2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

* p' E% g- K8 W9 P- H8 t之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
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/ o' M( L8 s! T0 K/ N1 t今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
' B& \. D* `; ]5 F, j" P% G


" q( |9 S8 x, N! K. I2 {询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

0 C& a# L" c. O8 i2 S; E: r经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
: g  ~" K4 R$ w& a
1 w4 v: ?4 s! z* y: z1 p. ?但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
3 k  D' [9 W! A3 z  f9 i
这里统一对大家的问题做一个回答：
2 B# E6 n" I# h% N
本题适用差分解法吗？

求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
( w1 x/ v( v! a4 l" k7 E" t1 V
6 Y, p" D8 x7 Q: T差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

/ P' z6 w& Z9 p4 @; z有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
1 }. [- Q1 U4 V( }7 b
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
; C7 V3 r: Q, _8 X0 g& y
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
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. b2 l7 p/ J1 p8 Z/ W是否适用于多层壁热传导？
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评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：

7 F7 h+ U* A) G5 w; X0 x# S5 @( z你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
/ e0 H2 ?2 U' G. b5 C. e- l# r" I
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
) P: ^* e; [/ m& `2 A* a" T9 h' M
9 z# S% t( X" P+ t2 b  f  d! X这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

- X0 I& {# ~5 I思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

& |  b* q" B( }' `这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
) V$ l1 m2 q8 ?8 g
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
: {& F  l% y& \- C1 o* u1 x* w
. ?7 [( M4 j& C2 P2 \0 ~& v) }. B关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
6 }4 R) Q- v" s( E5 _. Y  D) o5 ?
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
( g) F! g) P' w1 {: F
# L: |/ u  y$ E" s之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

# M8 |* O: X: \( m7 O9 Cu(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)

* u9 E0 x9 j# g. R在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
! S7 Z) K6 D. z; y
首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
1 S$ w. n6 Y3 t- ^# L
3 D+ l# z  x% I0 h# p这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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