经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

8 w. G* Q) G4 X( F) m1 n其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

. N" f+ v" ]' o! [- V( z

从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
5 H2 {; q/ k- R& ^& t7 J' a
第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
9 J' ^8 q- @9 f% o' c2 o+ S
= f(newN) + f(n-1)
& l" g6 D" U0 j8 E7 @- T
5 @9 G; T0 ~. W( x% `2 T; o
: `. _$ b* m5 n4 o
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

2 Z/ q! ~  N7 U6 i+ N化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
) a/ V" s+ m; U. I
; G, L8 r* p; y
4 |" b. z4 B7 X' r! ?6 `0 a
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

0 Y1 {, N, w+ `: q# Z& Bf(n) = 1 (n=1,2)

2 [  Y+ a) b3 X/ C  wf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。


6 W4 U' S2 X. U- j  [* \8 X

7 o: ]* G7 v0 u" h. {: G% c