【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

3 g. _6 r  k$ J+ [  L9 j5 M( R) s
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

8 v: G) E* L! @" p" M- h" s; b
) n8 X: q! u. W. s, B5 A9 ^4 |其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
- x% |0 F9 N% m0 a1 e7 A  Q# x
例如：
, w( J4 c5 ]9 v/ {) Q" Nmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
1 e/ \) _5 S" j/ Z; S2 S8 F3 emin  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
2 `8 A( @2 H4 z1 h3.线性规划中解的概念

( A0 n; R( K: Q* @5 s0 i可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题
( c+ ]# p: p0 l
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
* ~  t. h( E0 R
% @  X( @  I# t9 P' _5.matlab中线性规划求解过程

3 A" y( ]  ^9 I: t5 `& j0 N① 利用linprog函数返回最小值解向量。
5 ^2 P8 c  ]1 q, G7 ~5 S② value = c’ * x求最小值。
8 J4 Q  m$ V9 t' h
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧

问题为：

min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
* @; m- i: P1 [& l+ D& W6 Oxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
6 X0 E4 o: r8 T( ?  `8 |
3 |, V- O" w+ e" z/ J转换为：
2 e. p" ^2 S$ I3 c0 z- _4 A* Gmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
+ \: F' \$ Y! Q# P; J' Js.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
8 G: A6 j$ f2 q; ~) ]8 f7.运输问题（产销平衡）
6 m# E7 [5 U# A' ^. M

8.指派问题

1.数学模型
$ |3 g8 }% q0 G6 l& N

, ?' k5 b5 G/ n  K; |( `, c
2.利用匈牙利算法
. z9 S* q- c1 m. h算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
1 N" ?5 A& h: L5 V最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
6 t; F2 j- v8 N; f' S9 c! z2 A求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
- Z# e; {; Z# E1 H+ @
' T2 [$ s( \3 D1 M, w: [

* x- U  D7 v( i) R# T/ @$ Q