经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
2 k  A4 m4 p) m" g: R解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
7 Z, y- e* X" Q6 s" y

0 ?2 @/ [, Z) t% @, l9 i# p
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

8 Y/ x& u" c2 o: W0 P( h第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
* E! Q6 |  E  O/ U5 }  A" B
# l9 L; E9 y( f, n2 |, f# |= f(newN) + f(n-1)


. K! m) M( Y7 H! [
在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
6 W- K7 T( r$ I
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
7 l  c6 l2 ^& K0 X6 D8 G
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

/ H- f3 a) n4 a& K# M化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
! r- C' m& c% m9 U
4 l: X* u) q- q& c即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
+ Y! F% a) }$ d6 b/ p/ n# y

$ M% w, r- z/ _- @0 w% b6 @& s( U% B/ G
' m$ ^1 r0 y. }3 ~4 Z* h1 U! b所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
) d2 i3 E6 f7 T! ^. {
f(n) = 1 (n=1,2)
) t& m' K3 e  t& Z
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
6 U$ B) H* i- K/ Y6 h
' z: d; l8 x8 N# a接着编程为递归函数即可解决问题。




- T0 p! M+ z, S9 p