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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦 0 d$ d5 @% `2 S7 Y/ w: @
大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
# \) Y4 w5 ~& h- b
1 S) f' |) B) B; Z+ u1 _5 Z1. 拉格朗日多项式插值
, @6 I9 @. Y0 w# b& o3 k9 p拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。3 i& ^, G& G3 a0 i: F1 ]3 J0 t
这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。
5 l7 ? |/ |: V4 C/ `# y5 q% R%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
1 g4 b4 i- I; H- w" k+ ofunction L=myLagrange (x,y)
4 v7 x A5 @9 Z%n 插值结点的个数$ h; P$ V. H, p) x
n=length(x);) G+ {% y9 q6 {+ P- s" T' h
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
; u2 h3 g3 q9 ZL=zeros(1,n);
( ^) N) C, y# k. U! l%
$ x8 A7 K0 ^: p" e%使用双重for循环,第一个for循环是
1 f8 l3 \5 u2 P1 j) R7 Y) c3 bfor i=1:n
! D6 D2 d* I! H" e%a 1 }- V' ^4 L) Y$ [: G7 T q2 V
a=1;
! h* ^& w# b- T5 f; @$ {! w%w , t5 U$ _( x' b& W: [
w=1;8 u6 K% D: V8 t) g' F
%for循环; [4 ?9 O7 B# }' B0 E; \5 @
for j=1:n
0 S1 y: r' K( e) m! o2 @ %如果i不等于j
+ i5 O! x/ N1 h/ p# A if j~=i
S! V" v( }; G6 s %累加法计算a7 ]' n1 j) P5 P' J( |% W7 M4 ]$ h! h
a=a*(x(i)-x(j));
! h" {0 O6 d3 q, A' K %用向量乘法函数conv计算w
1 @7 R6 ?4 A$ h w=conv(w,[1,-x(j)]);; w9 S% U3 Y; W. c# c
%if语句结束符
. u. g | K/ y6 E end
, r$ Q* i. a9 J %第二个for循环结束符
* A* P: C" r8 O0 ^# S/ a end! |7 ?* ~3 i3 B) z
%递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素
/ i2 s: B4 Z8 L& z L=y(i)/a*w+L;0 w6 @0 e6 {8 r9 u) Q* c
%第一个for结束符
1 V% Q+ v, D6 F1 H+ ?* [end7 v3 [, Q* U3 \) G1 w
没错,就这么几句代码,所以很简单的。
$ `# m. P& P: M4 l# g, C: l% E" z9 K+ j. ^$ J
2. 牛顿插值
$ U6 Z1 K2 G# b7 B牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。2 |7 z& Q* D0 e
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。' v" z- C% y* W! s/ z
Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
2 q k0 m8 ^2 \& |& u9 H9 s8 v
( l& Y$ q# ^6 T2 |; k: n6 g% P% P. f, N4 k
2 r" n% M, D. n' b, o+ a! j* Q
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
5 t+ U5 @' _7 {$ k c由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
9 f7 f* }- Z6 t: c) F. D, S! f
1 [: Z; c! g m
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
( p7 ^4 Z' q/ {5 t7 D$ b9 T& T; { ?: n, @7 C7 s
5 h# F/ i: ]1 a* M/ }3.分段插值9 W, U; q# T. _% |, N" p& Y
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。' e0 W. Y0 l& P( J
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。* W9 F" [1 i, [9 X% i
) G1 D! q3 ]4 H8 }4 E. K* `3.1线性分段插值/ K) w9 K F; y/ m* L8 S
简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性9 V F" p) c( v9 z! {
插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
B% l7 @ `( D2 I2 {9 A用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
/ o4 A" M8 V5 J; b数interp1。
/ W: Z7 W" s; d7 g; x+ @y=interp1(x0,y0,x,'method')
4 \) }& o% I) E- W, M0 t4 z7 D1 k3 wmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
$ C5 h2 `- f: s8 \1 c9 Z" S'nearest' 最近项插值
9 @, `- v9 M% K; @'linear' 线性插值/ Q9 z' W, f: ?* E
'spline' 逐段3 次样条插值/ ]8 w6 v8 Z% F% T0 f
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
, z- B3 `0 F; I( c6 ^# P; J所有的插值方法要求 x0 是单调的。
8 S% c. G- l) @7 o# E. W当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
1 z! ]; @+ v. w& I'*spline'、'*cubic'。& R8 h$ L6 D$ X1 [9 J, D/ Q# @5 D
3.2埃尔米特(Hermite)插值5 {" [7 i5 { Y, K! t4 j9 _
到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
/ ]; S+ y. H) q2 z- B& g% p阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值7 V9 W% j0 M5 Q4 a% w. S* J7 M
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
8 Z4 n; z3 z' n/ \
! e8 J7 s% c+ H2 P* m9 \6 {
; t( r, k0 a+ } F$ n# a6 \function y=hermite(x0,y0,y1,x);8 h% p/ M/ k" }- }) J. ?. q# Y
n=length(x0);m=length(x); z O% D7 X( Q, _
for k=1:m+ ]) ~8 D7 f6 d8 X+ \. x
yy=0.0;" Q& h1 K1 O9 W7 ]2 L& A4 b
for i=1:n6 v3 B9 U' E/ b5 `$ e% H6 ]3 {
h=1.0;, l: q, m+ w8 h1 q& a0 I$ O3 }
a=0.0;
( H1 J! J9 o3 d b& I8 y. |! y7 x& e8 Ifor j=1:n
6 z5 t- Q6 C/ [& b+ V2 Cif j~=i8 N: ~$ W) s% o1 L
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;7 c d$ r+ e1 ^! x( Z; }+ Z/ W
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;+ c2 a2 V- }- Z* @) }
end) ^+ Y& r1 Y, M: A( l9 d
end
& y6 v, O |" ^$ r( T2 ayy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
$ D Y0 r, e/ L' Y7 L, }end
) Z! t' ^2 |2 O- ?y(k)=yy;
- |) z- [! o$ c% }: R& ~% wend
2 H$ [8 [" L4 ~; b! t' F6 R) B: s, k2 C& ]' B
附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。; ^( B+ y( j& W8 k; K
4.三次样条插值
3 G: Q: J- S) j( o1 m8 n4 \& z许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外) M% P" c* i, e* ~; o
形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,5 U( @1 ~8 Q/ c, O
而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
: W2 p' g: o# |. g5 N* t要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。
* x) s2 Q. W! t. ~" ? t这部分公式多,我放到附件里了。
, p/ k% Q+ r8 q% C& t
5 M8 _+ g' O+ q- o当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
4 Y8 }8 V c8 o. U3 D. R
# C$ _+ D% D, ~6 Z* E7 Z) _0 E) S. M& v# Z# Q
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zan
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