[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦

建不了的模。

[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
+ I  O8 D: z& e6 d5 s* b大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

  ?% i6 V. L! d1 R7 n. `1. 拉格朗日多项式插值
9 o1 p- }% x6 k$ X9 B: v拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
8 V1 p& q, V) V! C) P9 b* I# Y$ ]5 E这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
" p; L7 m. j/ \2 B) g9 rfunction L=myLagrange (x,y)
%n      插值结点的个数
n=length(x);
' [% G7 X" n3 L7 _%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
L=zeros(1,n);
%
%使用双重for循环，第一个for循环是
for i=1:n
%a      
) }4 l# {( W, ]: ~: G! L1 K7 I% Z2 `    a=1;
7 |, e/ N3 `" ]' h4 h6 s%w   
    w=1;
# P5 }2 d, ]: J2 I$ R  ~%for循环
4 m' b8 c; t' e+ l  c    for j=1:n
9 t$ m, B4 f+ i6 X$ N2 P+ ]$ H/ }        %如果i不等于j
( }# O9 _+ [- C- S        if j~=i
            %累加法计算a
6 \, z  N% l. R! O1 p            a=a*(x(i)-x(j));
; `' E7 u' `' G  \            %用向量乘法函数conv计算w
7 c1 u4 j. v9 Z" Y8 V5 g6 ^            w=conv(w,[1,-x(j)]);
1 p) ~/ j) L- r8 J, o" X            %if语句结束符
        end
$ W2 ~4 i% ]" u, {; l5 D* t        %第二个for循环结束符
2 o8 ~: U2 w; t' |    end
' L  R0 l$ h# }    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
4 i+ w1 Q# Z' O4 y6 W8 O  u        L=y(i)/a*w+L;
    %第一个for结束符        
end
   没错，就这么几句代码，所以很简单的。

3 J- {( c& J: p5 a2. 牛顿插值
" F8 d; N, O0 |1 q牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即


) l% q, y3 D4 s* T
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
7 q# ~. w) w( b1 y9 p4 k5 d! W3 P' X由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。


牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
5 G" a% B: K+ A7 w7 }0 R$ u) }5 s

3.分段插值
5 Q! K' ]( u" g% ^% |在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
: c5 H+ U; W, g3 r+ n' E/ H. Q高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

' t1 d6 S0 r; j# n" K4 A3.1线性分段插值
4 |8 X5 A( y) Q/ S. g简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
0 M6 ?2 C6 _, p# Jmethod 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
'nearest' 最近项插值
'linear' 线性插值
+ J" P$ y6 B4 I9 o$ ~0 u8 a'spline' 逐段3 次样条插值
- Y! M1 g& A4 s7 E8 S* T# z! Q6 G0 e'cubic' 保凹凸性3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
1 F# R- S. s; L) l) B  C当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
& {' J, C* ^* P7 V# `' X6 Y'*spline'、'*cubic'。
3.2埃尔米特(Hermite)插值
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
+ h3 s8 t" w+ W& ^+ Q* |9 w阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
! B- L1 X6 V; s* S% s

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
9 {8 N( l" s+ ^9 a1 sn=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
* O& k) t9 C, P4 |) M) {a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
) z) D$ E& r% i- J* l' Fyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
. Y1 L5 |8 ~8 r1 u2 o7 qend
y(k)=yy;
end

附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
4.三次样条插值
6 ?6 }/ r! g& q- W( g许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
5 r$ Q! Z2 Q! c/ z! F! {( V( ]而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
  \- c% n$ P$ s" Q( v! W这部分公式多，我放到附件里了。

0 w, e- g. E2 ?& E5 {当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。

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chqu12

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reptile

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遗迹

内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。

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j2613043

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zhengyanjun

学习！

taozhanghua

不错不错，好奥