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[建模教程] Matlab数学建模学习报告(一)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2019-4-10 15:43 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    Matlab数学建模学习报告(一)2 R2 [) }# ]2 F, f- E) {# l9 ~! r

    ; R' W/ f9 L# i3 r
    ) m$ j3 O' R# y+ q1. 二维数据曲线图
    1.1 绘制二维曲线的基本函数

    1.plot()函数 / q* _2 I' T9 S
    plot函数用于绘制二维平面上的线性坐标曲线图,要提供一组x坐标和对应的y坐标,可以绘制分别以x和y为横、纵坐标的二维曲线。
    3 }5 ]! v7 }) C# o# Z例:

    二、实例演练。7 ?" O9 i7 I2 h' M9 F3 n

    , j1 A. H; q- ~8 r3 K# N+ `   1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。
    & l; a* T: G7 t
    # H* N( Z3 L6 O0 h        Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。' h' w$ f* ?! u: J

    ( P" T* F+ Y' a9 ~$ Q6 D2 o        人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:  A5 X" l0 H3 i' X) P/ Q8 P
    5 L4 s2 K6 ?6 H+ P+ G& O& c
    (1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。" i. s# T& _1 c
    ; {) M$ m9 t* O1 R2 F
    (2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。
    ( w" b' ^- ?3 M" r8 v. E+ f: p% X
    & U2 b. F4 |4 Y6 q; d(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。4 u' A& N; t" q' J3 u/ ^2 V4 k3 [
    + k1 t6 H( F6 F6 g# E) t! j( f; `
            正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
    # E+ J2 o9 a4 a) i/ a
    & |, d: E& ~' Z" }, `         数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:/ O$ a- V% T1 j! J1 b  ]1 |
    6 m& |" G2 K7 T( U- Y3 n
    要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:; h! P& j/ p" W8 j7 q% K) p

    + p& B/ E% N; V/ u1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;/ {6 I0 N: w! K
    : d4 y- _9 h" }( J2 H$ F1 I
    2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);
    ' A% L1 W2 X9 d* D" I
    * j+ j8 `  ^8 I0 L3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型;1 M6 v( T0 R2 {0 c" V/ v7 V4 ]" p
    % e1 K+ g0 W" o* _: B# B* F
    4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。
    9 ]1 U# E7 ~9 B& z' t' a: C: _( t: p9 y# p0 A5 M) X& D" a5 C3 ]
    要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
    . ?8 y4 K2 Q1 l9 }- O6 b
    / D$ w) K, e& p8 v* T! |, H  2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)! Y5 \" h% q) }
    5 K8 F$ ?/ m5 f
    解题步骤:# R7 Y/ t- l: O4 D2 h6 I
    2 B2 s5 T/ i' Y3 m" t# U# i
    第一阶段:从外部读取数据
    4 c9 |' X3 L" o7 u
    5 x" h0 y6 g; H  y) O$ O! ZStep1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。1 Y9 i3 k+ y% u  |& g

    * y4 F* \6 o, |' ?) W' S# T% k# q) }4 Z/ ^5 \1 e" M" k
    " Y  E3 A" X. l  o
                                                                      图1. 启动导入数据引擎示意图7 o$ ]+ F# [# r4 {2 S9 l

    2 }( Q2 |) }7 MStep1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。
    4 I+ V( o4 B6 V7 n- f/ E7 P3 N0 O
    1 o$ S' i( r( V. l3 ]8 r; @& Q0 h4 L& {
    % h/ \2 a2 z  H0 V7 K" W* s
                                                                        图2. 导入数据界面. |. r6 r) o" T1 A' X6 e# X( }+ u

    ! I- @4 o. y+ oStep1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。
    4 u- P2 q. |$ B; |5 i1 P8 @' Q$ `, M# X2 S. m, F+ U5 F( B
    . K' z$ H  o) D  D( f
    ; X6 b, O) ], V
    第二阶段:数据探索和建模1 m* f# B5 n7 A# @, a/ `" j5 S

    2 a. I+ {8 [! x* ]: {现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。4 c% w. ~8 K6 |3 B8 e  e* p: [
    * q5 j: Y# w- i% G
    Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。3 l/ n" O, P" x

    - s! t7 v5 v  e1 p" v5 r/ i由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。
    3 |. T4 J& s6 Z" M* W4 d7 P2 C" Y0 I: K9 _4 L( K
    对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。
    : F6 b* A# n3 Z) a
    0 H( \' m2 p+ M4 Z% t0 Y+ I) b4 a, z0 h4 i

    : m/ y& d) |% K( j' n5 q                                                                                 图3 MATLAB绘图面板中的图例
    9 N6 H& k$ ^' a) H& S: J) s9 Z- K; o
    要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。
    . Q" e- u: W. C' y8 e2 c/ H
    / C  G8 n5 Q; O& SStep2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:
    3 O: O) k+ e" T4 [/ I6 Z5 V
    ) A7 D6 a0 w) o/ u+ x9 B>> plot(DateNum,Pclose)8 X5 a! X  \' f" t; G' @; O
    7 K5 ~/ L9 D8 n2 i1 Q

    4 J3 _4 m" C4 W8 g1 P
    : G+ I$ R" e& Q( k1 o- [                                                                                       图4 通过 plot 图标绘制的原图
    ( p  Q2 A/ z0 m# o& a8 x4 A8 [& A, V5 N0 N4 H" j0 _+ q
    这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:  D$ N; S7 [: f. h  l) s
    ; ~$ T! n7 b9 [# ]! }
    (1)曲线的颜色、线宽、形状;
    & ?1 C6 ~9 X  f( S- g) h
    + B2 v6 r  H- e(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;6 k7 Y* L7 J. V+ K
    * ?/ O- G% G% k( g
    (3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。
    & x7 V  Y2 F8 f6 F% d5 I2 E  Z0 t  z0 a$ E
    此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
    " ~* m- D. ]0 t& c$ M
    - S, ]: f! w5 q, y. o接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?9 @0 e( F# X/ V( H. H- Q
    + v" s! j- u2 y0 L/ v& E  z
             对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。; ?& X5 @) r) k) p; n

    5 E6 v6 i2 K9 N, I# C         对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?! O5 U+ s! P1 L8 L# {, ]
    ; x" W" \* N- s0 A( Y
             最大回撤率的公式可以这样表达:. P, B1 r. t( K3 r) E, a' q* J
    : w3 B, c6 D: H/ Q% ]5 U- X1 `4 Z
    D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值
    ) [1 _6 G4 u/ q4 T8 {6 M& Y
    ) w  ~! V  w% ~2 `$ t, ndrawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。% x7 H5 d& n' t, H( z
    7 {. C4 x+ U' w! ?
               斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。
    ; f0 q( I9 a2 ?5 ~: O( J  q$ B
    9 b* q! ]- ?" Y* N, l9 J  @7 @' IStep2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:
    0 b& p7 w8 O; N' [" q- P' c/ g" k! R
    >> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
    4 n7 d& V' v& U! W; a5 K1 O& a
    5 |# w9 m$ k5 ]* g& [. f& E" G>> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
    " n, E) G7 Q4 s( x/ G5 x! G4 P1 e5 n+ l* W3 A& b/ w' D
    value =* z" w8 G- o0 z) R7 j

    * A& q8 X% }9 b- r. e    0.12128 i8 J" {- L) m' ~4 U
    0 h& J8 y. _0 j: a
    代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。) Q# v% @  g2 f. r8 P, A2 h, K* o

    8 u" ]- k7 \. q$ h2 v5 @Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:+ k! Z' L* k8 b5 a' l% @

    ) ~) u/ k* b! x>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
    5 f- j0 J; g& W' q
    8 q, ^# y# M- c; ^8 j>> risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险! Z1 |! N; P- U8 p: W/ n

      t/ a  J: Z. p5 F3 Y9 K! yrisk =
    8 {# T1 l5 J- r- Q$ T; r
    5 R& j1 X1 W+ G* v: a- `    0.1155
    + Z4 Y; t* Y2 j% r
    / O) n; m" Y# D, m# I$ I/ A代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
    . g% ~7 @! A4 \5 h8 W% G
    . l' F% g# D% S; {: l到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。( ?8 M6 e- ]" K% t" ^

    2 Q# x/ I2 y" y3 Z& I9 Y: [3 DStep2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。/ V# O$ R( a: n5 L- O4 J& S( g
    : x0 e! H4 Z  Q4 `2 d% _
    脚本源代码中有些地方要注意:9 T7 S6 j6 K" V- E2 |# n( M9 K
    / G$ c+ u7 I) p
           %%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。
    ! n, G% Q( M. {- s" @% B% |
    $ D4 y! A1 ?: x2 l" Z5 Z       %后的内容是注释。
    6 ]$ k; p2 z* G. q' u' ?  p
    ! {3 _( E& g. t) u- L: ^        每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。& J6 f% U+ O3 l- r, _% {- J# G

    0 I4 Q* D: N5 k+ b脚本源代码:
    . n$ Q, ~! Q8 E4 C% g9 v" X) Z9 O# c- p3 n+ T# p  T: y
    %% 预测股票的价值与风险# @8 _% O4 U( m9 P+ ?; l2 D- l; l
    5 s5 E+ W7 ~, J; L+ t+ m
    %% 导入数据) x/ p6 Q1 L2 \4 u* a& O/ E
    clc, clear, close all" n( J5 B6 V& [5 _- O4 _
    % clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 9 m1 w# [$ M" e
    % clear:清除工作空间的所有变量 8 G6 w( U1 ]  E/ y5 v
    % close all:关闭所有的Figure窗口
    ) E) H7 `9 n6 P, l' Q
    - ^4 o; ]& L8 M) Q% 导入数据" O6 n& q' d/ {% l
    [~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
    / R; m: H8 e- w# L% [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值
    % |4 v  f' ^7 O1 _& e; q% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围. M& v; U, r/ d' O, x

    # i5 V* {" `( l% 创建输出变量. \9 v) Z/ V5 h) S$ Y% Y! \# B
    data = reshape([raw{:}],size(raw));
    2 x' J  f0 U8 a- c1 J% [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
    : ]/ b8 u/ L$ c7 h7 v" n
    - Z) E# s; g# e4 z/ N/ [! |3 @6 L6 ~$ F% 将导入的数组分配列变量名称$ f3 n" ~; c6 R9 N) }# n
    Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列
    6 W4 A0 a4 R9 M& l* T: aDateNum = data(:, 2);
    8 X; V  M5 ~. Q; D; jPopen = data(:, 3);
    8 g9 `  b0 T* Q! o# cPhigh = data(:, 4);
    & ^& I" P; }6 g$ |) s8 aPlow = data(:, 5);
    # P; x+ c4 ?/ {$ j: gPclose = data(:, 6);  $ M' X6 l8 n2 D  v: x
    Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和$ |: Y! z' O1 H- `: S
    Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
    # [9 G0 X3 I! F" U: t) G% [" s
    0 F+ i1 a7 X( Z( ]0 Y7 G5 p% 清除临时变量data和raw
    6 |* D. h/ F4 |+ Tclearvars data raw;
    : q1 }* w: g5 K5 I1 w
    " ^; @2 P% T- I: H, c5 ?8 A7 i%% 数据探索
    , o. @( x$ f9 L, x$ j) ]* k
    . s' S* l; Q9 r7 E+ r! Wfigure % 创建一个新的图像窗口
      ?9 A0 l$ s: J4 {; u0 uplot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真- V5 k& m& y& k) H/ X5 ]
    datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27
    4 G) d7 K+ S8 J! _  z# sxlabel('日期') % x轴% W& D' g$ m2 n! B
    ylabel('收盘价') % y轴% E6 p5 b; [4 ~; Y
    figure
    : L: ~& X0 R) @' p6 ?* d+ xbar(Pclose) % 作为对照图形6 X* P; V6 L0 s. A
    - j: m$ o6 ^( r- Y3 }' C
    %% 股票价值的评估
    4 C6 a1 T( @& W' i2 x# @% F
    & B6 t: ?( U0 X6 mp = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合9 ?$ h( `( ?, O# ]# \/ P5 G5 Y
    % polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列) `, a' v3 r8 f
    P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果% ~  j+ \9 N, Z5 B4 e1 X
    figure
    - A5 l( \' w3 V4 f8 l3 Rplot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的*
    ) c2 i6 [- @4 m* b3 A, e$ evalue = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数
    0 |5 S# ]; f2 k9 j
    / |3 J/ `, x: y$ h) L  x%% 股票风险的评估
      O/ y7 q  A6 s( h. m4 SMaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤" X/ P% s6 w2 `: C' e
    risk = MaxDD  % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险' k. t$ S" j6 E6 v& D/ B
      3、回归算法演练。
    " }) f) z- M' [5 q' a+ `. U! x' Y4 S" D  R/ Y6 l  O
    (1)一元线性回归
    ' r5 P$ G! S0 T
    ' H+ K" Z- `6 u) o: n[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
    / `* b# S" O; e3 @. o% g$ g8 @( \! ?6 Y& R4 O( D8 }
    % J) _; A- G6 s$ j

    ! H0 O3 `2 q; z. [5 S: Z! ]该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:
    ; Y7 J+ o7 ?. n6 j+ d) m! f- ?+ Q* s7 M& F+ Q
    (1)输入数据) F" Y* M0 X) |& [1 y  ^- |5 n
    ' y. e4 e6 a: g5 u
    %% 输入数据
    ; T+ b% q$ }- t' M+ Zclc, clear, close all
    ! B( G( @# a( M; H% 职工工资总额+ ~3 }3 e9 h. z
    x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];* a. d& |( t5 @- |$ O) {
    % 商品零售总额( ?& x( l& |$ h5 @8 `) U
    y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];9 ]2 m+ @! }) U
    (2)采用最小二乘回归
    9 {0 q# @# Y# x0 d# ^5 Z" `) c, L9 ^% X' b' s# T
    %% 采用最小二乘法回归
    - U# B% q  O5 f+ P% 作散点图
      Q$ F1 f$ _. o' J0 R  wfigure& y4 C6 D1 R4 K2 z
    plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色3 Y6 q  f3 {# e) G: i+ N/ l! q: |
    xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)
    0 r2 R, d0 J, Y* _ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)4 H$ L- [! [, V' U; w; I
    set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为20 d3 P8 B" j6 g8 k
    $ _2 o* a- R& ]! {9 c
    % 采用最小二乘法拟合
    # Q1 p9 w# V4 PLxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同
    2 `5 I( P* x1 e* @Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
    0 f8 S4 _# ]; {% ab1 = Lxy/Lxx;% a  S, X2 h& @: b& Y5 G
    b0 = mean(y) - b1 * mean(x);' r+ G* e7 N: K; b) ~
    y1 = b1 * x + b0;
    4 R7 Z; |; _  \* j3 P1 b9 Y& ?
    ! ?% i. Y4 G! O% o' _& g1 shold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存
    ; W4 Z* p/ v/ B- T6 n5 lplot(x,y1, 'linewidth',2);
    0 [% e% R  P# v: }0 a8 X( P$ R运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
    ) E5 u3 g  Y4 k
    5 \0 {0 N! x$ W" e8 s
    8 m4 h! r- e+ u+ N; p/ o% V( ^6 h
    8 M. s6 C' c$ A6 N                                                                                                    图5
    ! Q. H) x  j3 p4 j  z! w  Y; q7 ^& I+ k
    (3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归6 v1 m: T. h9 |9 p: y

    7 d2 }, K/ t: b' l, U/ ?%% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
    1 C3 x5 }& @$ tm2 = LinearModel.fit(x, y)$ l" L% v1 }1 U+ _) z
    运行结果如下:6 C  |0 m7 H& B( c# M5 u& Y

    : w% `% N. r1 s6 I9 r  @4 E5 cm2 =9 r' s9 p0 |2 r6 G) V4 l! o
    . U" Y1 H1 m9 Z+ V8 A  t: B2 d
    Linear regression model:
    ( X2 M' b% ]% o2 C2 F& u5 ]4 I1 c3 y; m8 Q/ N/ w) q) p
        y ~ 1 + x1
    - G. ]: a; H1 u+ J$ K: Z  T) {  _Estimated Coefficients:
    3 q$ \& H+ f2 K; ]5 \( `+ U/ [
    - h5 ?$ ?& H2 V4 R% f0 b2 `: n               Estimate      SE       tStat       pValue
    4 ]. q: `: u3 q$ i3 i5 N
    7 _$ m0 w) t6 a( O5 y7 A    (Intercept)    -23.549      5.1028    -4.615     0.0017215
    ; }% }+ N6 i+ J3 n2 p% H+ f4 G, i+ q$ D- f, }! J6 l6 e/ K% M9 d0 t
        x1           2.7991     0.11456    24.435    8.4014e-09( \" W" L0 v6 O0 j) E
      I; _% Q2 `9 I  |) X& r& h( y
    R-squared: 0.987,  Adjusted R-Squared 0.985
      ]  y7 w* n6 o% d4 K# {* @! f' d* q8 U9 I
    F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
    ' T) B2 U+ P+ N8 a
    0 R  N. O/ B' A( E5 v& M( a如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。
    % A3 X; U+ r9 T
    1 B4 `5 F4 m) R! g0 J) |1 H4 j0 N& C, F0 ^5 D% H5 ?* h

    ! w- U  I- ^4 g* ~8 t! t& c4)采用 regress 函数进行回归
    # X5 I+ j3 w- t
    " k4 G+ H9 T1 _& U7 @5 [%% 采用 regress 函数进行回归& V; N6 J) d5 |, A( w! D8 |) B
    Y = y'  [0 w, M! {: ^+ y
    X = [ones(size(x,2),1),x']
    ) f$ f7 k7 G" T4 T1 d( _7 H[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
    # n* t6 z' z0 s3 }( s/ U0 X运行结果如下:
      _0 [! n+ e7 a+ R0 N$ Q
    9 M6 C  k) M& U( w  K9 B9 N- vb =
    8 r+ ]1 N# H6 \
    - T: A$ W- j7 P0 K' g- q  -23.5493! k  o9 U) B2 o1 n- J1 J! L/ O
    # s7 R+ {& O) ]/ P* b( \
        2.7991% E& Z0 A, ^, q& t
    7 j2 p$ g9 T$ j: H' }1 L* F
    我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。+ b. H  {8 p4 |! `6 {
    6 c( G5 _) j4 Q" Z
    (2)一元非线性回归, D! ~/ O5 w! X% E- o5 {0 d+ e( g

    + A, Q$ l: ?( U" j, B  [, E[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
    ! E! h2 t6 D- R
    - J( y9 q" w# g' F7 [) g5 n' z  `3 F5 F; i

    ) a1 L9 _+ d& w! y' @
    - z( ^8 n1 n6 I7 K% l9 F( \- W% \6 }( c
            为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:
      c3 F- x' `/ {6 q7 l4 S
    , `0 _; v4 q) b! n3 e/ O(1)输入数据  a4 _. w; O' ^

      M" g, {, \% {7 c5 b8 r5 M3 c) [# X%% 输入数据0 e, b2 [; V- P7 x$ U
    clc, clear all, close all
    3 {7 t% n( b1 @x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];7 p2 `8 x/ m! o7 j1 Z; e8 \
    y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];- W$ G' S$ Z. ?) W" ?
    plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小% {0 }- \0 R: V/ g1 ]
    set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2( T6 d9 d6 i* E! L  v7 x4 t
    xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)) M& A  ^2 \* m7 h( U
    ylabel('流通率y/%','fontsize',12)
    7 I$ i' ^+ Z1 ~  p(2)对数形式非线性回归0 r. T( K0 a  A
    # L4 m4 U6 ^- A3 G
    %% 对数形式非线性回归. B  w' Z" _# j7 T( @* q9 B* N
    m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);. ]6 U- c" W( x1 k1 x) o
    nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])
    1 ^2 P$ P" E- `- C- kb = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;
    : @  r& n: _6 y8 T5 AY1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);) X/ n: J* ?8 ?
    hold on
    " z; q# l1 X/ h# B$ V: ?4 Yplot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)
    1 i2 H, }" H" k7 q运行结果如下:, \$ v7 S$ a" `% {3 E7 n" }
    : K8 }6 z$ K9 w& a
    nonlinfit1 =/ ~9 J1 d% u: _# l7 h

    ( @4 I  a2 T2 H/ K2 y' N2 ANonlinear regression model:8 g9 [7 p# P6 ?) C( b. l% B5 h
    6 i, ~+ w. z5 b1 X. a4 m; w
        y ~ b1 + b2*log(x)% x+ n0 y7 [. U6 }- A

    3 R# k5 g; J: [7 h0 qEstimated Coefficients:) m7 D& u, S* t# D- j+ c

    - ^! f5 G8 W' Y, Y$ \2 ?) Q, C          Estimate      SE        tStat       pValue % z( |8 K4 o1 G3 w7 q) p
    $ a  C1 S9 r- u& o
        b1    7.3979      0.26667     27.742    2.0303e-089 }; i$ `$ F4 n5 D2 E
    , ?1 _  P9 f% G
        b2    -1.713      0.10724    -15.974    9.1465e-07
    6 z% B' R. G, Y* [* U
    7 H: x8 d( t3 A- C# s+ a" QR-Squared: 0.973,  Adjusted R-Squared 0.969
    ; l3 F1 m( [- K
    ) X4 ~6 ^) ~( V$ ]+ w5 JF-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07
    7 M: Z- d  r8 |* L9 e7 |- }* o8 }- ~2 w3 i& z0 y1 p3 F
    (3)指数形式非线性回归
    , C! l/ k; T. Y. X
    , P0 ?3 ^+ f3 R& j: O%% 指数形式非线性回归4 B( g- I& l6 y& T! Q
    m2 = 'y ~ b1*x^b2';
    * {& V' y* f$ c4 c2 ?0 n3 @' bnonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
    0 b, ?, T  x7 B  Wb1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);
    $ \8 v6 `8 K! N( zb2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)/ l4 C8 r. ~" K9 ~0 X7 @3 g
    Y2 = b1*x.^b2;/ z& R; i2 M, {; f) D1 O
    hold on;
    / @1 ^8 B  L+ s' x8 Y. V. Splot(x,Y2,'r','linewidth',2)8 C* M, r4 F& u. i* r7 o7 @
    legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
    - m2 E% M2 P+ k运行结果如下:
    % n( n5 ^4 l% a9 P$ Q3 W! o
    , [: a4 A. F2 j, j- j5 i( P. jnonlinfit2 =& w) P, G0 p# u4 S7 Q. o- S6 D

    + I+ L; c3 i2 H7 u! V, FNonlinear regression model:
    ! X0 ~. B# z* p% H2 H
    ) Y7 H7 ?3 M! g1 u4 k    y ~ b1*x^b2
    ( j. P+ Y: |' q
    . i  L, ?# g( Y( T9 ^1 i3 I; `9 y$ HEstimated Coefficients:
    0 j. I1 T$ v+ J- A: T7 s% c9 @
    $ e1 T4 B: A7 `7 p5 j          Estimate       SE        tStat       pValue
    * f* G2 d3 R! o- u! ]
    . }. B+ P4 Y! E0 q6 `; e    b1      8.4112     0.19176     43.862    8.3606e-103 \4 Z# t  P4 Z2 g: J7 T: e
    ' Q5 t8 a4 D5 S3 q. d$ d4 _, Z( F
        b2    -0.41893    0.012382    -33.834    5.1061e-093 e1 n0 H/ D$ h" _# y: i9 E
    % E9 v$ P/ P- [( i5 S
    R-Squared: 0.993,  Adjusted R-Squared 0.992% y) f! n. r9 }# S
    : V' a! ~& O% [8 w1 o
    F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11
    - v! M6 c# ?% V+ {" Z
    3 a# a* i% Y% e4 r8 r8 E* c在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
    ! q3 K8 l. y# i. w7 D% l6 p- K6 P$ x7 X2 I5 j  t) k
    2.多元回归
    9 H% _( C1 H; l2 j6 N# t
    ) J  v! ?: [8 |- g9 R# X1.多元线性回归/ o$ v/ n# `* x/ G

    3 C' r1 D+ n1 H; x[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
    ; \- ^) s8 ?7 z/ q3 T
    5 m7 K5 }+ p% H- {  j1 l! z2 _) x; ~1 ^& v$ b
    + d) c" X( H. I  P* p* ]
    该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:
    $ b$ d5 d4 Y3 k) K# L
    ' H. \. g6 q& H0 g  G5 l(1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
    ! ?1 }( l* Y1 x0 B7 M9 U+ R5 O2 B& n/ m7 l1 ~4 x  M" N
    作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
    ; k& v/ h2 @# r
    $ m0 v: W& t' X; L1 G%% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图0 Y& s& C  {" S2 t/ s( e
    % x1,x2,x3,Y的数据
    4 C& X. i; p$ ex1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
    . C* v$ s+ X7 _) Ax2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
      o  J6 I# t6 W5 G$ Qx3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];/ ?2 V6 v6 ~& r, @" x; r! @
    Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];
    3 W: z! r) ~& A6 h: t# f% 绘图,三幅图横向并排, @! }- c" @& z9 \3 w4 D3 V0 H1 m& l; U
    subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')
    ; l/ }1 a6 q# K$ d$ Zsubplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+'), l, K) W5 L( _
    subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')
    % `  z7 x& m4 c8 C' N+ ]# d绘制的图形如下:
    / ^, ^' \# g/ N2 `: E# L' \  ~8 j  U: X8 M4 [9 t8 H; D
    ( M: F1 N. m) S

    7 [( _, {# e& A. f4 v2 b(2)进行多元线性回归4 J  }) g1 z. {
    : M4 i( F- F- R- y' e
    这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:
    : d. |4 i7 b' `6 }: z5 _+ A: `& s
    5 S5 q5 C) I* B5 n& |; p; f%% 进行多元线性回归
    4 o9 p+ q# Q/ o; Hn = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量
    . S* o6 o6 y' W8 n' c/ B% x) ?X = [ones(n,1),x1',x2',x3'];: }( s  j# |* R% e9 y8 m: B
    [b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。0 B. C# s4 Y% y1 e* R' F! u" M* c) c
    运行结果如下:- }  _9 L( w+ K0 ^5 M- {( O' n
    # c% h% S. k0 `* j
    b =. F& z% }$ b$ n/ U/ Q4 x$ ~1 p

    4 R: j6 Y" ^2 Q- o; x  L   18.01571 Q% ]6 s- `3 h8 A1 E* J0 d$ p0 x* O
        1.08174 y" d! A2 x" I  a# {8 }
        0.3212$ H& W( Z( w, u& q, z
        1.2835' Z$ @" G9 b+ B# L% F

      l" A7 K. w7 N1 G! e9 q$ h* ^
    8 }7 N7 v6 ]2 X; g: Bbint =7 J$ n( w& k$ \9 o

    & _" _9 _" T) g( _7 W; Y; P) }   13.9052   22.12623 v" I6 e9 Q+ k2 _4 n
        0.3900    1.7733
    7 v- e# P% O- p( u( B    0.2440    0.39843 o( ~0 j3 I# L; ~: B4 S2 W; s
        0.6691    1.8979
    / O$ T( @1 Z" n. S6 i. G1 `" N# r8 G* g7 n2 }' ?/ }
    / Z5 W6 e7 Z2 B1 M
    r =" Y" A! `& A' m9 E
    , Z1 T; J& r9 a. y8 b$ q) r" k
        0.67810 Y- P& {% l# O9 f% x5 v9 ]
        1.9129
    ( i# N- E3 X. ~& z3 d  ~$ a9 b   -0.1119
    " o+ b7 I: J0 B# K1 t) z    3.3114- G6 _' ?9 [) A
       -0.7424
    . f$ N' M9 D. T( |$ }    1.2459, I7 S/ a5 W4 i$ }$ @. Z( l3 w
       -2.10221 N+ e: R! B( k! s- h0 J
        1.9650
    + A' b( c3 N" W8 \. G7 U9 z3 r* M   -0.3193
    . _+ P  x& [1 J    1.3466
    + c' Y% a* H0 {% ~. B    0.8691' b) @8 c, l5 E; }1 b
       -3.2637/ u3 g+ V2 U$ J& R! a- y
       -0.5115/ l1 J( q7 j2 m0 b' [1 c! }& Y* `3 g) p
       -1.1733) ~; T0 }! g) h/ c" P8 \" K- j8 Y
       -1.4910
    3 m! u: r! i$ o( @   -0.2972# }& g, U4 d' m  W
        0.1702
    8 u8 I( A* i. A. G; x    0.57990 o+ @/ ^9 u7 b2 h$ P8 v$ k
       -3.2856
    6 ?( {' u% s1 X! e    1.1368* {+ O* Z7 D2 W: k; p
       -0.8864
    6 j& N% t  U9 G, k4 M  \   -1.46467 L* ^' }: ^+ A' h$ i/ k7 G8 y
        0.8032
      S) l: E9 |  W  |    1.63017 z% W# L* J' S& v" t
    0 B0 E5 f( _1 ~" b* e& I% X1 N

    $ B- p) L$ K0 C; |2 K- krint =, s; T6 W5 r: L3 U; D0 ~

    # W3 J7 ^, o/ J: x& P% o   -2.7017    4.0580
    2 L, {( Q. P. D. l6 o3 S# n   -1.6203    5.4461
    7 F# t$ Q6 U+ h- H$ U   -3.6190    3.39512 I8 q' q( f/ J2 f9 c( I
        0.0498    6.5729+ D6 n$ k' ^% V  {* |
       -4.0560    2.5712
    . P5 ~6 q) G5 D( p   -2.1800    4.6717: K5 m' v5 F9 p. ~
       -5.4947    1.29022 z9 k" ]9 @2 O9 X5 r' [
       -1.3231    5.2531) Q! v/ t: L8 @- R" @* l
       -3.5894    2.95072 ?3 J8 y8 R3 c
       -1.7678    4.4609  o( @3 c4 W  K
       -2.7146    4.4529. Y& U: h. v1 d7 V. D" O
       -6.4090   -0.1183& L* p% j5 [& `( O! k
       -3.6088    2.5859
    5 M) {4 d1 \1 [  W$ R   -4.7040    2.3575, S4 ]; W8 _, q4 d
       -4.8249    1.8429; Q: h& e; k" e/ x
       -3.7129    3.11855 g" o% s1 a1 I. K3 S8 E$ r
       -3.0504    3.3907% n" L9 J+ g* k5 V3 w
       -2.8855    4.0453
    . Y* K0 V5 n3 d& u, N# q   -6.2644   -0.3067
    . ]6 }# J% _- }3 \: p3 A   -2.1893    4.4630
    + R: H2 ?7 ~6 @   -4.4002    2.6273! O5 K/ w- ^, g: }
       -4.8991    1.9699
    * g  J1 j" B4 H$ {4 a& U   -2.4872    4.0937
    ) d% `) }) j+ N# g   -1.8351    5.0954+ Y" D- j' P; Q# E; J  t+ G

    9 |- I0 u* g) P* _% W; g* j) C: o: P, d) I: U8 \2 V0 r& {+ ]) t
    s =/ U- l" d4 P. @" v7 e) `) h

    7 P5 U& S% H5 R& X: e3 m- E    0.9106   67.9195    0.0000    3.0719
    3 |7 \" y4 c/ U+ z( D8 w# z! R& r看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。, X$ O# I- ?! H1 h4 J2 Z2 x1 ]

    & K, _( D/ I0 g! ~+ E/ S' E在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:
    0 H: G, `6 |7 L
    - T0 d' ?  G) B1 k% Y, }' db =; g" T( R9 m1 g- [% e4 K0 n+ K4 _
    # l9 _+ W% E" |1 ]2 T8 n
       18.0157' K$ B0 T! r& D1 _. G
        1.0817
    " b) i$ u. g7 B! G" q    0.3212
    9 q5 f) Q( |2 I$ k, z    1.2835
    6 Q' X+ ^1 Q" ~) T! W: z! N0 P( u+ d' A- d( L  O: e$ ?5 o
    s =
    , b3 h, \) f7 H3 v: c4 c, I8 b: |6 b6 O" u
        0.9106   67.9195    0.0000    3.0719; q! r: ^! |' Q/ R4 _. Z0 x, i1 F
    回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:" J( q' G3 e4 l! m) i

    9 P4 I# G5 {1 w" C4 H  U" d; o% ~) Z+ K; [: {2 Q
    2 D8 v: r0 J9 I6 D+ ?7 P
    根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:9 g' @; L+ O% e
    4 u$ Y% Q9 z) j+ |* c/ }) v
    . n; ~; U! L2 t5 e. ~; N7 q: j& y

    ) {$ J) B  n5 x' n如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:3 v2 D- `3 V; G7 F

    ' {8 G& ^9 z: |+ Q7 I1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。$ R6 X) o: C+ I5 z4 K2 ?

    / m# m5 d, A: d, u! S2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。& A5 r- {9 u! o) q% w5 ?$ c) v
    0 E! S# M: h  |2 S( o- H
    3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。1 b1 f  C" y+ u2 K/ ]
    + j5 O$ P: R" Z
    以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。
    # ?, ~$ R3 |* _0 M  X* \0 A- p
    9 f* |" ~) m! r. {1 e" V5 \, Y$ B3. 逐步回归2 W; X4 P5 I  ~6 d1 l
    3 e; l0 p7 w9 p( v' n, F
    [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:, N& Q' M$ h# Q1 x# w3 N/ d, k7 U" e

    " y5 a0 R% z  c# r0 e
    . v1 m: A, V. J% u8 r8 z9 ?) W
    : |# G  U, ~: l! F/ w在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
    - O) i, S* s2 r' q+ A: F: Q) r/ h; K5 ~

      \8 a* i5 W4 E! Q# v  |' `. @( n6 ^) ?; t0 I- S6 ?9 o5 ^% B, n- U
    对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
    5 `" N) B1 L0 h' u, {; F1 b7 t# H) G% }8 ~" r$ J1 F
    %% 逐步回归
    , g! Q! w# L' m) N6 ]) dX=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];   %自变量数据" ?: X) f1 [. Q% U
    Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];  %因变量数据$ ^& M( @* ?7 V# {; [% v
    stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中
    8 e* T) F/ P3 l( L* o! E) e" i程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。  V* \  |2 y' w( n9 Z9 E

    : [. ]" C. I* s. }5 h4 N8 Q5 k6 e$ Q2 N9 Q' ]3 X1 Q7 C/ ?; ^
    ( [+ _, }" r, J
                                                                                                                 图4
    4 v# g6 R. [: f; S, B9 K( w4 X* r6 Y% V
    在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:
    ! |  P+ Y9 W, _4 s0 N# T, w. T2 Q& H$ E3 ~' M

    . j& F% Y' R, m5 Y
    0 j- B8 p3 _5 _1 A+ z+ U4. 逻辑回归
      G. o* _/ q2 g  R* G; a: `) C) E" ^4 z; J; Z5 Q, u9 Y1 g
    [ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。, n4 t& Z, P! C8 \8 Y

    . F/ V+ o# T3 z( |5 B) Z
    : w. d6 a. c: H# `; p7 X. @' R8 u
    , r; h7 L+ v8 k$ n  U对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:5 G- D( K7 P. ^" k! Z% I0 O. m
    ( W- i: Z/ x7 ]. Q$ ^& c# v
    程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
    ! R. {* u; @% j9 n# G& X
    % ]% Q! m4 i+ I: E7 G( \4 r% logistic回归4 F) o# R% y! H5 T2 \% _
    6 g! Z9 L& }; N# d3 d
    %% 导入数据
    7 S' _4 |# B8 fclc,clear,close all
    . ?& S7 R% e) V8 G* g* Y" hX0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
    3 R. r& K: l/ C( P2 yY0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D221'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出: z; Q* g8 L  a1 k/ X: [4 O' N& }
    X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入
    7 ^6 T$ ~1 W/ o2 N& Q+ o5 s, j* G9 n3 N
    %% 逻辑函数1 t% P. H. I7 m$ ?$ I
    GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');5 @! `2 n0 ?4 N( ^# D0 [* s
    Y1 = predict(GM,X1);
    ! [3 H! G2 m# b- w* Y0 G& G
    ' ^+ P# K0 h* H7 e5 K- I8 e%% 模型的评估% q1 j- F$ V8 O( m8 d
    N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
    5 v+ L( w% K5 m4 F2 KN1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
    7 n6 |  ^0 M) aplot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果6 u1 I2 I, T7 G/ {: q) w$ `
    % plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号
    $ a6 \3 z2 g7 ^) |- Hhold on;+ f8 w0 @$ h0 P8 C
    scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
    1 M4 y6 z' M$ k6 Sxlabel('企业编号');
    5 C0 d) v( R$ ?9 R. r6 R- Gylabel('输出值');2 A0 H8 O1 E' K# M
    得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。6 v3 G' ?. r- k- k7 }
    ; i, I  g: y- L; ^6 O- `, c7 f
    ; r9 e+ H: c  @( |8 ]

    5 F; r, P1 A4 C: S1 h1 P) d& b                                                                   图57 e6 R2 S1 C, B; y9 K6 h, |1 b

    # A* o. C; X2 K+ k+ g& X! R三、总结与感悟。 5 u2 l. `' p- V; [8 v2 w

    . _# q) g# y2 O1 @7 h  I        总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。# `* A1 J' z5 {2 q0 ]+ S
    ) [% X4 H! W, F" v. T( p/ f
            感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
    ( O$ {; w6 E! t) d$ T+ e+ [% \" v6 _) F
    5 E2 [  q8 p! s

    - {% @8 E# e0 P& G
    : g/ L" q: X( ]5 i- g& }0 T/ u' m$ i3 T* S9 g
    zan
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