模拟退火算法

下沙小僧

[p=272, null, left]模拟退火算法

/ l* D# g! H0 @& ^9 O+ \7 r* R4 z
[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理，

[p=197, null, left]将固体加温至充

[p=197, null, left]分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变

[p=197, null, left]为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每

[p=197, null, left]个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为

[p=197, null, left]最小。根据

[p=197, null, left][size=197px]Metropolis

[p=197, null, left]准则，粒子在温度

[p=197, null, left][size=197px]T

[p=197, null, left]时趋于平衡

[p=197, null, left]的概率为

[p=197, null, left][size=197px]e-

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

[p=197, null, left]，其中

[p=197, null, left][size=197px]E

[p=197, null, left]为温度

[p=197, null, left][size=197px]T

[p=197, null, left]时的内能，

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]E

[p=197, null, left]为

[p=197, null, left]其改变量，

[p=197, null, left][size=197px]k

[p=197, null, left]为

[p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

[p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

[p=197, null, left]化问题，将内能

[p=197, null, left][size=197px]E

[p=197, null, left]模拟为目标函数值

[p=197, null, left][size=197px]f

[p=197, null, left]，温度

[p=197, null, left][size=197px]T

[p=197, null, left]演化成控

[p=197, null, left]制参数

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初

[p=197, null, left]始解

[p=197, null, left][size=197px]i

[p=197, null, left]和控制参数初值

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]开始，

[p=197, null, left]对当前解重复

[p=197, null, left][size=197px]“

[p=197, null, left]产生新解

[p=197, null, left][size=197px]→

[p=197, null, left]计算目标函数差

[p=197, null, left][size=197px]→

[p=197, null, left]接受或舍弃

[p=197, null, left][size=197px]”

[p=197, null, left]的迭代，并逐步衰减

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]值，

[p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解，

[p=197, null, left]这是基于蒙特

[p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

[p=197, null, left]退火过程由

[p=197, null, left]冷却进度表

[p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

[p=197, null, left]控制，包括控制参数的初

[p=197, null, left]值

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]及其衰减因子

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]、每个

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left]值时的迭代次数

[p=197, null, left][size=197px]L

[p=197, null, left]和停止条

[p=197, null, left]件

[p=197, null, left][size=197px]S

[p=197, null, left]。

+ N" s$ x2 \# w# _" ?) i; z% v1 U# E
- X# ?  t9 C# `3 \+ d4 V( z: d
[p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

[p=197, null, left]目标函数和初始解

[p=197, null, left]三部分。

( W& k: x( |% m0 ?4 C& U
' }- `6 _! y# F7 V0 w2 A) S% {7 V
[p=197, null, left]模拟退火的基本思想

[p=197, null, left][size=197px]:

[p=197, null, left][size=197px](1)

[p=197, null, left]初始化：初始温度

[p=197, null, left][size=197px]T(

[p=197, null, left]充分大

[p=197, null, left][size=197px])

[p=197, null, left]，初始解状态

[p=197, null, left][size=197px]S(

[p=197, null, left]是

[p=197, null, left]算法迭代的起点

[p=197, null, left][size=197px])

[p=197, null, left]，

[p=197, null, left]每个

[p=197, null, left][size=197px]T

[p=197, null, left]值的迭代次数

[p=197, null, left][size=197px]L

2 ]3 I1 ^3 y; l4 A4 W9 E+ |- C5 E$ b
5 F% I. Y; T$ |  F' ]

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6 {# ^$ D' S' D6 u, V

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% e, b# c4 ?1 ^2 r$ w1 E# r% ^& k
[p=197, null, left][size=197px](2)

[p=197, null, left][size=197px]对

[p=197, null, left][size=197px]k=1

[p=197, null, left][size=197px]，

[p=197, null, left][size=197px]……

[p=197, null, left][size=197px]，

[p=197, null, left][size=197px]L

[p=197, null, left][size=197px]做第

[p=197, null, left][size=197px](3)

[p=197, null, left][size=197px]至第

[p=197, null, left][size=197px]6

[p=197, null, left][size=197px]步：

5 t% j# U/ T' }' r9 z[p=197, null, left][size=197px](3)

[p=197, null, left][size=197px]产生新解

[p=197, null, left][size=197px]S

[p=197, null, left][size=197px]′

: p' r0 I7 f! R) v4 _
2 B: @' Q7 W/ ?9 e8 |/ a+ r
[p=197, null, left][size=197px](4)

[p=197, null, left][size=197px]计算增量

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]=C(S

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px])-C(S)

[p=197, null, left][size=197px]，其中

[p=197, null, left][size=197px]C(S)

[p=197, null, left][size=197px]为评价函数

. ]; p' C0 `7 ]! e3 m( O6 Q
9 g8 P$ x/ V! Y" O  `
[p=197, null, left][size=197px](5)

[p=197, null, left][size=197px]若

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]<0

[p=197, null, left][size=197px]则接受

[p=197, null, left][size=197px]S

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解，否则以概率

[p=210, null, left][size=197px]exp(-

[p=210, null, left][size=197px]Δ

[p=210, null, left][size=197px]t

[p=210, null, left][size=197px]′

[p=210, null, left][size=197px]/T)

[p=210, null, left][size=197px]接受

[p=210, null, left][size=197px]S

[p=210, null, left][size=197px]′

[p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

[p=210, null, left][size=197px].

1 A6 q- y! `( K[p=197, null, left][size=197px](6)

[p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结

[p=197, null, left][size=197px]束程序。

[p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

[p=197, null, left][size=197px]终止算法。

- w- e. h9 d( @- B3 W

  }. _& H7 g2 b[p=197, null, left][size=197px](7) T

[p=197, null, left][size=197px]逐渐减少，且

[p=197, null, left][size=197px]T->0

[p=197, null, left][size=197px]，然后转第

[p=197, null, left][size=197px]2

[p=197, null, left][size=197px]步。

! f% H1 \7 Q' ~  ]

[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

[p=197, null, left][size=197px]骤：

$ k# }$ ^1 J) u3 N) V( _+ T( @
[p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

[p=197, null, left][size=197px]空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，

[p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

[p=197, null, left][size=197px]法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，

[p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，

[p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

3 ~! R' p+ z$ ?$ l[p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

[p=197, null, left][size=197px]因为目标

[p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生，

[p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

[p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标

[p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。

: I8 W. _; k) z. w4 F$ r


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[p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

[p=197, null, left][size=197px],

[p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

[p=197, null, left][size=197px]受准则，最常用的接受准则是

[p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

[p=197, null, left][size=197px]准则

[p=197, null, left][size=197px]:

[p=197, null, left][size=197px]若

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]<0

[p=197, null, left][size=197px]则接受

[p=197, null, left][size=197px]S

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

[p=197, null, left][size=197px]S

[p=197, null, left][size=197px]，

[p=197, null, left][size=197px]否则以概率

[p=197, null, left][size=197px]exp(-

[p=197, null, left][size=197px]Δ

[p=197, null, left][size=197px]t

[p=197, null, left][size=197px]′

[p=197, null, left][size=197px]/T)

[p=197, null, left][size=197px]接受

[p=210, null, left][size=197px]S

[p=210, null, left][size=197px]′

[p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

[p=210, null, left][size=197px]S

[p=210, null, left][size=197px]。

  V! l3 f: `8 U% ~) K; y! e
[p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，

[p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

[p=197, null, left][size=197px]现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次

[p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

[p=197, null, left][size=197px]舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

7 n) J$ R* b: y! w# N! r[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关，

[p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

[p=197, null, left][size=197px]状态

[p=197, null, left][size=197px]S(

[p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

[p=197, null, left][size=197px])

[p=197, null, left][size=197px]无关；模拟退火算法具有渐近

[p=197, null, left][size=197px]收敛性，

[p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

[p=197, null, left][size=197px]l

[p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

[p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性

1 P* f4 q* }6 ^& d
6 [# N; y+ }2 ?$ `& a, E: w3 i