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[建模教程] 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-3-7 11:26 |只看该作者 |倒序浏览
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    - [$ X" i, D% e$ B; t. }  x( i0 J0 h
    3 w- I$ V/ v  w  ?
    2-8、蒙特卡洛模拟

    ( U6 {. m  @9 f% O7 J一、背景8 b! G" t! F8 W( V  Z* G* `

    2 S3 ^- |( U3 ]  I/ e: [$ \$ F% {  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。
    - y0 ~7 g% V( w( U" P" I  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
    8 v5 M; c8 h4 u: k2 a6 m' J) x. M- S0 U5 `( n) H
    二、算法引入- w8 X" z6 m7 O
    2 Y+ Z- q" ^, N" d, u5 Q
      最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。6 I% p. j2 Z& N/ L

    * s- w8 e. q5 T( O3 }6 h! G
    % v# i. B, k+ w0 J0 l/ }, w/ N8 n- n' `
      根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 ( n9 B" Q: z& J8 C0 z
      这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
    5 P% b1 m: a; _" ^& ]  在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。) V5 K# u$ q. Z" g) X& N! V

    3 b- N4 u0 e; O3 ~, \解题步骤如下:
    2 Z7 N7 a2 M+ j: T7 G2 K  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
    8 Q* @( Z) C. e  w' p  2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。 1 [% ?2 K  i  r5 E
      3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。
    - f; u; y7 b4 C, N% A' [6 V  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。 2 d- j) E$ _8 N" r% G- _* j1 |
      5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
    0 ^- e8 V" l) l& b1 w# @1 R1 v& Z+ F* ^8 _; i' p& @
    三、算法应用
    4 N& V- V8 _5 ^6 M0 i# a
    1 m4 c/ [3 ?- k& t5 \8 N: [, M  蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
    3 V/ v6 a1 z9 h( k5 M5 H1 |$ w7 I  对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。. A- Z! V6 v. U+ J$ B' N

    ' ?: Q0 T# v, ~+ t7 D  对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的:
    2 p1 W# O+ U: h* J* X7 p& N1 Q优点: # N0 Y7 V6 r4 f1 k* t3 q
      1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 % s! O/ V0 U+ i9 C) C- e9 F
      2、受几何条件限制小 : ?7 h# f, Q- I  I2 j
      3、收敛速度与问题的维数无关
    5 X' H$ c+ t, K0 O- d! l  4、误差容易确定
    ( h8 I$ x/ l- w( z/ |  5、程序结构简单,易于实现
    2 B# ~; U5 d6 a  P& U' T  k, ^4 r缺点:
    1 h+ S5 ^& w5 C: U0 m$ p  o  1、收敛速度慢
    / w6 E9 h; L5 p; m  2、误差具有概率性
    & T* I# n+ m& A. [% `; _  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的8 j8 q( J- E. Q. h7 L' {
    + r  K4 Q- s1 _" H- n
    四、算法实例
    ( n) p# a" ?4 e% F6 s3 _. g. Q( @
    ) Z- G" I+ J& B; }) y  O' Y例1: $ b" G; }, E. r6 G% A  x! V
    0 d3 L+ R4 u6 z0 Q! x
    2 P7 j# C4 \( r
      在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。
    3 O* l$ H6 ^; k4 @, V
    0 s8 n# S* y1 u0 P! D" [# A2 c解答:
    / g- Q% z1 ]- [  由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。
    . O/ M- @0 r; F7 d& r) b
    ; J0 u4 L  u& m) [) X, V' p( O

    2-8、蒙特卡洛模拟.docx

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