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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)
( m1 ]0 \) g1 g2 |) I/ c- P静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)
2 |4 J: m8 |/ K) Y; H7 a/ _5 i p
) Q6 }5 u! P( j1 P, n9 s 1 {+ h* y' r7 r$ ~. ?
现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。
% \8 _9 X, }" p! C2 g1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!$ c* s, B% l! T. n& x7 s3 V
a) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。5 f# K3 W* j I
b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。+ @, U! Q2 h) c0 q) s- O
c) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!1 f" Q" V! h- `7 `7 e+ z( t
d) 问题分析:$ S d% z( J5 _& X
首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
' W3 m) }! x2 `这道题的原因为:
5 u8 |$ l) F) W ?8 J4 ~周期短,产量小:存储费少,但准备费多。% R( x2 J, U8 ^, i
周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。
6 r' O: G' W7 E: v* @e) 分析求解:# @. F c m9 d$ A' r5 K4 {! e6 |
i. 模型假设9 ~$ V) x, J P% x) b" o
ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
- Y* e: }) m6 Q* S9 o8 | iii. 模型建立:离散问题连续化 B- H0 x6 F3 s" { j' y
iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!
* D3 I4 R6 Y" u2 f0 c! _ v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!& w! c8 F, a% F7 C+ a3 X
f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?7 g: O2 E8 ], k' }7 ?
2. 森林救火- n) k. R j: {9 X1 @4 P& l
a) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量/ D- Q) ~8 ~0 ]% u1 Y) A; K
b) 矛盾:
) S% E! l* b* R1 E& C i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;. i/ q+ @- m7 n) C
ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。0 g. O+ R, K, q1 R( L
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。
( N8 ^2 F: [ tc) 问题分析:
" o4 e, H! |. M1 F1 r i. 合理假设:火的蔓延方式等;0 h+ p$ k% W! l
ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;$ W7 l6 l! d& T' G4 _
iii. 利用数学软件进行模型求解;+ k1 Z) i9 p6 [9 r
iv. 进行解释。
& t: B8 f3 L- S$ W; u! H 与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。8 _! v" W! ^7 P7 @$ }# g" L/ ?/ `
3. 最优价格
; c$ O1 v% {) qa) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。/ |# x7 I/ ~4 g( ]2 q# O6 N
b) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
$ J1 C1 [/ C; w8 d( S/ d7 `- J' p# sc) 建模与求解 T3 u: S2 F" b! d+ ^0 `; i* p" S
d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。; c; L6 M; O, z% c
4. 消费者均衡:9 C) H N. _2 \& u; S" ?8 a
a) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
, M* v$ P' m5 a& S1 D e/ S9 r- \一样是最优化的问题,不多做解释了,,,5 `) e) V7 m" ^- a! K
b) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!
- R! b7 ~+ _8 }0 I
" I M, r* c* l: d5. 冰山运输% h& [. w* [ c0 ~; ]% Y) x
a) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。8 W& K/ x& i0 S& Z& l0 E5 r
b) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。
- I9 p' |( {' I, v8 }c) 之后进行建模分析。9 r/ _! i/ t7 [' e$ R/ _
d) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!/ K8 ]1 l. C# p/ i6 Q8 p! n
重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。+ e1 e( Z% u! J7 D( c! P/ P
总结:9 x5 ?6 e% O: [$ X, \" R
1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!. {# C+ |; @$ w4 q# M9 z8 L9 ^
2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
0 j& b% |1 Z/ ?' I; w7 h$ H# h. L3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。9 _. R5 |9 |- F" i3 O6 I
4. 消费者均衡:考虑推广优化。
+ S& L9 j/ b& e4 g- O5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。" \ y3 A7 f& u% f
" t5 |5 G2 Z: f% }$ e. N
7 g; A! Q' Q/ ~" N3 Y
. x3 d c8 C) W5 e4 j$ e, S
3 g; R5 X1 E+ [$ t |
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