2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
) T0 ?; d& Z9 s0 [! u) H
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
0 Q7 b2 X* B) ?5 x
$ R2 O! V- {+ I& r8 x2 h今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了



询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

) V$ ~0 ]! {+ D; @经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

% D' s& A/ m/ ?$ q, _9 \但是！

6 |* l( J5 b# ]8 k/ }" k6 Y: E数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
: V# ^, H& j8 F5 b! d
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

/ D0 F' @# R' p7 D( ^: i这里统一对大家的问题做一个回答：
' y9 n; F4 T4 ^' ~- V+ l
! Q2 J- I, l( ]2 [8 B/ p9 l本题适用差分解法吗？
" `/ i# U  r9 m& K+ I
0 {$ o6 ~% l3 h$ I& [5 b+ @求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

8 Z& l, y4 `" y! c4 @/ }差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

! C, P: K2 P# U3 L+ v4 u5 i本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
4 Y$ ^) ~9 B' W& w
! t. F7 M7 A5 L" P" R* x本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
5 w) z; ?. Q( j( H9 f
2 p# U% o6 \2 X6 |  v4 C# [' E% V是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

' m& o) d8 r( @" G; t其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

( H; |  a! H2 C答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：
, R( k6 |2 c% l, h
* q9 S, {3 X$ ~4 j6 _% U# _你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

+ V! I4 E5 u; Y/ k; g( U因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
" L/ L- h, j$ `' X! d8 @+ `
5 d. |5 l. K) y这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

! k: t% H; [8 B5 n/ w: Z* q. D思路2：

* [8 T! A/ ~! V6 D3 d) {/ p我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件

' z, w$ ~* `- @' D0 E8 i构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
) m6 s3 h9 k4 b6 @. a
. \* z2 T' e. l而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
# W. ?4 Q6 g, t
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)
% C/ M3 w8 {8 S! z( A; @
; F5 k& b: N! q" |7 ru(0,t) 和 u(1,t)
' o6 X0 I9 [  l
' D$ L9 N8 c% \' o在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

$ J6 \7 C2 y8 {2 Q8 @4 l# y: x首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

- M- X$ [9 m2 v# n% b% f) P但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
$ V' a1 n$ }! \1 p. o/ n; u
比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
  u- }. a2 D! l9 Q
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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