空间法和欧拉法模型分析

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空间法和欧拉法模型分析

（1）空间法

空间法中的空间（环境）明确或隐含地表现在模型和分析中。建模有两种不同的框架，它们是基于个体的拉格朗日（或 Lagrangian）框架和连续欧拉（或Eulerian）框架。拉格朗日法：从个体遵循的简单动态行为规则中抽取出群体集群运动的内部运行机理。拉格朗日法基本的描述就是每个个体各自的运动方程（常微分方程或随机微分方程）；

欧拉法：在欧拉法中，提取种群密度在某一区域内针对任一个体的密度函数来表征集群群体的连续性，或者说，一个集群模型中的每个个体成员不作为单个实体来研究，而是通过密度概念将整个群体作为一个连续集描。基于欧拉法的群体动力学用一个动态连续模型描述，即以浓度或种群密度的偏微分方程形式给出。欧拉模型的基本方程是平流-扩散-反应方程，其中水平对流和扩散项是个体行为以及环境影响联合作用的结果，而反应项是由种群动力学引起的。欧拉连续方程（偏微分方程）的一个显著优点就是无需对群体所处环境做空间离散化处理，对于描述大规模密集而没有明显不连续分布的集群行为（如，细菌等微生物群体）非常有效。但是，欧拉法也有一个显著的不足，即忽略了个体的特性。因此，就许多群体是由有限数量的体积较大或有限智能特性明显的个体成员组成的情形而言，选用欧拉式连续集模型来描述群体的集群行为显然不太适用.

拉格朗日法与欧拉法的区别：拉格朗日法描述的是每个个体各自的运动方程，是一种较为自然的建模及分析方法。相比而言，欧拉法和拉格朗日法的不同之处在于，后者可将个体的位置信息体现在模型之中，而前者则将群体在所处物理空间中的密度分布函数作为建模基础。在早期的研究中，由于基于欧拉法构建的集群模型是建立在偏微分方程理论基础之上的而占据主导地位。但是，需要特别注意的一点是，欧拉模型中对群体所处物理空间的连续性假设多适合于体型较小的生物群体。而在分析由体型较大的生物个体组成的群体如鱼群、鸟群等时，由其组成的群体所占据的物理空间就会因为每个个体体型的因素而变得相对大许多，这就使得欧拉法关于群体所处物理空间是连续集的假设在实际应用中往往会难以满足。鉴于此，离散的基于个体的拉格朗日建模法就愈来愈受到研究者的广泛关注。

鉴于环境的动态变化、局部感知和非线性特性是自然界群居生物群体中普遍存在的现象，文中将针对这些内部和外部因素的影响，将其隐含在所要构建的群体运动模型中一并加以考虑。