请教王树禾教授

张彧典

! U8 |% q/ l0 U' v9 ^$ `! O# j
     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
; n$ D! B8 q6 }& C, z; ~  N    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
3 d1 z/ l* G; d: w- S3 M                                                                         k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
2 x$ n, Z0 \$ F- y8 D, \% b( p    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
" ^6 `3 m+ X" ^2 Z: z' w    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
7 _$ O/ i8 Y; J* G' S5 b8 W" U                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
! h" o1 S# L. a' ?' |3 l于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
: I6 D* ~: x, M( F; _: ^' R
9 ~1 ~% T3 a# M4 I                  
2 b! Z  d# `3 M5 }    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
, W3 B$ h7 l! D/ [9 |0 K
! z9 \2 E' X) }2 g, e8 |: r8 u* {      如果确定是k/6,那么（1）式为
9 x6 U* \, K: z9 W3 `     
# n' C- c) _0 K* B      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
' p  r6 D/ T4 Y' M( _3 E3 J- \( C
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
, V3 ]1 V! B% h; `' x1 K: h或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
3 s; `9 V& w  k因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
8 S+ U* k2 z& b    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
6 W9 M# l( O1 ?( m' N( ^7 H        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
5 L8 T/ ^- m3 L* L3 H1 S. j$ j4 G& }4 i。
: ]* t5 L* u& x2 n! `    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
, y  g1 Z/ r9 K& t* B6 S4 ]* F; \, L    我的认识对不对，请王教授指导.
* d* c1 \/ H( z) U8 X* N& l                                                                     2014.04。09
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张彧典

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张彧典

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