数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
) c8 b0 `  L  K4 @优化算法
* V( c8 Z4 p' C2 _# {
5 ~1 j9 T! @  W数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
- ]/ E3 O8 w; N
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
" G: |% O: Q" o! `  APSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

8 c3 i* c" f0 U# w/ f7 P  [2 }9 v  C9 MD维空间中，有m个粒子；
# \, G& ]4 j/ \1 t- l粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
! c( ~8 d( k8 N8 d$ l粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
. U6 q, ]" F1 {粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
8 g: j% F* v" L群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
' I+ a# E- r9 r8 a
* g" _6 u0 V/ ?6 Q4 V+ H
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
* u* `: {$ P  |- y* j设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
% Y4 V5 E7 Z" K/ v, _; b& V3 X热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
* _: J: M$ y9 C1 m3 i; r# ]; I) W, }
( Z' s3 [/ o/ j. [7 o  k三、遗传算法

8 k  S7 }; m& y' u产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
, S' U7 j# P  l5 r' r- e根据适应值的好坏不断选择和繁殖
. v! }5 f( V4 ~( S# Y若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
& m( r7 @# v2 s* \. N: M
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
. b( V6 [$ G' W1 L0 ?7 r选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

9 o7 W/ E$ x; Z% e. i  l; s* ?四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
" s1 Q$ p9 K; T- C: Z0 K
8 b$ a+ R6 I7 F5 B" a3 s$ ^五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
; k6 G1 v1 `. X/ r% e8 |
7 G# ~% ~3 [4 e+ N: O( h) M又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
5 C! d$ c( I! E缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2 B  S2 @6 B' Y2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

6 F) U' P5 B0 h. N$ ^# v( [将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
2 o3 L* @% ?; U$ F% Jb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
# k) m) ~. c0 g(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
; t( I/ D! l2 @/ r从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
, B: f3 ^0 S4 W. V(4)禁忌表
( v8 L9 Y; c7 o5 f( K- Y禁忌表的作用：防止搜索出现循环
2 f( x! U# K, l7 a(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
9 h1 \% C& ~3 i. w/ ?
7 A' a; i2 ^: e! _六、蚁群算法（AS）

- [6 H: }  t/ f4 |- f( _: a
) m3 O1 P$ q8 C# r" [5 i
8 }' s$ B0 J1 d( X/ {& T
6 x! N/ @- P! t) V3 B/ _5 D



4 p* Y1 q2 g% d  ^* q, w
, Q$ a( ?' \% e$ X# W& X