数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
' @  u; d% I' @1 a/ B3 p优化算法

1 ]: t" n, }# g: l5 k4 X7 e: E! E3 Q数学建模问题总共分为四类：
$ }5 B) Y6 B- Q4 o5 d) Z) Q& ^1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
- I) a5 ^& S0 QPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ O5 K! g; t( z% X0 t
7 u; J6 x/ c* Z# z/ E* I, [基本PSO算法
6 s  L5 ]( V9 M1 B: M. {, A# U4 n
, A# g8 O; f# N) ID维空间中，有m个粒子；
& a0 u0 l* H$ V! j* V3 D粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
( w5 L! D3 x6 M% a, _
5 p2 z! j" H: {! A模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
$ k0 |+ a# _- i9 I热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
5 l1 Y# m3 t# x9 ?0 z降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
& ~* g6 y- r1 o: E4 e2 J
三、遗传算法

$ F, {8 x  T) E* `产生一个初始种群
1 Z- t" p* K4 P根据问题的目标函数构造适值函数
8 ^: `4 q0 i" J! I3 ]  [$ g0 |根据适应值的好坏不断选择和繁殖
) E2 b. S, I" C0 c, Y! ^9 _若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

0 X- D; R, P; [- {5 @四、算法步骤
7 F+ n# R- p4 Y5 u# Q) J初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
8 J  L9 n6 W& U# [适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
2 d0 e/ }5 B1 M! R# B遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

  n9 v2 O" z+ W/ I  d( F和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

& k, B0 A7 l' w) C# O, X) O五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
5 m& q% O# g2 [" C) t
, o0 N# `, {& R又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
& Z$ [% I- Y7 A2、局部开发能力强，收敛速度很快。
# f- a- ~; [7 W1 C& y5 |% T7 V6 g缺点：
4 p( j! x- y! l  V0 G1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

5 f+ Q5 |5 {: \. b将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
. {5 v5 y4 E; ?4 ua、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
# [9 L- Y1 O* H3 @b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
" @4 H4 b+ I' A. K% S$ [; b. a/ U可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
; R2 T) `. s. S5 D从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
: g$ ]6 a9 Y" _% }禁忌表的作用：防止搜索出现循环
2 n& c: e/ d0 t- M; Z; w) N(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
/ g$ {" I! r; X$ G' x
六、蚁群算法（AS）
2 \$ @6 }* B9 Q) c

& K- Y# x1 s4 \2 ^





. F( H( V# {7 h  c" V1 P
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* K- @2 Z% i  B: h$ S7 F