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f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式

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math111        

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发表于 2016-7-22 16:56 |只看该作者 |倒序浏览
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本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑 $ h+ b+ x, a- O8 n0 B
6 ~# k: \( y) T: Q. N
设\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的正值函数,且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
- v) N( F* Z1 G: W% U& G9 Y  G( S3 ^大神求解,书上一道例题,但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。/ X- j0 Q4 j* \8 E& l+ X/ h

. W4 S( \9 r% f: l+ k贴一下原书的答案吧6 f, M% W! s; V4 y
------------------) S! I. y# P) [( s
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]+ O  z2 |& E2 h6 [+ C
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程# C: g: b. _' O8 |' m
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
- f5 M: I- d# }5 }% Q  d根据\(f(a_0)>0\),又得\(c=0\) ,从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。4 i4 J$ f. |7 e  r! b% y) M- @" U" _

9 r: o& }( x' x# R6 @- d* ]2 ]( n' w% K6 m

5 F1 i- O2 f' ?% f7 P, h
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