经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
2 D/ i  P5 p: ^解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

4 X2 i& _# s2 L+ U* p
9 w1 P6 v& j& R  p: i( u% }, f2 `
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
9 }$ s' R0 ]( z0 c: p
第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
; Z9 m; d' V% z
= f(newN) + f(n-1)

, |' w5 ~3 q1 p+ j- X, U3 @. c1 ^% s
* v5 H1 r+ j: R* K
' ]% h- x1 v6 N" v6 A在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

* y7 M7 h3 x& w而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

2 B- G7 o$ K: w化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
7 V/ w0 w+ Y* F, q/ s) g- A
$ ^* x# D: U. w; j* F5 x7 A8 ?即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
$ n7 }) w5 X/ ?- V

4 u9 }$ S2 v( t( }* G, Y+ R# l' ?
! L2 o7 w$ k7 a" a所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

1 L6 f% G; D/ ^6 x4 n1 Jf(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。
- A7 @8 B7 E2 Y1 r

/ p# n' H& y; ?1 j

% x; t$ ^. U; w6 l