( j对比上面的两种组合下的结果,显然第二种情况更为节约时间,对于所有红灯亮的情况,只选取一个大道通畅的情况能保证等车时间。因此,我们认为,选取组合时两条大道不能同时选取。
    3 T/ h, N8 I; f+ Q  T* i( B
    6 A4 P* D! i* c, t8 ^7 W由此,我们可以得出高峰期和次高峰期的红绿灯控制方案:
    , k, b" o! u/ W! f6 w2 s对于高峰期的方案:$ h1 U0 q9 J; E+ W/ Z
    先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=65秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=27秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=27秒,此后若不打开红灯限制车流入,将超过环岛最大车容量,因此,时间不能超过27秒,但是,我们为方便设计考虑,将时间定为27秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=65秒。结束后重复上述过程。( I1 J8 c8 |1 e! s0 n
    ( z, w* H5 S6 k4 A' @# Z
    对于次高峰的方案:) ^# u+ u/ S, E7 J& _
    先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=35秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=23秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=25秒,此后若不打开红灯限制车流入,将错过环岛最大车容量,因此,时间不能超过25秒,为此,我们为方便设计考虑,将时间定为20秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=35秒。结束后重复上述过程。) f/ B$ Q8 A) b8 o9 V9 i

    7 \5 W* I- p$ x
    : Q! J/ U, B+ s, Z6 F三、对于一般情况与稀疏情况的说明:  }' Y5 [* z6 i# q
    / J: {$ T1 A% A% s' e" [9 C4 n
    A.) I# E5 {7 C) u, F* {' v1 I
    一般情况:
    5 y! e' t4 ?% y/ ^7 E; Z7 |: [
    对于6盏灯的组合(每个组合只分配有一个大道),其等待时间T>150秒,如果红灯时间仍然按此时间设计的话,肯定是不科学的,因为不可能让汽车等待如此之久。因此,我们从尽可能减少等待时间为标准,经过模拟,发现当所有路口均亮红灯时,其等待时间最少,为T=23秒,而这也符合一般城市中非高峰期的等车时间,我们为了方便设计,将此时间定位30秒,而30秒也是一个可承受的等候时间。对于绿灯全开时的情况,更趋前面的假设,经过模拟,畅通时间为T=50秒。因此,我们选定一般情况时,红绿灯亮灭的原则时,所有路口红灯全亮,持续时间为T=30秒,此后红灯灭,绿灯开,持续时间为50秒。之后,重复循环。
    % Q5 ~  M% x& ^4 DB.稀疏情况:" ~0 h' L% D9 e
    对于稀疏情况,车流量具有不确定性,我们无法估计具体的车流量,但由于此种情况下车流量很小,我们可以将之归到一般情况,并且以一般情况的红绿灯规则来控制。
    % a  e* d+ g* I& i# V' m
    ( r; |+ L& d6 \
    + u! z: C1 p. U) q
    7 m0 P" s4 N' C" o% l  C. G8 H) P
    六.模型检验
    根据我们的方案,我们采取随机模拟的方法,分别对高峰期,次高峰,一般情况和稀疏情况进行随机模拟。
    1 q* n: I; M3 f  l2 @! o+ ~6 g为了保证环岛内交通的流畅,我们设定环岛内的车辆总数Q不能超过1000,但实际上换岛内最大车容量为1327,因此,我们在考虑交通流畅性的前提下,可以适当地放宽这个限制,严格规定Q不能超过1200
    ( i$ Z  |* L/ V: k我们检验的目的是为了了解模型的稳定性,为此,我们对四种情况分别进行了24小时的模拟,其结果如下:
    : Z3 K1 M4 n$ w1.高峰期:(程序见附录)6 k+ c' y) E9 B- U8 |. z  o
    第一阶段红灯持续时间t=65
    3 P6 ^) V' |# N% a第二阶段绿灯持续时间t=27
    ( F# y/ `* A' [' j6 C: R' X2 a0 s第三阶段红灯持续时间t=65
    1 S  V. m6 g' @/ G, n/ M第四阶段绿灯持续时间t=274 }) p. p; j. o' @6 c0 M# y4 _
    总周期T=184
    ' |" K" B# B( X 7 ], j$ X, W. I* w
    对于此方案,我们在模拟时发现,由于每周期都会累积一定的车辆,也就是误差,在很长时间后,其累积的误差将达到非常大并且不合理(超出最大容量)的数值。因此,我们需要增加一个修正时间,并且此时间应该很小,只在车辆超过一定数量时才加入。
    % w2 j2 {: a: _; i3 _- F1 Y1 ?我们的做法是,当环岛内车辆大于1000时就对红灯持续时间加3秒钟,即此时红灯持续时间t=65+3=68秒。在车总量Q没有超过1000时,我们仍然以65秒的规定时间运行红灯。! L! m3 Z* {0 k2 Z
    这样,我们模拟24小时高峰期后:超过1200的车辆次数为37,占一天内车辆总数的比例为1.97%。(这只是模拟一次的情况,在模型改进中,我们模拟八次后取平均,得出更加准确的比例:2.74%1 q( O( n; @0 K4 `. I+ A0 q0 S
    对于此比例,我们认为是相当小的,也就是说,发生环岛堵车的概率时非常小的,因为我们是对1天进行模拟,累积误差显然会相当大。而一般的高峰期只持续2小时左右,累积误差必然很小,其堵车概率也应该低于1.97%
    % K$ ~2 }( t$ c  x+ \: h6 _( R 2 [2 k0 Y  b* b/ t+ t
    2.次高峰期:(程序见附录)
    0 q8 L8 \) S* b* w7 V6 r第一阶段红灯持续时间t=35
    5 M5 e9 h8 y0 L$ t! T4 V; B第二阶段绿灯持续时间t=23
    * i% Y- ~. ]& c0 e$ q第三阶段红灯持续时间t=35
    + X% M, ]: c) C& \6 ^第四阶段绿灯持续时间t=23
    . ]7 c/ E4 A; J总周期T=116
    ; F5 O$ I" A, s1 u! x对于此方案,我们为了保证环岛被最大利用,同时又能使交通运转顺畅,设定环岛内最大车辆数不超过800,经我们模拟24小时次高峰:超过800辆的几率为: * v8 g6 f2 V5 g
    ,
    显然这是非常好的方案,鉴于此,我们不对此方案做修正,即沿用模型建立中确定的红绿灯持续时间。) g5 W' z. b2 j2 D# I
    3.一般情况和稀疏情况:
    5 o" B3 Y$ O7 S* m- o9 U3 A因为车流量的原因,不可能造成交通的拥堵,因此,我们不在对此情况做模型检验。为了说明时间安排的科学性,可参考其他大城市的一般情况的红绿灯时间。/ `0 V1 h8 P4 X9 X$ b
    - {2 \4 C6 J. l( c# z+ G) `. V7 N
    + n! u: e4 k/ M8 h

    7 y/ p1 U7 }% j% N  P* p
    七.模型改进
    1.对于工作日和非工作日,由于车流量的分布不同,我们可以根据表1来设计红绿灯时间安排。
      D5 v) b: C+ y9 X2.我们只考虑了每个路口流入与流出的关系,并没有考虑到车辆在环岛内的绕行情况。所以可以增加限制条件:环岛内并行车辆不碰撞,这样可以选出更加优化的方案。1 T9 `8 j6 }( p( s
    3.不妨考虑车辆在环路中的相位问题,这项可以细化到每辆车的行驶情况,但这样相对来说较为复杂,我们不予考虑。5 _# R6 k* j: z* K
    4.对高峰期时间的修正:
    7 J" p8 ~! c% d6 b若不对高峰期的红灯持续时间作修正,则经长时间后,累积误差将使环岛内车总量超过1200(我们称之为危险),这是非常可怕和不安全的。为此,我们对红灯持续时间做一点微小的修正。经过我们的模拟:(程序见附录)* d5 s& O  j6 T
    修正时间t=0时,出现危险的几率:89.62%
    7 q% ^$ r- d. K" b5 w修正时间t= -1时,出现危险的几率:88.56%
    # b2 `" s3 |7 l2 R修正时间t= -2时,出现危险的几率:98.03%; k) F! S4 g) |  u" T. |$ c: W! z  Y
    其实,如果减少红灯时间,显然,这时在这段时间内进入的车辆数目就会增加,在不修正时已经危险的情况下当然就会照成危险几率变大。0 o" ?5 W- s. H; h2 N
    所以,我们应该将修正时间调为正值。
    * `$ u1 ?$ g. V% r3 p修正时间t=1时,出现危险的几率:93.33%% Z7 t5 B, I% r# g/ {! R2 z+ k
    修正时间t=2时,出现危险的几率:13.74 %
    ; v, c+ t$ }2 h  M4 w1 L  U0 o修正时间t=3时,出现危险的几率:2.74%
    # k& d1 n' k9 I' P因此,我们以5%为限定,确定出修正时间为3秒。- d1 A" ^& M6 U
    6 e3 p, p9 z: ]' B, C4 f8 k
    八.模型评价
    8.1 优点
    6 _) @) F3 ]. H$ K0 [7 E6 }
    : `5 O/ |/ i' E  `1 y' q1
    .本文对不同车流时段(高峰期、次高峰、一般情况与稀疏情况)模型分别进行了模拟计算,得到了最优组合下的红绿灯循环时间。由于车流量是基于模拟的,并且环岛内车辆总数也是先设定的,因此,我们的模型可以适用于很多情况。并且,根据我们的模型,对于已知车总量和具体车流分布情况,可以重新确定出最优化的红绿灯控制模型。
    - K8 u2 g1 v8 v5 U& g
    - u% v# e; r+ ?! t* o4 n' q* M/ u
    2
    .在建模过程中,我们对所有可能出现的红绿灯组合情况进行了模拟,这样最终得到的最优组合的方法是很科学的。

    7 ?% ~6 e5 {) Y, D4 _( u; ^" e
    2 g' L: g5 Y' S6 L$ N) r8.2 缺点
    : d1 Q* E# r' n+ y# Z# A
    ' i" T. j4 U# _  T1.
    在模拟模型的过程中,我们假定车流量服从均匀分布,这带有一定的主观性,并且我们并没有考虑每一辆车的具体行驶情况,比如车辆在环路中的相位问题,这可能造成某些紧急事件发生时不能及时疏通道路的问题。
    zan
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