【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

佛自业障

一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
  k0 c$ c/ L) H+ w" e       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
  p1 X$ {# s0 u. E( W3 z2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
. |# s; b; y9 L. w4 m' h3. 建模步骤
' ~% d( {. _* x2 P# d. z        按机理分析方法的建模步骤如下

. @! o3 D* d( E  Q( {4. 建模过程
* n4 B5 `8 b; ~5 L1 M$ B( i! B. A        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

. C% {- _; S; _" F0 U  r1 M5. 模型分类
( e( E% U% d( [! U8 \        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
, C: r& o/ a7 i- Y, Q' \# ~        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
6 b8 _& M1 Z4 L2 R( }- `        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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- P% O% i) w7 B7 {' v. W* a三. 机器学习
8 ~$ W8 P$ d5 i' t$ D. U) a1 N6 `+ ?       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
# @- I% E5 I1 Q* O0 |        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
5 R/ L7 X9 t2 h+ L" n; q" V用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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2 V" Z+ _, H( H# l' P9 X        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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