数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

数学建模问题总共分为四类：
4 j9 x0 `  D' k7 t5 U1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
( k1 N$ O8 }: E4 f
! ?8 D- S2 k- k8 j, \* n8 k! n一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
7 u! \5 C$ K4 h9 [0 `
D维空间中，有m个粒子；
8 @' O1 |0 _9 N# z: C粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
$ t5 `, l& o3 _粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
( \0 {6 I$ P% O粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
4 }' W4 o9 N5 o$ C4 q  g/ G群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

* G7 }" }9 Z4 I) N: W) E# I1 `
二、模拟退火算法（SA）
, l3 h( u7 d. f+ I% O8 z
, z& s, a: [7 b* j模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
0 v3 h% _9 p% Q( t4 K3 r热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
. v$ {6 V% d: H降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
* _7 a* t: Q" ]* f8 l% p8 P& Q- M
产生一个初始种群
: c0 \6 T6 Q" c1 |& V; n根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
" x! }4 Q# r# W7 x* o( t若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

/ ^$ X# z0 ]# o四、算法步骤
; w3 q& O2 |  j. x2 O& L  J初始种群
2 z$ n( f0 g) Q5 E编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
& M, j) B* X2 U! m适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
" R& \4 @! |# C( k% p9 j选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
+ W; H' r2 S3 g6 C! b8 C
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

$ N0 Y. X% ~7 ~3 \' G% W; f和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
* x% h: I2 s  M; g& i
5 [5 l, b! y* g- |4 y五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ l" T; x! ?7 D+ |% H( U2 o
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
# ^( i" V  t$ Y; f2 E) oa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
% ~2 N0 ^/ O6 z2 |b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
5 P( u1 O4 z8 l; x4 [8 ~(3)移动邻域
# W$ w# x  _! @$ y. _移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
+ r% p, p4 j2 g) b! e& p5 K从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
5 J6 L! V: a+ n2 U; d; ^' o(5)渴望水平函数
5 S' {2 Z6 p/ ~1 V6 ^' t5 tA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
" Y0 Y+ |7 F7 F" n5 C" h5 i( C" n: r0 \
六、蚁群算法（AS）
% \7 Q2 c3 p& l( z3 N, b2 ?0 A
. M0 \: I6 n! c, q3 K
/ N- H# Y! a- _; J0 G2 G4 r) C! z" Z
- Y8 w' K6 b9 b0 x5 K

1 H) D. ]- ?! m3 f  o7 e* P9 Q

2 Y% I: U( U" @, `
$ E1 C" Q8 O6 w$ i! C
- M8 E% ^7 F  M) v2 n