数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
& X* u1 D/ s, d; N$ r5 ^数学建模问题总共分为四类：
, C3 Q3 k4 [* A; O1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
! N$ d. R% v$ s5 |5 r7 U
一、粒子群算法（PSO）

* y  R8 g5 |# E8 W) D/ [算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
( @3 H& U! a5 D2 _4 O/ wPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

; {: _) _9 I- x基本PSO算法
4 `' ^! E- q9 P% G$ R$ n
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
8 z0 t1 [! Y' U% X1 l粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
# U# P8 c; F% w: K% c  o

二、模拟退火算法（SA）
/ O( _/ `7 T; i: K9 e) _
模拟退火过程：
  S( N9 ~& C4 I$ M! ~8 ]; y0 D' s设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
1 E4 I6 Z* k% v" n9 H8 B降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
: @. A( w$ q5 f
( X3 a- L& r/ c+ q1 [三、遗传算法
' |5 b  w4 v1 D, @
1 k. u; f* A  \" e$ A产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
5 L5 U" c1 |* u1 [4 f6 f' ~根据适应值的好坏不断选择和繁殖
/ E7 q' c6 ^  k6 }9 H* y6 b4 @若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

; ^9 L9 ]* l) R8 s5 \* q) S四、算法步骤
. I- o( F$ j% s! H初始种群
9 u$ G6 ?3 P3 L编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
% h7 {: h/ m' y! M  _遗传运算，交叉和变异
$ L% K. }3 q. {0 w" R7 v! k选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
: M" t4 v3 |5 w$ _9 c
9 u8 b$ ]/ ^- s3 |四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
0 h: U4 p& F- ^& ?0 W
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
0 }/ D" T; v6 ^* N# p
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
0 `8 z3 G( q* r, S缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ n. i: \' a' ^, e) `
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
' x, }9 Q( Z; z/ Cb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
8 K% L7 W" H1 q# l& @$ y% ](2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
, r- C; t; q* Y. r5 ?+ A; h(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
1 ^$ [' A; W6 P( @1 J从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
$ b+ G2 I8 [! u' Z, I2 z(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
: n/ T  a5 o. Y; c/ C. _4 x& p: m/ M(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


* _5 [2 \9 N2 ^7 o% V参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
; F6 W7 n# H5 z8 _! R: v/ K---------------------
; n* o& h/ `' |3 \作者：_朝闻道_
来源：CSDN
( `4 R3 t. M/ |6 \
- L" V9 }) P/ U) D8 r% z
. C2 U2 `& A6 ?" V5 ]. s; B7 @

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