【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

佛自业障

一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
/ k( M  i3 M, d' e; z, z& S2. 建模方法
$ E5 c/ k" F, u; s# }3 ~! |! e" J" f        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
0 `. G/ F. p  D# d9 `3 y3. 建模步骤
. [! @7 R" v: \- ?4 {) _' u! F        按机理分析方法的建模步骤如下
5 t, L, {+ f! {
4. 建模过程
' y) W6 I2 e$ R. ?# d        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

  [/ x" t4 c3 M; _* f5. 模型分类
' f! n3 T) t# G  N- n        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
$ y/ E; k6 G4 E: o/ S        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
' R: ~% k- I7 t; i0 Q, \& B# }        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
8 w& p3 Y* P3 {/ A二. 系统辨识
5 d9 ~# Q3 G2 _9 S, k        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
1 q/ y) w1 N$ D) o* O! K5 u; d
/ ~" D( d& B# V三. 机器学习
6 I7 C7 R3 L& h9 F  u, \       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
2 Y2 O8 T* G* A$ n+ x: p/ Y- r        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

) j' p. \$ T" q$ l/ c4 b) O
; V4 R+ H- o, I$ n  e) p