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lilianjie

. Q) L, P" ]1 ^& z
cut-the-knot。ORG
0 x+ W5 A2 t# Y' F) K8 |
Maclaurin and Taylor series
For a (real) function f under certain conditions (Taylor's Theorem)

  f(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + (x - a)2f(2)(a)/2! + ... + (x - a)nf(n)(a)/n! + Rn  
% a9 x) Q! |* N" @
One obtains a Maclaurin series when a = 0. However, introducing g(x) = f(x + a) one gets f(n)(a) = g(n)(0), and so the Maclaurin series for g at x = 0 coincides with the Taylor series of f at x = a.
% x8 w$ x# h8 b
The remainder Rn looks very much like the expected next term, with the derivative evaluated at an intermediate point:

  Rn = (x - a)n + 1f(n + 1)(γ)/(n + 1)!,  
/ d. F5 i- j: U* Y8 K3 a, i
where γ is a point between a and x. For the derivation of this form for the remainder of the series f is required to have at least n + 1 continuous derivatives.

# l3 \$ F9 [2 ?1 ]6 @1 i. q* v4 F

darker50

  建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

lilianjie

1 t0 z# F. e) ?8 }0 n  S

darker50 发表于 2011-12-28 09:41
5 ~. [4 k' A7 P, {$ I& y建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

* |9 E6 d, n9 B+ o* A; ?
1 y$ l! h% o1 W那是个数学百科全书式的站啊。。。
- C9 h$ l( D/ c; h$ d' q& [+ i

1 ^# b* z8 b/ ], D* o  E. Q8 t同构(isomorphism):就是双射的同态。两个对象称为同构的，如果存在相互间的同构映射。同构的对象就其上的结构而言是无法区分的。
满同态（epimorphism）：就是满射的同态。
" o8 g. M( `3 V# U" G' [单同态(monomorphism)：（有时也称扩张）是单射的同态。
双同态(bimorphism)：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态(bimorphism)。
2 {! N/ l8 y' }5 ^# k+ P自同态(endomorphism)：任何同态f : X → X称为X上的一个自同态。
自同构(automorphism)：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

. B* l6 j- C9 ]  Q( Z" anormal 正常NATRURE自然 （conorma正则l） HOMOmorphism自然同态
! L6 W% s5 R2 n
; U# i6 W0 w- E! S, {Inner automorphism内自同构
outer automorphism外自同构
4 f+ j0 \; b* b7 Q

5 P; I1 d; P6 D" ?& G3 p
order isomorphism 序同构
& c! |; p& H% [2 Q% b/ `, y
split endomorphism **满同态
. z. i" `3 R# R, Q1 R* g
7 C9 \! V+ r  W4 c2 m
identity morphism 反身同态
" S- U  a1 \  C& Z3 d1 Y: r5 Z$ VZERO HOMOmorphism零同态
normal monomorphism or
/ ]$ L2 I  ~/ b8 ]- d conormal epimorphism


在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射（morphism）称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
1 J: M2 [; k& T& |0 w在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。
; m8 m5 x# j5 E, K2 r$ ]7 w# F在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。
' k" Y, y% X! W* _9 }0 E7 E2 _函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
在函子范畴中，态射是自然变换。

lilianjie

Anti——homomorphism反同态，从群推左模定义时就有反同态
! U- C& j  `- A7 l- T$ g& s/ h


才发现同态同胚差一个字母，一直以为一样。。
同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。

6 t/ Y, z& l. h5 E* r! Q同胚homeomorphism = topological isomorphism 拓扑同构

+ ^' |5 \; |% l- `
  c6 z8 L1 U9 Y; x. AGRAPHhomomorphism图同态

4 i- z1 x% d& p" q! \$ jdiffeomorphism 微分同胚
Jordan-morphism      Jordan-同态

  {9 W5 B: \' qAUTOhomeomorphism自同胚
uniform isomorphism 一致同构
8 q, G7 T" f- \7 y! {3 b isometric isomorphism等距同构
/ Y- J0 F6 {! R4 q8 }/ `: e! D, U7 B
Local homeomorphism局部同胚
2 j* p, M  {! Q- U  _0 VHomotopy同伦
Isotopy同痕是同伦的加细版
2 J) b9 a4 B) }6 j2 y/ }( whomology同调
* D( ]1 e; u3 e- [
Cohomology上同调
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为Hn）构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
5 Z# ]" E8 y2 u6 y+ g, w
3 K: t1 ?1 k: Q: ^) v1 t; t5 [0 m
! @/ \8 L. u2 n5 e; p

lilianjie

semi homomorphism半同态
5 n8 r2 W7 |3 I6 ^: Kupper semi homomorphism
上半同态
Dual semi homomorphism
. A$ Y( K4 P  t0 l对偶半同态
Dual semi AUTOhomomorphism
2 Z7 x- ?; @9 `5 i- C& e3 Q% t6 J对偶半自同态
7 T% {  T5 ~/ j( f7 J, v
8 Z" f" E  o7 e0 pLATTICE ntersection homomorphism
. q6 F- k& T1 z3 ?格的交同态
LATTICE UNION homomorphism
, U6 f1 t, D3 I2 g& i格的并同态

zxl911816294

顶哈哈。。。。。。。。。。

lilianjie

. v+ ?. b, R" H" \0 Q/ p) Y8 ~0 N! a看看晕不晕。。。。
' `  A# r$ r  A
associative algebra 结合代数
# p: G" `7 m& f0 D4 V: wcommutative algebra 交换代数
! A2 e8 I6 T; yQuotient algebra 商代数
Lie algebra 李代数
6 U# _0 d: e' P! I李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索甫斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。
李超代数
李余代数
" F+ X, a$ R9 f  x8 x0 J# L) D李双代数(Lie bialgebra)
2 X. {! k8 R5 a  D: y泊松代数
( Z; r+ o) [9 ?: s+ ~anyonic李代数
7 `" A! d/ w% H* x8 ]! KHomological algebra‎ 同调代数‎
‎Universal algebra泛代数‎
BCK algebra
5 |0 c5 w1 \3 Q- _6 n; ?8 ^Stone algebra
Term algebra
3 H( w5 i- j5 p, t4 F) W7 ~Graph algebra  图代数‎
group algebra群代数‎
" @5 T* L% I4 Q0 ^) lRING algebra  环代数‎
: a/ a, U: M- J  f2 L5 sFIELD algebra  域代数‎
波莱尔子代数
Relational algebra‎ 有理代数
Subdirectly irreducible algebra
Clifford代数、
约当代数
Banach algebra 巴拿赫代数
6 q. m+ }' c: M' qHidden algebra
, c$ e9 g5 a/ z2 EDiagram algebras‎ 图形代数
Differential algebra‎ 微分代数
Boolean algebra‎ 布尔代数
; F3 @! r: m3 c4 WTopological algebra‎ 拓扑代数
7 \: L7 g  k. N! t" vComputer algebra
Coalgebra
Bialgebra 生物代数
4 _' S; g8 D+ K9 S9 ]6 v$ mHopf algebra 霍普夫代数
Subalgebra 子代数
& L8 g1 d  g# _* I# J
9 U2 P' V& P: Q- q- ^+ R# q
平凡子代数
真子代数

积代数
7 H3 P/ A9 F1 {( u: h: B; ]海廷代数
A algebra 一个代数        -------------向量可加也可乘
' Z: h; N! @3 V+ gBanach algebra 除代数
symmetric algebra 辛代数

lilianjie

! ]; p- L  g& h5 ?7 N$ f3 F
6 t3 b  ]0 X. H) I. l7 Y/ Y+ vheyting algebra 海廷代数

Virasoro 代数
% y5 r: n) i% S' \1 B5 g  _
) K4 Q# j5 V& @& H
coalgebras or cogebras 余代数‎
余代数是带单位元的结合代数的对偶结构，后者的公理由一系列交换图给出，将这些图中的箭头反转，便得到余代数的公理。

余代数的概念可用于李群及群概形等领域中。

" q) j& b. \  N0 r
李余代数

一张学格的表：
- Q! C, M; M; S8 v  @
1. A boolean algebra is a complemented distributive lattice. (def)布尔代数是完全分配格
2 e5 {! @) R* X. G) Y: T
3 e4 j7 n$ V0 y( a3 e2. A boolean algebra is a heyting algebra.[1]布尔代数是一个海廷代数

+ u* g# F" R6 M* I  e; f1 u
0 z! q: f0 o3 B3. A boolean algebra is orthocomplemented.[2]布尔代数是正交可补
2 ]- m# n8 B* w
4. A distributive orthocomplemented lattice is orthomodular.[3]分配正交可补格是正交模
2 c. w$ `1 P2 c, I* a
5. A boolean algebra is orthomodular. (1,3,4)布尔代数是正交模


6. An orthomodular lattice is orthocomplemented. (def)正交模格正交可补
& s+ G0 p8 ?# i8 g* C
7. An orthocomplemented lattice is complemented. (def)正交可补格可补

8. A complemented lattice is bounded. (def)可补格有界
# X# M& ~- B/ {3 V/ ~
9. An algebraic lattice is complete. (def)代数格是完全的
, r5 h) A; f0 R$ k$ `$ W
1 o/ Y, B* @" q% i# I; a$ {10. A complete lattice is bounded.完全格有界

% W$ U0 q/ s' j1 o' D1 z& z11. A heyting algebra is bounded. (def)海廷代数有界

12. A bounded lattice is a lattice. (def)有界格是格

4 i( w- ~7 z& s# H0 p6 o13. A heyting algebra is residuated.海廷代数是剩余的
' o2 |' g0 y5 t- N. Z& R& J2 f
: o9 A. g" \) Q% G14. A residuated lattice is a lattice. (def)剩余格是格
: g' W) Z. D+ S3 {. @8 r3 _- J1 f/ P
15. A distributive lattice is modular.[4]分配格是模
! v4 Z" X$ t8 Q' b8 c9 p# p
16. A modular complemented lattice is relatively complemented.[5]模可补格相关可补

17. A boolean algebra is relatively complemented. (1,15,16)布尔代数相关可补

  Y& n6 i, l7 W18. A relatively complemented lattice is a lattice. (def)相关可补格是格
7 I# M. J! N9 F, P9 h; d
19. A heyting algebra is distributive.[6]海廷代数可分配

4 A2 N6 O6 ]' ^. ]6 t20. A totally ordered set is a distributive lattice.全序集是分配格

21. A metric lattice is modular.[7]度量格是模

& V% R, S5 L- P8 t22. A modular lattice is semi-modular.[8]模格是半模
1 |8 `5 Z" h  z4 w  Y3 t; G. U
1 ?' s5 ~4 h2 y2 ^23. A projective lattice is modular.[9]防射格是模
8 |$ d, o9 y" p  Y2 `3 y
24. A projective lattice is geometric. (def)防射格可几何度量
) n8 D0 k2 x% p* F
$ K7 D: {$ }, j8 {, y25. A geometric lattice is semi-modular.[10]几何度量格是半模

26. A semi-modular lattice is atomic.[11]半模格是原子格
4 x; J) d/ O, J3 H3 e% d/ W( ?
) N$ g0 x" Q. w27. An atomic lattice is a lattice. (def)原子格是格

28. A lattice is a semi-lattice. (def)格是半格

29. A semi-lattice is a partially ordered set. (def)半格是偏序集

, \% X' u- s+ a3 U% j

masterkong

            
1 @( ^' j2 Y  X8 D/ l) @    楼主在1楼帖子开头写的网址http://www.cut-the-knot.org/，很好，谢谢分享！
     
) y8 g% C* n2 v5 O3 l3 [& {7 e" R! B   

lilianjie1

Absolute value
& t: f5 P* @! r! xB
% g1 m6 O, k- X* [$ ^0 h" aBoxcar function
5 ?) T  @  s" X  [4 DC
Cube root
! U& u  w# i. }  C2 HD
- ^: z7 v" Y" p& `6 N6 K6 V  z" UDouble exponential function
; V* i; @6 M& I- t4 D' {6 q& \( \E
Equal incircles theorem
Exponential function
Exsecant
F
Floor and ceiling functions
; Z8 i8 E' e  }  O9 |& j% gG
# L7 Z0 Z4 l6 Y( f5 M+ AGudermannian function
+ v7 f9 i) g; G* _0 Y2 T9 sH
Heaviside step function
$ W) U/ [# N& ?" I: }. DHyperbolic function
, C0 v- r# W- w% Y# j- i I
  k* C- `. z; q# R! GInverse hyperbolic function
) K$ ^/ w" M9 q8 [Inverse trigonometric functions
+ B. v2 M1 g2 R( TK
Kronecker delta
L
Logarithm
M
Multiplicative inverse
N
Natural logarithm
Nearest integer function
P
Ptolemy's table of chords
R
" f, J- [& t0 ^9 f+ |  d, tRamp function
0 q0 X& ~2 [0 U+ y" U, s2 ^Rectangular function
' N9 M" m4 h, @S
+ W4 s# u4 Z; o' b; n2 S5 g  a" mSigmoid function
S cont.
8 N  k  `8 X+ Y, x7 J, m* e; wSign function
Sinc function
1 z# ]9 X+ f: y6 HSine
6 i0 Q, p( Z! u4 b4 o6 b, ]Sombrero function
Square root
- c+ X1 j4 \& t& W/ mStep function
T
Triangular function
- q7 |- ^( j3 h( T- u) L& b! J( A- X& W! OTrigonometric functions
V
( G, |9 P- u( `4 l0 u# DVersine
( |1 {, C5 L0 _' u: D6 d2 k
. G) f3 H, o' A" K( v绝对值
乙
棚车功能
  w7 X0 \" r* z2 R5 ?8 l彗星
立方根
: A' `+ P$ R" H9 l. ]5 X# R- i* {ð
双指数函数
Ë
定理平等incircles
. f+ M3 [9 h# s! Q- [指数函数
Exsecant
F
地板和天花板功能
7 o- c- s  j! _3 p摹
Gudermannian功能
" K; b! m- t2 N% R9 ZH
赫维赛德步功能
双曲函数
2 h: i0 v" c9 x' j7 z 我
反双曲函数
反三角函数
) E! ^: t1 f* rK
+ R$ l# Q, `8 V+ S% e% W) t7 j克罗内克三角洲
大号
6 X# g, S1 t' ]# Q对数
- ~( T% ?% y. T* `中号
乘法逆
ñ
1 ^- d8 o4 P7 U6 {8 ?1 K% k自然对数
4 ?; v4 d, E  P# P- e& O' j最近的整数函数
P
2 F+ z& e6 f6 G托勒密的和弦表
ř
7 m( L9 }$ T  v2 Q9 d斜坡功能
2 m0 D/ U0 e0 t# W矩形函数
小号
Sigmoid函数
, y/ N. _- _3 l& x) l, E 小号续。
登录功能
Sinc函数
$ [6 C7 I6 K% L. ]正弦
草帽功能
平方根
阶跃函数
T
  n7 z8 Q- N( [9 p三角函数
  \2 Y  k0 C. {三角函数
V
! W. p! ^$ F3 Y7 {. w6 C, LVersine