数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
7 j) H; Y# }  ~7 j, }7 J+ p5 o优化算法

  v8 C  e1 F# h7 k数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
6 q0 r& S% {2 K6 J
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
# D  R. \2 M, U
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
( I( F, s* N7 V: \粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
4 Z; u8 n7 P; ^1 p( A群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
, _5 `3 m7 e1 a! U( @; n. h5 G
3 Z) y8 o* d1 `9 ^& A- n$ E7 J* u# k
% O) _4 ~& ^* C4 P4 y二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

* Q7 ^+ S: q) o5 q$ N. A. K5 l三、遗传算法
3 g- {; t9 a3 I/ P+ o$ l
产生一个初始种群
6 K3 n9 T6 R/ a0 A8 q: [( I5 F根据问题的目标函数构造适值函数
/ V8 i( n# s2 i" l/ U" J* @根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

& d* D6 \5 l5 g9 s四、算法步骤
初始种群
) ]. q) o$ E! {6 C8 r  U, H) w编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
' p/ d: _% U0 D) D- ?适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
" h6 N* J1 V  N( L8 Q" S9 {停止准则

* y7 j. o7 l% ^参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

0 W' i1 c8 R4 p! o* n四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
! }: y6 t- D8 }9 }2 L4 U) ]  O5 s
' J( u9 _8 {8 n8 ^, i# i五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
% E9 t9 @/ B, I
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
0 s2 a' D4 D" |4 m! |3 A3 @优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
  }0 i/ x. J# b6 m( C. N# E缺点：
1 B# ~# ]- n" g* M( p( G# y1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
( Y& |4 {- n: V0 X/ J
: Z8 n8 ~0 ]4 ]) w; d+ y将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
* E5 j. i; P3 L0 P% vb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
# w5 B- n; L/ U; h可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
- O0 Q  L/ S2 P  ]- F3 N  [A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


% v' C0 Y* k9 J# X" ^

) s4 y2 G1 H/ _4 _3 c& H8 a3 u- }2 b

) v+ g9 ?/ C* l/ ^$ q



+ d" D* Q" X4 T, X# b5 p
( [! p8 }2 k4 B- U8 I