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f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式

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math111        

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发表于 2016-7-22 16:56 |只看该作者 |倒序浏览
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本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑 4 [9 E2 ^6 X  P7 ]1 i

( a( [, j* X) H5 l6 W8 c' l4 l+ P5 f设\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的正值函数,且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。4 p" w; k! N% M* E0 x
大神求解,书上一道例题,但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
5 W& U- b+ w* y" Z
5 J4 d& Y: G# `# D贴一下原书的答案吧3 Y1 P5 _0 f4 n  i1 T/ M
------------------' A+ C$ \+ T, E
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
9 B6 M# b( t8 Z' n0 I$ ]% _! T' B代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
6 Q5 e( {- Z3 g1 x( Q7 q\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
- {3 k/ s4 I* Y2 I根据\(f(a_0)>0\),又得\(c=0\) ,从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
* f8 F( l* b7 g
6 y! ]) z0 U! d( }/ w. Z( E7 r) B5 e4 ~. L

8 m# V& h) H; @- s' T1 N2 X4 O4 `$ Z) }+ x/ P

; c6 D- p! M3 o( l8 ]* C
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