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数学建模学习笔记(5个静态优化实例分析学习)
/ z) J" N0 C! f静态优化模型(微分法建模,求导得目标函数最优解)- A( r l( i% H2 A# M) V- u+ Z( H4 t
) z4 N; E' ]& Q* @" P s# \. Z& A; }, V( d$ K# u" s1 }7 P
. ?- {; o1 r% [
现实世界中普遍存在着优化问题;静态优化模型指求解问题的最优解;重点是如何根据目的确定恰当的目标函数;一般使用微分法。) ]3 u& t" l( G4 m& O
1. 存储模型:存在某种矛盾,寻找平衡最优点!) W( }/ J7 F& F9 @6 s
a) 问题描述:配件厂为装配生产若干中产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时因积压资金要付存储费,该场生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。( a0 N) p1 i+ y% Z% k: Y
b) 问题存在:今已知某产品的日需求量为100件,生产准备费5000元,存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期)?每次产量多少,使总费用最少。
b) a d& @6 ~( dc) 要求:不止回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系!
4 v+ M/ E. P e" j6 b8 R0 nd) 问题分析:
( ^! @: z1 s- a# t首先,对于我们来说,应该先找到问题所在,即造成当前无法做决定的原因是什么?
: b% _6 w) I- v这道题的原因为:- } C0 |# L9 z8 u5 O
周期短,产量小:存储费少,但准备费多。
! z+ [ d$ q& ?周期长,产量大:准备飞少,但存储费多。3 {, h9 @8 b& I6 ~' ~0 G
e) 分析求解:- J* y6 f2 Q! a3 l8 o7 e
i. 模型假设2 G1 \2 R% ~) n( h2 v
ii. 目标函数:每天费用的平均值最小
" u: J4 ~9 C V, @& O: y iii. 模型建立:离散问题连续化
& z5 N: A" N. q& K& d8 I0 R iv. 模型求解:得出目标函数,求解当周期T为多少时,可以获得最优解,可以使用matlab等软件进行求解!& }; d( _ W2 G9 v6 u9 Z
v. 模型分析:说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化!* V8 \1 p9 O- `2 f+ M! W
f) 进一步建模:如允许缺货时又需要怎样进行建模?/ o7 P0 Z& h7 n- t; k+ |
2. 森林救火
0 X! @/ }/ z) }" E" C' D7 _# v. h) ha) 问题描述:森林失火后,要确定派出消防队员的数量* t$ D8 Q( @$ V# e9 x
b) 矛盾:
5 V: D9 E8 z; X* k' { i. 队员多,森林损失小,但救援费用大;
/ ]! m' `, P' w' ? ii. 队员少,森林损失大,但球员费用小。2 N5 B ~0 i7 G% K
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。& A+ G+ h R* |! Q
c) 问题分析:
; o$ ?# M5 z" h i. 合理假设:火的蔓延方式等;
* Y6 r( O/ _) { P( O3 v ii. 模型建立了,列出总费用的函数模型;
: h3 x0 Q& s4 ^9 B iii. 利用数学软件进行模型求解;9 \; [, k6 D9 j' j" L& Y# U/ ?3 }
iv. 进行解释。. l% O3 h J1 {8 I8 b6 g- G
与存储模型十分像,都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。
# B5 R& h9 u3 Z+ `, J+ F3. 最优价格/ ?0 Z- T2 d5 X( G3 ?
a) 问题描述:根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大。
9 v" v, o7 x6 D) Rb) 问题假设:产量等于销量:x;收入与销量成正比;销量依于价格p是减函数;等
% i! s" L! l* Qc) 建模与求解% L& f, w! M! P2 d3 Z
d) 如果进一步分析,可以少一些之前的假设,进行另外的一些分析建模。# w% A" L+ J+ k# Z1 J% X
4. 消费者均衡:* ^7 Z) b! X, O4 `
a) 问题描述:消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示,问他如何分配一定数量的前,购买这两种商品,以达到最大的满意度?
, z6 u! Y1 f7 l) a: C3 G一样是最优化的问题,不多做解释了,,,
2 R- Q5 o/ k3 s; ]1 N2 Kb) 可以进行的优化:考虑如何推广到m(>2)种商品的情况!
" i8 Q5 n" R6 y# o1 ^- p
7 \* Y1 Z. }$ K* Y8 ~5. 冰山运输 n9 L3 Y# Z$ ^: E" W& B
a) 问题描述:某地区缺水,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑;专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山,取代淡化海水,试从经济的角度研究冰山运输的可行性。& j0 n" J! P3 \" g7 q) b7 ~7 Y
b) 建模准备:加入进行运输,则需要的一系列的成本计算,最终建模求得成本表达式。" s u2 ~) i I O$ r5 ?0 q
c) 之后进行建模分析。
& W$ E' T4 a; w# o& _' wd) 结论分析:只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时,才考虑其可行性!: z0 Q3 b( K- O# l8 l: A
重点在于建模时,要充分考虑不可忽略的种种因素:如冰山融化、燃料、租凭费用等。2 @# F# ]: g {) \+ t/ L2 |: B* W6 l
总结:
5 n* A+ V7 G: `1. 存储问题:存在某种实际矛盾,不知如何安排。需要寻找平衡最优点!
; n, ~( \" p# t& H; {2. 森林救火:与存储问题一样,都是解决某种存在矛盾。
3 E7 w2 [' v. j4 @3. 最优价格:一样,求解最优问题,重在前提假设要合理。6 z; m5 D- A1 a" q6 _& l5 ]" k
4. 消费者均衡:考虑推广优化。* p% R2 t- ~! H. V2 n- n0 h6 e7 T. L
5. 冰山运输:考虑不可忽略的多种因素损失。
! R2 i0 R: B6 H3 o9 _; L$ C4 R/ j; A+ W; r
* U( Q4 t5 V! l4 Z; X" T; y
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0 i8 B/ P7 ^8 w3 R. Q2 c
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