卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
( O5 A+ c7 A# Z
/ `8 X3 E" M5 o- g& Q2 ?* c" b结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

" Y% c  g% S% g3 r先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
( G$ d3 e% \3 c5 A- t第一个小错误:

* a. R5 r' u" s6 E2 J" Z  C9 z* K 第一个小错误:
" u1 I3 l' n1 D. H大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
( U9 L7 K$ l+ \ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
2 W+ B/ [; w7 @# E
7 W0 W8 D; ]7 U2 O( U/ P: C第二个致命性数学逻辑错误.
$ o: t, K  B7 C4 j1 A  U3 c我举实例反:
以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
" o& G$ Z* c% d/ r为书写方便,设sin10=x.
+ B6 W. O! @3 J# Q+ K得:4x^3-3x+1/2=0.
' u% j3 J: w/ r" Q6 E! p化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

: ~9 n0 z* B  I/ N5 w5 }x^3-3x/4+1/8=0,
! M& D3 k- M& R7 l  A: \p=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.

1 E2 H1 A# }  B+ G( ^& {. D3 M
2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
$ \" P' p& T1 u9 I把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
. m( u( q1 @1 r8 r整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
* j4 O1 T6 g0 J* H  d  j' c.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
/ L" g, P: o- U解得x1=1.即:sin10=1
+ O2 {7 T" `1 Z/ @( ix2=-1/2.即:sin10=-1/2
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.


! F2 \, E+ p) c9 }/ P% G

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
# t8 V/ T9 v) _$ @; P
2 N1 a! j; E7 V% |9 l两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
) V+ y6 h+ a. i三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.

# S- R  N: }4 O* F" v原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
' ~( Y' q6 H& Y: _% M4 l( F                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
& J6 P7 B" K; D# }                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.
# `: \% }1 c* e6 D% U+ F3 z& s, B
我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.