数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
) b# z& S9 e. i" L0 x, V优化算法
# f! O& K9 _; d. @9 A( u
数学建模问题总共分为四类：
# S0 v4 U! u) Q. |1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
1 K9 g, H* K9 O6 q1 U) T) s' I
& T/ n! P2 X/ d, U3 Y" I* L一、粒子群算法（PSO）
% Q% I9 z/ W% @) K1 M' L- S
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

' X) r2 L& F0 X. n. \基本PSO算法

' P+ r+ u" @0 k2 kD维空间中，有m个粒子；
% w& x& |! g4 q& }/ E$ s粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
: ~& o4 M% J9 _, @/ e0 {& V/ D. ?粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

6 T: u+ x/ Y/ l
二、模拟退火算法（SA）
& S- R1 G& s* i/ Y
模拟退火过程：
5 h$ V8 q( w1 m  y1 P, p% M- \设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 g" F* ^% e% W5 d) }/ {) L( n热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
. W) P: V  t3 Z: \! h
三、遗传算法
  ^2 F- }, S5 V
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
( K6 `+ ~" _- d* h根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

& j0 p! l# O: O# w6 V1 ?$ |四、算法步骤
- S; |9 }1 M" m初始种群
; U+ o- l& Q0 u% k编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
* F$ U+ @, Y; ?% z* V" _! a1 }适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
0 ?3 b1 h( X, K/ {- m$ c1 h+ ^选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
) \0 q* P7 W* G4 w
. o$ `/ K+ [7 [, |1 M7 h( S参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
+ r* N, a3 T4 Z6 W; c3 J
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
1 [: w2 z9 u1 X+ T9 ~/ |# r4 S优点：
; k( Q( t1 Q$ a0 d& `5 U6 S1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
. z! k" {- h# u1 s+ r0 ?# }2、局部开发能力强，收敛速度很快。
' s; B4 K+ ~' o3 u6 Q! J缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

- J5 [9 e1 V) ^# p) Y+ s' ~将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
( b  d% q# b) y. Ha、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
7 m; l0 M3 l8 g1 Jb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  _& I0 X7 a7 A( F2 v2 Y$ g移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
# N. d6 s2 Y: D( y2 Q: Y% p从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
9 }) C% n( O9 {9 N% nA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
4 M: a% B: N: t: t& Y' {
, s+ A4 n; R: Y0 O$ S2 X

0 m7 r4 ?5 E# G5 y. S# h


0 x9 c& f: k$ Q- H' w
/ M) a( Z' P" H9 p* }" {

& h2 w; e) R3 o) q

4 O) U$ v& ~, A4 B1 I. f