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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组国赛讨论

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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法

    5 \7 I* g; G9 x. E2 t

    8 [  F3 F6 G4 U0 n( J3 P* [
    1 Y: b9 b: a1 o1 m" J* Q9 z[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理,

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则,粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left],其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能,

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]其改变量,

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题,将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left],温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left],即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始,

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代,并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值,

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解,

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制,包括控制参数的初

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]

    7 C( p, D! z7 k4 N2 v
      `. m: ^( ~: w, `: M
    . ^5 j7 w- W+ h/ d6 a7 @
    [p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。

    : K5 @+ g+ j, c" Q- ?
      T% _, E+ n/ z6 C% @- V4 e8 n1 u4 w
    , ~5 m) o3 |7 g- p5 r& @
    [p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:


    " \+ V, ?" a0 T; Q: V2 b+ C' R( P. m3 N* o; d( ?" v& n* ?8 ?
    [p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化:初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left],初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]

    . h* `9 o* Z9 Y
    [p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    3 }; B" Q' h. r, v8 N
    $ r. X0 y$ U- }' U- @

    5 i& j1 C) Z8 }. X/ Y5 o" b. c) a
    # ]; i1 k- Y) u* U% @8 Z1 \3 ~  {- q5 j6 f$ u

    . |1 m9 ]( [* z/ G9 t0 W2 O4 b% k& f* y& y% T  j1 E+ u5 H

    3 q% m6 J9 j* p) V" {6 p2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务7 T8 u9 W$ ?, r

    * y. ^! ]/ t: S. y) }3 r

    8 A5 J. `3 R+ V& o. r
    5 F2 @+ i& x7 u; }/ H. o! ]  w. Z" M' Z# ^& ]1 _
    0 N+ r7 w+ j7 ?$ b* v3 Y' S
    # ?: [  y' k; ~* \4 o& K$ e' w/ V
    % q- @& z7 }; ]6 }& O8 l: I" }
    [p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步:

    ) ]: l* n8 i* c/ S3 J4 d6 s
    6 H! z4 j+ A( |. `6 u5 V
    ; z1 L2 N! g! w+ V9 }
    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′


      c% Q/ T, l3 S* w6 S  m) Q$ b5 g2 ~& O/ x9 m# G8 u: m. u- Z
    $ F  V  Q. J/ o  V
    [p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px],其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数

    ) u' j* Z+ ?, n' u$ N8 |

    : {" O  B$ _$ i* o% W( T( E/ R2 U$ h5 Y* Q, h- M  ?
    [p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解,否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].

    $ H. x( F6 D' f4 h
    3 c( _" i7 n; D% ^% e2 \1 ]
    [p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。


    # B5 `& o, U* g) `& U9 H# V& s! j7 ?6 ^, ~0 M+ F- q/ f

    4 q4 K. g( l8 i4 p6 z/ ~6 y7 X[p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。


    ( g8 k5 D$ l( V+ N0 L: r8 t" ^
    . X7 `  b! E8 a' v/ ^! Y/ Z: w' q- k! ]5 H  ]
    [p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少,且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px],然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。

    * l. P6 r9 T5 g6 [# U/ c" D
    8 s! w" b) f: S+ B

    + v4 w: @. c+ W7 M, K) o4 v[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤:


    6 {$ E: ], j, I
    & W6 M4 f9 }7 P7 s
    % ]! ^+ \$ Y& a; Y[p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

    ( d5 O* G: L' s. ?. w

    , ?; ^6 B! J% h. i
    * j" i4 T  q& U) Q3 l! u6 ~- N8 v[p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生,

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。


    0 T; c2 s, l, l/ t
    5 r3 N$ }& h& b, K0 O9 j: w2 n& f$ \: [; n0 ?. V' I
    6 e' o" t) @/ I+ p- U' C3 i

    1 V& D1 J9 V# U7 K, @
    . N! c. q& N- q+ u1 c  h; O# J, ~! W( @! L# i! s
    5 ~- F$ e+ R- q3 ^

    7 }0 }8 Y# }% q8 ^) L! \% Z, r0 J9 y. W' j# c( _7 ^# k

    6 w! D6 k( D3 d& K" i+ W0 }1 T# i% l$ g( _8 N& H

    4 D( M: E/ D, r$ n$ o. Y) ~0 E
    % y1 M% p8 x; U' Y9 u! w[p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则,最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。

    ; W; P: M2 W6 b( R1 [
    6 y0 d% c4 ~1 Y

    ; m' i: h9 H9 h2 i( m5 I[p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

    " [% Y% b/ b& Q7 _  {9 Y- Z
    # Z0 c6 }9 k( y: y5 s' I

    2 U/ k) d1 q1 H+ `  E[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关,

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关;模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性,

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性

    / |, B0 N5 v$ B9 X9 x/ p2 ]! r' |
    + e; \' S; S0 P& c- H' t6 a

    " s  h4 Q0 q; i+ _9 N% S  M) a, u

    4 n8 W7 U: k1 r; X: K7 j" d) k  m- P$ c

    0 V1 i% Y5 @/ g- e7 l7 d
    + ]6 c( ]' I* v9 c9 j6 U5 [
    ' O4 I* ]( v6 ?& e2 P: v# q
    zan
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