数学建模学习笔记(第一章:建立数学模型)
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第一章:建立数学模型
3 E' d7 C" O' U$ b [2 T' ]. K- X% n 1. 常见模型:是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象,提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。4 d7 d+ W. @4 p) W' {& c# B
实物模型:玩具、照片、飞机、火箭;' L8 D6 l# r% y
物理模型:水箱中的舰艇、风洞中的飞机;
5 e0 }& r& H6 Y7 v0 S, S( w( c符号模型:地图、电路图、分子结构图。* W: e$ ?( I k m
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6 b% H4 k( s+ Q6 t6 K4 C2. 建立数学模型的基本步骤:以航海为例! r$ h. U6 Y. b6 C8 @7 _. C9 g- K
a) 做出简化假设:船速、水速为常数;; w6 w4 Y5 L/ @. `; c' s$ S
b) 模型构成:用符号表示有关量:x,y表示船速和水速;+ i) M. y, l# f/ r2 h
发挥想象力、使用类比法,机娘采用简单的数学工具。( `: K- Z4 t. f+ b
c) 用物理定律列出数学式子:二元一次方程;(可能伴随模型的参数估计)
7 W0 U6 ?8 |5 G7 E有时模型有未知参数,这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解;
2 z% p# `5 [/ T5 s# ?. }9 l之后还要进行模型分析:如误差分析、模型对数据的稳定性分析等;
2 F& m! c1 R$ N5 [5 F+ l5 k) s模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性。
8 x5 P, e, T& I# R/ n$ m' }) Jd) 求解得到数学解答;
/ I9 m; Y* W/ u, ]8 y8 ?/ ^e) 回答原问题:船速每小时20千米。) J4 z- X+ k0 J4 t2 _% ] W
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, P' g, q! s# U& L; m5 i3 q3. 数学模型与数学建模
% F2 f: } N; Y8 o3 C9 e数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
8 a1 [0 `" [( `7 W. S& f7 y数学建模:建立数学模型的全过程。(包括表述、求解、解释、检验等): n- ^3 o" ~9 u3 R3 `
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4. 数学建模的具体应用
1 i- V( ^3 Y+ k9 p: i+ y8 L5 ya) 分析与设计:椅子在不平的地面上能放稳吗?/ X# }1 s, ?7 w5 h9 z
b) 预报与决策:如何预报人口的增长?使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用(即进行人口预报)。 D, Y4 _( V3 K
c) 控制与优化
, I, {* W# `. Nd) 规划与管理:商人们怎样安全过河?
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! I- h% D3 T7 ~, m9 f% @. D; m# {5. 数学建模的基本方法:* _& ]/ s$ x$ t& r0 G, w
机理分析:根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律;
, A! h! e7 a3 H测试分析:将研究对象看做“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。% _6 `% [' {$ y; ~) D2 C- H5 M
一般情况下,需要进行机理分析建模,并通过测试分析确定模型参数。) t/ I8 ]+ x# z2 Z d# P
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