数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
6 A4 g! t# L" d; ]1 p0 H, \  首先要弄明白分类和聚类的区别：
, ]  w. m1 ]* t5 w     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。

      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。
- U# \9 ~& M$ z! V0 Q" v
     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。

     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。



     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。

     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。
1 o9 J) b5 D  ~/ j- R+ |
       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
# J" w2 ]$ Q8 b$ O  `9 L) ^- d! O---------------------
     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：
/ M  b. f8 n- o2 `+ P) t

& ?, _# t% \1 _; a; b: `. B
     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：
, o- V) b9 F# P. A$ v/ F


1 q5 {% M+ h7 B" v

3 p8 ^1 @4 e2 O

     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：
* }- f  O* y$ Y3 T+ `
4 _5 @5 Z$ z" j: T8 N/ o; a% K
3 {4 B4 y# s+ W' r2 g/ J: A
* N3 S4 u. t) z* k8 U


$ k/ U% }# B9 O3 X( z
9 @1 T% ]: }7 u  o     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：

( L& H8 N) s' D+ g
) [7 G6 r$ {8 d( K6 x
Step1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；
/ i* R" u/ |) y; l+ Z% `+ w
% |( t' w/ z- ]0 z+ J9 w' ^" f7 hStep2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
0 s4 L# {6 L3 K* d. ?- f/ jStep3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
Step4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。

   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
, M& e! s( O, X' f6 Vdata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
[m, ~] = size(data);
! c8 r0 u. l& i0 D# cd = mandist(data');%求任意两组数据的距离
: {# \# V8 l0 C4 e* W  L' @d = tril(d);%取下三角区域数据
nd = nonzeros(d);%去除0元素
nd = unique(nd);%去除重复元素
for i = 1 : m-1
     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
     label = union(row,col);%提取相似的类别
) v& v6 f: N4 G. ]     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
9 F. j, l( r2 e& h% p     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
% y$ u1 t& u# |) s. Q     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
; x0 ^  v6 m1 J+ N, z     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
9 g9 M* n% L) G         break
     end
end
+ s# C9 `8 [; V) _9 a%% 工具箱实现
4 W; v4 y) D* E7 Tclc;clear;close all
# t. r$ A% u8 w/ s* K# b1 ^- adata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
! y  m8 S8 B/ Hyc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
z = linkage(y);%生成聚类树
[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
n = 3;%最终需要聚成多少类
T = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
for i = 1 : n
3 y! O- K5 m* M; u    label = find(T == i);
    label = reshape(label, 1, length(label));
    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
end
: T$ @+ o: K1 i/ @8 X3 o    结果如下：
/ L! L8 x  h9 p( o& N$ F* [
---------------------


% Q$ S, {" Z) R3 d1 W

2 C( V& I+ a1 E2 x2 c
/ U1 ]6 I' T2 J" r3 `$ J