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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦

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    发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    [教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
    8 ?, r" P3 U/ X0 F. v大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。9 g& C4 |7 g" \5 G' n
    . f1 j7 `! y: L& T0 ]- _+ }
    1. 拉格朗日多项式插值; \8 t7 }: d# G, N% U
    拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。- w* C7 k" R1 ~. u
    这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。, b8 q3 V" r& ?( n
    %定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
    0 {8 I: d. k' M4 ~function L=myLagrange (x,y)
    6 z8 o$ z) p2 u9 l2 N0 V4 N5 y1 Y%n      插值结点的个数
    $ M. x2 a" X1 {2 T# B) {  c& X. ?n=length(x);$ v" I0 [/ u" @- J: w
    %L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式& K) S/ M8 L( Y, _) g
    L=zeros(1,n);8 h/ G' }! E- ?
    %& h" p8 g2 f4 G0 H8 x7 w2 s
    %使用双重for循环,第一个for循环是( _& L& t5 u! ^& l
    for i=1:n
    ; N- S% l" \9 j7 C' J%a      
    6 R% g4 |: ]% v- u0 V3 s    a=1;
    * u  H4 J9 f* Y%w   
    3 E4 p; T- R1 L    w=1;! L4 G( ]% J$ O/ [. t
    %for循环
    - Z1 q# g1 n: Q! p: y2 C7 f    for j=1:n( _; ~+ l, u8 e7 Q' T' @3 w6 w8 R
            %如果i不等于j
    5 |- R2 v3 k0 e        if j~=i
    2 D9 ~  P& c* r$ W) _. H/ [* W' Y, l  j5 Z            %累加法计算a7 H* w7 @4 B# D3 A* r
                a=a*(x(i)-x(j));
    : D$ e- |: E3 ^% y; u* d- z' m0 a* `            %用向量乘法函数conv计算w
    1 r9 P5 d+ \5 Z9 ~. x# N            w=conv(w,[1,-x(j)]);
      K7 X* a. \$ a            %if语句结束符
    " N2 X! @# [# i+ i) w        end
    5 C# J& A# p0 B7 a+ S9 u$ }        %第二个for循环结束符: ~6 w, m7 S$ K2 K) V7 x  R
        end
    $ z! x! C6 Z( c3 Y' t/ y* I    %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素& @8 g% D5 w7 i
            L=y(i)/a*w+L;
    / y! B  q) e9 a5 D5 o    %第一个for结束符        8 U% W+ i, S% u/ V- K$ z) L
    end
    0 `7 B3 s  k9 ~6 o   没错,就这么几句代码,所以很简单的。
    ) f* C, n* c1 ~) v1 U
    : p: b- l% T2 b( o: Z( {3 A2. 牛顿插值: W( R' h+ l3 o8 ^% z
    牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。& f8 J) G# G" F: @% I! i( e
    了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
    - V/ e" {) u* W5 G0 Z7 l1 {. DNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即. c8 L, h8 ]; ~7 F; k& x1 \
    ! e3 u# u5 a7 S; _* M

    5 `8 v* _6 i2 G2 o' q/ ^0 a5 y9 X5 i
    因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。1 x6 T$ Q8 n  K2 D' G4 L
    由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。) i) U) @* m1 L1 c/ H: {: _
    8 d; U0 A7 T6 q: I# @+ d" P* @# Q0 b
    : ]- N1 t, L& @! R6 w' P" N9 @
    牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
    ! H4 e) y" ~) d
    - F2 B! D8 l4 |+ |6 s' K- O
      z  F% W! g) l3.分段插值2 a  D! M& ]/ |7 z6 b$ w
    在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。
    0 u$ o! P5 x% j/ x: ^! v5 \9 V7 Z高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。5 e4 s+ N: D" @4 Q% x

    ( h# P' A$ \' d2 e0 a; r9 A" l4 Q3.1线性分段插值& H+ a7 y1 Z& ?
    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性
    ) F4 j5 R3 z6 e$ d( }插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。% _! W4 u# a0 r+ Q* ]3 T- ]
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函* [/ n# S! X" w3 t$ Z$ L
    数interp1。. ?5 @; x: B; E& h; E$ P1 W( q$ Z
    y=interp1(x0,y0,x,'method'). Z: H0 K! |: p
    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    * o. |2 \( F2 ?) J/ n" {, l0 u9 ['nearest' 最近项插值
    0 F, [# G3 Q& B& T' S3 J'linear' 线性插值) L% P* l+ k2 G1 o7 [4 }
    'spline' 逐段3 次样条插值) N$ U. @2 N) e) G
    'cubic' 保凹凸性3 次插值。, C3 b( M2 n7 Z
    所有的插值方法要求 x0 是单调的。
    4 ~3 n( J( f+ m0 F5 C当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
    2 W$ C: \- l. ]$ M0 y4 I'*spline'、'*cubic'。
    " p1 Q6 W+ V! d* H; {9 e! i( a3.2埃尔米特(Hermite)插值2 E$ B6 m0 h( z! v
    到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
    6 G. N9 T0 F7 z' p( X  n$ r1 q5 h1 L阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值4 ^3 @5 ]3 b, B( ]) ]( u; \* j
    函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。  Y, c' t9 O5 F7 L; N/ Y2 I1 k4 f
    ; B8 C3 G3 C, \
    " z- U. [$ _( x8 g
    function y=hermite(x0,y0,y1,x);
    . c" V& s# H+ Q/ X% en=length(x0);m=length(x);& j7 f9 @; ^3 b' ^# _5 r- e
    for k=1:m% R1 ^( o3 V6 j; J2 W) e
    yy=0.0;) m/ Z% V% C& j
    for i=1:n" H" V9 |( S- e6 I. g9 t) ]
    h=1.0;
    4 a$ B# R  ]" O" f2 ~a=0.0;! M4 g) |  s+ O8 o+ g
    for j=1:n7 u' X' x, i  }
    if j~=i& @7 D0 _& t3 G1 |' T/ `8 M0 b0 ~
    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;5 F& h) o7 ?1 T
    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
    9 g& j3 {2 c  `' {; ]' zend' ?% }5 }: r& W5 r# R" Z* w
    end) v" H! b9 Y4 w+ x2 V5 K. O5 o
    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
    8 H9 f# r1 e, b) cend
    - L# F6 Y" i$ E3 k7 ay(k)=yy;  Q  h. c2 A% X& f) A4 y, H+ V. y
    end
    : m+ k+ m( m1 C! @* X' ~; p0 U: L7 b
    附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
    ! t/ G3 P5 Q1 h5 g# W: z4.三次样条插值, p: b* C0 R( K
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外& {2 g$ h8 l# X5 n& T
    形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,
    - n' O0 I1 j6 P9 A2 E, g' T# P( [而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    ( ?+ X* [  c* ^4 b, n& o7 ~要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。3 n2 U: b' r2 ?2 B( ]8 I
    这部分公式多,我放到附件里了。! k& l% ]2 S5 Y8 t  N5 L

    ) D9 l6 G5 j4 i: b1 S" r' {当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
    / g5 B' E0 F% S/ ]& p5 f) t
    6 K& t, x5 m9 G2 v( |) S
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