7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
1 v+ p. B0 F4 {/ z. _* h
7 X$ C# J6 x' O: Q& Y! W1.    席位分配：
! e% o9 Y7 ?4 d9 a# h
, H- x8 g7 ^6 c* Ca)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
" C' I$ c, f0 _4 T2 I$ A9 W
3 Z+ N8 d# {0 F' N# Z
9 y, n! s' Y# D6 ~) u
2.    双层玻璃窗的功效：
* v1 H, t/ A0 x: h. i# a7 T
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
6 W% w, _; V! O" b& n; j; b/ w& X+ q
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
/ r4 a) h7 k* j! G
/ I' S: T: ^) z5 o2 Dc)      建模：热传导定律模型。（有公式）
. S7 e- V. j6 k  S$ q; x
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

. h/ _" ?1 r& ]: Ze)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

. s( k* W% ^5 i6 D0 B

$ M" q. n, k: |# x  `% |# C3.    划艇比赛的成绩：
% y; y2 a* x0 F& [' N4 b
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；
& Q) D6 q0 h/ d# G! B
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
: v0 l; L$ B, p: h7 h
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
1 N  W# p/ l' U% w
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
4 Q# |% ?$ ^) ~$ E, c% Z$ G
: z/ H  H; j5 f1 ~5 J  V

( a! S% d6 ^" x4.    录像机计数器的用途：机理分析

+ A, o( \5 T4 J: ], [a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

2 t  }4 O' b. W9 [. k& C! S0 P8 sd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
5 U: @$ t5 Y3 n, ^) c0 n2 g) I

2 A% l5 Y' [! b. Q
5.    实物交换：
; W1 w. u0 O; F% g5 f
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

; m- g5 m! B5 N0 H! ~) ^* |b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
* L9 V/ t, l+ E
" V' `2 _0 p, q) j- `9 [c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
3 t0 A$ [, W/ T! S. ?, i


6.    传送带的效率：物理实际模型
) q/ g. G7 T: \6 o
( W; C) U4 O) L# ka)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

1 T. O& L  b# G" F# D8 Yb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

' A$ p3 R3 P6 F7 T2 h& gc)      模型建立，提出提高效率的途径。
$ r( _5 G( g4 D2 K

# q$ d+ d9 O0 h( b
7.    起帆远航：
# v) [* D- a0 y6 Y
+ d! {: r4 x; ^' u$ H4 [8 Ua)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 C6 v, @5 C* }% n$ n3 v. x( z4 g
. E& v: g0 r1 C4 f# Vb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
/ t! i+ `0 e8 q) X7 Z
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


+ V7 n* y6 e/ s$ |& p7 w* x总结：
7 m7 a5 l+ @; O6 U6 Q, }- E$ h, l
! f3 [2 N* y2 P4 m- v  W1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

7 w6 u0 ~( r0 b8 B# i2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

& X1 i% n0 I% `1 y7 R3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
+ _6 N% h. t6 C: y* a2 t
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
7 t/ e- u( c; E
0 V/ q2 \, K* {5 n; g" j) J5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

7 f* J" p$ m8 z2 V6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
0 K) t4 y7 o+ Q3 N) S/ p! X. N
. A- B0 t+ t0 [! y7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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