2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
5 W7 x- b, e) P' m5 J9 H
! ?; D  x! x$ g% v% z; h之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
0 ?6 i) q% O( V* r9 m2 P
6 ~$ w0 t/ O, n! G" s. O. G今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了



询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
4 O( o- v5 R& S: `' S% `- u' i
, y9 E1 y) j* y* `经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
1 W! Y: o( _. m! d) {
- X3 U3 x/ @3 F8 Y再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？
, R3 p( j3 K' ?) C5 k! i
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

; K; Q% c( C3 ?: R3 k' [5 @" ~4 P差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

3 Z5 Z3 V, O4 q/ p/ E有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
$ Z1 }- g( X- F4 N
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

6 e3 s; Y4 C( V. g' U/ g既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？
. p! q8 b, @& w- a: o
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

4 e5 o1 o; B  R0 q) ?其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
, Z2 E: j* m6 \! ?9 P, u5 `
* }& e  l& }. v5 X. l+ y+ M- w答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
& c3 ~) `) m7 l! B: k
. O  ^: [% s( W/ H! k+ F思路1：

( ?; ~: |: M. F! B6 l; I* S你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
" j0 W7 ~5 c( B/ G5 \
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

+ J8 I+ M4 }8 b" E, P9 d' B6 `思路2：
! n# c) v! [: j0 g
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
3 b2 t) N! c0 @1 \5 L. L& c- m2 F
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
) B+ F5 t6 |  x' w4 k5 H) `
这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
, z6 w0 T9 N$ t% b+ E( ?
关于边界条件
, G6 J4 e; M8 o' d/ Z! e
) S) {$ P( T! L构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
% K6 t7 s  p" Z) k- K# q3 b$ Y
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

( U! A3 D2 y, q. w) @u(x,0)

$ v% [. i- y; I& Ju(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
; E. g7 i3 u' j" U# |3 f, c5 E
, u5 T: Q7 h& c; L# J" t+ q首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
8 C" `* f  r3 B% T3 R9 _3 G
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
" |  |1 O7 M" n6 ~6 a3 S
比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
  }% W- d; E* W5 Y- E# |& X! e
这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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