2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

  e' P9 D2 J, u! d' n7 q之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了


; ?, Q) c7 n* g# y5 n
$ Z; J! ~+ B: c/ V+ v2 Y6 O询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

. S7 v& Q# J) s! L经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
& i, q0 D+ k3 Y, }
+ V! q7 A$ v0 D$ t! L- e! K但是！

' n! z" ]$ {$ I8 a# @数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
. J3 b, \6 d6 I4 n$ T6 ^
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
  q1 i4 M" k! J) [7 \4 \
& \+ C6 L7 R, C9 x这里统一对大家的问题做一个回答：
; R. h7 v) A, x: W' U  D% D0 l
" {; ~, o$ ^9 a3 D, q本题适用差分解法吗？
% L; O* q2 ~1 p% X, d7 m
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
% N, `; J4 k5 {1 R5 w
+ B0 a2 U% t: c/ v/ z! i& A有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
. u4 s6 s4 \) @5 q
8 W1 I, x" d3 o5 r本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

0 l7 F7 z: G6 ?: s0 j/ s4 }既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？

评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

% d; ?, E' ]9 [* B  L1 H* p( I其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
6 L2 B0 }, ~+ v  j( N0 z
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
0 E' t; T6 Q7 h$ R' Z" Z% Z" ?
思路1：
- f( }) K) b* @1 m( I2 g
3 ?# l1 h4 A2 ~/ D! i你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

- D8 U6 Q9 |  z3 k6 _/ B9 w这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

1 ^) K3 o$ [: ~7 L, t! ~8 c3 M' P思路2：
( K6 I3 W- f  H: y7 g; ^3 z
3 }8 O' j' y8 t5 q. M我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

; F! |- i% h/ w+ c5 x0 O这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

7 c* j( E; Z4 q/ {+ p这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
. Q2 E/ ?3 Z: X! h0 M, [! e8 g# A
- D5 M1 ?3 Q- _  k# V  z关于边界条件
6 H/ E& s5 s# u# p3 E, ?
. V# L8 \# b! \1 n+ V. x构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

: `: u; T% w& @6 m而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
, p) k; t9 n% `+ A$ N
* \6 W$ Q1 g2 C: j之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)
. Z. D6 l$ b9 I" ^; q
  v3 t$ ?( m8 b* H; g9 gu(0,t) 和 u(1,t)
" J- |7 Q9 y  s$ s
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

% Y1 u5 ^/ N5 N) o" ?0 z首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
+ _) h9 Y4 O, @( q" i
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

* H, r$ _& N* Q$ I' n' y- B# E比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

/ I5 i' r$ t4 ~! d6 ~这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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