数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
9 p* u  |" d, A: B8 \+ R型、马氏链模型等。
- K* c: o' b& J( M# r! ]) v2 [2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) y' i9 J# R; t3 B* N性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
, |, N' n& K# M+ `9 R- W人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
/ l0 q' e" ]; H' z7 g8 u4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
/ x8 o! c( g  N4 d$ p$ {一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
7 m  H& M  ?" L& r往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 n  H" w* D. l% h5 H  _1 ~/ j% t比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 w0 U! `! h& c/ Z' a9 g6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
: @/ E- Y( m, y7 W4 Q" }运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
# Q1 D( @( e- w* S/ Q2 k9 k  U数学建模十大算法
# Y6 U; T, @1 @6 Q' }1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
! W3 W* y0 Y! o) \) [/ S0 T通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# f$ i6 p- X# ^这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* Y' z/ _* d; E- g* G( P6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
1 K% f4 S& E% ?# [) u* C帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
* C! ~9 W) v1 H. |! q, C: c4 t5 b当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
. J- u) E% \# y0 a. v8 、一些连续离散化方法
% e# p" x/ ?" w% b很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
8 O. \) G8 z4 a( b) l/ n; u据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
9 N+ K: M( v! D; T4 h如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
  y- Y& ?5 L# P! d2 l. c6 `* m2 m6 ^如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 ?- Y2 i" o) K10 、图象处理算法
) P; E3 P0 t, w- {% `9 ?- t赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
% D; q; T0 A! V( N- o0 D行处理
算法简介
+ M: |# \( \5 W& m1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
, O  C. j/ h, ~解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
( E/ T# @1 p0 `' y个条件可用：
7 [2 Y# h8 c7 O5 T, y1 X①数据样本点个数 6 个以上
8 G4 H: F; j6 t7 P7 k②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
# X! ?. r* B3 q5 m; Y微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
% D, z" v" j1 a  Z其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
6 p4 g4 |1 ^3 c) I3 、回归分析预测 （ 一般） ）
5 K0 ]  k  X: @3 s. C8 f! b求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
$ b9 a, w6 i% E  C②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! b6 z4 r* `7 v一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
; y5 w9 q# \; G0 m% f$ \概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
9 T! ^) R2 e  W8 a' H% l/ U: L5、 、 时间序列预测
5 i1 L  M4 Z/ d# @8 |预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
, s$ }: V* ?) V% o) r% ]（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 b4 G* A1 X. B2 V4 x预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 J/ Z$ Q1 ?, X" U4 E0 [1 V! Z大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8 X( p. |2 U/ [; }8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
  d7 Z, [9 s8 I  X2 n& I' ~0 o$ C9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
# t" ]; L2 {& }+ |. t0 K. `0 V在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
) p2 v/ Y& r7 a, S/ o/ }逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
, {0 q  ^- _( R' b11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
, m3 [# c# J1 W* f2 c0 s4 {5 j优化问题，对各省发展状况进行评判
8 \' H# L& s. m: F13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
& A8 [5 X* |" d( @" W7 _9 h秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  B5 `; q  h# U' m1 [4 D+ v. J& G其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 n4 c4 M0 @% i' v4 _解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
8 B; z1 ^! F4 f9 V/ v1 P+ `可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
  g( p+ f6 ]: L4 q( }该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
* q) R' `$ x+ W  S方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
- W* q0 m" ]' z- n; s8 I) w协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
) Q, y" H* @" l/ H# d$ R+ y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
; L4 S! s/ j2 F优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% l3 ?. L4 O) @6 |) J19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
0 E) o; u& J; v1 ~/ O8 R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
& h. r( P2 w; J7 R4 ^  {即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
% I( r1 |) ?0 g7 E/ v8 e$ Z8 B般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
& k5 Q% c( Y+ ?# Z1 D8 e22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 u  Z" x' Y4 e' J* `4 i$ p0 o支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
" J& V& k" |6 o6 Z1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
, P: S( d! l) Z. O" |9 O5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
5 {! w" f! l4 {0 M1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
7 l$ h9 B) r; E7 z$ B$ K4 v- `5、其他聚类
  a+ }# @, J) ?- D) {0 y; Z/ F0 c6、贝叶斯判别（较好）
# j7 S0 O  K6 ?7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
5 X( V" @( }4 Z2 U; n! g25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
. \- P  W5 I' V& F8 D1 B2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ t1 O' h# f7 U" R: w3、Person 相关（样本点的个数比较多）
- p; d- }. S" V: u# t1 _* \$ `4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
; B7 s0 z9 Q" |, Q! r, m4 p1 n1 j; U" R- j（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
7 J3 p9 x4 `/ W% K3 `5 i- Y一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 ^' z- u, V7 E! r6 `7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 p3 ~- m$ G0 @4 {% k  |! g数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
& ?( Y% ^8 ~# \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
+ `" U" F  e0 r# @+ b* f9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
9 d; |9 I: ?  ?8 D量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 W& @1 q: q5 p- j6 q% Y6 @" k率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
" O% o. g/ o0 f; @- z
6 h6 t# Z2 K9 B1 g6 t! y
+ i6 g6 N+ m5 ?( Q0 r