[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦

建不了的模。

[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
8 L" C& X1 O- Y2 Z
  V' @6 `3 ^1 M1. 拉格朗日多项式插值
" n& N( h) `5 A4 U3 E拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
; s2 t: V9 |$ N' n/ Yfunction L=myLagrange (x,y)
, s5 s3 L7 y) x1 s1 ]4 P%n      插值结点的个数
3 t) U+ T# l* h' en=length(x);
$ z$ G* B  V! h%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
; P* u: S6 s3 t+ }) K' oL=zeros(1,n);
) G5 d0 C5 z( p+ k9 Z%
; J* x' k7 @, \; r- a4 G& ~%使用双重for循环，第一个for循环是
9 S4 E2 W$ {/ r; N* }% h/ D' m6 Y- F& nfor i=1:n
%a      
    a=1;
%w   
    w=1;
. X8 I6 ~" o1 e- [' g* J%for循环
    for j=1:n
! N& L3 v, R6 u$ N3 Y: _* q$ I        %如果i不等于j
, Y" i- \* G  D$ g  g6 T        if j~=i
2 u+ V( P! B/ I3 F( j            %累加法计算a
            a=a*(x(i)-x(j));
! t% _6 Q: C+ U* {8 r2 K            %用向量乘法函数conv计算w
            w=conv(w,[1,-x(j)]);
. n; q9 c, c9 k' y            %if语句结束符
        end
        %第二个for循环结束符
    end
    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
        L=y(i)/a*w+L;
- p' G' `9 }% A  n: i% R# g    %第一个for结束符        
end
6 X9 C  o3 T' R+ N) Q& e   没错，就这么几句代码，所以很简单的。

2. 牛顿插值
: |2 L/ V( e9 V+ H牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
5 l1 H% p! ]- _2 W了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
- X( U4 I1 e) f' l8 s6 m% x+ w5 aNewton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
* V8 X0 n! o2 M. [" |* B) c" q! D

. y5 v# ~# p' C9 M0 h
$ L/ t* Y! T- Q" X3 d+ ~5 o( ^因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。

. ^# O' o( |+ [8 J* Q  q) Z$ B$ w
4 P. }, K! Q$ ~" {牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
! D+ M& O* G" W3 m
* B' Q6 c# |+ r" H  A6 F
2 p. W& O2 N# Q. n+ b3.分段插值
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
' E; ^( M0 A* }  J# l2 Z' k
3.1线性分段插值
) c( L  K. a$ r9 @0 j0 s1 H简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
- i. C# ~0 m* T用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
+ `. j8 N4 M& {数interp1。
0 x  ?: c' l( g5 i1 Zy=interp1(x0,y0,x,'method')
0 R( p5 i3 T2 {( Lmethod 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
+ Z! n: D/ s5 S'nearest' 最近项插值
'linear' 线性插值
'spline' 逐段3 次样条插值
8 \; d( E" \. t# ]'cubic' 保凹凸性3 次插值。
4 f" }  S1 X# f+ ~1 z2 L# B. u# V6 Z8 z所有的插值方法要求 x0 是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
, G# k: c, j3 m. d# p8 b6 }'*spline'、'*cubic'。
3.2埃尔米特(Hermite)插值
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
2 _, ~  M0 i6 q阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
. }5 ]( [3 y4 F/ u/ E函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

7 ~3 o7 p9 Z5 K$ {# T% z
9 ^) e$ V1 K: u6 r6 }function y=hermite(x0,y0,y1,x);
. O: i' o* S: h- O! j  En=length(x0);m=length(x);
, J0 U+ \% x$ K& S4 A- `0 r) y' Y& {for k=1:m
3 q; q$ m3 v' Zyy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
. b7 J# D' `8 i/ Eh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
" K2 o; I8 ^; Q! byy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
) O1 L6 V2 H( |/ `8 jy(k)=yy;
end
7 ^  f! k: w' e' L; {/ S+ V7 A: `
6 @" O0 L6 a7 u) `) t& n附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
7 A8 {- _$ h) I1 e8 d6 j3 Z8 [4.三次样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
9 X, p7 _1 P6 t: z9 `  Z而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
% _1 h4 ~# b& _; A. z: ?要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
这部分公式多，我放到附件里了。
3 {, \6 k2 E8 Z, e, l
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。

2 {" @& e* w9 `8 ~: m

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6 u. E. h# P3 O/ @& k. u) q

chqu12

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reptile

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寻找存在的理由

1 u% `* ^: j& T* t' P& {多谢楼主分享！！！

kdyzyymx

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遗迹

内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。

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j2613043

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zhengyanjun

学习！

taozhanghua

不错不错，好奥