经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
- ~' d4 V+ [" A0 \; _8 E, q/ T! r
8 N& s, |4 t" _: U% x, @" P9 l4 ?, m其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

# Y. Q7 y" c5 g# e
% P2 n( x4 A2 D4 w; o
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
! `" d8 u$ N( [: C
" \' K0 }+ k" a" T8 }' p第n新出生的兔子 f(newN)
% B7 Q/ A& @, o7 M( L' Y# g' R) L第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
( S$ J  b; [- [; |; m7 K0 p; e: i  f+ h! H即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
0 i/ X8 x/ V: ~" c7 T; t
1 p7 \$ {- y( o6 E; g* W3 J= f(newN) + f(n-1)
7 H) Z: w$ |# B: @: n" c& y

. I/ ]$ h1 Z( {: N& E) {
- }. u: @% E0 V+ E# Q: C  @在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
) V) ~7 S+ U, t7 @( @
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

5 |, ^& c7 f9 Z) r则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
! T) }$ X  l9 Q( S8 R
  ~) g& u, i; ]) o化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
- ?8 S+ w. l, F3 P* ^
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

; w; `' s2 T9 ]' y- B
* v2 P; |" ], m" u+ q
. G1 b! q! W! p所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
) C4 q$ D  J+ d) }" U" R* O
3 w7 l- C- t7 cf(n) = 1 (n=1,2)
9 o3 q. ~$ G: }& T0 \3 `
. ^/ y7 P  U5 m: L% gf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。


# t8 n+ [5 i2 g( g7 a

: _. \3 o2 K! Y# k