数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

5 c$ q; O% Z1 i4 }6 i- {! y一、粒子群算法（PSO）
. Q  v. j$ f* `  c4 H7 N& L
/ K9 o6 Z; b/ C6 v算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

: {- N$ _9 h8 y1 L, ]基本PSO算法
6 T8 D- ?5 ~& D; }
D维空间中，有m个粒子；
! ]; O: m# b/ ], \8 d/ s粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
0 G+ y, B  A6 K6 t; q1 ?" C: F1 A粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
" P# Z$ D: N% Y% H- e0 q群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

( E. i: w% d* r. ?- n) P6 M" E- v: w
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
' v' {+ y7 A/ T# Y. z" {1 I设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
  g) c  N8 w$ c5 [2 u9 r热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
: r3 |# O- Z2 L5 @5 T降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
0 ~3 H9 u" t& x2 C. F* l$ P! z; Z
& E2 k% \, t6 z# S3 N6 N; f产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

9 m: I- C, F* X四、算法步骤
  `4 ^# v/ |% C; D初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
- m+ f+ S/ D  M" ?/ w
四、神经网络算法
) [2 ^. }$ ]+ ^- j" w2 U3 U
- s$ R. O) i# q4 Z- y( f  W$ a' n和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
2 S) C0 `% c7 _/ d. A9 X9 D
6 P0 t- Q* C% M五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

9 I% t7 H  T2 [% q" |又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
9 K7 K3 D; h" M6 E( W( B优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
9 D! E5 o% H! u) [% o# e8 m* Y2、局部开发能力强，收敛速度很快。
& P3 D3 d8 S2 C  W5 Z) \8 j+ V缺点：
4 ]( y; F: g2 d6 k1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
6 t4 z' _& b% m0 `5 e2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

& I* V, y3 m; T. O4 d+ r将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) @' A/ W& M/ x* B( }0 B* Y8 d" Fa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
; s7 \3 K+ \/ q3 d; P: S; o6 M  V(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
) f: O4 w7 w4 Y) i(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
  h' ?, e3 s* `- L禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
! t% {: ^; w/ d: t, @9 d
3 k, U$ y( V6 V  T9 K+ \' T六、蚁群算法（AS）


# _1 s/ {4 o) y参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
! C) U4 V2 W# p8 i1 D; z8 a---------------------
$ _* N/ R3 o) u* q, i5 r6 o: V6 ?
7 t7 g% ^8 S6 M' y( o

$ b: f) P5 T( {+ S' w& B* D