7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
4 j) Z' A7 y/ T( @
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

# g5 t# D/ e1 Q. l6 o  \c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
9 f0 m4 l; q" }9 i0 D& M6 V8 \
# L% T; G0 e# F! p3 I

( ~, s- F; r* C. ^" W+ [1 z2.    双层玻璃窗的功效：
9 W; E, N" v' n1 A9 R% q3 ]0 Q0 W
4 m% T% Q2 h8 ]3 |8 E1 F9 @a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
! W0 U5 `. G9 \" O6 Z% G& `2 F
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
/ g6 Q# q# F9 s9 |
0 L, {# o1 |/ q5 n9 q; cd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
3 ~) z1 R% F7 q7 h0 ~; A+ ~) k- L
+ f) b3 h  r; y2 u$ t3 [e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。



3.    划艇比赛的成绩：
& I, c% D* @* [1 @4 n# P( f
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
5 j5 D7 m5 |8 }
% P9 z  |/ H; g* Eb)     属于统计，数学模型拟合类型；

: r# R; ]7 y/ |c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
0 V6 y* {& @2 _# ?/ {
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

1 }( F; O/ q. b/ i% Ve)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
- {2 K: Q6 E! \. C, v/ U, E


4.    录像机计数器的用途：机理分析

/ F& L$ A8 z6 _- a# c' u) }2 La)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
  n5 `$ w# r# [/ L
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

; S8 Y& j  N6 z  @, A7 F# R) ?c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
' ?3 {( d! y, P+ L9 u" [0 G


4 s% M% n, ]0 e$ }9 b! J& }5.    实物交换：
; U8 P& s+ x/ m0 Y) \
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
+ q+ e# X9 ~% |0 b/ D) s
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

  j2 h* m  k- B4 J6 Xc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
# q: D( i  G# n& z8 y+ i


/ S( S2 K% R! h+ ^" j3 T$ a6.    传送带的效率：物理实际模型
- h' h- H6 H4 p6 N
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
: B/ w1 }1 ]' b
b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

  ]9 G/ L9 {- q- s2 t8 Oc)      模型建立，提出提高效率的途径。

) g% ~( y$ D. F! v! i! t2 A
6 R# Z- d+ f; X  L1 g2 L
7.    起帆远航：
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7 y* k$ w- a& `6 r3 r1 Ea)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
1 k: S- f; T- b4 p
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
6 L: m" `( i0 C7 x
; C. T) |( Z5 R2 v: e6 _0 Gc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

  z. P4 I; x7 x6 [6 h2 q2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

! i! Q! p6 f  V" z" ~( P! M: q3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
* I# n3 l: c) H7 F1 o
/ a" f7 V' z" p9 t5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

$ o( C3 U5 S$ X% N* F7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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