数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
& Q8 \8 ~8 {% Q! c5 K% e( k; k! e
- r4 F+ F1 x5 ~; ^- C6 z算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

3 d+ J6 k. I( }5 m. }8 E3 U+ S基本PSO算法
8 _0 W$ r  a5 p" H" D2 ]
D维空间中，有m个粒子；
$ r3 q/ T+ @0 p* d粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
+ S( h8 y. y* v粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
, [% u/ q" Q) L1 I6 w粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
3 y8 ~3 v& K0 b; Q9 f: S" H

二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
3 _& K- q+ f3 S8 ^8 w/ o- d设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
3 m& n5 ]8 \# x( s; L5 }5 Z降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
) E9 v; b- b/ W" |4 D- K* o+ E
三、遗传算法
# G) v4 s8 C9 v
  m- }- |4 J+ }- `. R产生一个初始种群
- A, h9 Q, c) U# Y根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
  _/ s) @1 P8 q( C
四、算法步骤
% y4 F4 ?5 N5 ~初始种群
8 A& I- g8 X) B编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
7 Z5 c3 o5 U: O9 d, ~& s" u停止准则
. B. Q/ l. ^& n' o, I
& V* u/ }3 h8 p* Z7 q; E( p; g参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

6 h/ b! }. j+ L又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
$ E% Y* w$ }! y4 h4 r. v+ j. f优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
; T6 b: I9 W: C8 M( j/ n2、局部开发能力强，收敛速度很快。
$ M# U4 b0 U1 T# Z9 H* x缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

# E8 u9 a/ z: e* }% c0 {5 u将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
# C7 l; R( z9 Ua、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
" X5 X( o- {  b: V4 G(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
; \6 o. G, r" H7 Y8 J从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
3 A* D( w' m1 ^) R( _(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
3 l" o! e" R3 p) W' B: n(5)渴望水平函数
* m  h) d& e% A) N, x+ K$ bA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

& ?# P3 x/ A9 ?+ F/ H六、蚁群算法（AS）
3 ]3 Z0 }/ f& ~. R" s6 g7 e

2 p( Z7 s0 ^) Y2 X参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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. }- ?' [3 w0 V# Q. V作者：_朝闻道_
, T  [; J& ?+ ~1 Z. r; U- S来源：CSDN




* U' e4 `1 n; W1 G5 D. h