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[建模教程] 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

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杨利霞        

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    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-3-7 11:26 |只看该作者 |倒序浏览
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    详细资源下载附件, r  H( h/ P$ g4 S$ K# y

    , Q8 Y% i. y* G* w' `& @7 l
    2-8、蒙特卡洛模拟

    : g/ H' C9 A; x8 E/ R6 |- Z一、背景& L+ K* M4 w3 {7 i# I3 x

      n( T; P+ j/ [9 W" \  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。
    9 p, p, l# `( o" J% k5 `9 B0 k' f  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。- a0 {0 c" _) q

    4 S4 G6 u, U' m  q& H二、算法引入
    , t4 G  q* R* w
    + E6 a8 t; W0 M4 {- Y- V9 _  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
    7 V8 Z+ d+ b3 j3 |6 b
    . g8 |9 b4 ?+ Q
    . R4 ^$ c+ b4 t& V1 D2 t
      f0 }5 h/ N$ S% \# t' r* M  根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
    ; g5 N* P& b5 d0 Z& `* d& H6 ?  这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。 0 q2 e6 C1 Q, h, ?0 G5 L0 c& y6 J
      在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。: ?4 c% a! R% |7 o3 g7 }

    $ r( ~  d4 f) I/ {; u解题步骤如下:
    ( x, A2 G+ _; {* ]* q/ L  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
    3 _6 m! Q( B! h$ z2 S1 |  2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。 4 k8 X5 s6 [. }
      3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。
    7 A8 [) f& ^' s7 e. a4 G# k  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。
      T+ j3 T8 ~* }! P  5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
    + m$ U$ c6 {# \# O1 I
    ( u: s* J/ ^) Q7 o5 t三、算法应用8 V3 c# B/ l& n) N  Q+ Q

    5 `3 h* `* g/ t  v5 X/ I! i. X  蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。 5 `* d* a2 C0 l; O: e
      对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。5 t1 o) \. ~/ s4 E& H5 V0 Y0 r, C

    ! c, ?+ k. K5 ]! F2 W8 j  S" e7 [0 N  对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的:
      s' u* _7 o1 c/ z+ |7 |5 H/ B优点: . O' F( ?  }/ Z5 u8 w4 w4 [5 Z6 v
      1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
    ' t) m* f: v7 B( [+ V/ K. F  2、受几何条件限制小 % z" {+ r+ K5 y2 Y
      3、收敛速度与问题的维数无关 ' z. q, k6 w5 [0 Z
      4、误差容易确定
      H" q4 w6 @& [. V/ B  5、程序结构简单,易于实现
    ' L; I/ s$ `" m! D缺点:   T# n. U' B2 i  [2 s
      1、收敛速度慢
    4 N4 {8 P, Z9 d7 v% a* c. a! Q  2、误差具有概率性 6 |* }9 G  `% w1 e/ Q6 z9 B* H2 E
      3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
    ( D* Y& Q" N6 Z; \9 l' j' ?2 l. d  F$ i0 H; x; h9 Q3 o5 I; O+ z
    四、算法实例; ^$ u. r  L- o' z* O

    ; {6 [5 r1 U& j6 b0 f6 ^; X: b1 x例1: " o0 t2 E$ _( c1 p0 b) c

    / [' R! m% z- N, g3 `% W$ \; k9 T, B, p! Z
      在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。" ~( r0 {7 I; S6 A1 H  n
    4 ]# G) @; c$ `; w3 W0 t4 I4 i
    解答:
    2 h, D0 Y, X: [; ]2 }  由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。2 F$ e8 V% `. W" S

    2 A- V. H0 Q: P: l

    2-8、蒙特卡洛模拟.docx

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