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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦

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    发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    [教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦 4 x5 K: K3 d8 `& f
    大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。* B6 z& Q5 @, R7 v1 p0 O1 N5 k

    4 K9 r3 |4 d6 }) u- Q4 q6 l7 M7 N1. 拉格朗日多项式插值. T2 d7 w, M$ \9 @  k
    拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。
    5 ~6 b! V! ]7 Q3 }( m这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。( N) H) R5 n1 [1 C4 \4 G8 o2 u
    %定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入! {$ l2 W) x( h, Z0 X, `# [
    function L=myLagrange (x,y)8 ]; x) ~- q' F4 W' D
    %n      插值结点的个数0 o! J1 ?  o1 h
    n=length(x);
    * J! A6 z# b3 Y1 t%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
    / x% _. n( R: |7 B) L/ Q, YL=zeros(1,n);
    % ?' Z  j9 Y% V7 B! [- @%& n, d& W9 r2 A. `" \8 v: B
    %使用双重for循环,第一个for循环是, S: R) d# M5 E0 X' B" V: D9 O
    for i=1:n2 t. S8 V* [8 b/ a% [
    %a      $ C5 U$ T" [0 d2 x# @* U
        a=1;
    9 ^2 z+ i7 p  A1 j  J! k) ]%w   
    # n' f- r) s5 y# m    w=1;( m6 q* m- N0 h  j, e
    %for循环
    2 A" {9 C/ p; m( [$ O9 ~    for j=1:n5 d/ A- f. L5 I. y  N/ d
            %如果i不等于j( ~2 c1 }' D9 D; U. o% Q
            if j~=i
    & p& r7 m( k0 B7 r7 `% n            %累加法计算a
      y3 x; P$ M) ~6 i% P            a=a*(x(i)-x(j));3 W# a5 {+ i2 Z2 d" P7 s- s
                %用向量乘法函数conv计算w
    4 ]; D" h1 A7 O- Z$ b( \            w=conv(w,[1,-x(j)]);# W% t! C6 ]. G0 ]/ N- y
                %if语句结束符& w8 ]! z, T1 j$ t4 c7 ^
            end
    8 R; p8 O/ P1 a        %第二个for循环结束符) e- T% A3 T! j( ?, p
        end
    2 T- o* e5 ]: y; O( |7 q/ j    %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素
    6 z& x/ B2 K: n# \* F- G  v5 D4 F  h        L=y(i)/a*w+L;
    % P  z' T, Y' B( v    %第一个for结束符        
    0 P: z% W1 ~7 @! z  Rend0 k) _+ ^- T. D
       没错,就这么几句代码,所以很简单的。! {. e( O7 C% P6 d7 a
    * W1 e3 f# W# V4 `2 M7 V
    2. 牛顿插值
    6 p8 `' A' Q$ Q% U: c! S牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。* r5 f1 G7 W7 @) Y; V% H# [
    了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
    ! H3 q  @8 g$ V8 b9 Q3 GNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
    : }  V# C1 U" l+ ?3 m, Q/ e
    % A1 [* a* b; E% H! G
    " K# u& H" n2 X$ R( D
    8 m; j( r" [  Z; V) |# A$ a因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
    ) g) q8 y) y. g% |  n+ f6 c1 C由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。/ ~' y" r) v1 k
    8 l# r) d% O% I' r
    , l& P% A- z$ E% j0 ~3 ?
    牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
    2 l1 @1 v9 {2 {9 Q) r0 O4 p2 n2 z
    6 k: g, @1 w! C) ~0 a7 r( U8 t4 Z2 f0 b0 q! i* R; r# c
    3.分段插值! k/ S4 `8 s) R0 [& I6 ^1 H1 g
    在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。8 K; ~6 |: n, z
    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
    " W* F/ y, E  @: N7 ?, \: p: D/ ]& W& \
    3.1线性分段插值  Y7 B2 ]* [; v- z
    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性
    # ?7 S- u, \. C/ T% D插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
    4 @- l0 [+ \3 l7 ]& d$ m' M用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
    5 ]; ~8 C% A& ~0 ?( j0 v& P8 V数interp1。
    . c5 R, Y3 }/ N8 N$ \! oy=interp1(x0,y0,x,'method')9 `/ W- u7 U  k1 _& z  J9 Y+ U
    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    8 E. u* P+ l8 X( ^8 p'nearest' 最近项插值4 \% x: u, V' B0 \6 V5 }+ z
    'linear' 线性插值4 O: }# F, [" y' K! `& U
    'spline' 逐段3 次样条插值0 g, Z, J2 r  Z9 K* w- {6 @' _5 @
    'cubic' 保凹凸性3 次插值。
    , b+ P$ _' d6 C( y5 A* j* {4 i所有的插值方法要求 x0 是单调的。
    # I  i% F8 ^+ m* Z  |3 T当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、& \5 F9 e3 d% [6 h
    '*spline'、'*cubic'。2 z. t: b& U4 M3 M7 a
    3.2埃尔米特(Hermite)插值
    4 q9 a, Y0 G2 u到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
    $ ~- O' @  `0 P" u1 A1 T阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值* S' b6 {5 V7 ~! b0 y
    函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。  F$ }' g0 ~) s( Q; _4 v& B
    5 v1 l6 W% M6 z
    ! A5 b* n  \/ ^9 R' G% q* r
    function y=hermite(x0,y0,y1,x);
    3 [: d* l. }' J2 z, ]7 w- N; M/ m. Qn=length(x0);m=length(x);. _: f- y- x6 ?
    for k=1:m
    , s. S. t( E* b6 g; syy=0.0;" h+ `- }- ?1 r$ S
    for i=1:n
    ' D/ p# Q! {' V  C9 U$ G, @h=1.0;3 Z+ y4 W! v& j  n0 w" \% c
    a=0.0;) W4 X( M$ R# q: U1 `! Q
    for j=1:n1 D: I6 q) y( o! L; R- ~
    if j~=i
    + Q+ w5 I* z1 a7 B8 L& a$ h3 D" lh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;7 Y. B' \2 [& S  `6 A1 F
    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
    ) _: ~2 b0 Z/ d7 D  _1 P! v' qend5 n' @0 _3 e6 `8 V8 j/ D; ^3 p
    end
    + z# {5 L2 a. h& ?yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));! l& I# b6 _9 Q$ X1 d4 M9 D
    end. g7 k& X6 x# J) t1 k5 x
    y(k)=yy;- L; G, M; s( C0 ^- `1 {
    end
    % P6 J0 q+ Y! N+ @/ g/ P9 M3 p6 S5 q, m: L: W& g
    附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。1 y$ e/ V5 O9 q
    4.三次样条插值9 w5 q! z- i3 R, C/ r. X0 \+ o
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外  b' V* l5 J9 B
    形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,+ ~6 z5 s' o* E/ H; J* K
    而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    7 ]1 s% E$ [- q# i3 n! W要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。
    ) A! ^9 C. s0 Y! c" q$ Y3 A8 G5 u* j8 c这部分公式多,我放到附件里了。
    3 V) v4 y2 c; h- I8 i8 Q4 G# N4 J) f7 a
    当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
    , W" p4 }( R& E( N" }7 R8 e4 h
    2 u3 B5 Z* _1 i8 `" i
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    * E8 k" k6 L& q- B+ Y- H
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