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巴黎环岛设计(本队拙见)

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    发表于 2009-8-17 16:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    巴黎环岛车流控制模型
    摘要

    7 ^3 R4 ?" X; m7 @本文就巴黎凯旋门环岛的交通问题,建立了控制进入、环绕、流出此环岛车流量的红绿灯模型,目的是使环岛内交通顺畅,并且尽量让堵车时间短,堵车数量少。" Y( Y- P0 b. v- J0 o8 h
        通过分析,发现环岛内的最大车流量为1000,波动范围为+200,还可根据车道宽度计算出每个路口的最大车流量。这两个因素对环岛交通有着很大影响。因此,主要考虑车流量和环岛内的车辆数目的影响。并设定,在建立模型时,环内车辆总数最好不超过1000辆。- @: f3 C+ P+ J% D# M
    根据各时段车流量的多少,本文将车流分布为四种情况:高峰期、次高峰、一般情况、稀疏情况。再根据各时期的车流量,建立了环岛内车辆总数Q关于流入量与流出量的方程: 。通过随机模拟,得出环岛12个路口的车流量,并根据堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则,找出所有可能的红绿灯组合(前提是每个路口都有红绿灯),通过比较,得出最优化的组合(具体组合见模型建立与求解部分)。& F7 b7 {: W' e0 Q( M
    通过随机模拟,对于不同时期,得到不同最佳方案:( t" `* L& K+ e$ E
    1.对于高峰期,将红绿灯时间分为四个阶段:1.编号为1 3 5 7 9 11 (见图一)的红灯亮,其余的绿灯亮,持续时间T1=65秒;2.红灯灭,所有绿灯亮,持续时间T2=27秒;3.编号为2 4 6 8 10 12 的红灯亮,其余绿灯亮,持续时间T3=65秒;4.绿灯全亮,持续时间T4=27秒。之后重复上述循环。红绿灯总周期为T=184秒。
    - [1 A9 V+ z8 C1 B" z$ d- l2.对于次高峰的方案,红绿灯组合与开关顺序与高峰期完全相同只是各时段持续时间不同:T1=T3=35秒,T2=T4=23秒。- v$ P! `- J8 l- u  a1 `# |$ O
    3.对于一般情况和稀疏情况,红绿灯顺序为:在所有路口,先红灯亮,持续时间为T=30秒;之后绿灯亮,持续时间为T=50秒。之后,重复循环。, t$ g8 f& }& Z8 x
    由以上方案来模拟计算一天内环岛内车流量Q,其值超过最大容量的平均概率不超过5.00%,较为理想科学,所以此方案可行性较高。
    / V1 k4 t. S6 q. G* n3 d最后,对模型进行了改进与评价。% e9 X  o' }8 D/ X
    , R- t; S5 o4 H1 u' S
    9 @( }3 e" F' i* l, }; B
    关键词:环岛车流控制 红绿灯控制 排列组合 随机模拟 等待时间 + N/ m# C2 w5 _- l: w  v! N6 T: v9 Y

    7 P& k7 _& P1 o8 W& @, A# L0 J+ h
    ( R4 Z6 f3 V5 O1 u4 t& d4 \& \ : T2 q0 {' D6 V7 u
    1 l0 s* n2 z# u; |5 m6 k) z8 x- @3 L
    3 I) n3 ?0 p/ w9 z2 k5 ~0 y

    & o' Z. P$ ]$ W' [* r
    一.问题的提出
    巴黎凯旋门环岛有12个路口,其中有2条主道,10条支道。在进入该环岛的道路入口处可以设计有一些信号灯,或其他标志来控制车辆的流通。即为环岛制定车流控制模型,要综合考虑各时刻的车流量,环岛内最大车流量,天气情况,工作日与周末情况等因素。/ \& [- T  D8 u% C- w
        我们的目标是,根据已知的信息,建立控制环岛车流量的具体模型,并分析该模型的优劣与稳定情况。
    : G3 a3 D5 Q! c7 a- g . N# Y$ C: l6 v" g
    1 环岛平面图

      Y; o( }) W" R7 y* R% j# o8 s 7 \4 f0 K# a# D9 w- |, M2 M

    / v) T' U( U# P0 ^4 w; H2 m, B% _ 7 Q2 g7 m2 U: c
    / ]9 Z) h; v; T: R7 a; }3 U0 l

    & c# y$ r4 c0 v' ]1 h4 A- }
    二.模型假设
    1.假设每个路口的进入车辆服从均匀分布(具体的分布情况见问题分析)。( m9 |- l0 n; Q- k
    2.假设每个路口的离开车辆也服从均匀分布。% t2 C& [. ]0 x7 ]4 F
    3.假设每个路口都配置有红绿灯装置。
    ' G0 |! l( Y9 E2 H* h# i7 O4.假设环岛为单行道,只允许进入车辆沿着俯视逆时针方向行驶。
    ! E/ M. \/ L+ @2 H% ]( j5.假设进入环岛的车辆最多只在环内行驶一圈,不能多次在环内循环。/ i; z* a8 ^/ y1 \8 A! O; x
    6.设环岛内与各路口处的车速为20km/h~ 30km/h5.6m/s~8.3m/s! V  B1 ]" }; _5 `0 ~
    7.假设只考虑正常情况下的交通,不考虑发生车祸和路面维修等意外情况。
    7 \! L3 Z  J& j! G. ] ) z1 c0 Q7 e# V# z

    + x4 A% B  E* H% @

    ; Y7 l2 R. f4 n" x' P5 `* {; U' F
    三.变量说明
    :环岛内半径。
    # Y4 |/ k% V2 A7 j* ~2 y:环岛外半径。
    % Q) v' d8 c: g" @  f6 f, u8 b:车底面积。0 ~) a" y$ @0 s& n0 ]
    :环岛路面面积。其值应该为两圆面积之差,
    . K/ m) _6 m* H" A1 Z; d:环岛可容最大车辆数。 取整。
    # Q6 r: g4 Q; x* D4 U+ L:环岛内车辆总数。" w5 U% s  X1 r
    :环岛内车辆总数的当前值。& p& h1 {& h% ^- [
    :各路口进入的车流量。(1<i<12
    , m; ^) ]- @2 ~# |; d:各路口离开的车流量。(1<i<129 S# q8 N' o% I7 t5 d# }6 j0 b
    :逻辑控制变量,用于表示各路口的通堵情况。 =1表示通路,即绿灯亮; =0表示堵车,即红灯亮。(1<i<12
    " L; y9 i% J7 J' W* _" A, i; Y" \3 t7 O- n% q- ^* o  s
    :表示所有路口的流出车流量。2 A  L  f( @; C, }5 U3 E
    , ~1 m$ ?# k% S, b
    :表示红绿灯持续时间,具体是红灯或绿灯,模型中会具体说明。/ w; B" O  O( Q& A- j

    % L0 ^& e  L5 T" x0 A0 v  R:为某种情况下的堵车数量,具体模型中会说明。, t2 g- t9 p' \. }( P  ^/ c4 J
    * Q* |7 [+ \5 ]/ v
    :车流密度,作为参考因素,将影响对车流量的模拟。" ^; I9 y: e0 k& D& Q

    : z% E$ @. Q* ?) V+ @7 V 7 }% Z6 u& }# I# ~, V7 r
    6 `4 p. \# }( y
    四.问题分析
    此问题属于交通流问题,我们在初步考虑这个问题时,参考了交通流模型的结构方程。我们认为影响环岛车流量的因素有很多:红绿灯,时刻(高峰期,平时等),天气情况,游客人数(虽然凯旋门游客时从地下进入凯旋门的,但是每个路口还是设置了人行道,所以游客的多少也会影响到车流速度,因而影响到车流量)。正常情况下我们不再考虑路面维修和车祸的影响。
    , ?1 M. T+ e; @" P9 a' I+ R由上分析,我们需要做的是通过对交通流情况的模拟,找到最优化的红绿灯控制情况,从而达到车辆最优化控制的目的。
    9 t/ b+ z" E% o6 h' e; Z* n- P因此,我们将此问题归类为最优规划类问题。
    ! O' K5 c" P9 G我们查找到了以下参数:0 f- E- a9 _7 e2 v) X
    凯旋门环岛每天平均车流量:110/天。
    0 e; h  w: c, F& J* h( G+ W环岛外半径:80m1 j5 o) k8 E( {( B& Z' S
    环岛内半径:53m
    1 \( A* c/ Y9 h9 L! c2 G' k; t一般中型车的底座面积:(7~10m2
    3 q, b, h+ [6 ]1 d: k$ A! T主道可以同时并行3~4辆车;支道可以同时并行1~2两车。
    1 |( h" o# [. E$ x, \ " i2 u! O0 M4 k) O& l/ k0 k- a; }
    $ e, I  s; n) h! x' b
    4.1 环岛最大车容量:
    ' I! s& p+ `+ |由上面搜集的数据,我们可以计算出环岛最大车容量。- {, _. C3 P& K5 k' h+ L
    环岛内半径为 ,外半径为 ,车底面积为 . {; f" q% E* j& V+ B0 \
    则环岛路面面积应该为两圆面积之差:3 `. |) H3 g1 q' D1 q" l2 f9 {

    8 o# L8 I& e% t则环岛可容最大车辆数为:   (取整)
    ) _& u9 s" H8 O1 f! G可得环岛最大可容车辆数目为: =1327(辆)。6 v- ~, X, N! ?; R
    考虑到车之间应该有一定的间距,并且应保证环岛有一定的畅通,流畅性,我们设定环岛最大可容车辆数为N=1000(稍微超过1000也行,我们只要保证严格地不超过1200)
    " L+ \+ Y$ z; ? / L, H2 E! L. S( t
    9 Q5 ~" ?5 \" h9 i/ k  [/ \" K
    4.2 各时段的车流情况
    0 E% W: Z& {6 {3 a" @! ~% L- r
    ) v+ H8 s0 a7 x+ g工作日
    - l; [$ ?- c$ X( S5 t5 _" {# W
    时间分布
    5 P2 F  c( _8 g" [% x" S3 n' F
    时期分布. s$ t7 o" l& i% d5 @
    000~500
    * x2 _# }) `2 D0 M1 Q9 G2 t
    稀疏情况
    $ f8 U8 |3 V. b# z% s
    500~600
    4 ~  y, R8 Z- d4 j
    一般情况
    2 d# y6 d9 l2 i! \2 B
    600~730& t  }5 ?; O  g. a5 L( @
    次高峰
      P3 H+ d5 m3 R) N9 y7 b9 B
    730~9003 _( o  `, [: Q- I+ j
    高峰期3 u+ K6 Z. D2 r" ^
    900~17307 r, H/ _) z% g% M" H/ x
    次高峰
    : G" K; A, g) r/ E, n1 n' d% U
    1730~1930
    ; W# u+ {3 N! A  R9 C
    高峰期
    4 ]4 i, ^6 g0 `: _* B
    1930~2100
    / }6 K1 G) i; N" K( h2 {
    次高峰5 m. z) g" |2 e, @3 Y7 Z: R% v
    2100~2300
    + V9 S4 }. k' x7 }& f- M& z
    一般情况! M  F. h9 V0 V
    2300~2400$ k: s' y8 E. N
    稀疏情况+ G9 N" e( `) v/ T' T

    2 m9 g) ~) ]0 h; i& a0 {. `
    $ T2 y. i7 s  C8 e; V, S) C; n周末- k% K: a& Q3 f: o& \% n. z
    时间分布% C) \% ~: s! A0 Z- d
    时期分布! [; ~2 D3 L2 `0 x
    000~500' B2 i7 ~5 z4 Q* w2 G: s" b
    稀疏情况
    , o* s9 H: r# W5 a, }: j/ R
    500~600
    ( [$ [  q- c( H: ?; q* b) e
    一般情况6 T5 ]( Y) M2 {, ^6 w( c, O
    600~800
    / M2 U+ r, V( I; O% y
    次高峰
      ~! b7 Y: a2 B7 `
    800~1730' m; ?1 G4 ]* B$ S
    高峰期9 e+ r& f% {) k6 K8 }
    1730~23002 j* T9 N0 O" g0 z7 J( S
    次高峰
    ! W% r' `! m. ?7 U+ L/ _" y
    2300~000+ f  O8 h% i# ?4 y: i1 }
    一般情况
    $ D9 S4 C/ w9 ?  k; J( m% W) q
    1

    ) m5 B- s  s/ ?9 `% C说明:4 T2 y4 n+ Z* ~9 p' N, V+ Z( Z& L( f
    在巴黎和法国其他主要城市,高峰时段的交通最为挤塞。法国每日的交通高峰时段是早上7时30分至9时及下午5时30分至7时30分的上下班时间。在星期五法国人一般都会外出旅游,所以交通高峰期会较平日来得更早,在下午4时起便开始阻塞,其中尤以离开巴黎的各条公路最为繁忙,而非高峰时段的交通一般非常顺畅。* q- ^. _3 Q; M! G" w" @6 H
    8 z( B/ P/ j/ @6 K  ^* c7 w* g6 ?
    4.3 对于交通模型的假设与估计
    5 z4 I7 e& ^$ f- B" W9 F对于交通流模型: ) |* N6 \0 e+ U7 b
    其中:q为车流量(即单位时间内通过的车辆数);
    0 R, ~* E9 u  P5 B2 U2 S% T5 N
    $ M5 E9 p2 {4 r6 T" ]) M( i0 X( j
    7 @* O+ X2 d' m4 l% z* `0 W  Z
    为车流密度(单位路长的车辆数);* i/ c$ [6 c6 q2 x* ?6 `

    $ g  E. ?# U  y/ r5 j: J" o. {+ S  i" M1 ~; N: D" J
    , P3 P$ x' L4 W
    为最大车流密度。
    ! N, x( c3 g3 |; @
      \3 v* u+ C1 f) |' j% E( S( N( O; Z1 n* c, n* X
    2 z; ]4 o, ]2 [& T2 |
    为最大车速(注意:车速时车流密度的函数, )。) R0 t  ~. ~, }5 q6 }9 B
    根据上面的方程,我们可以估计出每个路口不同阶段的车流量,这包括流入与流出。
      J  x7 e) h1 {$ P4 @- ~: J为了保证总塞车量最小,同时等车时间最短。我们针对不同时段对车流量进行了不同的划分:
    # W6 v7 W* m+ F8 E+ f3 S
    环岛内车辆总数Q9 E0 J; g1 M/ o3 u  S; o& f$ K9 ?
       7 ]( \% E6 s- N+ U1 m9 j
    有红灯亮6 i; ]3 b8 z  f  N/ w
    无红灯亮7 l% d$ a: ~- o8 H* p% R6 j

    . ~6 x2 z) K3 U+ F7 }8 m* r
    * k6 a6 y2 k( O& {, H. g/ E

    0 i9 r# y% |' m: Q9 _0 {

    - S# @4 W% n5 V  c
    主道y+ T* p7 J0 g' |6 x1 R/ V. `
    支道y  V2 J4 e4 v2 Q$ i( l
    主道w0 Y& \! v, Y5 I  S/ }7 h$ A
    支道w
    , }7 e1 L* k  C' r2 u) H
    主道y" y8 w. e# a7 H( c! W& R% G
    支道y
    % h, _0 g2 H0 }1 N7 F5 m* ~* f
    主道w
    2 s2 r' `6 d; Y4 X4 _5 Z3 s% t
    支道w& F& n& K2 V0 D
    800~1000
    0 A8 ^$ h$ M+ f8 m; Q3 N  s$ X
    高峰期, O5 C& {" U( J5 v
    3~4
    , D' g5 Z# Z" ?$ G
    1~2; L3 p% B2 _1 W; a2 R% O
    0~4
    & B6 u! {2 S6 ]6 }
    0~2  {9 ~3 M" `) I1 Z* v. T% u
    3~4
    - P7 v6 W5 E% m
    1~2
    . G% _! c/ }0 K9 c
    0~4
    + Z4 K5 g6 X9 S6 C) W
    0~2
    ( f4 W) D+ O8 [4 Y6 f
    500~800
    7 x# y- ]0 a8 I2 n$ `2 r4 b$ M
    次高峰
    7 ]; X! L& w2 V0 x! _4 A
    2~4* i1 ^) N2 `. P" q; H8 P4 H
    0~2
    2 A! t% @( q% i0 N  f* Y* W
    0~4! K0 p% j. b- u  H5 {4 N9 s, p4 b
    0~25 Z" `' B5 q4 A
    2~4  f3 D" O6 X9 I
    0~23 K( U3 }% Z2 A( r8 M3 A! R
    0~2
    : J8 u( r, @9 _9 c7 ?
    0~1
    # m) Y- t( g  z. a( l  b
    200~500
    ; p8 G& h$ h% J. j: q
    一般情 ) E0 B  @- ]3 J1 Z9 j4 A
    1~2( U$ g8 h% \( w, j  X' G
    0~2! r* m0 k6 [6 g  l
    0~4
    9 B3 [& _+ }0 J
    0~2  C0 X, H/ m/ u) F
    1~2
    & x6 F7 i% C- J: q5 l! }$ b
    0~2$ v  P  @: q1 K. }+ R
    0~2
    0 K6 ^2 J  v% q. @
    0~1. \% s- e5 ]7 D& ~4 Q
    0~2003 o, Y! F: ~6 o' Z+ K( v- `
    稀疏情 8 H) _1 d$ g) J( l  s  x, Q5 p
    *& L$ j* P/ ]* o9 m4 H  a+ Q
    *& `1 {& b7 k+ G( T+ l0 O& z8 V
    *
    ' p2 v: G& @5 |& m) `" s! a
    *
    $ J9 a, L+ G) _6 b2 }
    *
    + ]+ C, {0 O- g- v' _* @' w; Z
    *0 T7 L/ m# m- H- T( M# M
    *) S2 j; Y7 D( U1 X- X
    *7 Y( h: h' q; d; B, R5 Q, |
    2
    五.模型的建立和求解
    我们先设立一个逻辑控制变量 - X% K* c8 A4 o# Z6 N* V
    对第il路口,当有车进入时, =1(即认为绿灯亮)。8 {: _6 G" j* N. q
                   当没有车进入时, =0(即认为绿灯灭)。7 a0 ~8 |7 C. D) y9 Q% j
    又设 为第i个路口的车流量(辆/秒)。
    + R- f# O$ H7 Y: J则我们可以列出下列等式:: e% x$ k5 }* ?$ C) e+ @7 \. Q% w
          根据:单位时间内,环路车流量的增量=流入的车流量—流出的车流量。6 Q# I, i6 Z1 `  M3 U0 `
    2 w# y: M! g6 x' m  u2 L
    3 @- z9 o: }# k# E

    ( \( X' E4 d* X% wdq表示单位时间内环路车流量的增量。
    0 ^4 v5 y% q7 [3 q- m' z6 _ 4 g5 b& ?# ]% c8 S
    对于 以及 我们可以用rand模拟。; o* Q7 M$ a* u2 \( k

    6 k' T: m! W0 B, s9 S' D因此,环岛内车辆总数Q满足:0 U/ S% f5 j# I, m) C7 T2 h, e( i2 y
    % t  D- ?4 ^4 _5 ?" v# B, n( f
    注:
    4 D0 R, d: R; n# U, Q由于 的组合有很多种,我们加入限定条件,即要保证等待时间最短(红灯亮的时间最短),以及等车数量最少。# M2 X$ s: J7 c! {

    ( C4 v$ L$ `! I2 \因为等待时间就是红灯亮的时间T,等车数量又与车速和等车时间有关。% K2 P6 C# c+ X" S3 B

    / F: M4 t. Y/ X$ ^, s8 w- S为此,我们设立下列函数:
    4 \# a# E' `7 G& p) {& |6 |" [0 w& ]7 f( Q4 V% z0 V

    2 l: x$ j& L, x7 `) C; W/ l
    - P9 [; ?" t) x& Y$ ?

    $ X% p9 [' K$ _6 s% I说明:
    " j! f5 m' a, j$ W+ k6 O
    为各路口的逻辑值(通为1,不通为0
    5 J5 `( Z4 T- t
    6 n- A- o5 t- f4 w; z) }为第i个路口的车流量(辆/秒) 8 P# `/ q6 i) r) y1 u# `
    为循环中第一次亮红灯时的堵车量, 为第二次亮红灯时( 的对立面)的堵车辆。
    9 e9 ^; R5 G- `2 p+ g2 |" [为总堵车辆。: [6 q5 E0 n! k) s

      K# P9 v% \$ w/ P上面的分析可能需用到下列参数值:
    # x# V* W0 w. o- c8 b0 I1.
    + ?/ v/ n+ R4 P, ^- ~4 \! `$ h) T
    每条路段上的最大车流量。
    3 Y) V' g0 c. E8 G* ^5 l0 I( `
    2.5 D  f  T6 j/ Q1 t4 q
    每天路段上的最大车流密度。

    7 d- H  H4 }* s# G8 G% o# K3.
    9 s' Q/ W6 J# V2 `" M& L
    每条路口进入的车流量(辆/秒)。

    6 H0 ^: B& F) Y; Y6 R1 ]* D4.
    & y- J$ M& E6 F  Q+ ^: r  O
    每条路口开出的车流量(辆/秒)。
    1 _, [" Y) d( _& H2 F( o- @

    ) I& p, B5 {7 F8 c* F. K9 S( {通过模拟,我们将在不同的组合中找出最佳的红绿灯方案,并通过多次模拟,确定时间分配。
    " ~$ V9 e. B- H1 N' V   t+ H( I' A+ G" @; D3 U
    7 z, ^/ L' Q. Z2 ~! u
    一、对于高峰期时,我们对于下列组合进行了模拟(程序见附件):
    ) m0 v. [' O5 Z9 K: w
    红灯亮的个数(盏)
    & @0 {3 y1 f0 p
    12
    9 X# F3 h- R! a. n+ W
    11) S$ A/ n! s8 d' n7 \. o
    10" P( N" t  Q! P9 R6 @5 [0 z
    9
    ! s" S* P5 x. L8 p0 \7 A$ b2 B# w
    8
    $ s, m6 Q! `# O$ H' W5 z; O0 }
    7
    0 X  ?& V% v, Z0 {% \
    62 K" g+ }$ Z0 d$ t
    5
    ' o0 o( @! p; L5 P* z
    4! q1 F+ U: g0 ]! j! O
    3
    / x5 ^% s" P7 S/ G
    2
    - C! o( K; S/ [& ^& R( e
    1' l: K/ p; ]* Z3 @) Q
    01 }. k9 f2 d1 U$ b
    平均最短等待时间(秒)- P( F: X1 c: \' t" ~
    16: T1 V( q) B4 c5 t
    20
    # L# y5 p  p5 q- j) T
    22
    6 q4 Q0 s: l9 Q1 @4 m) N
    27
      }$ s1 u3 l5 K" A& ~( C" S3 n
    30
    & Y* M, ~4 h9 X. l7 X: f
    42
    ' z0 q1 f8 A) b7 V% u+ E+ I
    702 q8 H4 P, W  C* C
    1542 ]  E5 n- @+ l
    Inf' y/ |- I& Q6 H; n) [
    (无穷大)1 V# s/ c0 E3 v1 _5 l
    Inf$ b7 D+ r4 V: ~" q  ?8 k
    Inf: G8 X6 [8 r. L: K+ K$ v$ |
    Inf# F- v( D& F0 H! V) i
    Inf4 B9 i) {' m  F3 c- d
    3
    注释:
    ' a  U1 L0 E) B$ ], b. w对于红灯亮的盏数,我们可以有很多种组合方式,比如红灯亮1盏,可以是1~12编号中任何一个亮,但这些组合中总是有一种或多种为最优组合,这从我们程序结果可以看出。/ `& p4 Z2 i+ H9 L
    , Z3 N9 t  A7 T6 f
    分析:
    ( T( l% r/ E" K+ W
    # d9 M$ x( g: _- R/ L0盏红灯亮:
    , x* [" t* \' o' e. T! L此情况显然不合理,因为没有红灯就无法控制环岛总量。% K5 O1 f; Y$ A* \/ {
    6 H+ t7 `7 h" [4 k. x
    1盏红灯亮:( \$ W6 G* G/ _0 \8 ]- T/ ~, {0 J
    对于此种情况,经过模拟发现不可能达到降低环岛车辆的目的,反而,环岛内将更加拥堵。(过程见程序)  o$ g) n6 J( l9 v4 Q# ]; `

    : {8 p! x. s8 A2盏红灯亮:( w  Q$ p& ^3 [4 F1 {# h
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。
    * x! M/ e5 e0 s0 P, Y7 g6 V 8 b( C  O( P. Z9 w3 z) T; e
    3盏红灯亮:* p# w8 h7 C/ C1 r  e( ]
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。: N+ ?1 g- E4 Y4 H# J2 w

    : _# C9 @: M8 w7 Y; ]6 k  A4盏红灯亮:
    ' j3 U2 I4 B7 f" e) F+ v此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。
    3 ~3 B, D7 Y# r 4 `7 O8 W6 `' v8 D( R- ~% P
    由上分析说明,红灯至少应该亮五盏以上。! X% u' y; n1 K( ?) T* o

    ; i) _7 @+ Y/ a5 y为此,我们排出一下组合:7 Z6 N7 E; c' J0 v  ~& C
    5——78 V/ |3 P' E* i
    此种组合方式下,可以分为:0 [9 h1 r% r# I, M$ s4 G
    a.开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为144秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为48
    4 C  i7 g, {/ v此时,总塞车量为:8 t* j. j$ t' Y( @+ D) _6 i

    5 q1 M& R7 z) lb. 开五盏红灯时(不包括主道)的等待时间为inf秒,故此情况不成立。 ; H' `3 K3 o# C) u1 L

    . N2 {8 [! M: P% ?) Y6——6
    ; j& P! a: ^9 z$ u. X$ @, P此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为68秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为67(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于是模拟,不可避免的造成一定的差异)。1 E1 g2 n; i/ ^' c; n, x& g
    此时,总塞车量为:  L8 k, }0 I4 ?! L* i$ w' \# P7 e
    & l' r- u2 S% F3 @+ a+ Y7 Y2 a

    % T: A' f% N* [+ H1 @0 h) T在保持堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则下:0 ^6 `+ {6 i8 v
    只有选择6——6组合是最优的。
    8 ]. O( S8 C* I  V根据等概率原理,各条支道应看做概率上相同的路口,而两条大道也是等效的,因此,在模拟时,我们就可以人为地设定组合,只需保证总数按红灯亮的盏数分布即可。比如:对有6盏红灯亮,我们选定组合编号为:1 3 5 7 9 111为主道),此组合方式与2 4 6 8 10 12等效。  ^1 C( @6 F, K4 v+ Q& W
    # G" e, M0 W3 }, S
    这时我们可以确定红绿灯的循环模式。
    " `% e4 C1 n/ E" c) G不妨设定,先使编号为1 3 5 7 9 11 的红灯亮,在经过T(T=68)后,打开所有绿灯(包括原来的绿灯),再等环岛内车辆上升至限定值后(经计算t=25),再打开另外路口6盏红灯,其编号为2 4 6 8 10 12。之后,重复上述循环。2 K* p8 j! y) s0 A0 m

    + [6 k; V* i6 h6 i6 N5 ~ " N; W. Y+ t* m0 m: O/ a. S
    二、对次高峰,模拟结果如下(程序见附件):
    3 _! R9 S& b* @; `9 L( F& ]
    亮红灯个数(盏)
    - H2 L( G) A1 i6 E5 E  F
    12
    0 `8 `" `* b. N  n9 G
    11$ W! W8 H/ Z5 L% r8 U% s
    10; i5 ]. V: [5 c! O
    9
    1 Z) Q: q' ?% R- w8 L
    8
    9 t; n( L( e& _6 _1 E( H7 v
    7  t5 K  M0 D! R2 H( j$ h5 D) A: v( Q1 H
    64 P! a: o, G5 r& A3 d# e' o
    5
    5 Z/ Q" _: b; R( q
    4
    : O) W8 f6 d* z3 W. L9 v; n
    3
    - W$ @! e0 m, `4 }: p, f4 ^- y
    2% M% A: z4 J; e1 h- R3 F# k/ B
    11 h# l' d. Y/ Z& A1 F/ a
    04 |; j; ?4 d* d1 _
    平均等待时间(秒)
    5 l% r3 q' ~6 w$ G3 A
    24
    & \+ U6 h( B& E4 M/ ^  i0 W
    30, \& R+ M: h5 q, @* W% C
    31
    5 x5 q; A' D. z5 n$ H) n3 N
    32: o) T1 Z+ q  }; O
    35" h2 b4 c1 l. i! Z& ?
    43
    2 z5 n3 l  j' i, L6 C; n
    57
    : O$ \: i5 B" x) R6 Z4 ^# H
    68
    + |/ N7 v9 i5 Y' e. A5 \
    96! V  V. A& R, s7 H, k: T2 W
    Inf3 I8 x, }; T( N3 U; [
    / ~$ ^/ g; a/ k! T. R6 ~2 ]8 @
    Inf9 ^* }% {$ ^: R
    Inf
    6 D5 V; m7 b/ k, c$ W
    Inf; O0 c" b. P7 h; [+ H
    4

    4 P. h, y6 @/ X( C) t+ g+ z+ y说明:; N; ^! U3 a9 s/ D
    对于红灯数目小于4的情况,实际上有的模拟值满足要求,但由于等待时间太长(100秒),并且情况及其不稳定,多次出现inf,也就是不能达到降低车辆的效果,我们认为这些情况都不现实,均统一成inf类。
    : u, H8 b' Z4 m
    ! x4 k, w$ m# P' d  f4 X* u3 r, Z由上分析说明:红灯至少应该亮四盏以上。
    1 v4 N/ z$ H5 D5 f& a8 B 0 f$ j' r- B# Z: u4 y
    为此,我们排出下列组合:
    ; e. o. ~4 ^0 d) ?  z4
    ——4——4. d; m( p( j/ Y8 i: f
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外4盏红灯(编号为2 6 7 8)的等待时间为77秒,开最后剩下的4盏红灯(9 10 11 12)的等待时间为147秒。
    % |" c9 A8 P5 S0 T! k此时,总塞车量为:' t/ z) N# C; @1 U+ b* [* g* V
    + r, f' h: d( K2 C/ v% m. U1 O. N
    4——8
    9 }, a! [# q/ I4 n- }! E此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外8盏红灯(编号为2 6 7 8 9 10 11 12)的等待时间为39秒。: G/ d2 w! p, P7 c% A0 v& H
    此时,总塞车量为:0 y( h; m# ]4 ?% a5 F, h0 E/ a
    " }2 \# i; o+ M6 @( o7 s

    1 x: u& Z$ I7 p* k9 m. D5——7
    / f! O; m* q9 y, y开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为58秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为45
    % N4 C6 j  A4 F! P0 q% W此时,总塞车量为:
    8 b8 h! h6 \% c6 \
    0 J* r8 H" Z8 T4 W. V: {/ R1 F & n- e, M5 C) ~. N; C! W# d* F
    6——6
    & d% k& d7 d; D5 {! K( {+ A此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为50秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为50(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于时模拟,不可避免的造成一定的差异)。
      s7 ^) l2 z) V5 H. X( n; d此时,总塞车量为:; I  j5 R" ^# p

    - }& f' e7 o0 n) c, B" }4 ]/ t/ ~8 X
    8 ^& f9 s/ f" T8 g6 O由上可知:
    & d. G) U2 h0 e1 M0 \9 W+ H对于高峰期和次高峰期都应该选取6——6的组合,并且将两条主道分配到不同的组合中。
    # U5 S0 E+ N3 e- j/ z4 |+ X) b. _: U# E ' _5 L' U4 ]# L
    8 L' h  v6 w" r2 f& z' x/ H' x
    说明:(为什么选取组合时两条大道不能同时选取?)2 C) Q2 M# o( s& p" h+ {$ d' m
    下面只针对高峰期说明:
      b- {& `" D; P5 ~对于高峰期同时选取两条大道的情况:
    ; n3 N; {/ A8 g( U2盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。* Z/ z% p8 c8 F& X( A
    3盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。' b) Q! _  @4 i* [7 K2 B- g
    4盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=158秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。7 r6 a/ I+ L! z, W2 u1 Y' [- g: u9 x
    5盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=101秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。% Z3 Y* j- u' j9 }
    6盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=63秒。
    5 I4 z; G7 v2 k, Y) m! G" o7盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=50秒。& Q9 ]2 m$ u% a- y
    8盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=45秒。' p7 N5 ?5 i: b: g  G
    9盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=35秒。
    6 [4 a( ?" _+ H2 g  Q9 x10盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=30秒。
    ; {5 t' K/ F3 H% b) w
      K) L' P; O7 L* F同样地,考虑到我们设计的算法,对于高峰期,不可能不选取某一条大道,所以我们只需考虑对称选取,即组合时尽可能的将大道分配在不同组合中。
    % @- n3 j) u% G! V" E- o2盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间多次出现T=inf,说明此种情况不可能大道降低车辆的目的。; p  I, _/ T, h3 d2 }
    3盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间T=96秒,但也多次出现inf的情况,因此不考虑此种情形。+ b7 M' B1 v0 }7 a$ X
    4盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间' D) q# v3 N% _% T" T
    T=65秒,但也有很大的几率出现inf的现象,也不考虑。
    ' E, e( t, Q( j' l! M; G5盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间4 |2 Y! R! ~$ J5 L
    T=45秒。' D" ~* W! d# _  z
    6盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间) Z' y- z' f1 O+ n
    T=35秒。
    9 V. F" k$ i) \8 m7盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间3 G, \! ?1 n/ E6 u* S8 a3 }
    T=31秒。# S: _2 K  T3 m' `- r
    8盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间5 Z7 w8 X, l) F+ @# ]& r$ J* `
    T=27秒。
    : d$ j9 S4 l# l$ l9盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    4 W( Z3 \/ u3 ^# |4 p9 [4 iT=25秒。. S7 @, y' O/ x' ^4 H
    10盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间=23秒。" \( _0 w" w) s% Z! u  j

    ; F4 c: F2 g& e+ ~对比上面的两种组合下的结果,显然第二种情况更为节约时间,对于所有红灯亮的情况,只选取一个大道通畅的情况能保证等车时间。因此,我们认为,选取组合时两条大道不能同时选取。8 r8 e, B/ e# J/ |/ t4 T# }) e3 b
    - z/ Z9 d1 |  i( v) j1 o  @& T
    由此,我们可以得出高峰期和次高峰期的红绿灯控制方案:$ S8 u- X, o" B6 D/ F6 G: Y1 e0 W
    对于高峰期的方案:
    - S! l' I& C8 B先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=65秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=27秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=27秒,此后若不打开红灯限制车流入,将超过环岛最大车容量,因此,时间不能超过27秒,但是,我们为方便设计考虑,将时间定为27秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=65秒。结束后重复上述过程。
    1 n$ M6 ?& G/ y8 s" n & Y7 m. R: k, P. E2 x
    对于次高峰的方案:) L& b% p- n+ f0 T$ v( g
    先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=35秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=23秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=25秒,此后若不打开红灯限制车流入,将错过环岛最大车容量,因此,时间不能超过25秒,为此,我们为方便设计考虑,将时间定为20秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=35秒。结束后重复上述过程。
    7 c4 I3 I4 E: I9 E5 D 1 m$ K% [- A1 _* H5 ]
    . K. \- c; J9 w$ U) w4 }3 o+ z
    三、对于一般情况与稀疏情况的说明:1 `4 }) i9 y! R7 C$ c) `
    % G2 J* G: t; }2 o$ F
    A.
    , f0 c9 t9 W+ x$ A* c
    一般情况:
    , W3 U! e. F8 j" P" V* Z
    对于6盏灯的组合(每个组合只分配有一个大道),其等待时间T>150秒,如果红灯时间仍然按此时间设计的话,肯定是不科学的,因为不可能让汽车等待如此之久。因此,我们从尽可能减少等待时间为标准,经过模拟,发现当所有路口均亮红灯时,其等待时间最少,为T=23秒,而这也符合一般城市中非高峰期的等车时间,我们为了方便设计,将此时间定位30秒,而30秒也是一个可承受的等候时间。对于绿灯全开时的情况,更趋前面的假设,经过模拟,畅通时间为T=50秒。因此,我们选定一般情况时,红绿灯亮灭的原则时,所有路口红灯全亮,持续时间为T=30秒,此后红灯灭,绿灯开,持续时间为50秒。之后,重复循环。8 C! ~. ?* j% Y1 w* l) I) r
    B.稀疏情况:
    ) A& ^. W' g+ c对于稀疏情况,车流量具有不确定性,我们无法估计具体的车流量,但由于此种情况下车流量很小,我们可以将之归到一般情况,并且以一般情况的红绿灯规则来控制。3 s- q: U" {# z; q
    5 X; L5 @# ~9 D) F- S2 ^! b
    # K+ N4 {+ ^3 E3 k4 [; r  f
    ! Y5 N& R4 G7 V
    六.模型检验
    根据我们的方案,我们采取随机模拟的方法,分别对高峰期,次高峰,一般情况和稀疏情况进行随机模拟。# {* p9 L& a  J, ]5 K" E
    为了保证环岛内交通的流畅,我们设定环岛内的车辆总数Q不能超过1000,但实际上换岛内最大车容量为1327,因此,我们在考虑交通流畅性的前提下,可以适当地放宽这个限制,严格规定Q不能超过12005 {2 q, f* p, l% H/ z
    我们检验的目的是为了了解模型的稳定性,为此,我们对四种情况分别进行了24小时的模拟,其结果如下:
    $ P/ B7 x  B+ h: S1.高峰期:(程序见附录)
    2 L/ E9 t6 M, W- E0 t9 H! o6 ^第一阶段红灯持续时间t=65
    & K' c* ^% K# l5 Z! r6 K第二阶段绿灯持续时间t=27/ w* A/ S. a4 P8 v& F/ j' ]3 a
    第三阶段红灯持续时间t=65
    & k$ w: J, \/ z/ V第四阶段绿灯持续时间t=27
    2 b$ P8 Y- b5 U; L总周期T=184
    ) f/ G9 y2 W  z! f9 ^5 M( v 5 c8 f0 T" u) B0 x
    对于此方案,我们在模拟时发现,由于每周期都会累积一定的车辆,也就是误差,在很长时间后,其累积的误差将达到非常大并且不合理(超出最大容量)的数值。因此,我们需要增加一个修正时间,并且此时间应该很小,只在车辆超过一定数量时才加入。
    ) I. x0 n- X2 \* W我们的做法是,当环岛内车辆大于1000时就对红灯持续时间加3秒钟,即此时红灯持续时间t=65+3=68秒。在车总量Q没有超过1000时,我们仍然以65秒的规定时间运行红灯。
    & O) ?2 h1 h7 `这样,我们模拟24小时高峰期后:超过1200的车辆次数为37,占一天内车辆总数的比例为1.97%。(这只是模拟一次的情况,在模型改进中,我们模拟八次后取平均,得出更加准确的比例:2.74%
    6 A% }1 }3 Y) R对于此比例,我们认为是相当小的,也就是说,发生环岛堵车的概率时非常小的,因为我们是对1天进行模拟,累积误差显然会相当大。而一般的高峰期只持续2小时左右,累积误差必然很小,其堵车概率也应该低于1.97%
    / K/ }0 |9 e( y* i0 _- Y % g! H) c8 p" E$ ~6 d3 M% f4 _
    2.次高峰期:(程序见附录)3 n" e9 k( M: M* |
    第一阶段红灯持续时间t=35
    # Z4 o3 i2 F/ z9 C第二阶段绿灯持续时间t=23) F3 m! a# y8 H$ B2 C  q
    第三阶段红灯持续时间t=35+ P- E) d6 z& N" N1 Y# L! ]0 G
    第四阶段绿灯持续时间t=23
    ; C. S# w2 P! I4 Y总周期T=116% A0 Q* e0 W6 B3 ^
    对于此方案,我们为了保证环岛被最大利用,同时又能使交通运转顺畅,设定环岛内最大车辆数不超过800,经我们模拟24小时次高峰:超过800辆的几率为:
    6 V( O) t+ y* A5 k/ E( F,
    显然这是非常好的方案,鉴于此,我们不对此方案做修正,即沿用模型建立中确定的红绿灯持续时间。
    4 C$ n, ?+ h7 `( n* E% H3.一般情况和稀疏情况:3 {* }5 E1 ~3 B( u
    因为车流量的原因,不可能造成交通的拥堵,因此,我们不在对此情况做模型检验。为了说明时间安排的科学性,可参考其他大城市的一般情况的红绿灯时间。5 v8 s$ D! Z* I
    : {( F5 m& c* r

    2 d+ K' i4 `5 Y0 a1 H" F
    : U# k1 \  ]% A, B; S
    七.模型改进
    1.对于工作日和非工作日,由于车流量的分布不同,我们可以根据表1来设计红绿灯时间安排。
    9 w6 J. K6 A  N+ j/ D* t2.我们只考虑了每个路口流入与流出的关系,并没有考虑到车辆在环岛内的绕行情况。所以可以增加限制条件:环岛内并行车辆不碰撞,这样可以选出更加优化的方案。
    & X- Q+ {" p% i: [) L3 A3.不妨考虑车辆在环路中的相位问题,这项可以细化到每辆车的行驶情况,但这样相对来说较为复杂,我们不予考虑。
    6 Z1 p2 M( `* m" |% \  @$ P4.对高峰期时间的修正:% y/ m' A/ u& y5 v4 I, M
    若不对高峰期的红灯持续时间作修正,则经长时间后,累积误差将使环岛内车总量超过1200(我们称之为危险),这是非常可怕和不安全的。为此,我们对红灯持续时间做一点微小的修正。经过我们的模拟:(程序见附录)8 p0 v5 p8 f4 W- J) ~! i) P( T
    修正时间t=0时,出现危险的几率:89.62%# Z9 E; ]# V0 \) w6 s
    修正时间t= -1时,出现危险的几率:88.56%
    / n5 @1 W5 b) ^4 f  G0 r修正时间t= -2时,出现危险的几率:98.03%2 y" y6 v/ C+ ~2 C7 T
    其实,如果减少红灯时间,显然,这时在这段时间内进入的车辆数目就会增加,在不修正时已经危险的情况下当然就会照成危险几率变大。& V: E8 y8 m# `9 g
    所以,我们应该将修正时间调为正值。
    & S# p3 Z% s* q; h) E* b1 Z修正时间t=1时,出现危险的几率:93.33%4 e7 G# r" J8 G0 b7 w8 x
    修正时间t=2时,出现危险的几率:13.74 %
    * k! A" |+ B8 e4 X  U# p修正时间t=3时,出现危险的几率:2.74%7 f9 c. H1 Y* r' V) C
    因此,我们以5%为限定,确定出修正时间为3秒。4 F. g( o; J' u2 \- P; Q  K

    2 E9 J  j6 E6 v7 W
    八.模型评价
    8.1 优点5 @# F. J/ h9 K% w9 z2 t& \6 t
    ( h; s+ i/ W* Q1 _; s8 r" ~! a
    1
    .本文对不同车流时段(高峰期、次高峰、一般情况与稀疏情况)模型分别进行了模拟计算,得到了最优组合下的红绿灯循环时间。由于车流量是基于模拟的,并且环岛内车辆总数也是先设定的,因此,我们的模型可以适用于很多情况。并且,根据我们的模型,对于已知车总量和具体车流分布情况,可以重新确定出最优化的红绿灯控制模型。

    * V& ?) C! ^. `( e7 f; T3 `: y$ Y, H* A- l8 g, O/ l+ T
    2
    .在建模过程中,我们对所有可能出现的红绿灯组合情况进行了模拟,这样最终得到的最优组合的方法是很科学的。

    7 q; z7 J5 s9 q' ?: M0 N/ L- q & [2 f' ]; L3 y
    8.2 缺点
    # r+ u+ r7 z! P- a% \
    ' j* f* A6 \! L% e4 E. Q& y1.
    在模拟模型的过程中,我们假定车流量服从均匀分布,这带有一定的主观性,并且我们并没有考虑每一辆车的具体行驶情况,比如车辆在环路中的相位问题,这可能造成某些紧急事件发生时不能及时疏通道路的问题。
    zan
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