2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
+ N/ ]; F* P( y( N5 e
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

5 C; ?: S8 t. U# P" a' B( `今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

* L7 X" p4 S/ O4 |

% ?# r- p2 k2 `9 \# O: x询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

. B- u# M* `" c: ^; f但是！
: B4 P/ ]" [) b5 A; B
数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
- V, w' l$ ?' d  M* w" d
3 ^' r& n2 J, p2 ?再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：
8 x; q* R" M, E1 M% h2 N3 F' i
本题适用差分解法吗？
/ F. _0 ^' [1 r5 _* E  |
8 k9 L' J3 L! x/ ]1 ~7 N4 d5 N求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

: p  i" z* v# _本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
+ T/ j% X4 b2 L6 r' b
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
. J  }8 z) `% u+ _! l
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

# v& l4 }, ]- D0 ~4 G当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

( R; V" |+ B1 D思路1：

你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
& t! Y, n( j, F+ a' S8 t+ Q' a
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
# }5 y3 X6 @4 u( x8 n; H6 F  r; ^
! W9 N- ?6 u2 S$ \! P& T8 B这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

# g- Y* I  ?8 A( m* c关于边界条件
' S9 s  W" \1 F8 u# Y
构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
/ Y/ S' x/ w* _' ^
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

! a/ N6 p" ^6 Z' b) r. S4 [6 X; R之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)
. r* a3 |6 W8 g( Q
0 u9 o- g1 G- z3 H( w9 ru(0,t) 和 u(1,t)

9 B* P1 L9 N0 b2 j2 X0 Q# p7 x在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

+ n/ S% m, R- \3 K首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
0 g$ {+ u0 n/ S8 b# }6 M! U
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
5 _& i& T# {# y2 n& P# c& J4 V5 B
1 p1 ?+ w# Y& c6 u- L' t这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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