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[建模教程] 2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2019-3-7 11:26 |只看该作者 |倒序浏览
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    ! _7 f+ z& @' W5 V1 U/ V% k- P, y, w; T* t" G% U. w  O" N
    2-8、蒙特卡洛模拟
    $ U, A( w# Q9 U; @
    一、背景: I: w  ?- f: o

    2 `! G* P& ~6 t3 F  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”,名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言,就是一种赌博算法。 ' }$ w- l) n0 a2 d9 j
      它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法,也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。, |' b; ?8 `5 l

    * ^/ i/ L: o* _1 ]2 ?4 ]! O7 o- n二、算法引入
    / A/ d8 O7 L7 ]- p9 c: O2 }0 S: Q% S! Y7 X
      最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段,而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S,落在正方形内的豆子总数为 MM,其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。! q# U/ y' a+ ~/ S4 e
    + ^' I+ H6 I& e# P; V6 n

    - m0 a! d/ W1 N; C+ }; Y
    ( {) _5 D1 Z6 \4 h$ u( R/ o  根据概率论中的大数定律可知,当随机事件发生的次数足够多的时候(趋向于正无穷),其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题,当抛洒的豆子足够多的时候,落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。 9 w/ ~5 N/ |; y0 G/ d
      这种算法需要承担一定的风险,但是比起这种算法带给我们的收益,风险其实不足为惧,同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
    # t0 P, l3 H: C2 O  在建模和仿真中,应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,产生所需要的各种概率分布的随机变量;用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到问题的数值解,即仿真结果。% z& i0 O$ l; }% B3 o

    * Q& k& T5 X% P/ `: u% Q2 l4 p7 n解题步骤如下: % c" S3 u/ }0 u
      1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型,使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(如概率、均值和方差等),所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
    4 O7 o. d9 k! w/ |0 u/ r/ X6 |  2、根据模型中各个随机变量的分布,在计算机上产生随机数,实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数,然后生成服从某一分布的随机数,方可进行随机模拟试验。
    ' n& F6 m5 K7 d3 x  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性,设计和选取合适的抽样方法,并对每个随机变量进行抽样(包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等)。 9 E+ _& |- C' F1 h3 a
      4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算,求出问题的随机解。
    4 v0 @1 y! G9 _( T8 b/ D: `  5、统计分析模拟试验结果,给出问题的概率解以及解的精度估计。0 p' B' \& l' ]; n, T% m! ]

      ]7 A. A% h/ `8 z三、算法应用7 f- o  n- K: [( Z7 d  C5 Q% X
    ( i1 ~& D% L$ {0 o
      蒙特卡罗算法的应用领域很多,这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题,比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率,如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题,即判定某个命题是否为真,例如主元素存在性判定和素数的测试问题。 8 l9 \4 |4 m# s! X+ b4 D* d
      对于第一类算法所涉及到的问题,最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积,当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时,由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中,y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解,最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。
    & S% ]) {3 F' L7 X7 a5 ]  X' ^6 ^$ D7 N/ \* s  T
      对于蒙特卡罗算法,其优缺点也是比较明显的:
    2 c  h/ p; T; b* e8 S& g2 H4 a优点: % V4 q1 ]* h/ N* t% \5 E
      1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 % g) ]3 R0 i; m0 b" ]6 k) e
      2、受几何条件限制小 * g8 v* }- ]# j% u/ i7 a: b
      3、收敛速度与问题的维数无关
    9 B, c9 \# b# @+ s" ~1 Q  4、误差容易确定 ! L$ r( @" k/ p, w( ]& O  F1 j5 @
      5、程序结构简单,易于实现 1 i6 _% e2 [  k1 e2 e
    缺点: . a3 K+ \% S6 o9 m3 ~
      1、收敛速度慢 ) X1 i& q  `* k) |% s6 ]
      2、误差具有概率性
    * y& L9 d! H) d  A  l- J% B  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
    ) p! _9 _3 V$ d! h
    . C0 v9 q! m& |. q, D四、算法实例
    ' x9 v8 J& @6 t5 d9 b$ k+ h& Y  v5 j1 X
    例1: * P3 {3 i% L( B8 R+ @7 P. X
    / d7 C! Q* f, ?0 W

    5 H- c% T1 x: A  在不知道求解圆面积的公式的情况下,试用蒙特卡罗法求出圆面积。
    6 `- d: o3 J# `! l5 G7 h$ r4 N" r' J4 w. a7 E9 q3 u
    解答:
    ! S. s; A9 G7 U9 E% x  由上文介绍可知,可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数,从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数,就可算出圆与正方形面积之比。/ ~7 q2 |+ j( g. y5 G

    8 c* F: W; n* G9 I5 F

    2-8、蒙特卡洛模拟.docx

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