经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

' o$ Q9 F4 _7 {- @其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
7 }1 h: I6 X. Y2 o# m+ Q* `3 r
( \$ a3 i3 ?* s/ s2 t9 Q/ Z% C

5 I$ H8 g: K$ f8 P, J1 H从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
/ U0 d: Y; l( B0 z, u7 U
第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

. E3 ]. v9 c7 _* E2 O) b= f(newN) + f(n-1)
; u) o( c; @8 F( a# j1 E- z

8 F- [5 C3 d6 j; K
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
" v  M1 S, M' e. g3 D8 f. K
5 ]6 U/ M* J4 [6 Q7 g) ^: ^* ]8 V则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
! B  w4 ?# ^6 T
$ @2 i* ~1 ~6 K. |+ P/ A化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

- u' g* |2 _: b8 \即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


7 F) Q, |0 l6 p- e# S- H
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)

) E# \! J/ }/ W( mf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
& u  F, ?  t6 s& _9 }" E4 H4 T
接着编程为递归函数即可解决问题。
& ^8 {5 d% O  d7 J6 A6 W

' ]' G* z  G" M$ p! r, N+ a

2 J! _4 s3 ?( i; X3 E7 _