数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
) G0 ]4 Y  ]' P- F$ _* ]9 A/ U  首先要弄明白分类和聚类的区别：
     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。

# d0 @+ R" ]: H* r      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。
7 N3 D6 Y5 d- B) J. k$ @& {
     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。
1 B" B5 X% |  M( J: ~+ b6 f
     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。

+ ?7 }8 y- N" t- u) b
/ W! k& i* ^5 Y$ E6 q  B4 U$ Y* i
     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。

: e3 v3 u- A" {7 @     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
. ^8 `; [2 @2 E      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。
  \. m6 d* P1 K# \0 r4 y
7 e) b4 C6 s% t4 d. z7 b       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
1 j# _; a$ \7 g# s8 w0 F. A* ?---------------------
$ |% s+ u0 X# V6 g) ?+ w$ W$ K     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：
$ D% E% \$ ]* n

. U3 \5 F3 C  R4 p4 c# p
# f; H. [% o9 {  x- Y5 y     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：

) j5 {$ m) ~( A3 a
' i9 @' p) L4 F- q. }



+ c6 M2 e8 P" I: L# @; U. ^
4 t' ?* b8 z# V1 c4 [     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：
  _: K- u7 D0 ?

5 C6 f- Y9 x- L. @+ E; R& M
4 a5 z2 M- |2 V% p; ~; S
- s: s  ]1 e( @8 g$ F
- \8 M% O4 t( @1 B: J

8 ^4 \+ D# `/ J) N6 Z; x/ O  N" _     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
% ~) I" b1 V. g" [

( H( _' g  w$ ^
Step1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；

Step2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
Step3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
1 s' y! d  J7 N9 k% J% U; l" D6 LStep4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。
$ |/ U* Y( L$ S% k5 O4 I
   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
8 t$ M% E: q9 @9 c+ y# edata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
" v0 E( ~0 [# d: P: M' B& e[m, ~] = size(data);
d = mandist(data');%求任意两组数据的距离
- j! r4 {6 z; ~2 ~9 ^0 zd = tril(d);%取下三角区域数据
nd = nonzeros(d);%去除0元素
nd = unique(nd);%去除重复元素
for i = 1 : m-1
0 Z% Z* D1 v2 r     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
4 U0 D# [+ d; Z  i% d: L2 i     label = union(row,col);%提取相似的类别
     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
% O( u( w# n# K+ z  y. l         break
     end
end
%% 工具箱实现
& f3 a/ A2 E3 C" k0 Y# ^clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
# c& z% P- ~: |" Nyc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
! w' L7 Y8 g7 @z = linkage(y);%生成聚类树
[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
% s. _% ~. R7 N/ ln = 3;%最终需要聚成多少类
! o1 Z0 r; Q3 d$ `+ _5 e) u% dT = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
8 R5 s4 T" i9 S, ]/ O  r; t' W: a* cfor i = 1 : n
4 I- z% T! S0 }# B; Z' e$ x    label = find(T == i);
: D5 H+ ^6 Q9 o8 _( H    label = reshape(label, 1, length(label));
    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
end
- ]7 ~5 J0 y+ x/ B8 F    结果如下：
9 B. j% Y; k+ j
" p# |+ f7 Q( M+ C---------------------



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9 L9 x: x5 \* }* `
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