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lilianjie

cut-the-knot。ORG
7 \* F) e: Z: ^6 U% l5 W" [# d6 H
Maclaurin and Taylor series
For a (real) function f under certain conditions (Taylor's Theorem)
) R. p- F% U" `/ Y7 [2 ?, D6 d
  f(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + (x - a)2f(2)(a)/2! + ... + (x - a)nf(n)(a)/n! + Rn  
' U1 {" [/ w! f
One obtains a Maclaurin series when a = 0. However, introducing g(x) = f(x + a) one gets f(n)(a) = g(n)(0), and so the Maclaurin series for g at x = 0 coincides with the Taylor series of f at x = a.

: ^* Q. P$ Z$ M0 l  RThe remainder Rn looks very much like the expected next term, with the derivative evaluated at an intermediate point:

  Rn = (x - a)n + 1f(n + 1)(γ)/(n + 1)!,  

! O- S0 C0 [9 k$ l$ E7 X8 ~! p# g' Owhere γ is a point between a and x. For the derivation of this form for the remainder of the series f is required to have at least n + 1 continuous derivatives.

darker50

  建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

lilianjie

% I4 J# ?' p6 G! w

darker50 发表于 2011-12-28 09:41
建议最好翻译一下，让大家看的更明白些！

2 {' b: o% ~( m9 `% ]- w5 l: h  a那是个数学百科全书式的站啊。。。

6 O0 T1 S9 j3 V7 @
同构(isomorphism):就是双射的同态。两个对象称为同构的，如果存在相互间的同构映射。同构的对象就其上的结构而言是无法区分的。
( _$ |- @3 O' G  i$ d满同态（epimorphism）：就是满射的同态。
单同态(monomorphism)：（有时也称扩张）是单射的同态。
双同态(bimorphism)：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态(bimorphism)。
自同态(endomorphism)：任何同态f : X → X称为X上的一个自同态。
1 m+ e0 O! A( I/ N自同构(automorphism)：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

# I7 r2 S0 V( ^/ d) \normal 正常NATRURE自然 （conorma正则l） HOMOmorphism自然同态

8 n: V3 I* \: K% q2 |9 }Inner automorphism内自同构
outer automorphism外自同构
  V* T5 A" g* f' e* c  S! v
( G. ^* R6 w) Q2 M  o- L6 O2 K1 R

order isomorphism 序同构
- ?8 B$ u" k5 V0 k
! ]) |* [! X  t+ O1 M8 psplit endomorphism **满同态


! c  k, ]6 U( ?7 r1 S$ sidentity morphism 反身同态
8 w% J" h/ F- e2 z$ lZERO HOMOmorphism零同态
normal monomorphism or
conormal epimorphism
2 o! P% D$ D4 \. a8 E( [
8 ^; X' L4 q* a# ~$ i! Q
; \+ w  v- Q- T在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射（morphism）称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
; B  w$ M! Y% v3 l0 q8 A在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。
& ^8 h+ N0 H2 _" H# l在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。
函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
在函子范畴中，态射是自然变换。
" R# G# y, J; _2 x& ~

lilianjie

Anti——homomorphism反同态，从群推左模定义时就有反同态

# I4 N! b5 M, _5 b' ~1 z

才发现同态同胚差一个字母，一直以为一样。。
同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
1 `2 L: ?0 Q; q2 U' v7 P
同胚homeomorphism = topological isomorphism 拓扑同构


GRAPHhomomorphism图同态
* s; i) P3 `: B, j9 Z
. E3 U7 F$ u* h/ x4 {5 W, Xdiffeomorphism 微分同胚
Jordan-morphism      Jordan-同态
9 S) t* y5 h5 D' x  l6 d$ t
. j) F% g; s$ BAUTOhomeomorphism自同胚
- H# [# i, V3 m+ Suniform isomorphism 一致同构
; E1 A/ p+ s3 s isometric isomorphism等距同构
6 ?% E% E+ H/ L! H8 {
) i5 n% J2 t, E8 L( jLocal homeomorphism局部同胚
Homotopy同伦
Isotopy同痕是同伦的加细版
  t, W  a& D) p+ O/ [" n( \homology同调

; ]9 `; ?8 f, @  i1 z  iCohomology上同调
0 @: Y5 |! Q  \. W- Y8 \同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为Hn）构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

/ S% e% z7 I9 t# b" T
$ O4 V8 n  y% P  ~3 \! m& a

lilianjie

semi homomorphism半同态
* d+ Q0 p2 v) Rupper semi homomorphism
7 [/ S8 W9 k+ O3 F/ g. q& b上半同态
Dual semi homomorphism
对偶半同态
Dual semi AUTOhomomorphism
# E) `4 _4 |  [% F( N, p  G对偶半自同态

$ a! H) P9 C9 b- u5 y! ^LATTICE ntersection homomorphism
格的交同态
LATTICE UNION homomorphism
格的并同态

zxl911816294

顶哈哈。。。。。。。。。。

lilianjie

! ]) q- J& j, d/ z5 i' E# w看看晕不晕。。。。

3 `7 Y8 x! j# r; Rassociative algebra 结合代数
commutative algebra 交换代数
. w7 P, I; i3 _) r# s1 D( K$ WQuotient algebra 商代数
1 n  y7 R4 d0 d& |1 LLie algebra 李代数
李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索甫斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。
李超代数
李余代数
  C, U% A  q' z- z李双代数(Lie bialgebra)
泊松代数
anyonic李代数
! R* R9 Q5 F0 k" {/ L; UHomological algebra‎ 同调代数‎
, g& B1 B/ C: t; X+ a6 q+ `3 Z‎Universal algebra泛代数‎
BCK algebra
& l, Z1 p: B) b* O" `* IStone algebra
* U7 S/ B% p  I9 v9 ZTerm algebra
  `1 `* [9 Z7 ?/ nGraph algebra  图代数‎
+ o8 H2 q$ ?( {- H  b9 f5 hgroup algebra群代数‎
RING algebra  环代数‎
FIELD algebra  域代数‎
, r& T* U9 o$ m" @4 t5 l波莱尔子代数
Relational algebra‎ 有理代数
; l! ]. M! u' z3 B5 X4 u% r* BSubdirectly irreducible algebra
Clifford代数、
$ ]! y2 x) i, R. B约当代数
Banach algebra 巴拿赫代数
% q& Y* m, g5 B/ i( a- Q2 UHidden algebra
Diagram algebras‎ 图形代数
- p1 I% J. c' {; T7 B2 ^Differential algebra‎ 微分代数
Boolean algebra‎ 布尔代数
0 b3 d. w* t( J2 r4 oTopological algebra‎ 拓扑代数
Computer algebra
Coalgebra
Bialgebra 生物代数
Hopf algebra 霍普夫代数
) Q' Q+ V/ |: vSubalgebra 子代数
+ C( R$ S( m6 ]. T

平凡子代数
4 @/ I) y/ v& o真子代数
) |9 k. E$ U8 k6 t$ `; K5 p8 u2 B9 }& ^- ?
7 t" ]* M- j3 u* H" Q/ [1 s5 {积代数
海廷代数
A algebra 一个代数        -------------向量可加也可乘
Banach algebra 除代数
symmetric algebra 辛代数

lilianjie

+ T# v, L7 I# V; P9 i# r. R8 c
4 m: L- V4 J% `6 k" Kheyting algebra 海廷代数
' I) {" d% X- L
" V# A: m" m- {' ]- aVirasoro 代数


coalgebras or cogebras 余代数‎
余代数是带单位元的结合代数的对偶结构，后者的公理由一系列交换图给出，将这些图中的箭头反转，便得到余代数的公理。

余代数的概念可用于李群及群概形等领域中。


李余代数

一张学格的表：
$ ~4 r* P) C, K1 q! |. j
1. A boolean algebra is a complemented distributive lattice. (def)布尔代数是完全分配格

) Q6 r! S: s' o2. A boolean algebra is a heyting algebra.[1]布尔代数是一个海廷代数

- m3 c! V- Z: _# J' X
3. A boolean algebra is orthocomplemented.[2]布尔代数是正交可补
- f  W  N+ ~2 ?# m2 j: b/ |' Q
$ [. m! ]- e& @# `6 S% N' s' Q4. A distributive orthocomplemented lattice is orthomodular.[3]分配正交可补格是正交模

" M0 K4 O+ k. Z+ M5 j5 e$ m  C. {2 e5. A boolean algebra is orthomodular. (1,3,4)布尔代数是正交模


7 k. |' g) W- k5 Q% N1 b0 B+ v6. An orthomodular lattice is orthocomplemented. (def)正交模格正交可补

# C' d# u3 K2 P: o# A. c7. An orthocomplemented lattice is complemented. (def)正交可补格可补
7 m0 G2 c9 d# \! A. A/ F
: }0 n' z: H. A+ U6 L$ m8. A complemented lattice is bounded. (def)可补格有界
3 W& [' P+ Y, g' Y  S
9. An algebraic lattice is complete. (def)代数格是完全的
, Y; B) ?+ J  T1 ^6 N) M1 H- S
10. A complete lattice is bounded.完全格有界
& N4 k+ f& y, T3 X
# p8 e& w3 s/ g9 _11. A heyting algebra is bounded. (def)海廷代数有界

5 x: g' P; |9 G) ~. j( s12. A bounded lattice is a lattice. (def)有界格是格
; f; C( P) N4 e6 _1 _( w
* W  x, x4 l2 ?- \# ?0 ^% s. R13. A heyting algebra is residuated.海廷代数是剩余的
% `6 b/ \: @- c2 N- `
7 \2 q; J; K8 P* x  c4 u14. A residuated lattice is a lattice. (def)剩余格是格

15. A distributive lattice is modular.[4]分配格是模

16. A modular complemented lattice is relatively complemented.[5]模可补格相关可补

17. A boolean algebra is relatively complemented. (1,15,16)布尔代数相关可补

18. A relatively complemented lattice is a lattice. (def)相关可补格是格
% n% s' C" S+ A' z: d, g
4 W; @9 T5 n: g  B19. A heyting algebra is distributive.[6]海廷代数可分配
9 k* Q0 Q1 E# H1 _+ d2 ]0 i6 R
) p0 D, Y; q. ?20. A totally ordered set is a distributive lattice.全序集是分配格

21. A metric lattice is modular.[7]度量格是模
! ^/ E/ s: x- l8 K
1 K6 n  n' N8 x7 P! Q: {/ o6 L5 K$ Q22. A modular lattice is semi-modular.[8]模格是半模

3 I8 W4 V, Q5 C+ w23. A projective lattice is modular.[9]防射格是模
1 E3 O8 ]! Y; }9 f$ Q
( N7 R1 R& I% r8 A+ e24. A projective lattice is geometric. (def)防射格可几何度量

' N: r4 _. t( w% [25. A geometric lattice is semi-modular.[10]几何度量格是半模

26. A semi-modular lattice is atomic.[11]半模格是原子格
* E$ i& u; G/ I2 ]& O* H& p
27. An atomic lattice is a lattice. (def)原子格是格
3 H' ]" j/ c/ s2 O* X
2 ?, K1 F0 I4 F28. A lattice is a semi-lattice. (def)格是半格

29. A semi-lattice is a partially ordered set. (def)半格是偏序集
6 m/ a9 |% n+ ^6 J
0 G4 Q8 ?% l( {# g8 J5 [0 Z. @1 ]3 s

masterkong

            
7 c3 D/ T/ _% f2 M6 a* ?    楼主在1楼帖子开头写的网址http://www.cut-the-knot.org/，很好，谢谢分享！
( x) \: M4 j+ @' c7 C; t     
   

lilianjie1

Absolute value
B
Boxcar function
C
" ^% e* j  I! X( p4 ~& dCube root
" K  w/ G; h, I+ x- a/ K/ K8 dD
Double exponential function
$ R' a- R: w* X3 EE
0 [# e6 R7 t- R& c% L  |) ^; a3 w" a. SEqual incircles theorem
Exponential function
Exsecant
F
Floor and ceiling functions
* @5 |# O. z  nG
9 h3 F$ _4 Q4 LGudermannian function
) N# f) N5 g' x/ Q0 e2 LH
Heaviside step function
- |( g( H! P2 {( W9 o+ C+ l* DHyperbolic function
$ c9 A3 y! i! `8 Z2 e1 m* p1 M I
Inverse hyperbolic function
' u/ l3 ^- o& M  V# E, R: dInverse trigonometric functions
0 h; d( O. k( P9 _' ^2 RK
Kronecker delta
L
Logarithm
+ U- b/ a/ D& U8 m  Y+ n1 eM
Multiplicative inverse
N
Natural logarithm
Nearest integer function
" j' [$ J+ P3 ]4 {" d3 F# UP
Ptolemy's table of chords
R
5 }* n. G" y" cRamp function
+ y/ q3 E. x8 T  ?! y+ s, \% j# yRectangular function
+ p! C9 R  Y3 i' J& @S
; a# N* T' U: f3 s( |Sigmoid function
0 w! [* R7 B8 y8 N1 ]9 Y7 t/ X8 d S cont.
Sign function
0 Q: D5 p& J0 Y$ r" uSinc function
Sine
Sombrero function
$ s* o! W; y; S% K( DSquare root
% ^* p. S9 n: t$ KStep function
T
0 M) V+ {1 w0 w4 Y% X( U$ JTriangular function
4 J% I- p9 o5 o. [( Q4 |Trigonometric functions
V
6 K: p* |% p& N" }Versine
+ w) g- `5 T7 s2 @  D! h
7 j7 w. U* A- X  M1 u# q绝对值
乙
) b7 F  d$ i6 \! [棚车功能
彗星
立方根
# U- o" |# E( a( M! Xð
1 \) B7 \' w% j1 f& b, d双指数函数
" A3 x6 I: G3 z& W" VË
2 H& M; E/ w9 E1 r2 r定理平等incircles
指数函数
Exsecant
) I8 }) q  e0 l3 ^F
8 _, R* s7 f% Q& |- X地板和天花板功能
摹
6 \- H; O7 j' d7 q$ K& u+ eGudermannian功能
3 C' ?) `8 T6 o- u# s3 XH
赫维赛德步功能
* a- {5 |! N2 `! X  |# d双曲函数
+ E3 b; b4 z3 F& _6 w+ }7 t2 u5 r+ M 我
; S2 E: H2 e# H* a: x8 G反双曲函数
反三角函数
K
克罗内克三角洲
大号
对数
中号
' r$ d$ K, h0 H; g3 U5 M乘法逆
1 t. T0 _. F/ M2 U7 u4 ~/ Oñ
$ y7 f8 F! W7 C. r; T2 D自然对数
最近的整数函数
P
托勒密的和弦表
+ J; l8 ]7 L& `2 t/ Rř
斜坡功能
5 M7 d: m% [# _* j9 L矩形函数
小号
0 f+ |- g0 O) z  g; ~% o1 PSigmoid函数
小号续。
登录功能
; Z) }6 l6 S8 Z6 MSinc函数
正弦
草帽功能
0 I1 U, ^: z7 l0 E0 z5 C平方根
- a! f. B' J9 F阶跃函数
T
三角函数
三角函数
1 o$ ?8 Z' P7 jV
: Y$ x2 F0 w( c' EVersine