数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
1 W6 }/ l' y+ M9 r8 ]; d& U: S+ A数学建模问题总共分为四类：
, B1 K+ f+ B) p% o1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
5 K) y! V. x9 L5 |3 I
& _. Y' z9 l' \: {% _8 j: S算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

! |1 {# K6 P: k7 FD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
2 M% s: g" o# g  e2 ~群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
- d0 w' y# i) H3 w8 @+ i; w9 r# A
2 l% H0 D5 M  z
3 J6 U& Y, l) }; k二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
' n6 d2 z* q. T( ]- x  u, y设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
- o$ }, f& f; X( V0 ~  I根据适应值的好坏不断选择和繁殖
$ a+ [% z( [9 O若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

0 M/ L' m) F, p& p$ g- T4 ]- }: V四、算法步骤
1 ?) I! G  A3 F/ Y( i初始种群
# F+ M: I, k! _8 Q1 i编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
$ ]8 s) h* h3 B" S4 P7 z  o适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
; U2 S2 u( \: L4 r! g& f遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
# E/ X2 a0 |8 W2 E9 k- j# {5 P8 H停止准则
6 }  I! c2 b. {4 |
5 v  |3 J6 g0 _参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

! r9 m: q8 M1 \" c3 p四、神经网络算法
$ s$ r/ M" V9 z
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

; O: u: L* h4 T- g# l% Z; g五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
4 n6 B8 A4 b/ G2 O8 w
3 _4 c" ?' M: Y% w- V! O又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
/ P: L4 B4 [) B. f1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
: z/ O$ W( X' V4 }4 O2、局部开发能力强，收敛速度很快。
0 o. r( w( G# @# X) Z1 `1 g缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
: Q2 J- A- m7 r8 o# |& c' t( y/ C
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
* m' D: w8 }8 H8 O. J(2)初始解的获取
# W, h- m2 R9 m8 Q, p) Q% i可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
% n4 R3 a: R. S' @" O. |(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
, R) W; P1 I' ?' G6 u(5)渴望水平函数
- A% P9 E1 L. G6 c! E" kA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 N, x4 w6 Y, l4 z5 Y! o
. j, f$ O" G. w3 i六、蚁群算法（AS）
1 l# g3 }9 r4 k* d/ ]

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
( Y: G8 G9 L5 U- M: ?9 @来源：CSDN
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, K4 s- f' P1 N  M' g