数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
7 P9 S% z; Z" c8 Y! b: c几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
1 z8 A% p7 \$ P, A' Z2 J0 c型、马氏链模型等。
6 n% j5 j! v/ w; x) C2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
$ k/ K: y$ s: @  i( e* _6 M1 t性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
* l; S5 F6 A6 @4 W9 R/ V8 U1 R预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
/ B3 K7 m0 H) {3 B2 J! E往也和建模的目的对应
; |' o# T: q9 i6 t1 F2 d; Q5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 k% ^0 I8 ~, f+ o+ w$ ~有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
1 Q2 o# p2 Y) h" E. \1 x6 R9 W; e: F比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 o% d+ K! J/ H  K+ f2 p, z$ u7 W# m6. 按比赛命题方向分：
, G+ }* Y5 \7 M( G) o; {% T国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
/ _0 m+ f  T/ c3 o8 W1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% W5 D! e& Q* q3 [6 [, z9 w2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  v  r: i# k/ ]% W6 I) u+ R比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
2 s0 ~' g' D: f( [2 L- c$ y3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
. m( x7 X8 s4 G8 Y) X7 y4 、图论算法
: ]' j4 n0 ]% p0 Q) E/ l$ Z* g这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 g0 |9 L' G  d4 m5 x% y这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
$ w7 l- w2 t$ X; o; x0 q8 \7 `8 x+ u这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& x4 _$ w9 s1 h, _: X$ L" j" E! \帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
; B% _9 G' S2 D  Z7 、网格算法和穷举法
# _% J1 X* N/ c当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
$ u& i+ ^- s, V! i: M5 c; n8 H一些高级语言作为编程工具
* s  P7 `. r6 I5 I9 |" n% o8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
' \' S* x- S7 f7 d5 F1 }9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
1 V8 G1 D) v. G! P" S的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
9 i1 n; H- A+ `8 h算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
. ]& p9 `" m. w/ V9 t3 n3 ?" `4 ]解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
  H' T- x. c: g$ K; `5 P7 k( v②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
. s" ?! x1 V& Z0 q3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
  x) l5 U! X: m  c& [②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
, z0 }5 F) `6 q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
/ v; o, F$ T1 e) Z预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) |% Z# T8 q" f; b5 i7 W, p6 q（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
* h1 p7 O' f3 u7 r数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
' z+ H) x# n; T0 e5 z7 C预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
3 U/ y  b* Z2 |1 a' r8 g适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
% S4 e- V# A% M9 u, z+ f在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
  ~, n+ O: A, ]$ w9 z+ K逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 ]) g* {7 K4 f4 Q8 s) u10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
2 L. r- n. K; g( e# d, D8 `作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
7 m* e5 [% x% q8 z) u# J% c优化问题，对各省发展状况进行评判
) z- A' F5 T4 U# N3 x$ U, ^13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
( ?# H8 N/ G' `秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
2 Y4 p  e. Z0 L1 D法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
9 ^' r# U2 ]* y7 e似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 c) W) ]) D0 W) K) W: @其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
9 j: C+ i- l- a. a; \15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
0 G6 V& J* h- b可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! h8 d9 c, i/ }# F/ |该方法做评价比一般的方法好。
% G* s; p- e! ?  m16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
! ~/ p" w( A! P  }3 X! [智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
; Y4 H: E5 q" z4 f- @: N/ D# c* o离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' _4 C# R0 V, Q, c) U20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
& f$ Y6 I) k/ G排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
" v- ]. `! b8 M& _. {( k有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
; J7 D) d$ e: \. N" H; D. t3 y21 、图像处理 （ 较好） ）
3 _0 L5 c! U) l4 b. E1 @  W. N& OMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
9 L4 h" ]2 `$ i! o9 K3 [23、 、 多元分析
' B. i+ m- ?4 v: j8 s! P  y1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
8 q# ~5 J6 u- b8 i; N7 J7 H% T从而达到降维的目的。
6 `$ s  ]! {. f. k6 B8 q4、判别分析
$ Z5 t+ _# M3 E5、典型相关分析
+ ~, d9 O% |$ j- I! Q6、对应分析
  D/ }( W( d. q& G7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
1 `- t) D' q& s: R3 D. z2 @24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
3 I; d% Y( g- q' n5 ]2 }2 _  }8 b1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
% b2 T$ _2 x6 r7 F$ S# d4、密度聚类
' _% F% g. J, s0 l6 u8 S5、其他聚类
! @) V* p  P- S3 o6 X0 f6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
3 ^9 T, U9 l0 W2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! S2 i' d. W5 t( o9 ?3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
3 l5 F  U) a$ ^8 I（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
7 h0 n( M) x) {8 P& M' R6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, W' v$ K6 V: E. i3 j/ L数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
$ W- O) y& ~' X# i0 a; s/ D8、格兰杰因果检验
4 f4 v" O+ M) _! a3 t( D计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
8 Z1 K5 B( O, ~$ P) N$ {# U  d26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
$ d& @( \( |8 U' \* n" v# m量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
" b! M9 ^. k6 W- U* E8 c率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 S$ `+ c" }7 I
( F2 k5 q1 j& {: ?( g