尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
5 v  Q( F: G# y                             苏小光
, _2 r" V3 a3 B& q                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
  w. F+ q9 a4 E1 ?: A8 o# {    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
5 S$ i! b3 q5 ~. n6 U           l_{1}=(NR\pi )/180 .
2 S# |4 A8 V7 B- b& m2 M7 g    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
+ W4 T% `: }8 }! l           l_{2}=2r\pi .
1 K+ j& N5 s& T  J3 v    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
( m6 w) l, v- [7 Z) Y8 p6 z            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
$ c, c7 _( E& n, Z5 T           2r\pi=(NAB\pi )/180
" |  s0 L, s: @8 `0 i   所以圆半径
: z4 T( K) \$ N0 \& Y          r=NAB/360,
2 \, [* I" g! C0 L& u7 J   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
1 a" f" E9 {( Q/ m0 R, A1 Y   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
6 q9 o; i2 q( R! b( b7 Y2 ]+ U           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
) O5 u# |( x; A7 J' C    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
! ^' s( q$ n: d' t3 Z. M) d根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
% k$ |: S; Q" x; l- ?    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
- }1 e: P8 l2 t, D! f, n          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
  z7 A- U) X& Q5 c         r=AB/6,
( H' _1 W9 i/ Q0 T9 N    在AB的延长线上取点D,使
6 Q+ {$ l; i0 r2 R9 [, G6 b        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
4 d9 R% }2 A( x3 o6 c7 J' q   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
5 b" B2 W' S/ r作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
4 Y$ n* c; g( q4 A/ |我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
! o/ o6 N- M9 t0 x$ H) z! T            关于怎样作出 BD=r   
' S* X! L) m# p! w7 n# X        由一楼有
& Q: S) L2 P+ h* j( D6 K              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
/ p9 Q7 H( w! P  A) M         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
        △ACE∽△ABD，
' O3 W6 ?" P  R/ j, L& x       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
     即为所取.
8 J3 ]: h- f& p3 W6 H+ f7 W. Q' U, T