卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
5 v, r( Z; i  H; S4 M+ I(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

( i0 v& _2 J" Z, G; s, b结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

先请看卡丹公式:
0 e, Q" }; k% n7 r' l  Q只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
- P6 t" {4 o# T3 m% U" ?1 N第一个小错误:
1 s  o: i1 E) t2 c
第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
4 K9 ?7 f9 {  C+ L- B% v1 y. g大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
. H! _3 m( U* m# Y# C; D7 ]
第二个致命性数学逻辑错误.
我举实例反:
7 `: f1 Q3 Q1 p, F! G  W) T8 E以30度角三等分公式.
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
为书写方便,设sin10=x.
; x/ l8 L2 }# o. n6 m- F得:4x^3-3x+1/2=0.
% G( V  \; R; x( v& H1 o化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
6 ?8 j4 Q/ V+ p$ [/ W/ t
* _. K) M; o- }' S1 }8 mx^3-3x/4+1/8=0,
p=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.
: z" b0 t, r9 M' B0 o( m
( @5 T" ?7 f. u. J
2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
$ ^, O. U9 Z/ r8 ~7 p& x* h7 L! D把(5)式两边平方得:
* H* W- q1 Q$ ?" |4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
& ]/ o7 E, v! d9 u' l, U得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
. U( ?9 X* X9 d6 m$ h+ e.
4 ^8 |, s1 ?- a  Z9 d+ l* }7 j把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
- A4 v$ |: u+ g. ?得:
( b9 h4 R8 t: l! ^! z4x^2-2x-2=0..........(6)
( O9 Y9 B% o/ x) b7 \8 b$ Y; c3 v2 D- o解得x1=1.即:sin10=1
& ^$ a; H8 w: f: _8 e# xx2=-1/2.即:sin10=-1/2
2 V2 ~. ?& r* y& L% R2 D+ y代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0
( `+ ?: Z- W1 l( D
两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
5 u# e, e' U$ w1 @, R9 D' t(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
$ {; n: o; M. x" N6 L# @6 |5 T7 P2 ~三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.
) U# ?5 q. S$ I# U, u
5 n9 Q3 v& y1 D$ T/ s原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

6 I/ u# G% p: I 我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
# t2 ]. K% A* h- J% @& C2 `5 N