2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
) o" g/ m3 |# D& R
之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
7 P3 Q2 {. K9 |9 Z7 a
/ P6 w# |9 M! _* ?4 A- l今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
& e# v5 N# d  V, k$ C2 ]
/ `- M6 G  Z5 D3 z9 t2 e" d4 H
' d# r3 F. j) @: l, u" T
询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

  N9 L+ G$ S2 D6 Y8 j经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

, I4 j! [9 g4 H! p( d- T0 l但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

/ `5 y- @7 z/ q3 |, d% m9 b6 Y再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
# @6 E' l3 o2 ~3 \+ S
这里统一对大家的问题做一个回答：

2 @- }: O& s' x. u: W3 e. w本题适用差分解法吗？
( }1 {# o1 `  S; ~6 J; i5 Y
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
5 H; F! H) t! J2 _( j5 X; M
# S  G3 B* n, i# |  w8 K* X差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
" c6 s4 ]: ^8 T' _' y2 |
/ H5 y. }. y; Z本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
% h' J. B+ f7 s0 S. Z5 P9 ]! y
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
7 h+ b$ t" \6 x! c
- [2 Q; Z* A& H8 }& V* S( p1 r: s既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
6 \( |. Y8 c; J9 j8 I
- q. V2 J2 v) _- v* @, I当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
2 G6 Q5 _5 e2 F+ l* G. D/ \; k
# t7 `" e; Y( T9 m7 D8 s是否适用于多层壁热传导？
- w$ ?7 v+ p  w. i. `( t
* u; }# k" P2 a2 d. n8 o0 l评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

5 i' K* D" y/ k. F6 x其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
2 ~% l- S6 c8 b. n! s5 h
思路1：
+ A2 E9 B9 Y; b, ~; I
5 s0 g, \( m, B$ s1 f2 P3 J) F你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：
( B5 t( k8 U8 Y
6 `- i- F3 [7 ^8 H3 t1 `我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

# F/ I0 p7 R, a+ h这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
$ O' g) i9 S1 }
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件
' V! P1 E7 B8 Q* h: [% h
" e2 v, N, u, m# Y& z构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

7 n; b- q/ X7 |& Z  b. _4 H- E$ g而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

7 z* @8 @. d, _5 f7 ~; ?/ n5 G" e, m9 C* y之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)
8 q& o  |! V* G' K7 C7 w
; q% I7 m/ D: h" D& Gu(0,t) 和 u(1,t)
( Z& z; C8 J0 n0 u* D% h
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
/ G3 D8 z! D! j6 t% z& o
首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

0 M9 e% J; ], Y' M! k8 n8 b' m& n但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
$ V3 G- p* }6 @( |# n) [$ @
/ ^% p7 B. o' [8 j比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
, c2 N( @% `3 h' L. h  V% ~! Q
8 d, N/ {$ `. Q4 ]9 R5 Q这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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