数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
+ D. r& W; n2 m/ _# d( x1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
' \  p6 j, x1 Q4 ]+ ]$ a  \
$ Z- ]; S7 K! `' s5 y4 p一、粒子群算法（PSO）
' t* N' u8 B8 Y. W' I
2 N4 ^! w- v8 [% D算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
8 z& W/ t+ {) ~0 r% W' Z% Z
基本PSO算法
! [8 w7 D& }: J( ^3 ^; t1 A) ?) C
- i# u) H0 ^. TD维空间中，有m个粒子；
. k3 k2 y, u# O+ F粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
* D4 L  n- n* E5 q8 z9 x

9 u+ l) y+ y9 j% I5 k  l( U二、模拟退火算法（SA）

; x% x- k& N4 E  d) |模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
! f" c; a0 r0 H4 H: b1 G7 }
) I, ~% H9 p/ f! p5 `3 |7 s三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
7 @) X/ ~* X+ H$ U& p根据适应值的好坏不断选择和繁殖
% D4 e( c6 G& e" N8 N若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
! v0 |- V: V9 ~1 c5 U  e8 x5 m) x初始种群
8 Y$ U* g+ i& l$ u% M6 _编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
4 t- w( {# c  _* r$ E遗传运算，交叉和变异
1 C* {7 ^: w; E5 c. O, p' Q# {选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
9 T7 u6 n8 q; s( z- [停止准则

; r  G6 L1 B1 L4 V; K参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
+ z! h, e; l; P' h- J4 E
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
  Q0 s6 X- y8 `1 @+ |) @
" m8 J* D9 Z" n+ Z7 ]3 r2 D$ R五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
* a% _9 d8 {3 C' i' H
" G$ S8 t" M& t' J- b8 @又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
* r5 }3 w  f$ ~, Z9 H3 a) X8 C3 K优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2 N' A$ y; f2 [; O/ }7 ?: S2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) B% d7 ^& j  ]/ Ra、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
5 L' R3 {- T+ n" r2 J3 db、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
% e7 U$ J" t/ e6 l+ {可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
$ J6 f* T  }' c9 X8 P(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
# @' U: R; V9 F$ y! U- Z/ X禁忌表的作用：防止搜索出现循环
7 g* E( O! u2 F& @% S(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

# {: N. F: e" J( F; {: n六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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9 U2 N4 G3 x8 |3 U- r% v5 b
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