数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
  首先要弄明白分类和聚类的区别：
1 U% B9 w8 S% h% V     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。

; h0 ^' }; T7 C/ k1 L- d/ d      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。
" ?* c" J# c0 p- V: |
     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。

1 h( ]  E6 ^, {8 |: \- {  @     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。

& @% `: G+ x" x0 X

     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。
. r) e: a5 @, L! k9 Y
: P% c/ J. @% C. X: H9 r     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
8 H6 f4 c1 F  h) M* \      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。
3 B8 Y6 E8 ?* F0 q7 B" t2 E
       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
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     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：

( x: ?/ d1 k8 M) S& m! `

  [, H- a% {9 g) P8 G1 m     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：



; v2 X( d: R: W& ?


/ Y; x  P/ y5 k# {: M. x& d! I# M
) N; g3 z# S7 I( q( |7 I     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：




- {& O6 G3 l- B3 A2 ~6 R$ ]  S( {
$ K' l) U9 y& I- P3 `; R

' V# k$ p/ O; L' A  V0 D" ~0 {3 A     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
$ C9 n# @- H; m( v% k7 L


Step1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；

Step2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
9 q# o7 i" }7 UStep3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
Step4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。
" x  Y5 J6 k& f1 c) h
   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
[m, ~] = size(data);
# X  _) ?1 A+ \' ud = mandist(data');%求任意两组数据的距离
d = tril(d);%取下三角区域数据
2 c9 D: ]) S- L1 G" qnd = nonzeros(d);%去除0元素
nd = unique(nd);%去除重复元素
for i = 1 : m-1
* P' H5 `4 h1 V' k     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
     label = union(row,col);%提取相似的类别
     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
% O5 i, c4 g0 p' c' _# O7 q     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
         break
     end
end
%% 工具箱实现
4 B4 @2 Z* r, P2 a& hclc;clear;close all
2 _5 f0 V, i1 i" w1 xdata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
3 ]1 a$ }3 I! g' Syc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
, B, g+ Q& y# C: L! u. vz = linkage(y);%生成聚类树
) f0 \2 Z, B" i! _: j% @; m[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
9 Q: D# ?4 N5 Z, N& Wn = 3;%最终需要聚成多少类
T = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
for i = 1 : n
2 A+ L; c" N( H7 J# \' U    label = find(T == i);
    label = reshape(label, 1, length(label));
5 k: r1 i- G# T& A    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
# O9 P2 ~4 Z* y% C6 U& vend
. Q% ]4 C9 g0 @  _5 s1 w    结果如下：

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4 E  E! W7 X/ z! [' a$ j% s4 x


9 ~0 t5 H) N! L) e

& E+ M$ v8 A, B1 p1 C1 C* r9 S