数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
. X( F: V" l) N& X, W优化算法

数学建模问题总共分为四类：
% o+ X2 N9 G; B  f1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

" ~4 w" ]2 l( O一、粒子群算法（PSO）

& p  B! A  P' Y7 y, a' K2 Q算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
& z  `7 Z8 v# \& q$ o1 B+ gPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
. G9 w  B) b, m  [
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
( G# r$ @8 |& f( Y- Z6 D+ A8 p6 o1 q粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
! R5 E# z5 R* ~8 P群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
# i2 S5 t% x+ `" {6 d/ {5 i

二、模拟退火算法（SA）
# ~, x& ^, d& ~9 f" V7 a: A) X
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
0 p5 a4 t+ i) z8 ?3 e4 O# q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

% P4 Y+ C0 l$ p" i6 A5 b三、遗传算法

( N- X0 k0 E" i4 c8 _, t$ v产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
4 q( o. u5 o* D- f/ q. k4 ~根据适应值的好坏不断选择和繁殖
$ [' H  a" n8 S: s7 z9 A4 |0 @若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
, L3 c. U/ h5 s7 z
四、算法步骤
" r" {) @1 B3 L# R! F初始种群
% q1 W7 `0 H6 m3 l" W1 A编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
# O8 @; R, C8 l, o/ J适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
' D* F2 f( D+ c1 h7 a
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
  y1 o( j" q# k7 b$ S" c
6 [9 @7 M% ?& b8 {3 W五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
. U, h2 J+ m5 F8 V1 s. \优点：
. d6 w& y; k4 A8 M: t, N1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
' g" h( Q6 Y. e& G, p4 U2、局部开发能力强，收敛速度很快。
3 q# j, ~' q: A# v8 _0 ^缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
& V. C/ j. a! X: F4 r
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
( ^4 q+ N1 t, _% T) s9 za、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
6 ~* v+ k8 Z, O' C. y% N(2)初始解的获取
: ?) h. X. K. F$ F- G可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
" }3 h8 m' V& b' O移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
; W! v% K. ?8 }* C) a6 Z(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
( w  O# `9 t% J(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
% n9 D7 I: a1 }5 p. X4 [2 a
六、蚁群算法（AS）
' L" N7 J( E1 T: Z5 r) T+ X
5 T6 q# v/ y5 b0 R3 w+ B
- {% E  i2 x8 X

5 u( ~) G2 {* f' X" B" x) k5 W



0 F7 c! A4 _2 I: o' [2 `# r: ~

' }# V! X6 l, V- d; ]6 ]
5 y- U3 T! c! U- @: M