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lilianjie

8 f0 N9 p  S( h! g/ F" r* k
cut-the-knot。ORG

Maclaurin and Taylor series
For a (real) function f under certain conditions (Taylor's Theorem)
6 N) D7 n6 m; D& r! Y6 O
  f(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + (x - a)2f(2)(a)/2! + ... + (x - a)nf(n)(a)/n! + Rn  

1 x% N4 r% O+ V2 cOne obtains a Maclaurin series when a = 0. However, introducing g(x) = f(x + a) one gets f(n)(a) = g(n)(0), and so the Maclaurin series for g at x = 0 coincides with the Taylor series of f at x = a.

The remainder Rn looks very much like the expected next term, with the derivative evaluated at an intermediate point:
( Y" [) W1 u- m& X$ B/ ?& g
  Rn = (x - a)n + 1f(n + 1)(γ)/(n + 1)!,  
2 v7 t: W% `  ^; w/ `$ A
$ w8 U+ f. B, @+ _9 G  T% ~where γ is a point between a and x. For the derivation of this form for the remainder of the series f is required to have at least n + 1 continuous derivatives.
8 J. O$ ]2 Q$ C8 D! d' A

darker50

  建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

lilianjie

darker50 发表于 2011-12-28 09:41
建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

$ R- j5 k9 [1 t3 u1 H; k6 Q; b
& I' x2 W8 e. X0 r那是个数学百科全书式的站啊。。。
3 Y2 G9 u0 L% Y& {3 ^& Q" `
( B; q6 Y5 t9 j2 B( `% j
同构(isomorphism):就是双射的同态。两个对象称为同构的，如果存在相互间的同构映射。同构的对象就其上的结构而言是无法区分的。
  r9 R! V, x9 A- I满同态（epimorphism）：就是满射的同态。
单同态(monomorphism)：（有时也称扩张）是单射的同态。
双同态(bimorphism)：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态(bimorphism)。
* ^# t! N6 F+ W/ N: J' {自同态(endomorphism)：任何同态f : X → X称为X上的一个自同态。
自同构(automorphism)：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

normal 正常NATRURE自然 （conorma正则l） HOMOmorphism自然同态

% O5 B+ w" z: |+ V; f! e9 EInner automorphism内自同构
+ v5 _# N  @, C: T3 z( E! r, x& G, t% s& d! Pouter automorphism外自同构
  R" E- `+ H3 J0 p# Y0 n7 W4 O% O

' K# c3 D6 u+ ]/ D2 q1 p' `/ F
  _! L8 g' P9 E4 [$ J3 j) k$ corder isomorphism 序同构
; A7 Z1 s3 m' q- f- I# i+ Z: q
split endomorphism **满同态
9 B, H9 w5 \: L" b; p

$ [9 W) K3 e2 a; l4 Nidentity morphism 反身同态
ZERO HOMOmorphism零同态
normal monomorphism or
conormal epimorphism


/ F( @6 b7 r  l9 f- p在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射（morphism）称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
& h% H% e+ \4 k& g& Z3 z  o在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。
. I+ J" P' L$ ~在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。
4 F, o% j2 s4 B9 t函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
6 M+ ~# g  B. u( }在函子范畴中，态射是自然变换。

lilianjie

Anti——homomorphism反同态，从群推左模定义时就有反同态

" c. l) h. h, Q
6 a8 _$ f! ?) y  `
才发现同态同胚差一个字母，一直以为一样。。
9 }  m2 }( o) Z* e" I同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
1 H# o3 c7 o+ @" s; U% c
同胚homeomorphism = topological isomorphism 拓扑同构
; O; F5 J8 l- g
! K& k" `% j% G8 V1 o) h' U. D
3 A* _/ W( U1 Q* Y0 P( SGRAPHhomomorphism图同态
. P0 L$ Y; b2 m5 d' K) r% H
diffeomorphism 微分同胚
5 v2 v; n( I6 o$ w0 r  MJordan-morphism      Jordan-同态
) m% h: F( w2 |  R& K- v
AUTOhomeomorphism自同胚
uniform isomorphism 一致同构
; Q/ n+ w" M3 b7 \ isometric isomorphism等距同构
& E1 A4 O! @: E; E5 {* z
Local homeomorphism局部同胚
8 Y/ `, z) n4 Q% ^" o, f8 q$ ^6 n& nHomotopy同伦
0 K% w  D0 p6 _$ k# ]# G( GIsotopy同痕是同伦的加细版
homology同调

Cohomology上同调
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为Hn）构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
6 ]8 h& M/ K9 `8 e! e% Z) }" C

; n( X, n- I0 Q9 d3 W

lilianjie

semi homomorphism半同态
6 h( e7 E" F" N6 D5 @) Dupper semi homomorphism
上半同态
Dual semi homomorphism
对偶半同态
Dual semi AUTOhomomorphism
对偶半自同态
5 I8 }0 q$ _- P" B. }, G! |2 L
" I. ~) O6 W: l5 Y& GLATTICE ntersection homomorphism
; E! f0 v( O( S. G5 ~! p* g) t2 h格的交同态
, u5 U- D1 z, j* S; U. }# q; ZLATTICE UNION homomorphism
$ |4 L4 N; P# e  q格的并同态

zxl911816294

顶哈哈。。。。。。。。。。

lilianjie

' A( q1 P* i2 \& E! H  ~' D" L看看晕不晕。。。。

associative algebra 结合代数
commutative algebra 交换代数
Quotient algebra 商代数
Lie algebra 李代数
李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索甫斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。
" D4 w$ W0 y  D' }7 x) X李超代数
' B9 T6 J# @+ a李余代数
李双代数(Lie bialgebra)
$ ]/ \, i& P2 e6 s. _) t泊松代数
anyonic李代数
8 a$ `( Z( M3 f! X' h6 ~( }Homological algebra‎ 同调代数‎
‎Universal algebra泛代数‎
- \7 A) |& v. RBCK algebra
, t/ ]4 p# G9 c/ f- f6 f8 n; AStone algebra
6 \: p- Q' D7 STerm algebra
Graph algebra  图代数‎
0 M- e9 R, K' X9 r4 Egroup algebra群代数‎
9 q4 f& x; y% n2 q% Y  k: s' dRING algebra  环代数‎
" R8 R+ I# B( @5 IFIELD algebra  域代数‎
波莱尔子代数
Relational algebra‎ 有理代数
! v! g* O5 Q/ M! q5 G* HSubdirectly irreducible algebra
9 A% v  }) H) v( B) ~1 [Clifford代数、
; J& e/ V: f" k* _6 q5 t; m9 [约当代数
, w6 t* l* B$ [' K) {4 R2 MBanach algebra 巴拿赫代数
Hidden algebra
' F0 ~0 B" T5 o: q$ J; ODiagram algebras‎ 图形代数
Differential algebra‎ 微分代数
Boolean algebra‎ 布尔代数
" {, h+ X6 ?+ [- G  h% b7 oTopological algebra‎ 拓扑代数
9 d( C1 `: j% p7 {& w, cComputer algebra
Coalgebra
) p6 Z% P" e5 V" gBialgebra 生物代数
9 X3 X- h/ G0 [" c0 g9 o3 vHopf algebra 霍普夫代数
8 P1 l  I* o: r+ mSubalgebra 子代数


平凡子代数
真子代数

积代数
海廷代数
+ l6 p" r. K6 u% d- NA algebra 一个代数        -------------向量可加也可乘
Banach algebra 除代数
symmetric algebra 辛代数

lilianjie

* e3 q& n' [+ D4 }
, W( o8 n+ B! Xheyting algebra 海廷代数

( I9 a" a" t6 \) o1 {Virasoro 代数

# W8 b. v1 G1 Q. p$ }
  n$ b6 O; R- Qcoalgebras or cogebras 余代数‎
余代数是带单位元的结合代数的对偶结构，后者的公理由一系列交换图给出，将这些图中的箭头反转，便得到余代数的公理。
6 D) [' _5 M9 f! y8 H( y# a
! W3 z& |5 Z3 H3 i  n余代数的概念可用于李群及群概形等领域中。


李余代数

  |! `4 Z; @; O0 Z一张学格的表：

  ]- t1 V7 d* Q1. A boolean algebra is a complemented distributive lattice. (def)布尔代数是完全分配格
; h. j# _. [" z9 U: q
, t+ T3 g* m. ]/ `2. A boolean algebra is a heyting algebra.[1]布尔代数是一个海廷代数
  r4 i. `8 S4 D, Z) Z' r% R3 U" P7 w

1 T" O4 r  }) M! W# a7 p3. A boolean algebra is orthocomplemented.[2]布尔代数是正交可补

& I: S% `8 p# `& @2 h: l$ k: C4. A distributive orthocomplemented lattice is orthomodular.[3]分配正交可补格是正交模
$ z* \) m2 q+ [8 w2 L4 w" }8 R
5. A boolean algebra is orthomodular. (1,3,4)布尔代数是正交模
4 O# V1 N3 k; V

' e$ W* M$ r4 u. X6. An orthomodular lattice is orthocomplemented. (def)正交模格正交可补
- U9 R" F- Z. _& N
7. An orthocomplemented lattice is complemented. (def)正交可补格可补

3 p  c$ A' Z+ u( j8. A complemented lattice is bounded. (def)可补格有界

4 U8 c  P' y/ y1 J9 b9. An algebraic lattice is complete. (def)代数格是完全的
5 w; ?; m7 [( H; E- \) }  t
) F3 z4 K1 {  U: j10. A complete lattice is bounded.完全格有界

11. A heyting algebra is bounded. (def)海廷代数有界

12. A bounded lattice is a lattice. (def)有界格是格
- C: F4 j# d" K& K1 N+ A
3 ?3 S" M# Y$ B+ Z- j4 \2 Z2 g% N13. A heyting algebra is residuated.海廷代数是剩余的

14. A residuated lattice is a lattice. (def)剩余格是格
' d4 b6 _: u" i, |% g# Z! ]! f
0 f& _- {+ \  {15. A distributive lattice is modular.[4]分配格是模

3 Z7 Y. ^, r: U. U- |% D9 t6 h16. A modular complemented lattice is relatively complemented.[5]模可补格相关可补

17. A boolean algebra is relatively complemented. (1,15,16)布尔代数相关可补
' {+ x# r9 ~. g2 h: }+ i. C3 P: X/ z
18. A relatively complemented lattice is a lattice. (def)相关可补格是格

1 v3 S& G5 {7 }: \% B: Y19. A heyting algebra is distributive.[6]海廷代数可分配

20. A totally ordered set is a distributive lattice.全序集是分配格
0 k) V0 h: g" V% n- g4 G
8 s2 X# ]! Y. A8 c21. A metric lattice is modular.[7]度量格是模

22. A modular lattice is semi-modular.[8]模格是半模

23. A projective lattice is modular.[9]防射格是模

) c4 s9 t) R3 E" X1 S; h24. A projective lattice is geometric. (def)防射格可几何度量
* J/ O1 n/ J. b6 U. M
4 `8 {2 R4 y+ |; b6 c25. A geometric lattice is semi-modular.[10]几何度量格是半模
6 ~. c+ y. e0 T6 H% w
26. A semi-modular lattice is atomic.[11]半模格是原子格

# `5 v$ v" {2 c* s! x$ y27. An atomic lattice is a lattice. (def)原子格是格
: _8 @: u0 Z8 v) \) ~
28. A lattice is a semi-lattice. (def)格是半格
7 h& B, t) C% m
! `3 v1 T" ^6 z! y29. A semi-lattice is a partially ordered set. (def)半格是偏序集
( }6 k# h" D2 m( n
0 }, O' M: u- c! L4 S- Z+ m

masterkong

            
4 z3 Z0 G% ?7 ^) m4 s2 q    楼主在1楼帖子开头写的网址http://www.cut-the-knot.org/，很好，谢谢分享！
     
   

lilianjie1

Absolute value
/ O9 i1 ]1 L2 J, @" ?- \B
Boxcar function
8 X+ n3 c& a' l, IC
& p" T. `" M& g6 ]  a7 `- _Cube root
D
4 h) Q: A8 ^3 C& P# IDouble exponential function
E
Equal incircles theorem
! a/ a: u% X0 fExponential function
* A& l! Y' A8 n; ]) s+ N' r+ q% ?Exsecant
F
" j' w& h) [( C' h6 _' i+ u. `Floor and ceiling functions
G
. R' U6 |" N6 ~8 `4 [Gudermannian function
H
Heaviside step function
, b- F4 C0 L4 b) n; [1 q, L8 m) mHyperbolic function
I
* }- C: E% t! L) R- g- vInverse hyperbolic function
' z6 j0 o$ r" s" y4 bInverse trigonometric functions
  y3 @6 v2 n. N3 t2 S9 PK
& ?. v# }8 H. h/ ?Kronecker delta
L
Logarithm
M
Multiplicative inverse
* w( j9 m7 I2 V2 B7 m7 H/ O4 oN
, r2 ~6 b  |$ l9 W3 q! J! I5 \Natural logarithm
. E1 W. g! H0 i; O8 U# R  {, eNearest integer function
; S" s: k- a7 Z  Y. @8 {: E9 UP
" c) E% ~0 |$ \8 U0 A4 ]Ptolemy's table of chords
R
+ x: F6 e! z/ p+ bRamp function
Rectangular function
S
Sigmoid function
3 ^: O; J! L) M% W6 Q* r S cont.
8 [7 Q4 `8 C( s+ D2 N/ s1 t1 YSign function
( f1 M5 q$ X& O. N; S& @0 @; y8 B9 aSinc function
* c0 ~+ W; H5 j) W& zSine
Sombrero function
: U0 g$ q* G2 ^  nSquare root
Step function
1 \0 S4 ?! Z9 s2 bT
* @+ H0 M2 o/ ~/ b- Z2 |3 TTriangular function
# |* E/ `0 X; O' \( x4 RTrigonometric functions
$ K4 E# \5 n: Z5 wV
7 {. T% [. O' y8 X2 i3 \0 m* _9 d0 ]& OVersine

绝对值
乙
0 P3 p8 S) L7 B( L6 I. w棚车功能
4 y6 O* _6 X8 r( D/ E6 P8 B彗星
立方根
) b8 H$ R. Y3 f0 I5 c) x3 jð
2 u7 o) o5 F2 x& [7 E: A* k双指数函数
Ë
定理平等incircles
指数函数
Exsecant
, F3 x; F. m7 N. V9 ^' ^  l# x4 q2 kF
地板和天花板功能
2 W* y( z! W/ b摹
$ _( @8 ?8 w! Y( a+ k% o$ k3 v! Z5 rGudermannian功能
: |6 p+ ]7 l3 D$ xH
赫维赛德步功能
双曲函数
我
9 R+ W: L1 e0 G% Y反双曲函数
反三角函数
K
克罗内克三角洲
5 R& b. h7 g" C+ w+ R! N5 a1 X大号
对数
4 G0 S7 ~# Y$ H中号
! `9 H/ j5 z8 `乘法逆
8 g/ j, q3 `" v0 F% e6 o8 mñ
自然对数
: _; c8 t# F0 y1 R! O最近的整数函数
) b& }$ i9 t9 n+ x5 cP
. i; N3 g) W1 |: M托勒密的和弦表
ř
1 a& M3 _0 z4 o- s斜坡功能
/ f! i3 ~! F- D" h. l" c0 k7 M! M矩形函数
1 g: G7 f, ~& e" }6 v8 e$ |小号
' n' _2 _1 j/ e* d6 @6 D4 T8 MSigmoid函数
小号续。
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Sinc函数
正弦
草帽功能
平方根
% A" d4 }( g! S1 }; S/ R阶跃函数
: B, L. p5 [! f4 E2 dT
$ P* y; _7 [3 H$ x5 r! d: }三角函数
三角函数
V
Versine