数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
) T7 u- V& o5 H+ N型、马氏链模型等。
& I* s8 d$ l7 r2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
$ h7 V& |5 W( h7 s性模型和非线性模型等。
& `, J" A. M: Q, U6 _3. 按模型的应用领域分：
7 G* H8 u! r. S4 j7 G人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 \) x0 q  _! R4. 按建模的目的分： ：
+ f4 B3 a4 o. c) v预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
3 q$ f( a8 G: B/ K9 I6 E5 N一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
* `9 X( [, n" F* t7 g1 a5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
& k4 W6 K. V; j& U3 J比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' p4 _" w( B; |' X  n! n6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
$ H: d! U2 M1 Q2 J1 _, R4 e* |运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
5 `, p7 D+ S" q; T' F# j6 {1 、蒙特卡罗算法
4 X/ N# T* F) f该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
% T; t/ W) a, a以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# h; d6 ?: w1 m5 b. Y2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: u/ K+ Z8 M/ M$ {) [- k- \. A通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
/ \9 {- j8 q# Y8 B) l" J" K) t建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
6 H- s/ B8 E, S' z+ f论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. Z7 }) s' ^+ {5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
! X, r4 q, c4 A- N$ Q: e0 f0 w这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
/ Z3 p/ f1 {% p+ p  N! E# P0 l这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
/ B) J2 L5 y$ }( N3 @帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
% L& f: L/ L4 I' Q, y当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* L- Q2 Y' {2 Q4 p* j% N0 U5 S1 C一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
" n9 n2 R* r: r0 Z7 L如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
* U# P" t8 _. R( H如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
- W. W9 u- }1 _  N. _9 M" x赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& i6 c1 u% I' R- b的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
' P$ A  L/ B+ F7 X行处理
9 N- n+ O/ O) C! F/ I/ N算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
2 U; |$ C# L/ ]4 S找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
2 t( E/ l9 S. m! Q* b& O( d2 G3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
: h# C. h2 Z& O( l# Y" Y化； 样本点的个数有要求：
2 W8 r& R6 g& O, X: W1 J①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
3 A1 P! a) c) Y) S5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, W) N+ {4 i+ @6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 s; o2 p5 ?( B: \$ F- s预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
2 j" D. l* O/ `% ]1 t/ R! q; ]8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 t+ S3 j" h# Q9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
0 g4 H7 V# W& w) {在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
5 r# Y3 H9 |7 f逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 t4 d0 I% U, c- u$ T% J10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% n" @8 z) M7 q& @1 a  p* i评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 U$ N  f; V3 a( u作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' A2 N. z5 ?$ p+ u1 B: [3 w8 J优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
0 R0 o* u. D3 N2 \! E' C秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 Z& B9 ?1 _) D$ ~& z似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
1 y. h2 x! h+ x: X3 e1 s评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 l7 B6 b' L! d# b解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
, X, X7 }( Z8 x% ^来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
0 r' M; ~; @3 X3 H该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 M8 R9 J# V1 h方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
. K$ w3 S0 Y$ K4 b素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  G1 ^) |) x1 d' V' m此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
% D/ M; ^" ~3 B: U8 ]* S, `% g* G模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
* q" b) U) C7 t" q优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ J  `3 u* d# M0 E非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
6 @9 q* W! A+ O; C算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( p, ]! I) q% z7 Y0 P即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
2 @# N, H7 {' g, R% s6 T; rMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
5 N# g2 o+ m& ]5 t  X  E例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
$ J" `9 y3 B2 Z  J- L* T支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, D; n/ c7 N* |! P8 G23、 、 多元分析
1、聚类分析、
# J4 g: _0 J4 z2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ [8 w: n/ ]( l6 ^3 z: _各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
6 m& u; }% \" C: N9 C' D从而达到降维的目的。
7 e* }) u7 C2 w5 d4 R  d4 r4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
" ^# w! R1 d, C9 q- y& G2 R7、多维标度法（一般）
. [2 i7 S+ d& M+ L, B8、偏最小二乘回归分析（较好）
% l# i; O, W' }- p4 x  d, X  M# ]24 、分类与判别
" H/ n8 m0 p8 Z* d0 ?$ X6 `$ v& W4 ^主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
6 n. s$ }' ?; C; I25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
: c& `/ q: b1 \+ T1 p5 s9 |3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
! x, l, U; o6 h- y8 k' {9 R（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
# }( n' v  u! E6 Y一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( S; [0 M0 g0 D3 [+ L6、标准化回归分析
% [. @8 M& ^, n1 q) u% t6 n若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
9 \: d+ [3 s& ~0 x" l% y6 D4 s计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
4 ?8 w% i4 n  k2 y0 v量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
- ]9 m. e$ U. M/ b; P率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
* E7 D1 M/ n5 e1 M2 b% a1 w' M
4 m$ M) p& |3 P" i4 ^: ?$ n$ K3 K