数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
  Z" m, s( B; P2 u8 m/ E1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
  u  j* Z& @: Y4 J9 M& u
5 N6 q) ?! q5 R- F+ ~* `2 M- f0 P算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
4 _, j% D1 C$ E: f
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
; I! H! ~7 m% o) n粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
9 W" n7 e) ^$ s群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
; r" P3 S2 O8 o* {热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
8 j$ F, z$ J- c+ Q/ L9 V- [降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
( q% t8 c+ g* h' z( @4 Q
' q$ _' B1 _  E8 [- A产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
0 i8 k$ D4 z0 G1 E7 f根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
5 r' |4 z0 w9 A" r, x# b! d1 \+ _
/ ]3 B- M4 u! ^" J四、算法步骤
  v( t! \" e6 k初始种群
; _: `" H' m6 L: b) R3 |! N+ f) r编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
- w" |5 I, O- H7 _, h+ `遗传运算，交叉和变异
& d4 U0 D- `9 H; K# O$ ]+ q2 g选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
: [' w3 j; T& R9 p) q停止准则
$ t$ v4 O" j9 J9 G
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
& h. y. w/ E5 K& N/ l
+ x6 d8 J" ^4 O- A+ J+ G和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
& v7 {0 K6 L" r! M* E3 p6 Q0 D
1 x; Z1 B  s, W" L% G五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

( u: T; t/ P6 _3 Z& |: C, @, l又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
) e- `$ @( C8 b1 y2 S2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
* n6 ?0 R) Q: h, R2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

& s+ ~& `; c1 {将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
. Y3 ]# f# Q5 ]  [1 sb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
+ Q" d1 ]3 v6 d. Y(3)移动邻域
  h7 D- B; Q# x' |0 n; n( K  _移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
1 k/ N5 M9 U/ R(4)禁忌表
$ S$ d1 }5 b/ N& A+ V: Z8 e9 [; c禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
) p% M! B3 R3 _) Z8 ?3 x, pA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
2 h8 r; S2 A' @1 d: ^
8 b) Z$ {+ m( a- V9 _, n: L3 I0 b六、蚁群算法（AS）
& V9 R: y% G/ N% |! t: g
. S* O6 \" |/ ]5 S+ t2 X6 s8 r
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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2 O- s4 \; {) d5 c9 i- j* r- Q( d作者：_朝闻道_
来源：CSDN
- m6 r4 B" c6 ~4 \! c9 l
/ v! ^- i8 i9 s3 L3 `- a
8 F6 q0 D$ Z/ ^' Y' M* X