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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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详细资源下载附件; H: Q! p. Q. H! ~" [
2 C2 L/ i- q/ e" \6 L, Q* K
2-8、蒙特卡洛模拟
3 g( V d( i* V. s( G; m一、背景
/ P4 T4 f' ^$ [! w8 ~0 e3 m, l1 V. L, `, T5 J5 j
蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。 $ R7 w( y3 Y: u
它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。
x) I& G- V4 ^' C3 Z @* o& `2 Z5 E& l: M! [& m
二、算法引入
& |/ j: B5 |4 Q0 W- o- h; [$ ]5 G' V
" V- x' o: K2 n" {7 r' Z+ P# g 最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。
6 F, O2 R2 `6 s; J& U# X9 A0 L5 [8 |8 M8 g4 Y( \* i
/ \9 ^ T2 f) i b+ J+ S$ o' T. J* g9 P- K
根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 7 ?, M8 S' {# `+ `! g0 R( C
这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。 $ N3 T) B+ |/ T( E K5 L
在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。4 q6 G; f H2 x* s6 r
6 T/ P! P& i& t) B% h
解题步骤如下:
; \) J. P5 y: z6 T: B; M( r 1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
: x4 I0 B6 L% n2 \* {; X2 ]/ s 2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。 6 V3 _7 E0 E& Q0 D' _: E: w
3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。 + T3 @. L( j5 F9 ?! q
4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。
5 a) Z/ v' S# I1 r8 y. T+ ]" C 5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。
9 j% u+ @, h% t8 ?( _. T, x3 I3 C
三、算法应用
6 @& s# v3 K8 y$ i5 N) n
! i( f) i. y' T" m1 ?& X 蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。 9 K4 t9 o9 c7 `* Q
对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。% h' b/ V ^, A6 b0 ~
5 k# v, n, c& G# ^ G6 q. S 对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的: $ M" k0 _* l! x
优点:
5 ~2 T0 h8 U6 a 1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 : H3 V2 I p9 b( f0 Z6 _4 ?* C
2、受几何条件限制小
& D+ D% q3 d9 k) A# R) d. h 3、收敛速度与问题的维数无关
9 i* _/ w/ g8 ]$ C" \8 y* t 4、误差容易确定
/ I3 I/ s1 j: o j8 F& D+ Y 5、程序结构简单,易于实现
7 A1 {+ z! b( o! G( M缺点: # y8 k2 z1 k7 @# Y h
1、收敛速度慢 6 \6 H% _/ \( Q: r5 E" x- ]
2、误差具有概率性 0 e9 D3 c5 f t- O! u
3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的% D0 e; X. H2 U) h& F: r# s
2 Z, E- Z3 y8 G# w/ ~8 ?8 R
四、算法实例
: q3 U+ d2 N8 Z9 W: X8 m6 z# r" p& c" \( n" [7 A0 G. v* O
例1:
( ?8 G5 _) a+ ` @, `, d7 n* @9 u
2 j, s7 o: ^1 I! h! x
在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。5 L$ j' K B, r+ _
+ o! K- ~% D/ q* z' z, s( d
解答:
, e4 h- A+ h+ O7 w 由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。$ v1 h! x$ Y! m; c/ O; x5 Q6 q+ }
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