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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组国赛讨论

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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法


    6 _2 d; x: Q$ L6 t! d3 L$ o: K* L& D. h( m7 K' H* s1 K

    / H: ?# g- A2 r/ ~$ [) @[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理,

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则,粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left],其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能,

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]其改变量,

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题,将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left],温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left],即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始,

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代,并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值,

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解,

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制,包括控制参数的初

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]

    ; u9 v3 c8 S" B6 W- H6 p5 u8 v
    - W5 s& a* M; S( M9 v5 Y0 J
    / w* t; ^/ t& c$ ?' K
    [p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。

    ( W4 w* X" p( p9 Q1 a
    4 V% x% ?& i9 T# s; j
    * t7 \* N* t; `1 `* }9 D
    [p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:

    8 w. t/ O3 R; ^- W3 E( Q
    3 [+ b1 J6 i, i( i
    [p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化:初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left],初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]


    ) Y) Q" |/ Q! P) H6 E4 I! d[p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L


    ( z9 J: U  d" g- S' X! L. E; V) U$ H- H
    % i7 D0 B. h. x7 T) h0 @' T/ Y! H
    3 X9 {. L( [$ ^/ Q' z
    8 V7 K, p4 T7 \
    * S. e9 k! I; K! F# M& V; E" v5 f9 k
    9 i9 Y0 C- Z) y: g

    5 r0 H4 G1 c  w8 ^6 Y7 Z- [2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务
    / |8 c! z: S5 U: j

    # f; S6 y" Y- q9 y0 I5 c# ~0 E. |# e; Y

    & w* r) `$ u  Q* w6 ^* t  ?: G. P# |

    6 \: i- U* S. R$ ?3 v; F0 Q3 b
    & q2 u5 K* a9 E* a; l# o, `: ~  r/ U  w6 e4 A% t) V

    / x( V: C/ ?; U6 g& T[p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步:

    $ s% k! ]8 g. F2 E; p% N. R
    , b! r1 b! x# C8 [' _. o! Z
    ; |5 c# V5 n: c9 `9 w  E
    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′


    * j2 b5 L! w) Y7 s* k- S
    9 a& l; p, e* ?' J& B* b1 n8 B5 E
    [p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px],其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数


    1 A& v, t3 R3 ~5 X! h5 ?
    4 d0 _' }8 `: _0 \% v
    ; K  r+ ?8 ]! W+ {4 [2 f[p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解,否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].


    8 O' p% V9 m/ o, V5 F$ f7 u* f+ {5 O$ T" ~' N7 J1 p, s
    [p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。

    ) B+ K) x; o% D+ V# c

    6 O; l. q3 z. [" w
    0 n" L$ h! W% |- Q[p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。


    - B- H2 R# j9 z8 {& t; t0 u
    2 S- I- C' A. |1 k) U
    ( P; \' J- [& {  r9 h. y. _: l[p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少,且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px],然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。

    & X/ Y' B4 K1 A4 G0 [* W7 r
    ! N0 ?, ~, Q  W4 |2 k

    ! J6 e( g; y" C: ~! |+ ^[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤:

    7 v; f" u2 {8 g
    & j- n' k: D2 A$ ~  J6 r5 j
    : b) \4 Y! d2 H
    [p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。


    " e( A! G1 f/ y- `0 R8 q5 q# {2 P5 j) S+ J8 F3 o% t

    * q; j1 c. z( S7 J. q# q[p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生,

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。

    2 S$ a1 X! ^- V
    . p# e1 \9 m. f( a: _& q; P. ^2 l+ Y4 `
    1 Y/ M% c" a0 v- S- U

    ) K6 l/ A4 U% S+ s" D/ F
    $ i- K( C5 j9 a  o
    8 q+ T' x' i; W' X% C4 X+ h0 l/ {% U8 m, v( n* R- x: T3 s

    9 \5 Y6 t& ^+ Z- d4 w& q
    ' g$ a% E0 d+ M) ^1 E% d7 W4 X$ h; t! {' f+ B) E

    ; C; K4 Q# T( ?  ^7 {+ K3 n% k. h" P& m; l4 {* S5 R
    4 S% I9 [0 o; N1 [

    - x. i7 d$ _# Q, b8 [% }% ~[p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则,最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。


    - H* n7 N6 s4 ?! T, P+ G
    ( h) m* y2 M- g3 x: ^: i7 w
    8 J& d% D& R7 K1 |[p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

      _3 `$ r$ C  x3 `+ C
    , T2 i% b* ~# a

    1 O$ ~: c" q1 K$ `[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关,

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关;模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性,

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性

    $ e. v  w9 O1 X  [7 c) J

    0 `3 F: x  B/ o4 i' ^- H1 ^- s& I. d1 A5 ^3 d  g2 J. d

    ( N# [3 M' h# P" n! C3 S3 @, H  [4 s) s2 {

      a: g7 [& e  L9 ^
    8 ]" l- X% P5 |: ~1 j, N
    * E: k" S! a: ?
    6 \6 _9 g  _; Z; y* y
    zan
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