经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
2 N. z- G5 ^1 ?  d; V解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

# ]( V8 L- K5 @7 O+ L其中 f(1) = f(2) = 1 (对)



; r$ Q9 e! D1 g# m" W从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
5 l( Y2 u' S! `+ Q6 s
; N0 G0 [. L$ |/ u第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
8 v4 ^( b: A8 L即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)
9 _0 w! N' D4 ^! S; m% Q! }0 a

& O: U& n' H6 P' T9 b" M- _* s
; [3 p7 I) K4 v1 F! z& i% `在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
" `# G; P4 ]( Y
; ]! g+ Y1 X8 @- U而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

$ }9 \  x8 i3 {# y6 r6 l+ w则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

8 I  V- j4 s3 M: p& @$ f化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
  |4 \# w) _# C3 _6 ^

' I' r- _0 k- s1 X; m2 H
  `  s: q, N* n所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
" b/ w9 v' X" X9 k- B4 c" O
f(n) = 1 (n=1,2)

' X4 j1 c' O1 M2 E- D& `; Uf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

8 s2 t* S8 {" ?" J8 r接着编程为递归函数即可解决问题。

4 H  e+ z" v( n1 x+ O
( Y5 z  I+ O* n  O. \/ j3 S: C8 i) k