【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

; f$ {5 n& z. m+ g0 b
, |/ u& c  G% i- M3 }! i1 @9 m  yx1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

& j' X. k0 H- u/ C) E
其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

+ T! ^( R0 m4 h3 x( a! V: Q例如：
max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
* h- v7 n- a  Pmatlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念
3 R7 O7 }% v' b0 `2 G7 e4 n0 h
可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
0 ]3 u3 J) ]3 Z4 D
$ G' e/ r- s* D% s3 Q4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
9 _5 @- K2 ?" O, l# ]
5 A* X7 c2 s' {3 ?7 V% y4 M0 W5.matlab中线性规划求解过程

① 利用linprog函数返回最小值解向量。
, `5 y8 u5 Q: c1 z6 n+ f② value = c’ * x求最小值。
& o3 I* O$ ]7 ?7 y3 }8 E
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
/ X5 }2 o: _* K2 ~2 {0 P# ]& `[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧
  c1 ^4 S1 A3 G" n/ T. m# K
  [) \1 x# s' @, B/ L问题为：
) _1 S# D/ `; ^+ r
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
: w( ]* x( J# w1 c) j  V9 S! F9 g# @事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
2 @+ o6 `' D  {" L令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
: C5 W2 m+ e( O; T! B! L; O2 j
& h) a! a4 v/ j* n6 r1 o转换为：
4 X1 w4 `  U  O7 X3 p( k6 Bmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
: ^+ r$ h. f; Os.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型
6 Z9 {6 N! C7 y: Z. F

2.利用匈牙利算法
4 k& u5 D$ ?- k/ [算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
9 q/ h) ~( o# B! L& P: v+ R, x最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
0 m; _0 M+ t* x/ Y% Q