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本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑 # j' V( `9 |( n1 A7 u" F' v8 f2 x
! a" U, \4 r' |& A# T6 O2 w5 ^设\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的正值函数,且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。 a7 p3 O6 I5 v
大神求解,书上一道例题,但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
' l' W; I. b8 r* n# D. R
" H2 D' Y2 a* g* C8 ^! N- F- G贴一下原书的答案吧
. J5 }4 e3 O9 l% }0 a5 C, v q------------------( f3 B8 Y- E0 m* O- v
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]& T3 M7 V1 P0 h& k M
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程+ D0 @0 n+ S3 P( f8 b
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
1 } a, A9 F8 U9 h' l根据\(f(a_0)>0\),又得\(c=0\) ,从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
$ \! x' G/ Z, T. g# J' k$ J. s4 O( @) D I- D
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2 U! `8 }0 f6 Y' | j* a0 ^( m- k# B! \% K
; v1 `5 B4 e6 ~2 }2 V1 | |
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