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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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第二章:初等模型(初等数学方法建模)
1 v+ p. B0 F4 {/ z. _* h
7 X$ C# J6 x' O: Q& Y! W1. 席位分配:
! e% o9 Y7 ?4 d9 a# h
, H- x8 g7 ^6 c* Ca) 问题描述:三个系学生共200名(甲系100、乙系60,丙系40)。代表会议共20席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。* z5 f# r" A' |' a4 `% a
, M5 `; \$ V, b+ p" o
b) 问题存在:现因学生转系,三系人数分别变为:103,63,34.问20个席位如何分配?才能使得尽量“公平”。) Q8 S9 }: _& u5 W" Z8 J
0 I9 C$ ^7 N0 X5 X5 p3 K; V
c) 解决方法:提出不同的假设,进行不同方法的讨论,对不同方法进行对比分析(满足哪些公平条件),得出结论。
" C' I$ c, f0 _4 T2 I$ A9 W
3 Z+ N8 d# {0 F' N# Z
9 y, n! s' Y# D6 ~) u! s0 |% B# I1 V0 Q3 u6 g
2. 双层玻璃窗的功效:
* v1 H, t/ A0 x: h. i# a7 T }: y6 f! b% h# ?# V
a) 问题描述:双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失?
6 W% w, _; V! O" b& n; j; b/ w& X+ q: t9 V( K% d' ]4 V; B2 K
b) 问题假设:热量传播只有传单,没有对流;T1,T2不变,热传导过程处于稳态;材料均匀,热传导过程处于稳态。
/ r4 a) h7 k* j! G
/ I' S: T: ^) z5 o2 Dc) 建模:热传导定律模型。(有公式)
. S7 e- V. j6 k S$ q; x M4 H& x/ c6 n& [0 o; s
d) 分析:属于“测试分析“类型,建模分析,计算得结果,下结论。% o" b' V# @ E6 v! c: X1 K
. h/ _" ?1 r& ]: Ze) 延伸:考虑实际情况,进一步分析下结论会更好。$ [& t3 f" |) R4 @
. s( k* W% ^5 i6 D0 B' R3 j3 R; |: Y; V) G, ]
$ M" q. n, k: |# x `% |# C3. 划艇比赛的成绩:
% y; y2 a* x0 F& [' N4 b3 N9 R5 B/ t, Y5 m, R# a" y
a) 问题描述:对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。+ n) j0 D! a! l, F
. F: u% m3 p7 w! m
b) 属于统计,数学模型拟合类型;
& Q) D6 q0 h/ d# G! B/ j% Z% B, [- M4 N* D( ?6 _* q
c) 问题分析:赛艇速度与桨手数量之间的关系:前进阻力与前进动力等
: v0 l; L$ B, p: h7 h+ _4 E, n8 M; w5 q* }* Q
d) 问题建模:作出假设,运用合适物理定律建立模型;
1 N W# p/ l' U% w- z/ ]9 j! c; f
e) 模型检验:最重要的一部分!即通过实际数据,使用最小二乘法进行模型检验!
4 Q# |% ?$ ^) ~$ E, c% Z$ G
: z/ H H; j5 f1 ~5 J V( N; I6 ~( U2 O+ r0 G" I5 e( y# A
( a! S% d6 ^" x4. 录像机计数器的用途:机理分析; A0 r5 x' K' v+ t
+ A, o( \5 T4 J: ], [a) 问题描述:经试验,一盘录像带从头走到尾,时间用了183分30秒,计数器读数从0000变到6152.* L( F8 z2 ~3 g$ z$ X! [7 ?
% Q# r( N" M7 g' G7 d$ I
问在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为4580,问剩下的一段还能否录下一小时的节目?- S+ K6 T! Z! h# B
4 R# J% F/ O* `) g {
b) 要求:不仅回答问题,而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系;, ~( {6 Y* V1 w! ~8 S
h1 q$ D* }, I P6 ~
c) 思考:计数器读数是均匀增长的吗?* m/ S' H2 q+ A
2 t }4 O' b. W9 [. k& C! S0 P8 sd) 问题分析:通过实际观察录像机计数器的工作原理,发现问题实质;之后进行模型假设,与已有物理知识,进行建模,确定参数,之后进行实际模型检验!
5 U: @$ t5 Y3 n, ^) c0 n2 g) I/ B$ j' a5 f; T B: l% Z
2 A% l5 Y' [! b. Q1 ]1 D. D E) L6 e2 p2 R# R( j
5. 实物交换:
; W1 w. u0 O; F% g5 f$ z y% I* N) `, g) g* N7 K8 `, H
a) 问题描述:甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 v* f6 y" J* w& T) g
; m- g5 m! B5 N0 H! ~) ^* |b) 根据实际情况建立二维模型:(x,y)表示;
* L9 V/ t, l+ E
" V' `2 _0 p, q) j- `9 [c) 根据不同假设,进行不同建模处理。
3 t0 A$ [, W/ T! S. ?, i2 u5 X3 c$ ?9 {- g" B m
+ x& `# }& e; X9 O
! d+ ]" o+ X$ V
6. 传送带的效率:物理实际模型
) q/ g. G7 T: \6 o
( W; C) U4 O) L# ka) 问题描述:工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走,若工作台数量固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多,在产品进入稳态后,给出衡量传送带效率的指标,研究提高传送带效率的途径。$ i5 ~) U/ g5 y1 d
1 T. O& L b# G" F# D8 Yb) 问题分析:进行假设,之后因为衡量指标需要自选,所以需要根据实际情况做决定,确定指标。: Z7 X2 Q: f& a
' A$ p3 R3 P6 F7 T2 h& gc) 模型建立,提出提高效率的途径。
$ r( _5 G( g4 D2 K& L& ^! Q) Q" C8 q) n/ D
# q$ d+ d9 O0 h( b0 p9 Z% Q8 J& m" g# ]
7. 起帆远航:
# v) [* D- a0 y6 Y
+ d! {: r4 x; ^' u$ H4 [8 Ua) 问题描述:帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 C6 v, @5 C* }% n$ n3 v. x( z4 g
. E& v: g0 r1 C4 f# Vb) 简化问题:海面上东风劲吹,设帆船要从A点驶向正东方的B电,确定起航时的航向,以及帆的朝向。
/ t! i+ `0 e8 q) X7 Z! B# k* w; G* c P3 d4 {. ^ H
c) 问题分析:完全根据实际情况进行受理分析,进行模型建立,并求解。: M- n' ^' @/ C. p$ j6 t" K/ D
- Q3 X+ a) s, a1 h8 ~6 \+ k
+ V7 n* y6 e/ s$ |& p7 w* x总结:
7 m7 a5 l+ @; O6 U6 Q, }- E$ h, l
! f3 [2 N* y2 P4 m- v W1. 席位分析:进行不同假设,得出不同模型,进行对比分析;$ }0 h7 D" b4 G0 W8 Q
7 w6 u0 ~( r0 b8 B# i2. 双层玻璃窗的功效:合理假设,根据已有物理知识,进行模型建立,分析不同情况,下结论;! H% Y6 `3 o0 f1 G# S& Q
& X1 i% n0 I% `1 y7 R3. 划艇比赛的成绩:合理假设,根据已有物理知识,进行模型假设,再实际数据可测量的情况下!进行模型检验!最后下结论;
+ _6 N% h. t6 C: y* a2 t, Y6 q: T; K% Z9 l8 d
4. 录像机计数器的用途:“机理分析”实物真实物理情况!之后进行假设,模型建立,参数估计(经常使用最小二乘估计),最后进行模型检验,之后下结论。
7 t/ e- u( c; E
0 V/ q2 \, K* {5 n; g" j) J5. 实物交换:二维建模,不同假设,不同原则,不同处理方式。+ j! s' u" b0 {& { I, ?4 P; |
7 f* J" p$ m8 z2 V6. 传送带的效率:根据实际情况,与已有知识,进行合理假设,建模分析,此题重在提出“提高效率”的途径!
0 K) t4 y7 o+ Q3 N) S/ p! X. N
. A- B0 t+ t0 [! y7. 起帆远航:根据实际情况,进行受理分析,在一定合理假设的前提下,进行模型建立并求解。8 @$ {$ J. G! A: z
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. g2 |1 I c$ v6 U% s5 o, G) S: w: Z: d+ b p
7 K4 S; R$ s( B* Z5 ?. e" U) x7 c
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