2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

杨利霞

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2-8、蒙特卡洛模拟

2 c! R0 I. f3 P8 y一、背景

6 w8 C6 ^' o$ L9 ]9 k) }+ }  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
! O& v1 ]: {1 `6 P  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。

二、算法引入

  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。

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% v! N! o: ?! @) k! w. b" S5 p/ F: E  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
# m) d% P3 o* s; a' l( T& x) w; m- T( ~+ u  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。

解题步骤如下：
  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
* ^5 h' O& O, b' L; b: X  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
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三、算法应用

  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
# t! D) f0 g; d* t  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
% J, i9 ~6 c: u/ O; C( O
( G% T; X( X+ G* k& q0 @  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
6 V- z6 \4 R; o' B# a( @优点：
  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
$ g2 ^- Y! n7 z9 _  2、受几何条件限制小
" T$ g: c7 ~" w8 k3 _5 J8 D  3、收敛速度与问题的维数无关
  4、误差容易确定
3 {1 l5 H' T5 h! Z, c# k7 ~3 w  5、程序结构简单，易于实现
$ ?8 a8 y- A3 u: _缺点：
! w# ~/ m: P. w$ g! h. y  1、收敛速度慢
  2、误差具有概率性
  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
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+ ]- I5 E6 E0 J, b0 }四、算法实例
# j2 w/ G' ^% z4 d; X" j) A. P9 M7 d
9 `$ `& F9 g. D例1:


& L( X: y2 `! K, c  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。

) H% {( R8 R: K: S解答：
  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。

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