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7个入门建模实例讲解

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    发表于 2018-11-18 09:19 |只看该作者 |倒序浏览
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    第二章:初等模型(初等数学方法建模)5 P7 f1 W4 _/ I& s1 i" U
    ) X, k% z: [3 U( @; R: p$ ?* F
    1.    席位分配:
    7 J9 ~' y9 h1 w; u7 m+ j: p! d+ e9 ~$ e; s1 l& Z' l; i  g
    a)      问题描述:三个系学生共200名(甲系100、乙系60,丙系40)。代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。3 ?$ I; W; k: w: ]( J, D

    ; D6 z% G/ J* E  f4 l2 }( Tb)     问题存在:现因学生转系,三系人数分别变为:103,63,34.问20个席位如何分配?才能使得尽量“公平”。, |' E( f/ u# I& a( B7 [
    2 L! U6 ]  Q% ]! z: X# `: b8 B7 d
    c)      解决方法:提出不同的假设,进行不同方法的讨论,对不同方法进行对比分析(满足哪些公平条件),得出结论。
    ' i+ f- i0 r: O7 w$ y6 I
    - h/ {( T8 i5 n, l& m' _1 z  h  U, s. q) j. A

    " {6 d6 U. s- U) S2.    双层玻璃窗的功效:8 x$ M3 S) `  k9 |7 b+ y
    3 X+ K7 \5 z; R, u, U; G; g8 |
    a)      问题描述:双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失?
    + N, f, D/ _4 ^* h2 o, k' R; n: u3 e3 m4 h# S* \$ o
    b)     问题假设:热量传播只有传单,没有对流;T1,T2不变,热传导过程处于稳态;材料均匀,热传导过程处于稳态。
    2 |  N1 D& w: n" ?* W0 \) d( x# K# E* l4 [: @; m6 p! Q4 K" m$ s
    c)      建模:热传导定律模型。(有公式). ^/ O2 R2 I. X

    : u# r+ f3 u0 q4 W- S& Qd)     分析:属于“测试分析“类型,建模分析,计算得结果,下结论。
    ( F. e6 h3 R; S, g5 n
    9 e% x8 w9 k9 Z# \$ k* z! Ve)      延伸:考虑实际情况,进一步分析下结论会更好。, _# f: ]1 \6 z/ O! B( o: E

    5 `" a; Y" Z' Q( F7 o
    7 \1 m- l1 p/ {0 N6 C9 J( {  P: j9 u) n( _, U
    3.    划艇比赛的成绩:
    # y, E7 t" K( i, e- U7 k; w" N
    " k1 `  I3 b) s9 B" x: N* za)      问题描述:对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
    : ~  M+ C7 b/ A( i7 P0 L
    * n2 y, D% M# c/ p. n, Q& ~) @4 rb)     属于统计,数学模型拟合类型;6 Z0 w0 _" z3 d/ r' X0 P5 o& K
    4 V2 x2 l  _8 l$ P- @! {- F( e# `
    c)      问题分析:赛艇速度与桨手数量之间的关系:前进阻力与前进动力等
    6 I3 h. W4 s. H
    8 d4 o+ K# S0 ~6 U6 ed)     问题建模:作出假设,运用合适物理定律建立模型;
    2 d3 |2 u# r2 N; b* S1 q* D
    * w9 A& O: `/ ~, ie)      模型检验:最重要的一部分!即通过实际数据,使用最小二乘法进行模型检验!     ' x7 f7 T% `+ j
    7 q2 ~! B5 ~; t1 _' [

    ; [7 Y+ F6 e% P  Z! ~
    & X$ K! w3 o" |- {; Z( M  o- T4.    录像机计数器的用途:机理分析5 X6 U' E# s1 z/ m8 v6 ]( K$ T

    / Y. u( v( N9 i- Ma)      问题描述:经试验,一盘录像带从头走到尾,时间用了183分30秒,计数器读数从0000变到6152.
    . \5 Z% e4 |$ b% _
    , k  r$ ?0 G0 _8 }问在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为4580,问剩下的一段还能否录下一小时的节目?
    ; V# ~6 t9 ~  o3 q* ~
    - X' S+ U4 l* T6 r# u/ K: Sb)     要求:不仅回答问题,而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系;& Y6 `: v" |! b( Z

    2 _  ]$ g: `4 X6 s# Nc)      思考:计数器读数是均匀增长的吗?
    ; W$ H1 \4 X2 G: _# N6 q3 u# [9 ^- W1 {
    d)     问题分析:通过实际观察录像机计数器的工作原理,发现问题实质;之后进行模型假设,与已有物理知识,进行建模,确定参数,之后进行实际模型检验!( {: H& c  A3 g& _$ y* k
    $ ^6 h! N: X6 v1 |

    - I# h, e, F/ f3 v  f' Q/ n+ z( W8 t8 L$ t2 x7 W+ K: E: o
    5.    实物交换:
    & f! d6 `3 u( Q) L4 v; v* M$ H! B# f) i
    a)      问题描述:甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。# o! W0 f' B$ O7 F7 C$ Y# {0 y
    5 e% g5 L! E1 F5 e0 l- _- D4 k  u
    b)     根据实际情况建立二维模型:(x,y)表示;9 h7 [! f! a7 W: v
    1 K- a& M+ D+ s! a
    c)      根据不同假设,进行不同建模处理。
    * ~7 |, e/ A# |+ v' C' \7 l$ o1 s/ R4 j

    * P  a8 m: |6 W/ N9 E8 B6 O2 N3 A* I2 \" J- G! u2 A# ~* W* e% M; A6 j
    6.    传送带的效率:物理实际模型
    8 H' u" n$ _* k0 r
    9 r' d$ Q) ~6 e$ c/ `# d% ka)      问题描述:工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走,若工作台数量固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多,在产品进入稳态后,给出衡量传送带效率的指标,研究提高传送带效率的途径。1 H: k0 T3 h" Z) H! w$ n, _/ ~

    7 i+ J  o2 A$ }# x. J) m0 xb)     问题分析:进行假设,之后因为衡量指标需要自选,所以需要根据实际情况做决定,确定指标。" R  ~8 _$ `  f# t9 I

    2 G; |( b/ g0 v0 T8 x& l+ rc)      模型建立,提出提高效率的途径。
    : Y8 ?) ]1 `  p, x3 i" d& l( z* m* b4 K7 c! p4 G; N  C
    1 R1 k7 K$ y. N, H# @/ T
    ( [1 ?7 |" I. b! N
    7.    起帆远航:& V8 V1 x  L% @7 a6 J; I# u' G

    ) G# w  n- Z) b5 H# ^1 fa)      问题描述:帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向。: a& o% K. p5 Y8 Q" W
      l7 ]* x2 S0 V  O: e
    b)     简化问题:海面上东风劲吹,设帆船要从A点驶向正东方的B电,确定起航时的航向,以及帆的朝向。0 o: u, m& y+ m5 d  D$ l& ]
    ' O0 d$ ?; ]! S3 R7 v" \$ d
    c)      问题分析:完全根据实际情况进行受理分析,进行模型建立,并求解。# K) `- O6 N# P. n/ z) s
    7 q- D$ s  f' X6 |
    8 ?3 l: x: S, _! l
    总结:5 L  `+ Y9 i9 b& x" Z
    * h- \0 f, S$ `5 D- Z+ j
    1.    席位分析:进行不同假设,得出不同模型,进行对比分析;9 m% ^3 j7 a9 W+ Y) p" M/ f0 d! x
    ' w; l' A+ S  ]% y
    2.    双层玻璃窗的功效:合理假设,根据已有物理知识,进行模型建立,分析不同情况,下结论;
    * u& K( j7 Y9 ]6 J
    / M0 T5 x+ s& {- S3.    划艇比赛的成绩:合理假设,根据已有物理知识,进行模型假设,再实际数据可测量的情况下!进行模型检验!最后下结论;
    - F" B7 V5 U2 a
    ! a: W+ J  q: H# R4.    录像机计数器的用途:“机理分析”实物真实物理情况!之后进行假设,模型建立,参数估计(经常使用最小二乘估计),最后进行模型检验,之后下结论。& d4 `% W8 t* ?0 \; X& C8 K, D
    $ V' m0 P2 D* B+ _) ^! I% i0 R
    5.    实物交换:二维建模,不同假设,不同原则,不同处理方式。' _" \# X# f2 z& Q, N' \
    + }$ u- b" y* Q. b3 b3 s
    6.    传送带的效率:根据实际情况,与已有知识,进行合理假设,建模分析,此题重在提出“提高效率”的途径!
    8 Z3 w5 s8 B$ `7 m
    ! g( _# z4 c) w+ B4 e) _* x8 g7.    起帆远航:根据实际情况,进行受理分析,在一定合理假设的前提下,进行模型建立并求解。
    ; B) o3 N2 ^  v; V---------------------
    # v& Q0 q; m0 a5 `  q6 ^8 N; m
    7 n/ m+ h) F  C7 s( `
    ; i% W3 f. Z* |! }+ s/ W: M. \
    9 }' L  w' f# A9 F
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