二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)

数学1+1

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$ B' A1 T5 p# T; S0 D- V. x9 H

在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:

4)   二项式幂的展式:           

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)

其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.

如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.

为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+

[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’

问题是要证明S(x)=(1+x)^m .

     为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
* ]2 P. I& I0 N; M$ R     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
1 ^/ G1 r, e  |- P2 t8 w- f* Q或
; g5 a% v! }- ^9 V5 U$ b5 b1 j     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            
把此式两边乘以x,得
# J9 T/ K' V/ Z9 }        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           
, p' {) Q3 i1 _3 Z5 g) f; Q0 X再把此两式相加,得
. c5 H. d; j8 ~( L( x& Q         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2

+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3

+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!

+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
0 {& ~+ ^4 s* q7 k0 `                     =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+

[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   
' v8 ]7 h, O0 Y' y7 e8 I两边求积分
) L7 h* k1 T/ B                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx

[size=15.3333px]即

lnS(x)=mln(1+x)+C                     

但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而

lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
这就是说,
( [( d3 u7 t, z7 S2 c. S) I                 S(x)=(1+x)^m
     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有

              [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
- U( w3 I0 ]6 W2 D# I由于C=0,  比较上述论证, 得
  g+ |" }: T# [: `7 F7 V6 E' A               [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
. H/ J3 U; i" ]! x2 S即
; V$ K( E  j5 u. T& }1 X, U  E! O* x. T                  S'(x)=1
4 L1 J  N. p( e7 f% Z8 z这与
/ G* Z+ {7 b- {7 P$ S/ Z5 U                 S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
$ k! d9 o9 I' x不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
4 s/ j: _7 ]8 m. k                 [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
. q. b) x! i9 S) W! \8 C或原式
* ^( T; `$ ]" E                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯
7 Z( Z; u4 D2 x3 J8 i
这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
8 c' A: i/ R$ Z8 A1 a8 r( {0 }
/ W5 @' M) L5 n8 K5 X, d               
5 J( O2 p6 L% p
; Y9 M; t1 S9 T! n* G! ]  z; r

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) x3 Q' C" t& U1 g6 L0 [

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景真

民科，鉴定完毕。
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数学1+1

不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
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学术研究值得赞美
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显然,原著的结论正确,看来问题在

) b$ Z* r3 {) w6 ]$ T' W* P那么,这一步在论证过程中是否可以省略?

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