尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
" T3 @6 w+ `* u$ y$ M                             苏小光
                          2011年2月22日
- K  f/ `( V# O% }4 I     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
; N0 H: d: Z3 D& c  D! {    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
# L3 c/ C. f1 U/ c$ L* a           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
9 Y: H! X. V1 R, O  C% q; U, ]           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
6 A8 i% j8 N7 l            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
8 D1 ^' H# o9 H  ]6 O) P* F   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
8 F4 [' y" m: W$ w           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
5 d0 E3 T' @( q: T: `          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
) M: d. r3 C2 Z( R) c) j4 |   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
8 Z+ c0 ?6 x2 O! j           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
2 j+ Z: h: l9 G! h7 a解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
8 ?: g4 k5 k: D根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
9 x. D* N4 {) u  t1 I! l; N- @          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
3 i8 i  Z8 Q- ^( u    在AB的延长线上取点D,使
4 e! |# W& I: g5 U" J( I        BD=AB/6
+ t8 w7 H; }2 |; m0 C8 }' H) i. d' o% m    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
: A# g* g% z9 f- }! s/ z       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
. O( o  v' e2 ~$ G作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
+ Z* h; a8 R- e               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
% ?  e' ^! {* t+ g, V! s( o尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
2 C8 b8 j1 d; n  O# k5 f  B- M0 D+ m另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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