数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
, x" [8 Q( ~* Q% I优化算法
6 y2 l5 M8 ?* ?* Y: @( Z
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
" z+ D4 s" O6 z) p6 J4 [
一、粒子群算法（PSO）

9 k7 X9 Z  a; C1 f. `算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
! O+ a: r+ m3 ~7 q5 Z" I, Y; JPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* u2 T, ^! I- ^# w6 c
) b: v: y* ?/ H& }) D# r5 j! y基本PSO算法
9 f) Y2 v1 W4 M, W: G
% F- x  t, G- S% Y( z6 tD维空间中，有m个粒子；
$ A4 m' |! t4 |粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
5 y( A0 u9 c; @4 q, ]5 u+ ^. J粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
9 V$ K3 {' K  J$ Z- o群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
' h- k/ a* ^& v6 c  o

# A# @6 r. X8 r; B0 R3 s4 p/ Q二、模拟退火算法（SA）

3 Y+ k% h0 h6 T& w$ }4 P& N% \模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
3 p/ u6 j1 l8 t; J! S% P
三、遗传算法

) [, E: b; J, ?3 C产生一个初始种群
. a$ |" p: k, \- E: E7 f+ N根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
7 ]9 f) i6 D; ]$ F8 t% i- f若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
" `1 p0 J% K* C+ p# x
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
$ k; V5 [% [" S$ D适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
5 M/ j4 r  m2 O# g& c$ L遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

* t# F& x: F/ c# X3 X参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

, d8 K" B; b0 P/ e6 A- u/ G四、神经网络算法

) |% S: f( I+ Z$ k, G# l* q8 U和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
2 e' c& d0 L7 I7 F* N
+ s$ h) d5 W' }6 x& o% x五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
% K/ t+ X8 S. I
( t' y% Z$ Z+ Z3 V% }( o0 d3 y: L) k. k又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
0 R; I  q" i" M% \; d优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 {2 [1 N& g; I2、局部开发能力强，收敛速度很快。
4 X0 d4 E$ c3 V缺点：
$ `, g7 d2 Y" w6 _* K9 Z1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
1 e7 e4 ]3 z# l' A" k6 U2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
, z4 P7 |4 p' e+ Y: N- V
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
+ T' y& a& u3 D! ga、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
( u- G# S) B: z; r. g. A(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
; g$ p: m* ?% y$ p. E4 |" d(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
$ Z9 b: p- K- R  v禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

; o* a! k2 w- B. T% D+ U
9 b9 ?8 D6 x' G+ {6 h
9 n2 s" K5 T' ~3 ?7 \) B; J

3 Z8 k9 K6 d7 K3 ?! K0 i" U
) C5 p7 P2 p4 ]$ h8 C
/ e+ r2 H$ I6 s' y0 G
* f0 y5 [6 }/ U6 q3 f( s


  x" q; v; d6 P  S0 J