数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
" |3 ~2 w$ j  i" ~6 x

. F2 ?- e5 `. k* A! h% d
' O$ h+ [% G5 `6 J$ W  [: Q       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
& R* V) h. ~/ E! Q       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
4 D4 l6 I2 P* ?6 i! J! `) F- v

" K# \) D: @+ d: z$ X        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。
  P! m9 E4 T2 I' I
       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
0 V( e+ r9 ^4 S" X! l( F       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

8 _" q. `( c9 S$ I* T" G5 P+ |       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
1 x2 D& a# \4 a" Y8 s
) {' b7 `) p$ c  H6 T/ V5 p7 q
4 @( h6 b$ r3 {0 h( B6 X

clc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
) ~) L6 U' N) u# H# q4 H$ Y. q/ O4 zl = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
. z2 u; c1 p2 }& L! tplot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
: q. B3 U/ e& w2 f% |# O5 m8 vaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
title('蒲丰投针实验')
hold on
1 \! ?/ @$ H) M: ^8 w: [" d3 t& B! Xbeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
; ]$ M. b( Q8 zm = 0;
; R! K2 n2 S! I3 @4 xfor i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
! ]% c3 e% H0 @, q6 g0 \6 d' G' W        m = m + 1;%符合条件就增计数
# e. S$ F. ]3 o: a$ W8 ~        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
( \+ `: v  e" ^        pause(0.00001)
    else
: O2 }: ?$ a0 H/ L. I! x* x        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
! ]; I( v- G! P; v       pause(0.00001)
    end
" [8 Y& v. \( T6 t- G4 |( }% yend
p = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
/ T8 N3 m0 R" J9 L  d0 L


结果如下：
( H/ u0 s6 S/ v) ?* g2 s: u


$ S; ]/ t' J$ A. R1 a3 P/ P
) }+ |0 W5 R0 i0 |
& Y$ M$ u# e; g+ b3 o& K
# Z7 {) n; I0 i+ a