2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

杨利霞

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2-8、蒙特卡洛模拟

( U6 {. m  @9 f% O7 J一、背景

2 S3 ^- |( U3 ]  I/ e: [$ \$ F% {  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
- y0 ~7 g% V( w( U" P" I  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
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二、算法引入

  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。

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  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
5 P% b1 m: a; _" ^& ]  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。

3 b- N4 u0 e; O3 ~, \解题步骤如下：
2 Z7 N7 a2 M+ j: T7 G2 K  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
8 Q* @( Z) C. e  w' p  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
- f; u; y7 b4 C, N% A' [6 V  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
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三、算法应用
4 N& V- V8 _5 ^6 M0 i# a
1 m4 c/ [3 ?- k& t5 \8 N: [, M  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
3 V/ v6 a1 z9 h( k5 M5 H1 |$ w7 I  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。

' ?: Q0 T# v, ~+ t7 D  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
2 p1 W# O+ U: h* J* X7 p& N1 Q优点：
  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
  2、受几何条件限制小
  3、收敛速度与问题的维数无关
5 X' H$ c+ t, K0 O- d! l  4、误差容易确定
( h8 I$ x/ l- w( z/ |  5、程序结构简单，易于实现
2 B# ~; U5 d6 a  P& U' T  k, ^4 r缺点：
1 h+ S5 ^& w5 C: U0 m$ p  o  1、收敛速度慢
/ w6 E9 h; L5 p; m  2、误差具有概率性
& T* I# n+ m& A. [% `; _  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的

四、算法实例
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) Z- G" I+ J& B; }) y  O' Y例1:


  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。
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0 s8 n# S* y1 u0 P! D" [# A2 c解答：
/ g- Q% z1 ]- [  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。
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