请教王树禾教授

张彧典

1 V9 Z4 n9 j9 M) G" A8 E     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
7 W5 M4 g$ w) u; H, s) ^* F    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                                         k
; w+ n1 t& L0 |) x/ x& V* E2 w    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; z/ d2 X" v' l% q. m- d" k    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
; Z0 w5 n/ Q+ M; p' j2 V6 D                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
( `6 i. ^/ a* a0 C9 E( z& M
7 X) |# _) n9 S% j+ j; i7 H    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
% E& p) a7 r  P6 v: C: O
                  
: }  Z5 q& A- Q+ ]    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
8 O% }* y5 ~# G- Q* R8 v      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
, l5 a. _# P; P  q$ L
      如果确定是k/6,那么（1）式为
7 X0 Q$ G% k1 ~* f     
6 i: L0 ]0 ]4 R9 C+ n4 |8 s      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
3 p0 A( D- v  Y; V8 z9 t    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
) m2 t' @# O7 h
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
0 `# k$ C$ _/ q1 E7 [     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
+ \8 u! p" t1 _9 X* U$ z; C    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
1 m9 g: R0 U- ~因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
* w0 U+ G0 f- [) D1 c9 K- A& E    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
4 _- J7 q+ u- w* j) L  o        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
8 f# j: a" V0 E& v& X$ O1 Q) S6 V& t于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
: p7 L7 A5 y6 k! ~; r/ z。
- j: J  G0 e. R/ K8 t# l8 P    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
. `! n& l$ o, s* d

3 f' a3 k, R. @0 i  T) S/ e: E6 U
8 E5 |1 b. u: v( i9 g

平凡之不凡

等待楼主的跟帖，厉害

张彧典

谢谢你们的关注，希望具体的评论。

张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿