数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
) n$ z* F4 a% V. {4 q8 D1 O( s% Z
一、粒子群算法（PSO）
; U0 Z; ?- b5 S+ I& M9 S; J
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
0 |* o9 @( S4 |0 ]
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
, [# i" n2 J( w粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
$ R1 c7 ~" O" t群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
6 a$ f  `. b1 \( d; G

6 q( F! U: G5 A; G, R3 Q% h; \二、模拟退火算法（SA）
7 {0 W% C8 y8 k
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
# F! R1 n3 o! @. A3 [; ], O: i降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
( J/ w8 Y% X# {" l# G) M  c
产生一个初始种群
) t* J' I$ J8 O  }; p/ m' A: \$ J2 w根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
+ v/ A# H1 N( S& l/ b& y% }初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; t  A& ?' }( M1 o! w: S: Y4 N1 ^3 m适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
- V) p- r* T* _; Z9 T2 l选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
. \3 m8 C/ }7 T6 D) M" e
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
, Q. g4 d4 h4 V  S5 |
4 z$ h, i/ a- v, c5 |! v2 b( N. H五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
8 p; p% V; y! l9 n7 Q( [
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
: G3 c) Z5 k% k* ?8 w* |: o6 k优点：
$ R6 x/ A" ?& N; E6 x" D; J" Z; Y1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
& O+ \4 r6 J6 L2 T) w缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
, V- N7 S. _! W2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
3 q3 v7 ?5 Y" ~, O  @
( D- ]  P, U# E6 a将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
* ?. V3 K0 M) S! E, J5 X' A) u5 ]a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
* q: B4 V, g: d7 K2 Rb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
5 _' u. R4 j; n* `7 l# l(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
. T  b4 I3 f6 [5 c7 L- l) }从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
- U9 C3 u+ M# z" `7 x7 P8 V禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
& s2 |* I' M- G+ S: yA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
5 n" p6 u0 S' t- q" l" S
5 l' J: [7 g% F" u8 \7 q六、蚁群算法（AS）


参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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. t+ f1 s0 G7 B  y/ u% Q
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& C9 c: ^( I& G0 C, {: l4 t" b# T