经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

3 {2 C  l; d* P其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
6 Q0 ~( j1 O: w, h7 Z
' y9 a( @. v) T: i: Q4 ~

从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

: X0 S8 l4 k5 L/ ^8 G" c第n新出生的兔子 f(newN)
$ n( l1 f5 F3 {% J4 l第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
/ {6 k- |2 c& b) C即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

6 \& W: B% ^3 ]0 A' \= f(newN) + f(n-1)
  ^0 |5 S- P( g6 p! i; W8 u3 w# C
% {3 B. e  G4 |" s& v
2 O  I; a8 B# E
9 z( R# Q" p% x  F8 m在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

, G( m* g/ z2 C' V' X4 x3 X# U而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
7 P, `9 q: ]* \! F& N
: q& Q) i$ J( A2 w# u8 R则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
. b6 g' L% k8 z
4 r7 K( i: n- X& s7 j0 M* b化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

/ \8 [+ t- b3 O5 }# b! d* \$ G4 Q! b+ J即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

& @  J% Z- J% p' A' ]$ [$ f
# u, k( d& L3 p9 J# H! M- i
# d) b0 r/ A" e& k- Z2 {( S所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

  b; O( H, {) A: zf(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
: z$ U, ^! R/ _7 y6 u  T8 c
接着编程为递归函数即可解决问题。
, b, m& c6 _  @6 A6 `2 N5 ?  m# a* x& I

, k: j0 I6 ?9 R
2 c% G  D; x/ l5 ~! B. W2 {1 L
4 h2 n  e$ V  N% h# i! G