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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
群组 : 2018美赛大象算法课程
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群组 : 2019年 数学中国站长建
群组 : 2019年数据分析师课程
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Matlab数学建模学习报告(一) 0 H; Z) b6 a- U9 s* C
. D& N% w6 L# Y) Q z2 n 0 ^: L0 Z! {8 H5 Y7 V# E
1. 二维数据曲线图 1.1 绘制二维曲线的基本函数 1.plot()函数 8 S u! { B D4 m
plot函数用于绘制二维平面上的线性坐标曲线图,要提供一组x坐标和对应的y坐标,可以绘制分别以x和y为横、纵坐标的二维曲线。
1 e+ {: V# I) Y9 v4 N 例:
二、实例演练。; W4 a8 c1 K( }5 J
) s: o$ O5 a" A( D 1、谈谈你对Matlab与数学建模竞赛的了解。% S1 Y/ m8 W7 }" X8 Y- s0 ?. c2 S
, g+ r6 R% R3 Y* A9 E1 q5 ~
Matlab在数学建模中使用广泛:MATLAB 是公认的最优秀的数学模型求解工具,在数学建模竞赛中超过 95% 的参赛队使用 MATLAB 作为求解工具,在国家奖队伍中,MATLAB 的使用率几乎 100%。虽然比较知名的数模软件不只 MATLAB。
# C) W, l7 X, s) `1 E! S ! P( L9 H7 T1 L7 x+ p4 O: ]5 W; \
人们喜欢使用Matlab去数学建模的原因:, X9 ]& L7 C. N( K, o+ W
, {$ Z& ~3 m3 o; ~0 G& D6 w* c( L
(1)MATLAB 的数学函数全,包含人类社会的绝大多数数学知识。
/ J- a% O6 K% A6 p& @# t
6 A4 l3 S& F& x3 R! B: T (2)MATLAB 足够灵活,可以按照问题的需要,自主开发程序,解决问题。: M& T' F* i9 g. V: W- m' G
* O3 G; g" v L" z9 O( x" Z
(3)MATLAB易上手,本身很简单,不存在壁垒。掌握正确的 MATLAB 使用方法和实用的小技巧,在半小时内就可以很快地变成 MATLAB 高手了。
+ P2 `6 B' ^5 @% W% q- w' W W . @" O; Z/ W5 y& o
正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。
9 N) A, @2 e& c , ?, c- \: k6 q+ K5 \* F
数学建模竞赛中的 MATLAB 水平要求:3 G+ y5 ?4 E+ Z, A' O
; k$ K6 Z) F# l; A9 E' }$ U0 h* R$ { 要想在全国大学生数学建模竞赛中拿到国奖, MATLAB 技能是必备的。 具体的技能水平应达到:
/ y5 O9 o8 e9 K4 s! }4 J$ k9 y& m% l0 A J; e. Y" |& N1 @- E
1)了解 MATLAB 的基本用法,包括几个常用的命令,如何获取帮助,脚本结构,程序的分节与注释,矩阵的基本操作,快捷绘图方式;
; X, S& X$ n9 j+ j8 w1 i. ^' l " z9 |8 j2 d( F( @3 X" } M" Q# o
2)熟悉 MATLAB 的程序结构,编程模式,能自由地创建和引用函数(包括匿名函数);2 {' m+ \; U1 D% _& l
5 m3 A# `7 B1 l. y+ X5 _
3)熟悉常见模型的求解算法和套路,包括连续模型,规划模型,数据建模类的模型; w! b3 l: D6 l! u2 M
5 i3 D j: a1 J. C# s& I* g, C; E7 F 4)能够用 MALTAB 程序将机理建模的过程模拟出来,就是能够建立和求解没有套路的数学模型。 : Y- W9 A6 F% v1 [4 K
7 m0 ]0 u5 ~" ]& K4 F( h
要想达到如上要求, 不能按照传统的学习方式一步一步地学习, 而要结合上述提到的学习理念制定科学的训练计划。
2 J; ?$ `/ y5 q$ ?- I
. Z- \' Z9 o s4 v, g5 _! f: S 2、已知股票的交易数据:日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、成交量和换手率,试用某种方法来评价这只股票的价值和风险。如何用MATLAB去求解该问题?(交易数据:点击此处获取数据)
, K$ {9 [" k/ T( ~( P
4 P- N; \) j9 k% G5 z 解题步骤:
6 B* D8 H& m% ]7 a2 M
3 L6 k; A8 w! e. e! y& W' c0 R 第一阶段:从外部读取数据6 n% W. ]1 D+ ~9 Y: }
( B2 v/ ]% T# |: Z' r3 L& a2 [
Step1.1:把数据文件sz000004.xls拖曳进‘当前文件夹区’,选中数据文件sz000004.xls,右键,将弹出右键列表,很快可发现有个“导入数据”菜单,如图 1 所示。, t F$ M( w D% j& A) c
& _3 O; c/ s- T$ z0 o : ~3 W" Z: l1 N: i: J
5 g+ s1 t5 O4 O) c% Q- S 图1. 启动导入数据引擎示意图4 {: R& \9 K# A) N( m. [
; ]/ |7 l) S4 M6 _" }1 { Step1.2:单击“导入数据”这个按钮,则很快发现起到一个导入数据引擎,如图 4 所示。
. _' |( _9 Y. n/ O: P* e' `+ g+ |, K - z# w& o, X9 R* V
+ v: Y0 d* z6 }$ p8 ~) L3 B; @4 O ! n, Q" s1 Z2 A0 G
图2. 导入数据界面& E$ a$ f7 U% @+ L, |3 X
% R; l" m# N$ j- Z Step1.3:观察图 2,在右上角有个“导入所选内容”按钮,则可直接单击之。马上我们就会发现在 MATLAB 的工作区(当前内存中的变量)就会显示这些导入的数据,并以列向量的方式表示,因为默认的数据类型就是“列向量”,当然您可以可以选择其他的数据类型,大家不妨做几个实验,观察一下选择不同的数据类型后会结果会有什么不同。至此,第一步获取数据的工作的完成。
! g! B! q6 I- r; s
! u" p4 o2 t; [7 _ " ?+ f% \% q4 z, r# ]# R
, W( C+ T8 ^) g
第二阶段:数据探索和建模4 C' i2 ^: S% g" [: |( ^7 u
3 V, e( P1 e; I2 M5 t9 E K" e 现在重新回到问题,对于该问题,我们的目标是能够评估股票的价值和风险,但现在我们还不知道该如何去评估,MATLAB 是工具,不能代替我们决策用何种方法来评估,但是可以辅助我们得到合适的方法,这就是数据探索部分的工作。下面我们就来尝试如何在 MATLAB 中进行数据的探索和建模。5 [5 M6 N. U5 r
# D; b$ R$ y% J3 N/ h
Step2.1:查看数据的统计信息,了解我们的数据。具体操作方式是双击工具区(直接双击这三个字),此时会得到所有变量的详细统计信息。通过查看这些基本的统计信息,有助于快速在第一层面认识我们所正在研究的数据。当然,只要大体浏览即可,除非这些统计信息对某个问题都有很重要的意义。数据的统计信息是认识数据的基础,但不够直观,更直观也更容易发现数据规律的方式就是数据可视化,也就是以图的形式呈现数据的信息。下面我们将尝试用 MATLAB 对这些数据进行可视化。
# i- N: V% L2 S# f) p. T% b0 ~( E / @2 X2 B; a$ ]' W# }- E
由于变量比较多,所以还有必要对这些变量进行初步的梳理。对于这个问题,我们一般关心收盘价随时间的变化趋势,这样我们就可以初步选定日期(DateNum)和收盘价(Pclose)作为重点研究对象。也就是说下一步,要对这这两个变量进行可视化。5 |: V5 ^ p3 a! S6 j, q
8 }- K I; F4 o1 o9 h4 N7 H4 Y8 f 对于一个新手,我们还不知道如何绘图。但不要紧,新版 MATLAB 提供了更强大的绘图功能——“绘图”面板,这里提供了非常丰富的图形原型,如图 3 所示。8 @& b, Q$ p1 ]
$ e7 j6 ?; D" a( o0 k: L5 |) @% a / A H$ j" j, l9 H' r5 f
9 z& k2 c# x5 I- f d$ E; ^
图3 MATLAB绘图面板中的图例
. W- S0 a6 B, v( ~
- @# ~- r0 k9 a 要注意,需要在工作区选中变量后绘图面板中的这些图标才会激活。接下来就可以选中一个中意的图标进行绘图,一般都直接先选第一个(plot)看一下效果,然后再浏览整个面板,看看有没有更合适的。下面我们进行绘图操作。5 n0 H2 i# {. y2 |* Z5 x
8 T% B/ F9 h, _6 x1 R, {- S4 N
Step2.2:选中变量 DataNum 和 Pclose,在绘图面板中单机 plot 图标,马上可以得到这两个变量的可视化结果,如图 4 所示,同时还可以在命令窗口区看到绘制此图的命令:- _$ D4 r" J$ h0 y
2 D& W0 N; j% L' R >> plot(DateNum,Pclose)( y j' }* E( J0 L
7 T. G' M9 P# K2 Y" w 8 N7 H4 q! t* L: Y* h
$ M0 K5 t- |" W# ?+ X
图4 通过 plot 图标绘制的原图
" s ^: X/ M* ?$ ? ' H& s! V2 d. m( h W. R" W6 U+ j: K7 O3 m
这样我们就知道了,下次再绘制这样的图直接用 plot 命令就可以了。一般情况下,用这种方式绘图的图往往不能满足我们的要求,比如我们希望更改:
3 m3 }+ J* K9 s' ?6 D
, k: s5 \( |) [ (1)曲线的颜色、线宽、形状;
+ x, ~6 c4 a3 i' |/ q2 F 5 N! F% M- Y5 S' q+ Q3 L
(2)坐标轴的线宽、坐标,增加坐标轴描述;
, P& Z' t: h# W0 v( \1 Y! h* R' a5 E
) g/ Z) `0 o- F, A- J" L- b (3)在同个坐标轴中绘制多条曲线。2 m7 P! P3 J6 \+ I1 \# G
0 f) i7 t4 M8 s2 S+ ?6 W* V! _/ T8 C
此时我们就需要了解更多关于命令 plot 的用法,这时就可以通过 MATLAB 强大的帮助系统来帮助我们实现期望的结果。最直接获取帮助的两个命令是 doc 和 help,对于新手来说,推荐使用 doc,因为 doc 直接打开的是帮助系统中的某个命令的用法说明,不仅全,而且有应用实例,这样就可以“照猫画虎”,直接参考实例,从而将实例快速转化成自己需要的代码。
, r/ d' O% Z8 [; t. F% B! x+ `$ _ ; g' p8 G9 }) w) _' y. Q/ G. E
接下来我们就要考虑如何评估股票的价值和风险呢?# E3 k! q1 ~4 C ]. @. b
2 w( T9 V5 W f9 s o( \
对于一只好的股票,我们希望股票的增幅越大越好,体现在数学上,就是曲线的斜率越大越好。" r. j x4 G9 @. a" w3 A. c& M: c- j; W
% z" k1 F) Z# g- p 对于风险,则可用最大回撤率来描述更合适,什么是最大回撤率?
. y6 o' s# W7 Y4 S5 @- q
! X: B& R% V# r; L# Q# ^; P 最大回撤率的公式可以这样表达:
# t- F0 V$ |0 E& j# w }3 |/ t
7 ` ?- i/ {7 g0 a R+ a ] D为某一天的净值,i为某一天,j为i后的某一天,Di为第i天的产品净值,Dj则是Di后面某一天的净值& Z/ ^) I' S! d. d- Y* b+ M# y
|8 A: f( n! \& b
drawdown=max(Di-Dj)/Di,drawdown就是最大回撤率。其实就是对每一个净值进行回撤率求值,然后找出最大的。可以使用程序实现。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。
0 Y" h& U) G: a( H # V# q1 {" G- i1 r) l2 i
斜率和最大回撤率不妨一个一个来解决。我们先来看如何计算曲线的斜率。对于这个问题,比较简单,由于从数据的可视化结果来看,数据近似成线性,所以不妨用多项式拟合的方法来拟合该改组数据的方程,这样我们就可以得到斜率。
& R- i& |8 a4 v& ^: R9 R/ J$ l 7 K, ^2 F+ K, _
Step2.3:通过polyfit()多项式拟合的命令,并计算股票的价值,具体代码为:5 o* L" \5 \( n# E
/ _ n3 i( o0 F
>> p = polyfit(DateNum,Pclose,1); % 多项式拟合
, x3 W) s, z; Y# {
# ~0 j9 S, J* m- t4 Z, C >> value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值
6 G# @! ~8 V+ C( p 1 ^" X+ z. w6 K( w0 O H( n# J {
value =; d9 c) V0 k3 N9 s
* V6 R2 H. l( N; y, } 0.1212- W; w! K& f6 m1 Z* q
' S) |& ]$ E% }9 c, a3 F: } `
代码分析:%后面的内容是注释。polyfit()有三个参数,前两个大家都能明白是什么意思,那第三个参数是什么意思呢?它表示多项式的阶数,也就是最高次数。比如:在本例中,第三个参数为1,说明其为一次项,即一次函数。第三个参数为你要拟合的阶数,一阶直线拟合,二阶抛物线拟合,并非阶次越高越好,看拟合情况而定。polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列。在本例中的P(1)指的是最高项的系数,即斜率。* u5 u. `2 f0 }+ m1 i. ?3 I- P+ Z
% E' T* D( y, Y0 L
Step2.4:用相似的方法,可以很快得到计算最大回撤的代码:' q" z( l' f5 T( L
% F3 j* W% z! M" j- f7 A( C4 I6 c
>> MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
/ i! {) o+ p1 E
2 e* W, B5 g; s: {) f4 Z& S8 C >> risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险1 e7 Q% n1 o3 v Z% |
5 ~5 e$ l7 K* I' I* a risk = f! H: G# t" L" a$ y, w$ @
% Z* k; w% v: B# q/ I; i: w& s 0.1155
1 ?* `8 B9 b' G5 \4 N4 L3 ~- u2 N
, D& m" o6 L5 W6 |1 s" [. C7 k7 v 代码分析:最大回撤率当然计算的是每天收盘时的股价。最大回撤率越大,说明该股票的风险越高。所以最大回撤率越小,股票越好。( K3 R( K/ h) @' N, r
9 F+ y# ~2 x8 E. g& Z5 [6 r 到此处,我们已经找到了评估股票价值和风险的方法,并能用 MALTAB 来实现了。但是,我们都是在命令行中实现的,并不能很方便地修改代码。而 MATLAB 最经典的一种用法就是脚本,因为脚本不仅能够完整地呈现整个问题的解决方法,同时更便于维护、完善、执行,优点很多。所以当我们的探索和开发工作比较成熟后,通常都会将这些有用的程序归纳整理起来,形成脚本。现在我们就来看如何快速开发解决该问题的脚本。" i# C0 }) `/ K1 Q
% |. R; ?9 s/ O0 a$ r
Step2.5:像 Step1.1 一样,重新选中数据文件,右键并单击“导入数据”菜单,待启动导入数据引擎后,选择“生成脚本”,然后就会得到导入数据的脚本,并保存该脚本。1 \ k( \0 Y6 r, I) W
9 K6 ~; W @! o2 B) M, _
脚本源代码中有些地方要注意:1 U% O8 \- R) ~ }$ ] z& p6 u2 c: }
8 p+ B) Y! d0 [( J
%%在matlab代码中的作用是将代码分块,上下两个%%之间的部分作为一块,在运行代码的时候可以分块运行,查看每一块代码的运行情况。常用于调试程序。%%相当于jupyter notebook中的cell。4 ?* [, B( q% `9 q1 g
3 t; ~6 T) i: p+ J) M% y
%后的内容是注释。
% d; G2 N2 ^9 u3 e a/ }- O / h$ P/ y3 |3 B1 b0 _! d
每句代码后面的分号作用为不在命令窗口显示执行结果。
( L, _& r- e8 X* v3 n, M
1 m; U- L- e! S+ T7 ?8 X! v 脚本源代码:4 y' [9 W; p; t4 C+ `+ j9 Q
: O1 q& K+ x4 U/ W, X %% 预测股票的价值与风险
, s& d9 z# E3 `1 C1 Z
4 @" I9 s; H$ A6 f$ l0 A: d* L' T %% 导入数据
" h+ _/ y; U) l0 b; K8 r; N clc, clear, close all& M3 f) d( p% H# z( j+ u+ ~
% clc:清除命令窗口的内容,对工作环境中的全部变量无任何影响 ( l0 y5 N7 e6 P2 S: ~+ ~
% clear:清除工作空间的所有变量
% S6 y) m; a$ o% _3 d % close all:关闭所有的Figure窗口
2 D6 K" `# O, O# `5 v9 R% f# X5 W 0 p8 Y: s$ F# v5 L! R D
% 导入数据1 b/ I7 d Q- D+ x( O
[~, ~, raw] = xlsread('sz000004.xlsx', 'Sheet1', 'A2:H7');
6 C2 q; `) V, ~' S' s6 P % [num,txt,raw],~表示省略该部分的返回值9 w- z4 \$ ^' p
% xlsread('filename','sheet', 'range'),第二个参数指数据在sheet1还是其他sheet部分,range表示单元格范围
! N6 U2 d. a. J2 S6 f - X0 ?' o& `7 s$ l4 B$ H
% 创建输出变量
0 J t- r$ |0 h6 V) O data = reshape([raw{:}],size(raw));
& S6 h; x; ` e" e % [raw{:}]指raw里的所有数据,size(raw):6 x 8 ,该语句把6x8的cell类型数据转换为6x8 double类型数据
! ]+ P5 X' ~; C- d
2 g% Z z/ T' }! p7 W* k0 I' _: U r' z % 将导入的数组分配列变量名称
( q+ E2 W( Z6 ?$ m/ Y( U: k. e% t Date = data(:, 1); % 第一个参数表示从第一行到最后一行,第二个参数表示第一列
' a2 J; {5 J# L% E: j DateNum = data(:, 2);
, X* E d# {3 [6 R( ^* q, f Popen = data(:, 3);
1 u$ w# c2 G7 n: _ Phigh = data(:, 4);5 t0 w, k; M4 V; z
Plow = data(:, 5);1 [% o4 Q1 v4 V$ g( @
Pclose = data(:, 6);
- R5 j) S8 w7 w4 K Volum = data(:, 7); % Volume 表示股票成交量的意思,成交量=成交股数*成交价格 再加权求和5 h9 x' [7 q8 ]. g
Turn = data(:, 8); % turn表示股票周转率,股票周转率越高,意味着该股股性越活泼,也就是投资人所谓的热门股
$ ~) I, F7 b; K* ` . M8 W2 {# C/ |9 a9 @% g) W
% 清除临时变量data和raw# e' Y, R" g' N
clearvars data raw;" Z3 H! P& v" Y" t; Q
. U) w4 t9 V# O3 F6 H$ j- V %% 数据探索
' {1 Y+ i* e& D+ l: ^' p" y1 @ 4 h2 P. r6 c: B9 }
figure % 创建一个新的图像窗口4 x$ d$ _; I6 v9 n+ S
plot(DateNum, Pclose, 'k'); % 'k',曲线是黑色的,打印后不失真
. H @2 l" l* I datetick('x','mm-dd'); % 更改日期显示类型。参数x表示x轴,mm-dd表示月份和日。yyyy-mm-dd,如2018-10-27
8 J' o) P) V, |0 |2 x5 b xlabel('日期') % x轴
+ r' v9 D+ q/ D# Q ylabel('收盘价') % y轴
& {$ u- a9 l5 d figure) [+ g; r$ o3 j
bar(Pclose) % 作为对照图形
% n: w0 B+ g4 E, y/ z1 q! y. u
8 p% m3 }& ?: L% F3 u; G %% 股票价值的评估0 u2 U9 H8 r! Z4 |
K6 O W9 K! ~ p = polyfit(DateNum, Pclose, 1); % 多项式拟合4 V3 ? B8 R" Z
% polyfit()返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,p 中的系数按降幂排列: t$ k+ L3 L! E2 ]' Q2 Q' @- y
P1 = polyval(p,DateNum); % 得到多项式模型的结果4 Q- {6 _9 m! c' q! k4 q, r$ ^' x
figure
) ]* O6 ?, x3 h' |9 ~ plot(DateNum,P1,DateNum,Pclose,'*g'); % 模型与原始数据的对照, '*g'表示绿色的* U, a; D, h; M
value = p(1) % 将斜率赋值给value,作为股票的价值。p(1)最高项的次数6 d# t/ p' Z* d( o/ _; ]
. H5 A' h; ?6 C5 B+ e %% 股票风险的评估: G* i% P8 h. X0 j6 l( N
MaxDD = maxdrawdown(Pclose); % 计算最大回撤
6 n8 K& l- O7 B5 k+ A risk = MaxDD % 将最大回撤赋值给risk,作为股票的风险
; ]4 O+ P7 g: Q# B) W: \ 3、回归算法演练。
& { ?6 Z, e, V5 B& t
0 G' f; W/ L! T) b& L (1)一元线性回归2 B- b( h t6 A- p1 H1 Q3 [
. Y) w% X# c" V6 c, h7 C9 J
[ 例1 ] 近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)的数据见表1,请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
' a/ M4 s+ [# B' w , O" u" b! p; ]
# E( A8 M$ }+ t* d# K) ]& Q4 Y + c& L) d5 J' G. T# ` I3 Q2 F
该问题是典型的一元回归问题,但先要确定是线性还是非线性,然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了,具体实现的 MATLAB 代码如下:8 p, z1 @6 A, z4 e
, n- H6 `( G8 x) y4 ] (1)输入数据
; G7 H# w2 L" \, ]% o; A / K% B! F, }$ f
%% 输入数据
# u7 L5 j. {' H8 @% N6 y) _' R, b# ? u clc, clear, close all
, D: d3 j; [: n) v$ F % 职工工资总额0 L0 H" n S0 h+ [# c& U
x = [23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.90,43.2,52.8,63.8,73.4];6 Q I u; ?9 i* b# o" d, Z
% 商品零售总额9 O& O; }/ I4 M3 `6 E* H) r' X( h u
y = [41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0];; ^ I, {! n8 Y# Y k6 r
(2)采用最小二乘回归4 ?6 k& I# F: }: v& V2 Z8 C: f
" j* L! d- T& y! s
%% 采用最小二乘法回归' C7 x; J4 R3 A- H* m4 ^( H9 f
% 作散点图
6 b: M7 a0 `7 N figure, U9 T0 |) i/ `. @$ V3 }3 o
plot(x,y,'r*') % 散点图,散点为红色
8 Q* U0 u2 S t/ _9 }9 L/ N5 N xlabel('x(职工工资总额)','fontsize',12)' D2 L: ?% `7 z: P: n' e
ylabel('y(商品零售总额)','fontsize',12)! }# F( w+ Z3 a. z" M, z
set(gca, 'linewidth',2) % 坐标轴线宽为2
7 F9 D9 f- Q1 k7 P* _) ~
/ M" I$ `+ j. d, g+ ]; ~7 Z, j % 采用最小二乘法拟合; ~6 O3 p% K2 B5 T
Lxx = sum((x-mean(x)).^2); %在列表运算中,^与.^不同
! `5 }0 p" ?8 f! N u; A: h Lxy = sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
9 m+ a1 R0 P) T. q/ s b1 = Lxy/Lxx;5 x' { S5 ?# R+ i2 b' E+ K
b0 = mean(y) - b1 * mean(x);# V, n; r0 k5 q$ e: k# p
y1 = b1 * x + b0;0 L5 {; q# E) n( x' H
) V& T# G2 Q7 E% X; b
hold on % hold on是当前轴及图像保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存
/ d* f" `, G) i/ H& J0 x, [ plot(x,y1, 'linewidth',2);* P9 Q0 g- m0 E0 {4 x
运行本节程序,会得到如图5所示的回归图形。在用最小二乘回归之前,先绘制了数据的散点图,这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后,再用线性回归的方法进行回归,这样也更符合我们分析数据的一般思路。
' h! w& X$ u' ^; b! W* e 9 w% W& a' G9 O, G5 _2 N; F
+ G1 Z% l. E1 X' v) s: a0 U
K# c8 v: S* X9 n" U2 q% i( @# V
图5
/ z- o% ` w6 p! A
3 m [$ o$ [: C (3)采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
+ d2 B* D0 k0 ?0 ]1 D( t2 p8 r
8 l; v7 p7 M0 c6 W* u, c %% 采用 LinearModel.fit 函数进行线性回归
8 S" w2 m: B3 L3 F9 P r: M m2 = LinearModel.fit(x, y)
/ J! L- w8 z: X+ P. S; k- y( s; M6 G 运行结果如下:
1 t3 r0 _6 X# L) x' d 3 L+ x: E p5 u2 X" y( J, C; F' H
m2 =- Y( D& }1 D: u& a
4 z& Y, S( ^9 t5 [# m Linear regression model:
. ?0 v K) E5 z& H! L: c$ r " n7 f' c& K8 N I% B& U! t2 }
y ~ 1 + x1
, J) a$ w+ d# A" Q Estimated Coefficients:% }9 \# X- W, C3 E6 Z1 b2 o% ?4 a
, t' q2 A+ ]9 X: V7 e! l Estimate SE tStat pValue
" N( U# H1 [' }
A& H M- z9 {. v& Z6 x9 h! f: A6 ^ (Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215& d3 X! P! h% t- T# l, U( l
( ~1 t3 T* S- _0 s. z" |- ]! Z x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09
. r; c% K# Q) n9 l% J9 w2 P/ h
# Y7 t- d! u% h; z R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.985
9 Z# G t" w4 I4 W
: c1 Z0 w4 i# ^* G! L5 T! A1 v) s F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
7 |$ l: E/ M# n/ A ' a* a2 o7 w+ G
如下图,我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。/ Z! x; W: n( I6 D$ e+ k/ N
$ b% W& s; B3 G6 A% ] 1 W6 s, {/ I4 s1 X: U# M- e. T
! P @. _3 V" }; r2 J- q! y 4)采用 regress 函数进行回归8 j% r0 v8 @' }: Q. ~; v- N
4 N; X8 E& z; J E; m0 a
%% 采用 regress 函数进行回归
4 R) Q6 X- b# L$ t6 C2 J Y = y'( q7 E7 g, q: k l5 O
X = [ones(size(x,2),1),x']$ a* ~ Q. F" }2 m1 O4 N% ~5 {- T
[b,bint,r,rint,s] = regress(Y,X)
2 I+ d! c" H( s 运行结果如下:4 B% g7 p7 H* W7 x& M2 @+ c
2 a9 f/ ?; w3 Z* T9 E8 J b =
; A8 r( |; }1 c3 W . v: x7 L# y) c8 J7 Y( E; w5 {
-23.5493
% G, O; x: t+ A% z
4 e' h5 J! [3 i; e3 C 2.7991
( m& `2 M" u( e3 A2 j C( z8 \1 D* X; K- H, N! f
我们只需记住-23.594是一次函数的中x的系数,2.7991是一次函数中的常数项即可,其它的不用理会。$ w d/ `' d' z6 Z
+ A4 |3 E6 I' Y. J. ~4 r* P (2)一元非线性回归6 l" V& I5 H1 h" t
& \/ Q9 J0 y/ |2 q" M0 o
[ 例2 ] 为了解百货商店销售额 x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见表2)。请建立它们关系的数学模型。
) x6 D: k+ Y; L5 n$ X% W/ p # ]+ c; l) U& Q, I( b% u: Y; q
$ y3 | a( h4 A8 |% O% O# V - D: b# I) {! x
) `4 p% Z6 G7 g& N; k! @
9 e0 N( [# [2 n/ }$ W% B0 \" T
为了得到 x 与 y 之间的关系,先绘制出它们之间的散点图,如图 2 所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系,为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合,具体实现步骤及每个步骤的结果如下:3 B5 [, T! w- r7 C* ~! M
5 Z# q. @7 Y6 x: U6 A6 J (1)输入数据
- j" K6 {& C8 X( @" D
3 }6 |0 W8 o b %% 输入数据
, n2 ~8 I1 L: ~1 E clc, clear all, close all/ h# b& H# v( }: i- h
x = [1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
, |) k& o9 X6 g0 K& B% V. l y = [7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
4 P2 b/ b: p- j9 @. V plot(x, y, '*', 'linewidth', 1) % 这里的linewidth指的是散点大小" d- q* E- \, O& [. | [' J" ` f* U4 U
set(gca,'linewidth',2) % 设置坐标轴的线宽为2' s2 f& _- y7 j5 _( y9 u
xlabel('销售额x/万元','fontsize',12)
9 F* \8 E( j F1 S+ u0 M; G ylabel('流通率y/%','fontsize',12); w; z* I2 l' _, {1 g; A) C# J, c& d
(2)对数形式非线性回归/ h5 q9 K7 ?+ @; Q
$ ^7 l4 j' |. M o; L %% 对数形式非线性回归
m2 y2 t" m9 v- h$ s# f m1 = @(b,x) b(1) + b(2)*log(x);
) m3 p2 H" s' Q* q* {' F' S) M8 Y$ F nonlinfit1 = fitnlm(x,y,m1,[0.01;0.01])$ a, H( f7 w7 }# x! Y0 l5 `4 Q
b = nonlinfit1.Coefficients.Estimate;" j9 x1 i+ M1 ?" |
Y1 = b(1,1) + b(2,1)*log(x);
2 A1 o2 g+ u) ^ hold on 5 Y( H0 |$ f$ b% P7 x. j, x/ s
plot(x, Y1, '--k', 'linewidth',2)% \* z$ h; S: U9 S# Z/ ?, v0 Y
运行结果如下:
5 V3 }' j* v& _: T# P7 x% j) v
% v$ J4 k/ u- I# ? nonlinfit1 =+ m" A. ~' B9 D! o# w$ T
7 x: q- L1 ^, ^" n Nonlinear regression model:8 H c! J: ~ `
, {0 M# O+ V7 R- { y ~ b1 + b2*log(x)2 k8 X+ {7 s: w# I5 V
! P" v$ S4 s2 R9 P# k7 T3 x
Estimated Coefficients:
5 t" M4 i$ _6 ^8 A" L7 x 0 a( w0 {% f; Z5 W
Estimate SE tStat pValue ) A% g/ z: t0 j5 p: n; U9 H; P
' V& L2 F0 J& F; O5 D b1 7.3979 0.26667 27.742 2.0303e-08
. V5 Z9 H o1 w- V8 V
9 O' e: Z' p; X8 F! L b2 -1.713 0.10724 -15.974 9.1465e-07
# g& d! G+ _; X' M8 }
3 L+ P/ a1 w, F+ k& ^ R-Squared: 0.973, Adjusted R-Squared 0.9693 c8 G7 N' z4 F" m
8 j& b7 J0 h" p* R
F-statistic vs. constant model: 255, p-value = 9.15e-07
2 p" b" X! q" W% J
/ L! x; X% K3 T9 e7 H! z (3)指数形式非线性回归: q" {' E) C+ |! _ I( p: ~6 F+ I0 ~
& d( P% b( g) q( f1 ~9 h %% 指数形式非线性回归1 H5 ~1 r! }, G$ Z% P
m2 = 'y ~ b1*x^b2';; c4 W2 x+ F& c4 ~. x* J
nonlinfit2 = fitnlm(x,y,m2, [1;1])
: d8 v; ?! w9 g( g. `! l6 o3 Y b1 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(1,1);9 b8 g7 q; l" M( k
b2 = nonlinfit2.Coefficients.Estimate(2,1)( E# [2 f. Z! w
Y2 = b1*x.^b2;9 X; p3 A5 C7 y. |4 Z) \
hold on;! e3 f# `- p) E* c8 u
plot(x,Y2,'r','linewidth',2)" T" T9 q1 g h7 y" n
legend('原始数据','a+b*lnx','a*x^b') % 图例
y! N3 \% Y( s% p9 {7 g' K! Z- A4 y 运行结果如下:7 Z* p) g1 {' k+ f3 l1 h( v) K
( s. {& r8 v% p; G$ t1 X7 l6 i t nonlinfit2 =
2 [ B; r" _' h0 i 6 x( L, u3 ]/ e' u+ r, m
Nonlinear regression model:
3 a2 Y, k; _2 s% Y5 ~* q' p, W9 C
* h0 m, |8 U5 Q/ ?' |: A* {6 o y ~ b1*x^b2
8 l2 x- ]) x0 ~$ @* {7 \2 \9 b 1 L' U- k! }# K# s
Estimated Coefficients:
" J/ U; {6 u: {+ w3 ]+ y' y, x # V4 a. F& Q% i& n
Estimate SE tStat pValue 7 b: C8 Y; P' X8 W! Y
* ^" E# {, R- q! \5 R+ t
b1 8.4112 0.19176 43.862 8.3606e-107 B7 v/ {! h, M
" V1 _; h; Q; Z: ?2 K( j
b2 -0.41893 0.012382 -33.834 5.1061e-09& y* Z. {/ K& y) C
. ?0 F! o+ B4 x- ^ R-Squared: 0.993, Adjusted R-Squared 0.992
4 [/ n# a: w: M6 G# v" ?7 I ! x( ]9 q9 _" b7 F. f/ }2 B
F-statistic vs. zero model: 3.05e+03, p-value = 5.1e-11. i! V+ [6 x# Z$ q
4 Q3 [. ~2 W5 {( T s$ M0 W
在该案例中,选择两种函数形式进行非线性回归,从回归结果来看,对数形式的决定系数为 0.973 ,而指数形式的为 0.993 ,优于前者,所以可以认为指数形式的函数形式更符合 y 与 x 之间的关系,这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
! R6 a( w% C* L$ Z M; U - D0 @1 g6 I, I5 r4 p+ q( q/ F4 }
2.多元回归
: a8 v9 ]+ }+ p, F) i, j3 Y3 a
6 }3 G6 o6 Z. `, F 1.多元线性回归* L5 \, g: |3 Z# G' S2 m
$ n2 A& n9 L8 m: T
[ 例3 ] 某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪 Y 与他们的研究成果(论文、著作等)的质量指标 X1、从事研究工作的时间 X2、能成功获得资助的指标 X3 之间的关系,为此按一定的实验设计方法调查了 24 位研究学者,得到如表3 所示的数据( i 为学者序号),试建立 Y 与 X1 , X2 , X3 之间关系的数学模型,并得出有关结论和作统计分析。
! h1 B6 ~ X- W- {2 n$ r$ k4 g, h1 s2 X 2 w! {0 l/ B& H' b
- e" n* V( w f& b
+ G) K& J: R0 }2 |9 B/ U
该问题是典型的多元回归问题,但能否应用多元线性回归,最好先通过数据可视化判断他们之间的变化趋势,如果近似满足线性关系,则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下:
- o* a8 X& ~: R2 M7 y# ]+ z
' o. Q# K/ Y7 S2 u1 R, ^ (1)作出因变量 Y 与各自变量的样本散点图
# H8 c q$ g5 v# E9 N4 g3 w + I5 ]% z/ `& a9 t" [) y
作散点图的目的主要是观察因变量 Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系,以便选择恰当的数学模型形式。图3 分别为年薪 Y 与成果质量指标 X1、研究工作时间 X2、获得资助的指标 X3 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边,因此,有比较好的线性关系,可以采用线性回归。绘制图3的代码如下:
5 R, x. W0 a0 I8 N0 q# p1 O% W. r
0 F8 r2 F J& Y7 J7 `, b %% 作出因变量Y与各自变量的样本散点图& X0 c4 F- z0 E% b \3 u! S
% x1,x2,x3,Y的数据8 j, z; o7 i& j3 W/ R& \/ @6 I/ C \
x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];$ E4 @- L2 f' h4 l1 g
x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];- \: e. k) s$ X# J. _- t( c! p
x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
2 X) n ~$ F. h, b6 P4 i( M, V Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];% F1 z6 r, [1 N8 p4 K- V
% 绘图,三幅图横向并排1 x$ h J' X+ @( a, _5 D
subplot(1,3,1),plot(x1,Y,'g*')4 k- `% q: K n0 T( O
subplot(1,3,2),plot(x2,Y,'k+')# s2 y4 k0 |4 Z% D
subplot(1,3,3),plot(x3,Y,'ro')4 j# ]' g! C+ h8 B
绘制的图形如下:& B ^# X- K* N1 R1 `5 x
& s, \8 s6 H6 L/ [
6 f8 [1 { N/ U- L6 G8 ?5 f
U3 M& J! \% _& b7 @# V (2)进行多元线性回归, y. T/ Y$ M) D/ {
* Q8 `3 s2 L* {" z; [ 这里可以直接使用 regress 函数执行多元线性回归,注意以下代码模板,以后碰到多元线性问题直接套用代码,具体代码如下:& [6 i9 o7 i8 ^& P* u8 G, e4 ~
& z* S- u3 \0 C) P( T7 e- q
%% 进行多元线性回归9 {( k9 ~/ s. V; X" W1 G6 M
n = 24; m = 3; % 每个变量均有24个数据,共有3个变量& \- ^+ X% z8 ?, _; Y* q! `. k5 L; I
X = [ones(n,1),x1',x2',x3'];9 j" X$ ?+ t) ~. R* s' S
[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05) % 0.05为预定显著水平,判断因变量y与自变量之间是否具有显著的线性相关关系需要用到。
, G P- X! c. S- j) |% e 运行结果如下:, U7 D8 ?0 w0 @7 S% {3 `2 }
- q2 a B9 k6 M
b =; K5 V: \* b( Q. N+ {! Q) z+ g
) ]* `; P$ x3 J# F9 K 18.0157
a0 J* p; {: f( C9 d' \ 1.0817
/ A* h7 c9 e" } 0.3212
8 b3 e& m. \% k7 m$ d, w 1.28351 M) ~1 I" O- L I* c& b
* D& B* I- W7 ?; x+ ]) {& k3 f
9 @% R6 h) m# d2 m r& t7 y) K( H bint =
& s+ z, A, P6 {* _1 Y # T! H. U9 K; n. n) P0 B( R5 m
13.9052 22.1262& J& }" u N7 b l4 C' S8 U
0.3900 1.77332 w3 F, ?7 o0 H2 i
0.2440 0.3984
' [. ^6 D0 u0 V! h1 Y 0.6691 1.8979
% M8 K& b7 ]9 c5 T7 o1 t' z% A: y
7 O8 \4 v: ~8 \7 T k M
7 w% \7 L6 W: Q2 t0 Y7 `+ N r =8 M4 B& p7 g8 |; s- u: C! @
) ^! Y3 \7 L0 g- x! \6 S4 y 0.6781 Y, W( ~: |8 X$ ?9 }% J
1.9129: {# b: L" D7 O1 Q$ r2 J2 U
-0.1119
! B! z& c0 X1 d2 @2 }) R* E 3.3114
5 c+ N2 Z4 i. h3 g -0.74247 s1 C' [0 b9 o# |9 x3 ^9 `7 V
1.2459
) D. p4 d( k2 y- ] |1 l) s -2.1022# A$ c8 j- G! ~. V6 T/ O
1.9650
$ y0 C, H F- _0 I5 X# J1 y -0.3193
& f) _( K, Q: M' [; L' e# F l L 1.34668 S, \9 n4 X# }1 q( [& D
0.8691
+ M6 M* N4 w( u8 a; ^ -3.26377 S6 ]* f8 u! h
-0.5115
2 f& ^) W$ g& f* B! H$ W -1.1733
9 {" g, F* `9 _, @, S8 E -1.4910, y$ l, t' e) K8 J R' U! a
-0.29724 l) Y ?8 _2 _; A% s
0.1702
$ T/ g+ x6 q3 R; n0 q 0.5799
4 p1 p0 w2 s& d& m/ q" K& J -3.28569 f x" d W3 |9 y @' Z
1.1368) e! Q; u, [7 I/ r$ Z
-0.8864
+ c Z1 J6 a5 x' U. x4 u% ` -1.4646) a' W4 a8 V( I( l
0.8032, o. Q/ N9 F& \5 B# ~0 C
1.6301+ A1 J2 F1 U8 h
" ?. ~) g( c2 b7 `4 L& D
; _- U. `* `2 W) u rint =
6 \6 j2 \, C7 I0 m) m) [
6 J: @# r; J" X: J* d -2.7017 4.0580
* l; o9 D; F0 k# e -1.6203 5.44614 B8 N0 N; W$ w" G ?; u
-3.6190 3.39518 C W6 Z) M, n2 v' T) Q5 I
0.0498 6.5729
) o$ F% P+ D4 a0 L4 w, ~. F -4.0560 2.5712
1 m* s6 Z" t$ L) e1 f -2.1800 4.6717
& g* D% G& o; i5 b% v; W% _ -5.4947 1.2902
+ r- F; x. c. _2 g -1.3231 5.2531% B" m5 l( L' h0 O X+ h
-3.5894 2.9507
+ |) x ]( ~. W& }, W$ m -1.7678 4.4609
( G! W0 N2 P1 Y9 F. a' O -2.7146 4.45294 V9 {+ i9 G+ p8 C
-6.4090 -0.1183
, `" P Q) i8 l r -3.6088 2.5859( c' `2 x( y9 q: G0 ]( w9 \
-4.7040 2.3575* l! ?; \3 R- W* z I
-4.8249 1.8429
4 `! ?5 _2 ~0 C/ b+ w$ h -3.7129 3.1185) @; f% f6 C6 R! m1 T( y
-3.0504 3.3907+ i O* e+ ]4 R8 q% O# V: x
-2.8855 4.0453
$ W: Z' @' J; S9 d9 L$ _! V' [ -6.2644 -0.3067
* Y) G5 H( O2 c0 Q- {5 B5 K( q -2.1893 4.4630" l8 @: u I; j
-4.4002 2.6273" M( H% n+ v' s3 C% S
-4.8991 1.9699* J6 j/ u- b! C0 ?! h
-2.4872 4.0937* \/ e! N) T; }$ J; q% w/ N
-1.8351 5.0954
1 B4 C- j' X' W- E0 E. A) e
" B: Y' Y2 v+ r! v. E
# {: c7 E2 W$ `" s s =6 @) k2 s) [* U; k; s
5 l+ `# j1 Y+ d$ G) ]; D. z5 L& H 0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
2 `, D r/ R$ G _) j 看到如此长的运行结果,我们不要害怕,因为里面很多数据是没用的,我们只需提取有用的数据。
* b# U. Y8 m2 t- R' v3 n
5 @8 G4 P* _+ [4 o 在运行结果中,很多数据我们不需理会,我们真正需要用到的数据如下:
$ f; ^9 S% D# W
# \" M0 q X" f) q- Q b =
& Q4 W6 O( c1 w/ I 7 L5 a1 ~2 a! q* ^/ m. R& r
18.0157& R3 s- V4 T+ m1 U2 g" I* l
1.0817
$ \( j) W9 b/ _, G' m 0.3212/ a* j t! @; [
1.2835
# Y" o" ]+ k# O0 X5 L2 K
5 G/ Z- I+ n- K, U2 _* C0 s3 V1 p s =, B7 P# y" }5 v7 ^3 h0 f! n
3 A3 y1 x' g4 H$ y& I7 f 0.9106 67.9195 0.0000 3.0719
; ?( w* y8 e" b8 ^% E5 p 回归系数 b = (β0,β1,β2,β3) = (18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835),回归系数的置信区间,以及统计变量 stats(它包含四个检验统计量:相关系数的平方R^2,假设检验统计量 F,与 F 对应的概率 p,s^2 的值)。观察表4的数据,会发现它来源于运行结果中的b和s:
; Y% w1 B' S4 | f. Q ! G. E- m M" Z( y
' k9 e. R& j5 t& X6 i* U 7 }" E5 B5 Y& o2 j; M% F( g8 C
根据β0,β1,β2,β3,我们初步得出回归方程为:
5 M0 R3 G+ t/ Q$ l; i
. B, \5 R8 ^) c5 }) } 1 k, w; t! b% t" i) X
% B: b. @, O+ d; A/ x9 L$ O' `1 t
如何判断该回归方程是否符合该模型呢?有以下3种方法:4 R+ ^/ Q& w* \
* P/ c0 e5 i: X( E+ L. j! y& t2 }
1)相关系数 R 的评价:本例 R 的绝对值为 0.9542 ,表明线性相关性较强。
) [$ h: W& A' z! D. q
& I4 k: a+ ? C: X 2)F 检验法:当 F > F1-α(m,n-m-1) ,即认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间有显著的线性相关关系;否则认为因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm 之间线性相关关系不显著。本例 F=67.919 > F1-0.05( 3,20 ) = 3.10。 R# _% c( h0 X/ p; f3 l* z- H
% g3 d. Q' N3 Z+ A 3)p 值检验:若 p < α(α 为预定显著水平),则说明因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果,p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。( q. S' s8 z9 E# I, b: N9 _
4 w9 Z3 h3 b* ]. P! h+ W 以上三种统计推断方法推断的结果是一致的,说明因变量 y 与自变量之间显著地有线性相关关系,所得线性回归模型可用。s^2 当然越小越好,这主要在模型改进时作为参考。) U( ]. E. s5 F" G' f/ H
" |- N8 f7 I6 h9 }/ @" D# ] 3. 逐步回归
2 {& k5 ^ R' \$ o) `" Y. G
0 q" L9 K: `* q& t# x* U [ 例4 ] (Hald,1960)Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y(单位:卡/克)与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关:: I' R F+ E: ^# q
) J2 ?, j: B1 n2 x
* x) I) U% [8 A: _/ n# [. Y 9 b9 P9 }2 O m# ~9 p1 x( ^
在生产中测得 12 组数据,见表5,试建立 Y 关于这些因子的“最优”回归方程。$ ~6 n3 r9 r. t3 t% O7 E: U/ m: `5 T
( ^" [1 f" Q$ K5 [4 ] 5 Y0 P" g3 l: ]* G& |
9 b( Y, L3 z. x, t. {3 q 对于例 4 中的问题,可以使用多元线性回归、多元多项式回归,但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看,逐步回归是以上两种回归方法的结合,可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题,逐步回归的代码如下:
- y: e6 ^, T: A: d9 s ' F8 {8 J% T7 S2 Z6 E& ]" h/ j" u
%% 逐步回归( j8 o' M3 L* X
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12]; %自变量数据2 I" y( x" _# @, ~3 P
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3]; %因变量数据# K$ y" E; j: ]
stepwise(X,Y,[1,2,3,4],0.05,0.10)% in=[1,2,3,4]表示X1、X2、X3、X4均保留在模型中4 \# [1 z/ w8 ?3 l2 D5 `* C5 H/ I9 ~' ?
程序执行后得到下列逐步回归的窗口,如图 4 所示。
. \7 o8 z; t5 K# ^0 B4 d s) f7 r / p% F7 }) e+ ^
$ \" _! Y5 L) Y( E' X: ]- V
/ u4 J3 ?: W) h, S3 o0 l1 Y 图43 U$ U' p( B" O$ F& L
) D; N: l2 L( V1 G7 T; s5 g4 {
在图 4 中,用蓝色行显示变量 X1、X2、X3、X4 均保留在模型中,窗口的右侧按钮上方提示:将变量X4剔除回归方程(Move X4 out),单击 Next Step 按钮,即进行下一步运算,将第 4 列数据对应的变量 X4 剔除回归方程。单击 Next Step 按钮后,剔除的变量 X3 所对应的行用红色表示,同时又得到提示:将变量 X3 剔除回归方程(Move X3 out),单击 Next Step 按钮,这样一直重复操作,直到 “Next Step” 按钮变灰,表明逐步回归结束,此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。最终结果如下:4 u, _. k; L, m1 Y4 Y+ ^ j) q c
9 k. I+ ?$ R$ u; c# a. }/ u# R 2 f, O" M4 @% K( M7 o. |& l
% `' e! R9 ~3 u9 W 4. 逻辑回归
$ U) x, W% y# c4 l ' s. @& j- X( D) w( L) _
[ 例5 ] 企业到金融商业机构贷款,金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式,0 表示企业两年后破产,将拒绝贷款,而 1 表示企业 2 年后具备还款能力,可以贷款。在表 6 中,已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果,试建立模型对其他 5 家企业(企业 21-25)进行评估。
@( s9 K9 t* T: [* ?- F 3 V$ z! s5 d; @! i' A1 F
/ D, _! b; x9 Q. \' Y: |& j
7 m" e: u- T1 J! Y* B# g 对于该问题,很明显可以用 Logistic 模型来回归,具体求解程序如下:. n7 N5 A" a# G- P. z. r! P
7 V) m6 S& {1 O0 n1 j
程序中需要用到的数据文件logistic_ex1.xlsx已上传github:https://github.com/xiexupang/mathematical-modeling/tree/master/%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E9%80%BB%E8%BE%91%E5%9B%9E%E5%BD%92
& K: z% w- Y+ g' i" k) ? # x$ U- Z+ `1 R! d+ ]
% logistic回归
. |2 i, W ]! y9 H1 C$ h X) }. M) w7 ?; z: ^ Y
%% 导入数据
$ d+ Z8 W& Q) S3 M0 [8 Z0 n) p | clc,clear,close all. b4 \$ W/ R1 ~3 y+ C
X0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C21'); % 前20家企业的三项评价指标值,即回归模型的输入
- F1 ?) R) B8 \8 q Y0 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','D2 21'); % 前20家企业的评估结果,即回归模型的输出
& |: L( m2 M2 Q1 V6 f X1 = xlsread('logistic_ex1.xlsx','A2:C26'); % 预测数据输入
& N& X0 {; ?2 n0 F+ s
7 j' j) A U0 V/ P" a %% 逻辑函数
8 `( U* F' s9 N GM = fitglm(X0,Y0,'Distribution','binomial');5 Z x) m' q" a, b" n U* e5 G
Y1 = predict(GM,X1);, ~8 p. O- V7 {0 u0 y, z* w
, X: `# [5 ?0 @$ U* n %% 模型的评估; B1 y( ] H0 ]" i; V
N0 = 1:size(Y0,1); % N0 = [1,2,3,4,……,20]
( Y/ V b4 H7 L$ {) l, |' l N1 = 1:size(Y1,1); % N1 = [1,2,3,4,……,25]
9 m& s8 v. J/ s7 x: n w plot(N0',Y0,'-kd'); % N0'指的是对N0'进行转置,N0'和Y0的形式相同,该行代码绘制的是前20家企业的评估结果2 Y. l- z2 n% Q1 Q
% plot()中的参数'-kd'的解析:-代表直线,k代表黑色,d代表菱形符号
) k$ F" x' H) @& d: y hold on;
2 J# F8 {' `) Z% y/ f, s scatter(N1',Y1,'b'); % N1'指的是对N1'进行转置,N1'和Y1的形式相同
7 J2 d2 y5 h6 z1 ?% x4 N4 B xlabel('企业编号');9 Y: [2 a" q/ y# B8 j5 C) O& T
ylabel('输出值');) M4 d+ c3 u8 r- v# |1 d/ |" K m
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。; q' T* J. j2 p; a/ n
) \% y+ f% K s. m; t4 K# A- F, I
# n9 E a- ^. o 4 R% J' X( A& c" A
图5* ]! X% F1 c G% u" ?
) m5 y8 g( R R" _/ m3 w0 N
三、总结与感悟。 \5 a; x2 h+ G. }, J5 I
4 @9 I, k- P$ W. B: a
总结:通过这次学习,我了解到Matlab在数学建模竞赛中使用广泛;在评估股票价值与风险的小实例中,我掌握了用Matlab去建模的基本方法和步骤;在回归算法的学习过程中,我掌握了一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归、逐步回归、逻辑回归的算法。$ z; I- V2 z0 Y
, J( Y! F0 F9 q0 ?$ s% D' v: ?% p 感悟:正确且高效的 MATLAB 编程理念就是以问题为中心的主动编程。我们传统学习编程的方法是学习变量类型、语法结构、算法以及编程的其他知识,因为学习时候是没有目标的,也不知道学的知识什么时候能用到,收效甚微。而以问题为中心的主动编程,则是先找到问题的解决步骤,然后在 MATLAB 中一步一步地去实现。在每步实现的过程中,遇到问题,查找知识(互联网时代查询知识还是很容易的),定位方法,再根据方法,查询 MATLAB 中的对应函数,学习函数用法,回到程序,解决问题。在这个过程中,知识的获取都是为了解决问题的,也就是说每次学习的目标都是非常明确的,学完之后的应用就会强化对知识的理解和掌握,这样即学即用的学习方式是效率最高,也是最有效的方式。最重要的是,这种主动的编程方式会让学习者体验到学习的成就感的乐趣,有成就感,自然就强化对编程的自信了。这种内心的自信和强大在建模中会发挥意想不到的力量,所为信念的力量。2 _0 _+ o( \, t9 e* d/ @4 N+ W5 b0 `
7 L4 L8 V6 L3 \3 l M- A! B+ o9 D, ~
0 A% O4 T' p* Y7 ? 9 a) X U C1 ^5 W0 E
6 V7 B% H9 P6 r
2 |9 k1 r0 \! B( V" T
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