7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
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1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

& k* d9 n  c8 s' y3 {5 L1 a' |' _b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

8 t9 l- X; ]8 o" Lc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
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" W4 B& l6 }6 M+ g2 n/ X: Q0 k
2.    双层玻璃窗的功效：
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a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
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$ ^7 v6 _. F3 t) Nb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

1 S0 ]  \8 m, ~0 p( N  _7 Ec)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

2 G& o/ l, [" ?$ B
0 @' e& O- J5 y/ e0 ?. Q# k, J
" H: M! z) \7 A2 {3.    划艇比赛的成绩：
( b/ }, I& Q/ o) k- e! P  U$ P
5 i2 \5 O& [( o! y/ e/ }$ v  Va)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
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b)     属于统计，数学模型拟合类型；

/ k, X8 P& N  G4 _2 j1 V3 n! cc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

5 r$ u% D2 D1 M; J/ ]# o( @d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
' k; C- p1 O) q3 [# y


8 x0 T/ i8 G) K; d; P  f4 k2 |4.    录像机计数器的用途：机理分析
! Q4 b3 f5 R! i' m# a- l3 n" `. I  ]
/ z+ R0 _/ b' I3 m; ea)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
* ^5 ~) N2 Y9 k$ c; }& J
2 B! G! Y8 e- T/ O1 Z  ~# |9 T问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
2 Z% T3 y& @# F/ ~. E! l
7 ^* g( P7 _& p( W/ rb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
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c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
$ e; E7 f& D4 m, s
; {) J3 y1 b& w: ~% a7 c2 ud)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

' `9 ~& M0 J: M4 N* c

; z. b9 X* h- i' {, L1 T7 Q5.    实物交换：
" |' c  X% a' M% w6 @
1 k+ Z. g: c, z: _6 S5 ma)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
. A' ?7 L  K" M6 D9 P- q
& B- d# `7 B' X/ Ab)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
+ ^$ d/ o5 M, p
% I3 h- y: j, y1 ~# w- v/ bc)      根据不同假设，进行不同建模处理。


( h$ s- q6 E, m  Y* `
* f' K+ G4 T* }5 b# j2 a6.    传送带的效率：物理实际模型
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' H, y1 L2 r/ f9 m% J8 Ra)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
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b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
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$ ?/ G  I# G# D, q) o. }2 Wc)      模型建立，提出提高效率的途径。
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7.    起帆远航：
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) A7 q% X4 P0 la)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
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/ v* M) d: |  f! Vb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

/ s, U! R: A& B: E/ j' sc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


3 ?. ^) ?3 c3 ]& I. u总结：

" o. F: s+ D5 X, S1 J* D( m# ]1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
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2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

, [% u/ g% Y3 S! O( z2 V5 n3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

+ u9 K! Z8 W" ?5 A) ?5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

4 u' @% r: Z; z, ^. Q2 Y7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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