2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
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, V0 Z' ]4 O4 v今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
! s$ f6 c, k& S; B# Q0 C9 G4 j


+ J4 n) K6 }# Q) R1 u( P询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
; w; L  i6 D3 O3 n
  s7 @3 k2 p* z再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
2 T2 i) [: |5 |3 Y9 ^1 z9 Y4 R
这里统一对大家的问题做一个回答：

  C" M9 m- O6 k1 ?. X- n本题适用差分解法吗？

求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

8 V; z! q# ~  R# ?差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
3 {" g( P  Y/ V2 L
有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
3 g% X( g* R' L+ U3 g
) p4 c/ v# e$ K% ]7 F/ P本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

1 |  s  E1 w* F+ U) C/ R既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

1 w* @5 h; `4 C  @) p) T是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
7 l+ |$ M  `' @1 z7 X' }- ~
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：
/ s0 A0 ^7 m. g1 i/ m* d
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
: _; N, ^8 F& r5 q
7 T9 X7 K6 I  u. Z! A因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
: v+ h$ `# Z7 R; y7 S$ ]
# S6 H6 o, A/ F, d这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：
3 L4 V# `! |# o( y2 P- t
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
1 c; z  d' y, E' T6 H# h
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
7 Z* K2 E" f3 c4 b% S  d6 r& D" V3 n
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
4 i# Z6 A4 U) O+ h
关于边界条件
, K: H& D( ?# a; x8 ?' @1 `! H
* R! X2 A2 c& g' I! ]7 e构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
" ~" M2 _- h6 L  ~
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
( f: @9 ]6 h6 V2 U$ S
1 e1 w! w! M: L8 Z$ W3 Y- G之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
3 a1 I: x. P  x3 a: Q
( }+ _. c3 F3 N: G在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

/ O; f! \  X7 X3 i6 Y% `首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
1 g/ {9 J5 y- c+ b( i
; n' e# Y* v+ s0 m这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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4 y/ h. w0 z. k' L% c* y# X% ]


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