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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦 ; ~% X' ^. F$ H* _ q- s, h
大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
8 L" C& X1 O- Y2 Z
V' @6 `3 ^1 M1. 拉格朗日多项式插值
" n& N( h) `5 A4 U3 E拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。. C% @5 E9 {3 G
这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。; b, z, y: @$ T) Q& J1 y. ]% K
%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
; s2 t: V9 |$ N' n/ Yfunction L=myLagrange (x,y)
, s5 s3 L7 y) x1 s1 ]4 P%n 插值结点的个数
3 t) U+ T# l* h' en=length(x);
$ z$ G* B V! h%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
; P* u: S6 s3 t+ }) K' oL=zeros(1,n);
) G5 d0 C5 z( p+ k9 Z%
; J* x' k7 @, \; r- a4 G& ~%使用双重for循环,第一个for循环是
9 S4 E2 W$ {/ r; N* }% h/ D' m6 Y- F& nfor i=1:n* n1 F& x/ c+ d1 P- H6 G- M+ I
%a + a k) E: ^1 J$ ]8 o# \1 e5 o
a=1;# B7 r, u# ~5 h: Y0 O
%w 7 \" Z6 e% X+ \9 H+ y
w=1;
. X8 I6 ~" o1 e- [' g* J%for循环" { u; G: O. V' r( @, w7 L, |- P5 M
for j=1:n
! N& L3 v, R6 u$ N3 Y: _* q$ I %如果i不等于j
, Y" i- \* G D$ g g6 T if j~=i
2 u+ V( P! B/ I3 F( j %累加法计算a! z% p$ a9 z7 j1 O _
a=a*(x(i)-x(j));
! t% _6 Q: C+ U* {8 r2 K %用向量乘法函数conv计算w) J% c9 V* f- E' J3 g! T3 V& S X5 j4 H( a
w=conv(w,[1,-x(j)]);
. n; q9 c, c9 k' y %if语句结束符( K' [2 b6 d' O4 o) z- G
end# S6 d9 K) Y& w3 O0 z/ f& k
%第二个for循环结束符' @) m0 A5 w; w K2 C
end5 J: C% J5 c: g
%递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素! Z3 |) f* j8 k6 U; t
L=y(i)/a*w+L;
- p' G' `9 }% A n: i% R# g %第一个for结束符 * v5 ]. {; ?' E/ p( b( o/ |4 X! ~
end
6 X9 C o3 T' R+ N) Q& e 没错,就这么几句代码,所以很简单的。4 f4 ]" e( l8 f/ H* ]* f. m
4 \8 B( z D& A3 T- {, F
2. 牛顿插值
: |2 L/ V( e9 V+ H牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
5 l1 H% p! ]- _2 W了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
- X( U4 I1 e) f' l8 s6 m% x+ w5 aNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
* V8 X0 n! o2 M. [" |* B) c" q! D, h+ E9 T- G9 E
. y5 v# ~# p' C9 M0 h
$ L/ t* Y! T- Q" X3 d+ ~5 o( ^因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。* j8 ~, n6 z% J- a
由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。* d& d1 j5 `6 J
. ^# O' o( |+ [8 J* Q q) Z$ B$ w
4 P. }, K! Q$ ~" {牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
! D+ M& O* G" W3 m
* B' Q6 c# |+ r" H A6 F
2 p. W& O2 N# Q. n+ b3.分段插值& [+ P/ ~+ [% P- b! j
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。" _. W9 [5 @! f. @+ S% A
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
' E; ^( M0 A* } J# l2 Z' k& q# }/ l4 V) c- |7 `
3.1线性分段插值
) c( L K. a$ r9 @0 j0 s1 H简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性6 l$ I) d! @' B& v
插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
- i. C# ~0 m* T用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
+ `. j8 N4 M& {数interp1。
0 x ?: c' l( g5 i1 Zy=interp1(x0,y0,x,'method')
0 R( p5 i3 T2 {( Lmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
+ Z! n: D/ s5 S'nearest' 最近项插值3 a9 h. L4 `4 v* N; G) \8 [; w/ [
'linear' 线性插值: n; P# H% @! j9 K8 v
'spline' 逐段3 次样条插值
8 \; d( E" \. t# ]'cubic' 保凹凸性3 次插值。
4 f" } S1 X# f+ ~1 z2 L# B. u# V6 Z8 z所有的插值方法要求 x0 是单调的。" o# t* n6 f& {* E- F
当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
, G# k: c, j3 m. d# p8 b6 }'*spline'、'*cubic'。1 t; w, f. q# @3 [
3.2埃尔米特(Hermite)插值) ~5 U' I# e4 _; F3 W: ]5 d& Q
到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
2 _, ~ M0 i6 q阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
. }5 ]( [3 y4 F/ u/ E函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。7 y$ W8 S+ Q" {9 ]) F5 p6 x2 z7 p
7 ~3 o7 p9 Z5 K$ {# T% z
9 ^) e$ V1 K: u6 r6 }function y=hermite(x0,y0,y1,x);
. O: i' o* S: h- O! j En=length(x0);m=length(x);
, J0 U+ \% x$ K& S4 A- `0 r) y' Y& {for k=1:m
3 q; q$ m3 v' Zyy=0.0;2 x* ]" R1 ~$ l$ c& y; ]
for i=1:n$ y p% r* {% `, Q' k# z
h=1.0;" T. L6 ]& H% @* k# x; S- z
a=0.0;9 S2 C7 i" E! I# {3 V( O/ _
for j=1:n1 N' s0 V; i4 v# k2 J- L
if j~=i
. b7 J# D' `8 i/ Eh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;6 u7 y: k6 |$ R5 j; U
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;% h9 q' ~0 k4 a, q; R: K
end( D* d/ i# H2 }& ]+ _; a' h% W% j
end
" K2 o; I8 ^; Q! byy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));) A* N1 l+ M+ Q6 U) V
end
) O1 L6 V2 H( |/ `8 jy(k)=yy;& R5 Y9 I& P* @! c9 N* O( A
end
7 ^ f! k: w' e' L; {/ S+ V7 A: `
6 @" O0 L6 a7 u) `) t& n附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
7 A8 {- _$ h) I1 e8 d6 j3 Z8 [4.三次样条插值& H% Q) w2 w9 c) N
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外, Z. d$ h8 x. ^) g- ~
形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,
9 X, p7 _1 P6 t: z9 ` Z而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
% _1 h4 ~# b& _; A. z: ?要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。' `! ^$ x4 |4 b& a$ ]" u$ b
这部分公式多,我放到附件里了。
3 {, \6 k2 E8 Z, e, l8 k2 T+ j1 g7 F
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。+ c R1 ?! q# Z" k: x& b
2 {" @& e* w9 `8 ~: m
6 u. E. h# P3 O/ @& k. u) q |
zan
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