7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：
7 J9 ~' y9 h1 w; u7 m+ j: p! d+ e9 ~
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

; D6 z% G/ J* E  f4 l2 }( Tb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
' i+ f- i0 r: O7 w$ y6 I
- h/ {( T8 i5 n, l& m' _

" {6 d6 U. s- U) S2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
+ N, f, D/ _4 ^* h2 o
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
2 |  N1 D& w: n" ?* W0 \) d
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

: u# r+ f3 u0 q4 W- S& Qd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
( F. e6 h3 R; S, g5 n
9 e% x8 w9 k9 Z# \$ k* z! Ve)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

5 `" a; Y" Z' Q( F7 o
7 \1 m- l1 p/ {0 N6 C
3.    划艇比赛的成绩：
# y, E7 t" K( i, e- U7 k; w" N
" k1 `  I3 b) s9 B" x: N* za)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
: ~  M+ C7 b/ A( i7 P0 L
* n2 y, D% M# c/ p. n, Q& ~) @4 rb)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
6 I3 h. W4 s. H
8 d4 o+ K# S0 ~6 U6 ed)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
2 d3 |2 u# r2 N; b* S1 q* D
* w9 A& O: `/ ~, ie)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


; [7 Y+ F6 e% P  Z! ~
& X$ K! w3 o" |- {; Z( M  o- T4.    录像机计数器的用途：机理分析

/ Y. u( v( N9 i- Ma)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
. \5 Z% e4 |$ b% _
, k  r$ ?0 G0 _8 }问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
; V# ~6 t9 ~  o3 q* ~
- X' S+ U4 l* T6 r# u/ K: Sb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

2 _  ]$ g: `4 X6 s# Nc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
; W$ H1 \4 X2 G: _# N
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


- I# h, e, F/ f3 v  f' Q/ n
5.    实物交换：
& f! d6 `3 u( Q) L4 v
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
* ~7 |, e/ A# |

* P  a8 m: |6 W/ N9 E8 B6 O2 N3 A
6.    传送带的效率：物理实际模型
8 H' u" n$ _* k0 r
9 r' d$ Q) ~6 e$ c/ `# d% ka)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

7 i+ J  o2 A$ }# x. J) m0 xb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

2 G; |( b/ g0 v0 T8 x& l+ rc)      模型建立，提出提高效率的途径。
: Y8 ?) ]1 `  p, x3 i" d


7.    起帆远航：

) G# w  n- Z) b5 H# ^1 fa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
* u& K( j7 Y9 ]6 J
/ M0 T5 x+ s& {- S3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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! a: W+ J  q: H# R4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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! g( _# z4 c) w+ B4 e) _* x8 g7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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