尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
# \9 N! l/ K4 {8 k* S7 N                             苏小光
  R9 g( ]& p8 I0 `' i$ u                          2011年2月22日
, T1 D. @2 v% r6 W' I7 _/ K     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
: b) o& G8 j! ]+ s+ \1 n& O    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
: s8 J' O" M& J, G, m           l_{1}=(NR\pi )/180 .
# c0 A7 x0 p$ D. a" a    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
" j- e3 A" Z8 h8 p- m    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
$ s0 P: R$ u! c8 q: U            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
2 V, D: v! S5 m) _           l_{1}=(NAB\pi )/180
$ [* v( u0 ]$ `  l# t- s# b5 X   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
/ e8 f& h8 y1 p% ?! D: r' F8 J          r=NAB/360,
7 t+ W' D1 N% @: [2 e+ m+ ]. F" o6 h   在AB的延长线上取点D,使
$ d; y) `- i- I2 d- Q+ I         r=BD,
% a! d( `" T% X# {# B8 Z   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
4 B6 k, B4 D: |5 @  s$ F    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
( m- T/ x* }' d; t% X解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
) P+ r: j$ X# u: j$ v根据公式1 有
) C" X7 Q' _0 T. ^% ?           l_{1}=(60AB\pi )/180
- {. [# G. X, Q6 h, r    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
/ x0 Z. P; V  O& [- @* j' x& p          2r\pi=(60AB\pi )/180
! Q4 f9 S9 {; b: Q! ^# O     所以圆半径
9 X$ e: V0 I# ]* d$ I5 G7 t         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
7 c& y* l+ U2 Y( B- a    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
3 w& W1 G( E: x2 U: a/ J       ∠BAG=20(度).
& w' H/ H8 O/ `# b. A   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
0 B4 c: O' b( V             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
$ t3 V& L5 [$ [6 y( ]

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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